Descargar para leer sin conexión
![Ejemplo 1...
...
y
:
que
significa
que
lo
,
,
,
,
k
C
C
r
k
r
k
C
r
r
x
C
C
r
k
r
k
x
C
r
r
x
x
C
x
C
r
k
r
k
x
C
r
r
x
x
C
x
C
r
n
r
n
x
C
r
r
x
x
C
x
C
r
n
r
n
x
C
x
C
r
n
x
C
r
n
r
n
x
C
x
C
r
n
x
C
r
n
r
n
x
C
x
C
r
n
x
C
r
n
r
n
x
y
y
xy
k
k
k
n
k
k
r
k
k
k
k
k
k
r
n
n
n
n
n
n
r
n
r
n
n
n
r
n
n
n
r
n
n
n
r
n
n
n
r
n
n
n
r
n
n
n
r
n
n
n
r
n
n
n
r
n
n
n
r
n
n
n
r
n
n
3
2
1
0
0
1
3
3
1
0
2
3
0
1
3
3
1
2
3
1
3
3
1
2
3
2
3
3
2
3
2
3
3
3
3
3
1
3
1
3
3
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
2
)
)(
(
)
(
]
]
)
)(
[(
)
(
[
]
)
)(
(
)
(
[
]
)
)(
(
)
(
[
)
)(
(
)
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
´
´´](https://image.slidesharecdn.com/seriedepotencias04-07-23-230828045349-3697dd25/85/serie-de-potencias-04-07-23-pptx-59-320.jpg)
![0
2
3
0
0
3
2
0
1
2
0
2
1
2
0
2
1
2
0
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
0
2
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
2
r
r
entonces
C
Como
r
r
C
rC
C
r
r
x
C
x
C
r
k
x
C
r
k
r
k
x
C
x
C
r
n
x
C
r
n
r
n
x
C
x
C
r
n
x
C
r
n
r
n
x
C
x
C
r
n
x
C
r
n
r
n
x
y
y
xy
indicial
Ecuación
k
r
k
k
r
k
k
k
r
k
k
k
n
k
n
r
n
n
n
k
n
r
n
n
n
k
n
r
n
n
n
r
n
n
n
r
n
n
n
r
n
n
n
r
n
n
n
r
n
n
n
r
n
n
,
:
)
(
]
)
(
[
)
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
´
´´
:
índices
los
igualar
para
sumatorias
primeras
dos
las
de
término
un
Tomando
:
ecuación
la
de
lados
ambos
x
por
ndo
Multiplica](https://image.slidesharecdn.com/seriedepotencias04-07-23-230828045349-3697dd25/85/serie-de-potencias-04-07-23-pptx-71-320.jpg)
![Ejemplo 3…
iguales.
reales
raíces
dos
Obtenemos
:
0
n
para
que
tenemos
x,
las
en
exponente
menor
de
sumatorias
las
Tomando
1
0
1
1
2
0
0
1
2
0
1
0
1
1
1
2
1
2
2
0
2
0
0
0
0
0
1
0 0
2
1
0
1
0
0
1
3
2
0
2
3
2
3
r
r
r
r
r
r
entonces
C
Como
r
r
C
C
rC
C
r
r
x
C
x
C
r
n
x
C
r
n
x
C
r
n
r
n
x
C
x
x
C
r
n
x
x
x
C
r
n
r
n
x
xy
y
x
x
y
x
indicial
Ecuación
n
r
n
n
n n
r
n
n
r
n
n
n
r
n
n
n
r
n
n
n
r
n
n
n
r
n
n
)
(
:
)
(
]
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
)
(
)
(
)
)(
(
´
)
(
´´
](https://image.slidesharecdn.com/seriedepotencias04-07-23-230828045349-3697dd25/85/serie-de-potencias-04-07-23-pptx-77-320.jpg)
serie de potencias 04-07-23.pptx
- 1. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALESLINEALES MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS
- 4. Serie de potencias •Introducción y repaso de serie de potencias • Serie de potencias de funciones elementales • Serie de potencias en puntos ordinarios y en puntos singulares
- 5. Teoría elemental deserie de potencias • Una serie de potencias de 𝑥 − 𝑥0 es una suma de infinitos términos de la forma 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0 𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 − 𝑥0 + 𝑎2 𝑥 − 𝑥0 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0 𝑛 + ⋯ Si 𝑥0 = 0, se tiene una serie de potencias de 𝑥 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 + ⋯ Es suficiente trabajar con serie de potencias en 𝑥, luego se generaliza para 𝑥 − 𝑥0 vía una traslación. • La serie de potencias 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛𝑥𝑛 Se dice que es convergente si la suma es una función real 𝑓(𝑥) en algún intervalo de la forma 𝑥 < 𝑅. En este se dice la función 𝑓 admite un desarrollo en serie de potencias de 𝑥.
