unica

1. UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE
ICA
FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y
PETROQUIMICA
ESCUELA DE INGENIERIA QUIMICA
LIMITES,
DERIVADAS E
INTEGRALES
INFORME DE INFORMATICA
APLICADA A LOS PROCESOS
ING. VICTOR ORE GALINDO
11/12/2014

2. 1EXPRESIONES SIMBOLICAS
1

3. 2EXPRESIONES SIMBOLICAS
2
El Toolbox de Matemática Simbólica, añade a MATLAB la capacidad de
realizarcálculos simbólicos basados en MAPLE V © soportando además
(The ExtendedSymbolic Math Toolbox) las librerías especializadas, y los
programas realizadospara este último. Entre otros, los principales tipos de
operaciones soportadosson los siguientes:
· Algebra simbólica: Derivación, integración y simplificación de
expresiones matemáticas.
· Algebra lineal exacta: Inversas, determinantes, auto valores y
formas canónicas de matrices simbólicas.
· Aritmética de precisión variable: Evaluación de expresiones
matemáticas con diversos grados de precisión.
· Resolución de ecuaciones: Resolución numérica y simbólica de
ecuaciones algebraicas y diferenciales.
· Funciones matemáticas especiales: Evaluación de la mayoría de las
funciones utilizadas en matemáticas aplicadas.
Existen dos versiones del mismo Toolbox. The Basic Symbolic Math
Toolbox es una colección de más de 50 funciones MATLAB las cuales
INTRODUCCIÓN

4. 3EXPRESIONES SIMBOLICAS
3
permiten acceder al14kernel de MAPLE utilizando la Sintaxis y el estilo del
lenguaje MATLAB. The Extended Symbolic Math Toolbox aumenta esta
funcionalidad incluyendo todas las características de programación de
MAPLE, y el acceso a los paquetes defunciones de más de veinte campos de
las matemáticas especiales aplicadas.
 Crear y manipular variables simbólicas.
 Simplificar expresiones matemáticas.
 Resolución de ecuaciones empleando matemáticas simbólicas.
OBJETIVOS

5. 4EXPRESIONES SIMBOLICAS
4
ALGEBRA SIMBOLICA:
La matemática simbólica se usa regularmente en los problemas de,
ingeniería y ciencias. Con frecuencia es preferible manipular las
ecuaciones simbólicas antes de sustituir valores para las variables.
EXPRESIONES SIMBOLICAS:
Son expresiones matemáticas que contienen variables simbólicas. Una vez
que las variables simbólicas han sido creadas, estas se pueden utilizar
para crear expresiones simbólicas.
CREACION DE VARIABLES SIMBOLICAS:
Las variables simbólicas simples se pueden crear en dos formas. Por
ejemplo, para crear la variable simbólica x, escriba:
>> sym('x') o
>> syms x
 Ambas técnicas hacen el carácter ‘x’ igual a la variable simbólica x.
Donde “x” puede representar:
EXPRESIONES
SIMBOLICAS

6. 5EXPRESIONES SIMBOLICAS
5
 Una letra o una combinación de letras (sin espacios). Por
ejemplo: “s”, “yad”.
 O una combinación de letras y dígitos que comience por letra
(sin espacios). Ejemplos “xh12”, “r2d2”.
 Un número. Por ejemplo: “15” o “3”.
 En los primeros dos casos (cuando la cadena es una letra o
una combinación de varias letras y números), el objeto
simbólico creado es una variable simbólica. En este caso es
conveniente (aunque no es necesario) dar al objeto el mismo
nombre que la cadena. Por ejemplo “s”y “yad” se puede
definir como variables simbólicas de la forma:
>> s=sym('s') Se crea el objeto simbólico s.
>> yad=sym('yad') Se crea el objeto simbólico yad.
 El nombre del objeto simbólico puede ser diferente del
nombre de la variable. Por ejemplo:
>> h=sym('gamma')
h =Nombre del objeto.
Gamma Nombre de la variable.

