Se explicará a profundidad el tema de ecuaciones cuadráticas.

1.  MUNAYCO MORÁN YESICA
 MARTINEZ MEDINA HADDY

2. Una ecuación cuadrática de variable “x” es aquella que puede escribirse
en la forma:
Ejemplo: 2x2 – 7x + 3 = 0
( a = 2, b = 7, c = 3 )
ax2 + bx + c = 0
Donde: a, b y c son números reales (a  0).

3. FORMA COMPLETA FORMAS INCOMPLETAS
ax2 + bx = 0
Ejemplo:
3x2 – 2x = 0
ax2 + c = 0
Ejemplo:
2x2 – 32 = 0
Tenemos
ax2 + bx + c = 0
Ejemplo:
2x2 – 7x + 3 = 0
Tenemos

4. Las Ecuaciones cuadráticas completas constan de un término
cuadrático, un término lineal y un término independiente, adoptando la
forma:
Donde:
ax2 es el término cuadrático
bx es el término lineal
c es el término independiente
ax2 + bx + c = 0
Ejemplo: 3X2 - 3 X + 1= 0
FORMA COMPLETA

5.  Mixtas: cuando tienen término cuadrático y término lineal, no tienen
término independiente:
Las ecuaciones cuadráticas incompletas se clasifican en:
Puras: cuando no tienen término lineal, es decir tienen un término
cuadrático y el término independiente:
Ejemplo: 3X2 - 1= 0
Ejemplo: 3X2 - 2X= 0ax2 + bx = 0
ax2 + c = 0
FORMAS INCOMPLETAS

6. Ejercicio # 01:
Determina los valores de a, b, c.
Ecuación a b c
3X2-10= 0
2X2-7X= 0
X2-X-1= 0
X2 = 2X
3X2-5X= 0
X2-10= 0
4X2-10X+1= 0
Determinar cuáles de las
siguientes ecuaciones cuadráticas
son mixta, pura o completa.
Ecuación Tipo
3X2-3X+1=0
X2-1=0
3X2-10= 0
X2= 10
X(X + 2) = 0
X(X – 2) = 0
4(x – 2)

7. Ejemplo N°1: Resolver x2 - 7x + 12 = 0
Resolución:
x
x
(x  3)(x  4) = 0
Factorizando:
Entonces:
3x
4x
= 7x
x – 3 = 0 ó x – 4 = 0
x = 3 ó x = 4 Por tanto: C.S. = 3; 4
3
4
MÉTODO DE FACTORIZACIÓN
x2 7x + 12 = 0
Luego:
De donde:

8. Ejemplo N°2: Resolver 3x2 = 5x
Resolución:
Escribimos la ecuación de la forma:
3x2  5x = 0
Factorizamos “x”: x( 3x  5 ) = 0
Luego: x = 0 ó 3x  5 = 0
De donde: x = 0 ó x = 5/3
Por tanto: C.S. = 0; 5/3
OBSERVACIÓN IMPORTANTE: No simplifique una variable en la ecuación
original porque se pierde una solución.

9. Ejemplo N°3: Resolver (3x – 4)(x + 1) = – 2
Resolución:
Debemos expresar la ecuación en la forma: ax2 + bx + c = 0
(3x – 4)(x + 1) = – 2
Para ello efectuamos las operaciones de multiplicación
en el primer miembro:
Obtenemos: 3x2 + 3x – 4x – 4 = – 2
Reduciendo: 3x2 – x – 2 = 0
Entonces: (3x + 2)(x – 1) = 0
Luego: 3x + 2 = 0 ó x – 1 = 0
De donde: x = – 2/3 ó x = 1 C.S. =  –2/3; 1 
3x
x
2
– 1
2x
3x
= xFactorizando:

10. a2
ac4bb
x
2


Dada la ecuación: ax2 + bx + c = 0, sus raíces pueden calcularse mediante
la fórmula:
A la cantidad subradical: b2 – 4ac se le llama discriminante y se
representa por 
Es decir:
POR LA FÓRMULA GENERAL (DE CARNOT)
 = b2 – 4ac

11. La ecuación tiene dos raíces reales y diferentes.1. SI  > 0
Si el discriminante es positivo,
entonces la parábola intersecta
en dos puntos al eje X.