- 6. Serie de potenciasde funciones elementales Función Serie de potencias 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑛=0 ∞ 𝑥𝑛 𝑛! = 1 + 𝑥 + 𝑥2 2 + 𝑥3 3! + ⋯ 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 𝑛=0 ∞ −1 𝑛𝑥2𝑛 2𝑛 ! = 1 − 𝑥2 2! + 𝑥4 4! + ⋯ 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 𝑛=0 ∞ −1 𝑛 𝑥2𝑛+1 2𝑛 + 1 ! = 𝑥 − 𝑥3 3! + 𝑥5 5! + ⋯ 𝑓 𝑥 = cosh 𝑥 𝑛=0 ∞ 𝑥2𝑛 2𝑛 ! = 1 + 𝑥2 2! + 𝑥4 4! + ⋯ 𝑓 𝑥 = sinh 𝑥 𝑛=0 ∞ 𝑥2𝑛+1 2𝑛 + 1 ! = 1 + 𝑥3 3! + 𝑥4 4! + ⋯ 𝑓 𝑥 = ln(𝑥 + 1) 𝑛=0 ∞ −1 𝑛+1 𝑥𝑛 𝑛 = 1 − 𝑥2 2 + 𝑥3 3 − ⋯
- 7. Serie de Taylory de Maclaurin • Serie de Taylor La serie de Taylor centrada en 𝑥0 de la función 𝑓 es la serie de potencia 𝑛=0 ∞ 𝑓(𝑛) (𝑥0) 𝑛! 𝑥 − 𝑥0 𝑛 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓′′ (𝑥0) 2! 𝑥 − 𝑥0 2 + ⋯ La función 𝑓 es infinitamente diferenciable en 𝑥0. • Serie de Maclaurin La serie de Maclaurin se obtiene cuando 𝑥0 = 0 𝑛=0 ∞ 𝑓(𝑛) (0) 𝑛! 𝑥𝑛 = 𝑓 0 + 𝑓′ 0 𝑥 + 𝑓′′ (0) 2! 𝑥2 + 𝑓′′ ′(0) 3! 𝑥3 + ⋯
- 8. Derivada de seriesde potencia • Si la representación en serie de potencias 𝑓 𝑥 = 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 + ⋯ Converge en 𝑥 < 𝑅, entonces 𝑓 es diferenciable y 𝑓′ 𝑥 = 𝑛=1 ∞ 𝑛𝑎𝑛𝑥𝑛−1 = 𝑎1 + 2𝑎2𝑥 + 3𝑎3𝑥2 + ⋯ 𝑓′′ 𝑥 = 𝑛=2 ∞ 𝑛(𝑛 − 1)𝑎𝑛𝑥𝑛−2 𝑓′′′ 𝑥 = 𝑛=3 ∞ 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)𝑎𝑛𝑥𝑛−3 ⋮
- 12. Solución de EDOLusando series Teorema. Sea la ecuación ordinaria lineal 𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑛𝑦 𝑑𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑑𝑛−1𝑦 𝑑𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑎0 𝑥 𝑦 = ℎ(𝑥) Donde 𝑎𝑛 𝑥 , ⋯ , 𝑎𝑜 𝑥 , ℎ(𝑥) son analíticas en 𝑥 < 𝑅, entonces la solución también es analítica en 𝑥 < 𝑅. Es decir, 𝑦 = 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛𝑥𝑛
- 13. Considere el problemade valor inicial (*) 𝑃 𝑥 𝑦′′ + 𝑄 𝑥 𝑦′ + 𝑅 𝑥 𝑦 = 𝑆(𝑥) 𝑦 𝑥0 = 𝑦0 𝑦′ 𝑥0 = 𝑦1 ¿ Qué es una solución del PVI dado? donde 𝑃 𝑥 , 𝑄 𝑥 , 𝑅 𝑥 y 𝑆(𝑥) son funciones continua en un intervalo abierto 𝐼 que contiene a 𝑥0. 𝑥0 . . 𝐼 Una solución de (*) es una función 𝑦 = 𝑦(𝑥) continua en el intervalo 𝐼 que satisface la ecuación diferencial y las condiciones iniciales