7. 6EXPRESIONES SIMBOLICAS
6
 La función sym también se puede usar para crear una
expresión entera o una ecuación entera. Por ejemplo,
>> E=sym('m*c^2') Crea una variable
simbolica llamada E
>>Ley_gas_ideal=sym('P*V=n*R*Temp') Crea una ecuación.
 El comando sym es particularmente conveniente porque se
puede usar para crear multiples variables simbólicas al
mismo tiempo, como con el comando:
>> syms Q R T DO
CREACION DE EXPRESIONES SIMBOLICAS:
Son expresiones matemáticas que contienen variables
simbólicas. La expresión simbólica de Matlab se usa
matemáticamente para factorizar, simplificar, determinar
soluciones, derivar, integrar, etc. La forma de crear una
expresión simbólica es:

8. 7EXPRESIONES SIMBOLICAS
7
Nombre de expresión = Expresión simbólica.
Ejemplo:
>> syms a b c x y % Define las variables simbólicas a,b,c,x e
y.
>> f=a*x^2+b*x+c % Crea la expresión simbólica ax2+bx+c. y
le asigna a f.
f = % Se visualiza la expresión simbólica, sin
sangrar.
a*x^2 + b*x + c
SUSTITUCION DE VARIABLES:
Ejemplo: Supongamos el polinomio f= ax2+bx+c se quiere
sustituir x por -1.
>> g=subs(f,x,-1)
1. Cree las siguientes variables simbólicas con el
comando sym o syms: x, a, b, c, d.
2. Verifique que las variables que creó en el ejercicio 1 se
mencionan en la ventana del área de trabajo
(Workspace). Uselas para crear las siguientes
expresiones simbólicas.

9. 8EXPRESIONES SIMBOLICAS
8
SOLUCION:
>> syms a b c d x
>> f=a*x^2+b*x+c
f =
a*x^2 + b*x + c
>> g=subs(f,x,-1)
g =
a - b + c
a. p1=x2-1
>> p1=x^2-1
p1 =
x^2 - 1
b. p3=a*x^2-1
>> p3=a*x^2-1
p3 =
a*x^2 - 1
c. p2=(x+1)2
>> p2=(x+1)^2
p2 =
(x + 1)^2
d. p4=a*x^2+b*x+c
>> p4=a*x^2+b*x+c

10. 9EXPRESIONES SIMBOLICAS
9
p4 =
a*x^2 + b*x + c
e. p5= a*x^3+b*x^2+c*x+d
>> p5=(a*x^3)+(b*x^2)+(c*x)+d
p5 =
a*x^3 + b*x^2 + c*x + d
f. p6=sen(x)
>> p6=sin(x)
p6 =
sin(x)
Recordemos que la función pretty permite ver la
expresión en la forma en que normalmente aparece en
los textos. Se utiliza como sigue:
pretty(p4)
>> pretty(p4)
2
a x + b x + c
3. Cree las siguientes expresiones simbólicas, con la
función sym:

11. 10EXPRESIONES SIMBOLICAS
10
>> syms X A B C
 EX1=X2-1
>> EX1=X^2-1
EX1 =
X^2 - 1
 EX2=(X-1)2
>> EX2=(X-1)^2
EX2 =
(X - 1)^2
 EX3=AX2-1
>> EX3=A*X^2-1
EX3 =
A*X^2 – 1
 EX4=AX2+BX+C
>> EX1=A*X^2+B*X+C
EX1 =
A*X^2 + B*X + C
 EX5= AX3+BX2+CX

12. 11EXPRESIONES SIMBOLICAS
11
>> EX5=A*X^3+B*X^2+C*X
EX5 =
A*X^3 + B*X^2 + C*X
 EX6=senx
>> EX6=sin(x)
EX6 =
sin(x)
4. Cree las siguientes ecuaciones, con la función syms:
>> syms x a b c
a. X2=1
>> a=x^2-1
a =
x^2 - 1
b. (X+1)2=0
>> b=(x+1)^2-0
b =
(x + 1)^2
c. ax2=1
>> c=a*x^2-1
c =
x^2*(x^2 - 1) - 1
d. ax2+bx+c=0