12. Ejemplo: Resolver 2x2 – 3x – 1 = 0
Resolución:
Identificamos los valores
de los coeficientes:
a = 2; b = – 3; c = –1
a2
ac4bb
x
2


Reemplazamos en:
)2(2
)1)(2(4)3()3( 2

x
Obtenemos:
4
173
x
4
173
x 21









 

4
173
;
4
173
.S.C
4
173
x


De donde:

13. La ecuación tiene raíces reales e iguales.
2. SI  = 0
Si el discriminante es igual a cero,
entonces la parábola intersecta en un
solo punto al eje X, es tangente a él.

14. Ejemplo: Resolver 4x2 – 12x + 9 = 0
Resolución:
Identificamos los valores de
los coeficientes:
a = 4; b = – 12; c = 9
a
acbb
x
2
42


Reemplazamos en:
)4(2
)9)(4(4)12()12( 2

x
Obtenemos:
8
012
x
8
012
x 21











2
3
.S.C
8
012 
x
De donde:

15. La ecuación tiene raíces complejas.
3. SI  < 0
Si el discriminante es negativo, entonces
la parábola NO intersecta al eje X.

16. Ejemplo: Resolver x2 + x + 1 = 0
Resolución:
Identificamos los valores
de los coeficientes:
a = 1; b = 1; c = 1
a
acbb
x
2
42


Reemplazamos en:
)1(2
)1)(1(4)1()1(
x
2


Obtenemos:
2
31
x


Por tanto: La ecuación no tiene solución en el conjunto de los números
reales ( sus soluciones son imaginarias )

17. Si x1 y x2 son las raíces de una ecuación de segundo grado de la forma
ax2 + bx + c = 0, entonces:
x1 + x2 =
−𝒃
𝐚
x1 - x2 =
∆
𝐚
1)
2)
3)
Dadas las raíces o soluciones de una ecuación de segundo grado, se
puede determinar la ecuación asociada a ellas.
(x – x1)(x – x2) = 0
4)x1 . x2 =
𝐜
𝐚
𝟏
x1
+
𝟏
x2
=
−𝒃
𝒄

18. Ejercicio:
1. Determinar, sin resolver las ecuaciones, el valor de la suma y del
producto de sus soluciones:
a = 2; b = 7; c = -15
a) 2x2 + 7x - 15 = 0
Suma de raíces:
Productos de raíces:
- 3,5
- 7,5

19. Cuando el precio de un producto es p dólares por unidad, suponga que un
fabricante suministrará 3p2 – 4p unidades del producto al mercado y que
los consumidores demandarán 24 – p2 unidades. Determine el valor de p
para que el mercado esté en equilibrio (oferta = demanda)
Datos:
Oferta = 3p2 – 4p
Demanda = 24 – p2
EQULIBRIO DE MERCADO

20. Simplificando: p2 – p – 6 = 0
Factorizando: (p – 3)(p + 2) = 0
Luego: p = 3 ó p = –2
Respuesta: Cuando el precio del producto sea de $3, el mercado estará
en equilibrio (no se toma en cuenta el otro valor pues no podemos
hablar de precio negativo).
Igualamos: 3p2 – 4p = 24 – p2
Luego: 4p2 – 4p – 24 = 0
Resolución
4p2 – 4p – 24 = 0

21. Una compañía determina que si se produce y vende q unidades de un
producto, el ingreso total por las ventas será de 3600q. Si el costo variable
4q2 – 1600q y el costo fijo de $ 1440000, determine los valores de q para
los que:
Ingreso total por ventas = costo variable + costo fijo (Esto es, utilidad cero)
Datos:
Costo variable = 4q2 – 1600q
Costo fijo = 1440000
NEGOCIOS
Ingreso total: 3600q

22. Resolución
3600q = 4q2 – 1600q + 1440000
Reduciendo:
Factorizando: (q – 900)(q – 400) = 0
Luego: q = 900 ó q = 400
Respuesta: Los valores de q son 400 ó 900.
COSTO TOTAL = COSTO FIJO + COSTO VARIABLE
q2 – 1300q + 360000 = 04q2 - 5200q + 1440000 = 0
Ordenando:

23. PROFESOR:
ALUMNAS:
Luis Enrique Eyzaguirre
Espino.
 Munayco Morán Yesica.
 Martinez Medina Haddy