- 14. Las funciones continuassobre un intervalo se pueden representar en la forma de sumas de infinitos términos las cuales son llamadas series. Sin embargo, esta representación no siempre se puede hacer en todo el intervalo 𝐼, sino en un intervalo, digamos 𝐽 ⊂ 𝐼, el cual es llamado intervalo de convergencia de la serie de manera que 𝑥0 es el centro de 𝐽.
- 15. Repaso de Seriesde Potencias Recuerda de cálculo que una serie de potencias en (x – 𝑥0) es una serie de la forma 𝑛=0 ∞ 𝑐𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑛 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 − 𝑎 + 𝑐2 𝑥 − 𝑎 2 + ⋯ Se dice que es una serie de potencias centrada en a= 𝑥0.
- 16. La serie converge siexiste el siguiente límite de las sumas parciales: Intervalo de convergencia Es el conjunto de números reales x o intervalo para los que la serie converge. lim 𝑁→∞ 𝑆𝑁 𝑥 = lim 𝑁→∞ 𝑛=0 𝑵 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑛 Radio de convergencia Si R es el radio de convergencia, la serie de potencias :converge para |x–a| < R y diverge para |x – a| > R. Si R = 0 la serie converge solo para x = a. Y si la serie converge para todo x, entonces escribimos R = ∞.
- 17. Convergencia absoluta Dentrode su intervalo de convergencia, una serie de potencias converge absolutamente. Es decir, la siguiente serie converge: 𝑛=0 ∞ 𝑐𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑛 Prueba de convergencia (criterio del cociente) Suponiendo 𝑐𝑛 ≠ 0 para todo n, y lim 𝑛→∞ 𝑐𝑛+1 𝑥−𝑎 𝑛+1 𝑐𝑛 𝑥−𝑎 𝑛 = 𝑥 − 𝑎 lim 𝑛→∞ 𝑐𝑛+1 𝑐𝑛 =𝐿 Si L < 1, la serie converge absolutamente; si L > 1, la serie diverge; y si L = 1, el criterio no es concluyente.
- 27. Se dice queun punto 𝑥0 es un punto ordinario o regular de la ED si P(x) y Q(x) son analíticas en 𝑥0; es decir si admiten desarrollos en serie de potencias alrededor de 𝑥0. Un punto que no es un punto ordinario es un punto singular. • Supongamos la ED lineal :𝑎2 𝑥 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑥 𝑦′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 0 que podemos escribir como: 𝑦′′ + 𝑃 𝑥 𝑦′ + 𝑄 𝑥 𝑦 = 0 Definición Si P(x) y Q(x) son cocientes de polinomios: P(x) = 𝑎1(x)/ 𝑎2(x), Q(x) = 𝑎0 (x)/ 𝑎2(x), entonces x = 𝑥0 es un punto ordinario de nuestra ecuación simplemente si 𝑎2(𝑥0 ) ≠ 0.