13. 12EXPRESIONES SIMBOLICAS
12
>> d=a*x^2+b*x+c-0
d =
x*(x + 1)^2 + 2*x^2*(x^2 - 1) - 1
e. ax3+bx2+cx+d=0
>> e=a*x^3+b*x^2+c*x+d-0
e =
x*(x + 1)^2 + 2*x^2*(x^2 - 1) + x^2*(x + 1)^2
+ x^3*(x^2 - 1) + x*(x^2*(x^2 - 1) - 1) - 1
f. seno(X)=0
>> f=sin(x)-0
f =
sin(x)
5. A partir de los siguientes vectores crear expresiones
simbólicas con la función poly2sym:
 A=[1,2,3,4]
>> A=poly2sym([1 2 3 4])
A =
x^3 + 2*x^2 + 3*x + 4
 f=[1 2 3]
>> f=poly2sym([1 2 3])
f =

14. 13EXPRESIONES SIMBOLICAS
13
x^2 + 2*x + 3
 X=[-1,2,3;4,5]
>> X=poly2sym([-1 2 3 4 5])
X =
- x^4 + 2*x^3 + 3*x^2 + 4*x + 5
 B=[1 2 3; 4 5 6]
>> B=poly2sym([1 2 3 4 5 6])
B =
x^5 + 2*x^4 + 3*x^3 + 4*x^2 + 5*x + 6
MODIFICACION DE EXPRESIONES SIMBÓLICAS:
Las expresiones simbólicas pueden ser creadas por el usuario; o también
por Matlab como resultado de otras operaciones simbólicas.
FUNCIONES QUE SE USAN PARA MANIPULAR EXPRESIONES Y ECUACIONES
collect(F,s)
Reúne los términos con coeficientes comunes de F, si coloco “s” le aclaro que
variable quiero que reúna.
expand(F) Expande los productos de factores de la expresión o ecuación.
factor(F) Factoriza la expresión o ecuación.
simple(F) Determina la forma más sencilla de F con el menor número de términos.
simplify(F) Simplifica en concordancia con las reglas de simplificación.
pretty(F)
Visualiza una expresión simbólica de forma parecida a como esta suele
escribirse realmente (forma algebraica.)

15. 14EXPRESIONES SIMBOLICAS
14
6. REALIZA LA OPERACIÓN INDICADA CON LA AYUDA DE
MATLAB:
>> syms X Y r s z a b t m n
a. P1=4X2+8X-5 factorizar
>> P1=4*X^2+8*X-5
P1 =
4*X^2 + 8*X - 5
>> factor(P1)
ans =
(2*X + 5)*(2*X - 1)
b. P2=X5-2X3-X2Y3
factorizar
>> P2=X^5-2*X^3-X^2*Y^3
P2 =
X^5 - 2*X^3 - X^2*Y^3
>> factor(P2)
ans =
X^2*(X^3 - 2*X - Y^3)
c. P3=r8-S8 factorizar
>> P3=r^8-s^8
P3 =
r^8 - s^8
>> factor(P3)

16. 15EXPRESIONES SIMBOLICAS
15
ans =
(r - s)*(r + s)*(r^2 + s^2)*(r^4 + s^4)
d. P4=(x-y-z)(x+y+z) realiza el
producto
>> P4=(X-Y-z)*(X+Y+z)
P4 =
-(X + Y + z)*(Y - X + z)
>> expand(P4)
ans =
X^2 - Y^2 - 2*Y*z - z^2
e. P5=(4x7-xy5+6y2)(9x10+54x8y3+34y5)
simplifica
P5 =
(9*X^10 + 54*X^8*Y^3 + 34*Y^5)*(4*X^7 -
X*Y^5 + 6*Y^2)
>> simplify(P5)
ans =
(9*X^10 + 54*X^8*Y^3 + 34*Y^5)*(4*X^7 -
X*Y^5 + 6*Y^2)
f. P6=(45X7-29y3)8 expand
>> P6=(45*X^7-29*Y^3)^8
P6 =
(45*X^7 - 29*Y^3)^8

17. 16EXPRESIONES SIMBOLICAS
16
>> expand(P6)
ans =
16815125390625*X^56 -
86691313125000*X^49*Y^3 +
195537072937500*X^42*Y^6 -
252025560675000*X^35*Y^9 +
203020590543750*X^28*Y^12 -
104668393347000*X^21*Y^15 +
33726482300700*X^14*Y^18 -
6209955471240*X^7*Y^21 +
500246412961*Y^24
g. P7=12a2-4ab-3ax2+bx2
factorizar
>> P7=12*a^2-4*a*b-3*a*x^2+b*x^2
P7 =
12*a^2 - 3*a*x^2 - 4*b*a + b*x^2
>> factor(P7)
ans =
(4*a - x^2)*(3*a - b)
h. P8=t5-t3-2t2+2t
factorizar
>> P8=t^5-t^3-2*t^2+2*t
P8 =

18. 17EXPRESIONES SIMBOLICAS
17
t^5 - t^3 - 2*t^2 + 2*t
>> factor(P8)
ans =
t*(t^2 + 2*t + 2)*(t - 1)^2
i. P9=(m+n)2-2m-2n-15
factorizar
>> P9=(m+n)^2-2*m-2*n-15
P9 =
(m + n)^2 - 2*n - 2*m - 15
>> factor(P9)
ans =
(m + n - 5)*(m + n + 3)
j. P10=(x^3+2*x+5,x,7) evalua
para x=7
>> x=7
x =
7
>> P10=(x^3+2*x+5)
P10 =
362
k. P11=
𝑏2
4
+
𝑎𝑏2
72
-
𝑎3
𝑏5
32
-
1
9𝑎2
factorizar

19. 18EXPRESIONES SIMBOLICAS
18
>> P11=(b^2./4)+(a*b^2./72)-(a^3*b^5./32)-
(1/9*a^2)
P11 =
- (a^3*b^5)/32 - a^2/9 + (a*b^2)/72 + b^2/4
>> factor(P11)
ans =
-(9*a^3*b^5 + 32*a^2 - 4*a*b^2 -
72*b^2)/288
l. P12=(x-2y+5z2)(x+2y+5z2)
simplificar
>> P12=(X-2*Y+5*z^2)*(X+2*Y+5*z^2)
P12 =
(5*z^2 - 2*Y + 7)*(5*z^2 + 2*Y + 7)
>> simplify(P12)
ans =
- 4*Y^2 + 25*z^4 + 70*z^2 + 49
m. P13=
2𝑎2
−𝑎𝑏−3𝑏2
𝑎𝑚−2𝑎𝑛+𝑏𝑚−2𝑏𝑛
simplificar
>> P13=(2*a^2-a*b-3*b^2)./(a*m-
2*a*n+b*m-2*b*n)
P13 =
-(- 2*a^2 + a*b + 3*b^2)/(a*m - 2*a*n + b*m
- 2*b*n)
>> simplify(P13)

20. 19EXPRESIONES SIMBOLICAS
19
ans =
(2*a - 3*b)/(m - 2*n)
n. P14=
𝑥
1+𝑥+
2𝑥2
1−𝑥
simplificar
>> P14=X./(1+X+((2*X^2)./(1-X)))
P14 =
X/(X - (2*X^2)/(X - 1) + 1)
>> simplify(P14)
ans =
(X + 1)/(X^2 + 1) - 1
o. P15=
6𝑥2
−5𝑥−4
𝑥2 −3𝑥−40
÷
9𝑥2
−16
𝑥−8
simplifica
>> P15=((6*X^2-5*X-4)./(X^2-3*X-
40))./((9*X^2-16)./(X-8))
P15 =
((X - 8)*(- 6*X^2 + 5*X + 4))/((9*X^2 - 16)*(-
X^2 + 3*X + 40))
>> simplify(P15)
ans =
9/(11*(X + 5)) - 5/(11*(3*X + 4))
p. y=
2(𝑥2
+3)
𝑥2+6𝑥+9
expande
>> Y=((2*(X^2+3))./(X^2+6*X+9))
Y =
(2*X^2 + 6)/(X^2 + 6*X + 9)
>> expand(Y)