- 28. Dado el problemade valor inicial 𝑃 𝑥 𝑦′′ + 𝑄 𝑥 𝑦′ + 𝑅 𝑥 𝑦 = 𝑆(𝑥) 𝑦 𝑥0 = 𝑦0 𝑦′ 𝑥0 = 𝑦1 a)Un número real 𝑐 es llamado un punto ordinario si 𝑃(𝑐) ≠ 0. b) Un número real 𝑐 es llamado un punto singular si 𝑃 𝑐 = 0 donde 𝑃 𝑥 , 𝑄 𝑥 y 𝑅 𝑥 son polinomios que no tienen factores comunes.
- 29. TEOREMA 1 (Existenciade soluciones en series de potencias) Si x = 𝑥0 es un punto ordinario o regular, siempre es posible hallar dos soluciones linealmente independientes en forma de series de potencias centradas en 𝑥0 : 𝑛=0 ∞ 𝑐𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑛 = 𝑐0 Cada una de las dos soluciones linealmente independientes en serie de potencias convergerá por lo menos dentro del intervalo definido por |x–𝑥0 | < R, donde R es la distancia desde 𝑥0 hasta el punto singular más próximo de la EDO. Soluciones respecto a puntos ordinarios
- 30. Teorema 1 EXISTENCIADE LAS SOLUCIONES EN FORMA DE SERIE DE POTENCIAS a) Si x = x0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial anterior, siempre se pueden determinar dos soluciones linealmente independientes en forma de serie de potencias centradas en x0. (*) 𝑃 𝑥 𝑦′′ + 𝑄 𝑥 𝑦′ + 𝑅 𝑥 𝑦 = 𝑆(𝑥) 𝑦 𝑥0 = 𝑦0 𝑦′ 𝑥0 = 𝑦1 𝑦 = 𝑦 𝑥 = 𝑛=0 ∞ 𝑐𝑛 𝑥 − 𝑥0 𝑛
- 31. Teorema 1 EXISTENCIADE LAS SOLUCIONES EN FORMA DE SERIE DE POTENCIAS (*) 𝑃 𝑥 𝑦′′ + 𝑄 𝑥 𝑦′ + 𝑅 𝑥 𝑦 = 𝑆(𝑥) 𝑦 𝑥0 = 𝑦0 𝑦′ 𝑥0 = 𝑦1 𝑦 = 𝑦 𝑥 = 𝑛=0 ∞ 𝑐𝑛 𝑥 − 𝑥0 𝑛 b) Tal representación en forma de serie ( se dice que la serie de potencias es convergente) es válida el intervalo 𝐼𝐶 dado por 𝐼𝐶 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 − 𝑥0 < 𝑅 = 𝑥0 − 𝑅; 𝑥0 + 𝑅 𝐼𝐶 es llamado el intervalo de convergencia de la serie de potencias. R es la distancia de x0 al punto singular (real o complejo) más próximo.
- 32. Teorema 2 Si 𝑦= 𝑦(𝑥) es una solución del PVI (*) que es infinitamente derivable, entonces (*) 𝑃 𝑥 𝑦′′ + 𝑄 𝑥 𝑦′ + 𝑅 𝑥 𝑦 = 𝑆(𝑥) 𝑦 𝑥0 = 𝑦0 𝑦′ 𝑥0 = 𝑦1 Dado el problema de valor inicial 𝑦 = 𝑦 𝑥 = 𝑛=0 ∞ 𝑦(𝑛) 𝑥0 𝑛! ∙ 𝑥 − 𝑥0 𝑛
- 33. Ejemplo 1 Dadoel problema de valor inicial (*) 9𝑥2 − 3𝑥 − 10 𝑦′′ + 𝑥2 + 𝑥 𝑦′ + 2𝑥 − 1 𝑦 = 0 𝑦 1 = −2 𝑦′ 1 = 5 a) Determine la solución de (*) en serie de potencias alrededor de 𝑥0 = 1 hasta el cuarto término no nulo. b) Determine el radio e intervalo de convergencia.