21. 20EXPRESIONES SIMBOLICAS
20
ans =
6/(X^2 + 6*X + 9) + (2*X^2)/(X^2 + 6*X + 9)
APLICACIONES EN LA SOLUCION DE ECUACIONES:
Los sistemas de ecuaciones se resuelven mediante la instrucción solve:
Solve(F) Resuelve ecuaciones; Sintaxis solve
(‘ecuacion’,’incognita’)
1. Para resolver ecuaciones no se requiere de toolbox de matemática
simbólica, por tanto nose trabaja con la función sym.
2. Con el comando solve se consigue resolver una ecuación con una
sola incógnita.
Ejemplo: Hallar los valores x ,y ,z en el siguiente sistema de
ecuaciones.
x+y=5
x-y=-1
𝑒 𝒛∗𝒚
= 𝟕. 𝟑𝟖𝟗
>> syms x y z
>> s=solve('x+y=5','x-y=-1','e^z*y=7.389')
s =
x: [1x1 sym]

22. 21EXPRESIONES SIMBOLICAS
21
y: [1x1 sym]
z: [1x1 sym]
>> s=[s.x s.y s.z]
s =
[ 2.0, 3.0, 0.90138011913840086095621910271119/log(e)]
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. Utilizando x6-3x+2=x4-
3
>> s=solve('x^6-3*x+2=x^4-3')
>> s=solve('x^6-3*x+2=x^4-3')
s =
0.35994649749890820934903867816622*i +
1.1588735640001902291072573105579
0.16138684769824712360456909778994 -
1.2241811519531001309829870439755*i
- 0.69565812924715883004032713435383*i -
1.3202604116984373527118264083478
1.2241811519531001309829870439755*i +
0.16138684769824712360456909778994
1.1588735640001902291072573105579 -
0.35994649749890820934903867816622*i

23. 22EXPRESIONES SIMBOLICAS
22
0.69565812924715883004032713435383*i -
1.3202604116984373527118264083478
a) X4-5x+8=x2-30
>> a=solve('x^4-5*x+8=x^2-30')
a =
1.4724873819349124936081769210697*i +
1.8305898266220592604532018608948
1.8305898266220592604532018608948 -
1.4724873819349124936081769210697*i
1.8798667869577432124083702409602*i -
1.8305898266220592604532018608948
- 1.8798667869577432124083702409602*i -
1.8305898266220592604532018608948
b) X3+2x2-x+1=0
>> b=solve('x^3+2*x^2-x+1=0')
b =
-
7/(9*(61/54 - 29^(1/2)/6)^(1/3)) - (61/54 -
29^(1/2)/6)^(1/3) - 2/3
7/(18*(61/54 - 29^(1/2)/6)^(1/3)) + (61/54 -
29^(1/2)/6)^(1/3)/2 - 2/3 - (3^(1/2)*(7/(9*(61/54 -
29^(1/2)/6)^(1/3)) - (61/54 - 29^(1/2)/6)^(1/3))*i)/2

24. 23EXPRESIONES SIMBOLICAS
23
7/(18*(61/54 - 29^(1/2)/6)^(1/3)) + (61/54 -
29^(1/2)/6)^(1/3)/2 - 2/3 + (3^(1/2)*(7/(9*(61/54 -
29^(1/2)/6)^(1/3)) - (61/54 - 29^(1/2)/6)^(1/3))*i)/2
c) X+√𝟐𝟓 − 𝒙 𝟐=7
>> c=solve('x+sqrt(25-x^2)=7')
c =
3
4
d) Sin(x)-x2+1=0, y comprobar la solución evaluando la
expresión con la presunta raíz.
>> d=solve('sin(x)-x^2+1')
d =
matrix([[-0.63673265080528201088799090383828]])
>> s=[s.x]
e) Resolver el siguiente sistema:
X+y=27
4x2+5y2=1620
>> syms x y
>> f=solve('x+y=27','4*x^2+5*y^2=1620')

25. 24EXPRESIONES SIMBOLICAS
24
f =
x: [1x1 sym]
y: [1x1 sym]
>> f=[f.x f.y]
f =
[ 15, 12]
{
𝟒𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
= 𝟐𝟓
𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟕
>> syms x y
>> g=solve('4*x^2+y^2=25','2*x+y=7')
g =
x: [2x1 sym]
y: [2x1 sym]
>> g=[g.x g.y]
g =
[ 2, 3]
[ 3/2, 4]
{
𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟕
𝟓
𝟐
𝒙 + 𝟐𝒚 =
𝟐𝟑
𝟐
>> syms x y
>> h=solve('3*x-y=7','5/2*x+2*y=23/2')
h =

26. 25EXPRESIONES SIMBOLICAS
25
x: [1x1 sym]
y: [1x1 sym]
>> h=[h.x h.y]
h =
[ 3, 2]
{
𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟏
(𝒙 − 𝟑)(𝒚 + 𝟐) =
𝟔
𝟓
𝒙𝒚
>> syms x y
>> i=solve('x+y=11','(x-3)*(y+2)=6/5*x*y')
i =
x: [2x1 sym]
y: [2x1 sym]
>> i=[i.x i.y]
i =
[ 2*61^(1/2) - 7, 18 - 2*61^(1/2)]
[ - 2*61^(1/2) - 7, 2*61^(1/2) + 18]
X+√𝟐𝟓 − 𝒙 𝟐 = 𝟕
>> syms x
>> j=solve('x+sqrt(25+x^2)=7')
j =
12/7

27. 26EXPRESIONES SIMBOLICAS
26
3+
𝒙 𝟐
−𝟏𝟔
𝒙−𝟏
=
𝟓𝒙 𝟐
−𝟐𝟏𝒙+𝟐𝟐
𝒙 𝟐 −𝟑𝒙+𝟐
>> syms x
>> k=solve('3+((x^2-16)/(x-1))=((5*x^2-2*x+22)/(x^2-
3*x+2))')
k =
85/(9*(262/27 + (27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27)^(1/3)) +
(262/27 + (27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27)^(1/3) + 4/3
4/3 - (262/27 + (27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27)^(1/3)/2 -
85/(18*(262/27 + (27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27)^(1/3)) +
(3^(1/2)*(85/(9*(262/27 +
(27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27)^(1/3)) -
((27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27 + 262/27)^(1/3))*i)/2
4/3 - (262/27 + (27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27)^(1/3)/2 -
85/(18*(262/27 + (27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27)^(1/3)) -
(3^(1/2)*(85/(9*(262/27 +
(27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27)^(1/3)) -
((27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27 + 262/27)^(1/3))*i)/2
X+√𝟐𝟓 − 𝒙 𝟐 = 𝟕
>> syms x
>> l=solve('x+sqrt(25-x^2)=7')
l =
3 4

28. 27EXPRESIONES SIMBOLICAS
27
PROBLEMA:
1) Un estudio presentado a inicios de enero del año 2014, mostro que
la población de peces en un lago se obtiene de la formula
F=1000(30+17t-t2), donde t es el tiempo en años.
Si la máxima cantidad de peces se proyecta para 8 años y medio
después del estudio, ¿cuántos peces tendrá el lago en esta fecha?.
¿Cuál es la situación después de 18 años y medio del estudio y que
se podría afirmar 3 meses más tarde de esta fecha?.
SOLCION:
 F=1000(30+17t-t2) t=102 meses.
>> syms t
>> t=102
t =
102
>> F=1000*(30+17*t-t^2)
F =
-8640000
 F=1000(30+17t-t2) t=225 meses.

29. 28EXPRESIONES SIMBOLICAS
28
>> syms t
>> t=225
t =
225
>> F=1000*(30+17*t-t^2)
F =
-46770000