- 34. Solución a) La soluciónde (*) en serie de potencias alrededor de 𝑥0 = 1 hasta el cuarto término no nulo está dada por 𝑦 = 𝒚 𝟏 + 𝒚′ 𝟏 𝑥 − 1 + 𝒚′′ 𝟏 𝟐! 𝑥 − 1 2 + 𝒚′′′ 𝟏 𝟑! 𝑥 − 1 3 … . . (∗∗ Por dato, 𝒚 𝟏 = −𝟐 e 𝒚′ 𝟏 = 𝟓. Para calcular 𝑦′′ 1 , reemplazamos 𝑥 = 1 en la ecuación diferencial de (*): −4 𝑦′′ 1 + 2𝑦′ 1 + 𝑦 1 = 0 ⟹ 𝒚′′ 𝟏 = 𝟐 9𝑥2 − 3𝑥 − 10 𝑦′′ + 𝑥2 + 𝑥 𝑦′ + 2𝑥 − 1 𝑦 = 0
- 35. Ejemplo 1 Dadoel problema de valor inicial (*) 9𝑥2 − 3𝑥 − 10 𝑦′′ + 𝑥2 + 𝑥 𝑦′ + 2𝑥 − 1 𝑦 = 0 𝑦 1 = −2 𝑦′ 1 = 5 Ahora derivamos la EDO de (*) con respecto a 𝑥: 18𝑥 − 3 𝑦′′ + 9𝑥2 − 3𝑥 − 10 𝑦′′′ + 2𝑥 + 1 𝑦′ + 𝑥2 + 𝑥 𝑦′′ + 2𝑦 + 2𝑥 − 1 𝑦′ = 0 es decir, 9𝑥2 − 3𝑥 − 10 𝑦′′′ + 𝑥2 + 19𝑥 − 3 𝑦′′ + 4𝑥 𝑦′ + 2𝑦 = 0
- 36. Ejemplo 1 Dadoel problema de valor inicial (*) 9𝑥2 − 3𝑥 − 10 𝑦′′ + 𝑥2 + 𝑥 𝑦′ + 2𝑥 − 1 𝑦 = 0 𝑦 1 = −2 𝑦′ 1 = 5 Al reemplazar 𝑥 = 1 en la última ecuación −4𝑦′′′ 1 + 17𝑦′′ 1 + 4𝑦′ 1 + 2𝑦 1 = 0 ⟹ 𝒚′′′ 𝟏 = 𝟐𝟓 𝟐 Luego, la solución pedida es 𝑦 = −𝟐 + 𝟓 𝑥 − 1 + 𝟐 𝟐! 𝑥 − 1 2 + 𝟐𝟓 𝟐 𝟑! 𝑥 − 1 3 ⟹ 𝑦 = −𝟐 + 𝟓 𝑥 − 1 + 𝟏 𝑥 − 1 2 + 𝟐𝟓 𝟏𝟐 𝑥 − 1 3
- 37. Ejemplo 1 Dadoel problema de valor inicial (*) 9𝑥2 − 3𝑥 − 10 𝑦′′ + 𝑥2 + 𝑥 𝑦′ + 2𝑥 − 1 𝑦 = 0 𝑦 1 = −2 𝑦′ 1 = 5 b) Para hallar el radio de convergencia: 9𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0 ⇒ 𝑥1 = 3 − 369 18 ≈ −0.9005220706, 𝑥2 = 3+ 369 18 ≈ 1.23385404 𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟏
- 38. Ejemplo 1 Dadoel problema de valor inicial (*) 9𝑥2 − 3𝑥 − 10 𝑦′′ + 𝑥2 + 𝑥 𝑦′ + 2𝑥 − 1 𝑦 = 0 𝑦 1 = −2 𝑦′ 1 = 5 𝑥1 = 3− 369 18 ≈ −0.9005220706, 𝑥2 = 3+ 369 18 ≈ 1.23385404 𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟏 El radio y el intervalo de convergencia son 𝑟 = 𝑥2 − 1 = 369 − 15 18 ≈ 0.067187373 , 𝐼𝐶 = 36 − 369 18 ; 369 18 = 0.932812627 ; 1.067187373
- 39. Ejemplo 2 Dadoel problema de valor inicial (*) 𝑥2 − 7𝑥 + 6 𝑦′′ + 2𝑥 − 1 𝑦′ + 𝑥 + 1 𝑦 = 𝑥2 + 4 𝑦 2 = 1 𝑦′ 2 = −1 a) Determine la solución de (*) en serie de potencias alrededor de 𝑥0 =2 hasta el cuarto término no nulo. b) Determine el radio e intervalo de convergencia.
- 40. Solución a) La soluciónde (*) en serie de potencias alrededor de 𝑥0 =2 hasta el cuarto término no nulo está dada por 𝑦 = 𝒚 𝟐 + 𝒚′ 𝟐 𝑥 − 2 + 𝒚′′ 𝟐 𝟐! 𝑥 − 2 2 + 𝒚′′′ 𝟐 𝟑! 𝑥 − 2 3 … . . (∗∗ Por dato, 𝒚 𝟐 = 1 e 𝒚′ 𝟐 = −1. Para calcular 𝑦′′ 2 , reemplazamos 𝑥 =2 en la ecuación diferencial de (*): −4 𝑦′′ 2 + 3𝑦′ 2 + 3𝑦 2 = 8 ⟹ 𝒚′′ 𝟐 = −𝟐
- 41. Ejemplo 2 Dadoel problema de valor inicial (*) 𝑥2 − 7𝑥 + 6 𝑦′′ + 2𝑥 − 1 𝑦′ + 𝑥 + 1 𝑦 = 𝑥2 + 4 𝑦 2 = 1 𝑦′ 2 = −1 Ahora derivamos la EDO de (*) con respecto a 𝑥: 𝑥2 − 7𝑥 + 6 𝑦′′′ + 4𝑥 − 8 𝑦′′ + 𝑥 + 3 𝑦′ + 𝑦 = 2x Al reemplazar 𝑥 = 1 en la última ecuación −4𝑦′′′ 2 + 0 𝑦′′ 2 + 5𝑦′ 2 + 𝑦 2 = 4 ⟹ 𝒚′′′ 𝟐 = −𝟐
- 42. Luego, la soluciónpedida es 𝑦 = 1 + (−𝟏) 𝑥 − 2 + −𝟐 𝟐! 𝑥 − 2 2 + −𝟐 𝟑! 𝑥 − 2 3 ⟹ 𝑦 = 𝟏 + −𝟏 𝑥 − 2 + −𝟏 𝑥 − 2 2 − 𝟏 𝟔 𝑥 − 2 3 b) Para hallar el radio de convergencia: 𝑥2 − 7𝑥 + 6 = 0 ⇒ 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 6 2 𝒙𝟐 𝒙𝟏 El radio y el intervalo de convergencia son 𝑟 = 1 𝐼𝐶 = 1; 3
- 50. Usar series depotencias para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas • El estudiante debe adquirir la competencia de resolver EDOL no homogéneas usando serie de potencias
- 51. Método de coeficientesindeterminados de series Sea la ecuación de la forma 𝑎2 𝑥 𝑑2𝑦 𝑑𝑥 + 𝑎1 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑎0 𝑥 𝑦 = ℎ(𝑥) Donde 𝑎2 𝑥 , 𝑎1 𝑥 , 𝑎0 𝑥 y ℎ(𝑥) son analíticas en un intervalo de la forma 𝑥 − 𝑥0 < 𝑅, la solución es de la forma 𝑦 = 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0 𝑛 ≈ 𝑐1𝑦1 + 𝑐2𝑦2 + 𝑦𝑝 Haciendo el cambio 𝑧 = 𝑥 − 𝑥0 se puede considerar 𝑦 = 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛𝑧𝑛 = 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛𝑥𝑛
- 52. Ejemplo. Encuentre lasolución del PVI 𝑦′′ + 𝑥2 𝑦 = sin 𝑥 , 𝑦 0 = 0, 𝑦′ 0 = 0 Usamos serie de potencias alrededor de 𝒙𝟎 = 𝟎 𝒚 = 𝒏=𝟎 ∞ 𝒂𝒏𝒙𝒏 , 𝒚′ = 𝒏=𝟏 ∞ 𝒏𝒂𝒏𝒙𝒏−𝟏 , 𝒚′′ = 𝒏=𝟐 ∞ 𝒏(𝒏 − 𝟏)𝒂𝒏𝒙𝒏−𝟐 Reemplazando en la ecuación se tiene 𝒚′′ + 𝒙𝟐 𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒏=𝟐 ∞ 𝒏(𝒏 − 𝟏)𝒂𝒏𝒙𝒏−𝟐 + 𝒙𝟐 𝒏=𝟎 ∞ 𝒂𝒏𝒙𝒏 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒏=𝟐 ∞ 𝒏(𝒏 − 𝟏)𝒂𝒏𝒙𝒏−𝟐 + 𝒏=𝟎 ∞ 𝒂𝒏𝒙𝒏+𝟐 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒏=𝟎 ∞ (𝒏 + 𝟐)(𝒏 + 𝟏)𝒂𝒏+𝟐𝒙𝒏 + 𝒏=𝟐 ∞ 𝒂𝒏−𝟐𝒙𝒏 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙
- 53. Desplazando hasta 𝒏= 𝟐 se tiene 𝟐𝒂𝟐 + 𝟔𝒂𝟑𝒙 + 𝒏=𝟐 ∞ (𝒏 + 𝟐)(𝒏 + 𝟏)𝒂𝒏+𝟐𝒙𝒏 + 𝒏=𝟐 ∞ 𝒂𝒏−𝟐𝒙𝒏 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝟐𝒂𝟐 + 𝟔𝒂𝟑𝒙 + 𝒏=𝟐 ∞ 𝒏 + 𝟐 𝒏 + 𝟏 𝒂𝒏+𝟐 +𝒂𝒏−𝟐 𝒙𝒏 = 𝒙 − 𝒙𝟑 𝟑! + 𝒙𝟓 𝟓! + ⋯ Igualando coeficientes se tiene 𝟐𝒂𝟐 = 𝟎, 𝟔𝒂𝟑 = 𝟏. Dando valores a 𝒏 𝒏 = 𝟐 ⟹ 𝟏𝟐𝒂𝟒 + 𝒂𝟎 = 𝟎 ⟹ 𝒂𝟒 = − 𝟏 𝟏𝟐 𝒂𝟎 𝒏 = 𝟑 ⟹ 𝟐𝟎𝒂𝟓 + 𝒂𝟏 = − 𝟏 𝟑! ⟹ 𝒂𝟓 = − 𝟏 𝟐𝟎 𝒂𝟏 − 𝟏 𝟏𝟐𝟎 𝒏 = 𝟒 ⟹ 𝟑𝟎𝒂𝟔 + 𝒂𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝒂𝟔 = 𝟎 𝒏 = 𝟓 ⟹ 𝟒𝟐𝒂𝟕 + 𝒂𝟑 = 𝟏 𝟓! ⟹ 𝒂𝟕 = 𝟏 𝟒𝟐 × 𝟓! − 𝟏 𝟒𝟐 × 𝟔 Reemplazando los valores se tiene 𝒚 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝟑𝒙𝟑 + ⋯ 𝒚 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒙 + 𝟏 𝟔 𝒙𝟑 − 𝟏 𝟏𝟐 𝒂𝟎𝒙𝟒 + − 𝟏 𝟐𝟎 𝒂𝟏 + 𝟏 𝟏𝟐𝟎 𝒙𝟓 + 𝟏 𝟒𝟐 × 𝟓! − 𝟏 𝟒𝟐 × 𝟔 𝒙𝟕 + ⋯ 𝒚 𝟎 = 𝟎 ⟹ 𝟎 = 𝒂𝟎 𝒚′ = 𝒂𝟏 + 𝟏 𝟐 𝒙𝟐 + ⋯ , 𝒚′ 𝟎 = 𝟎 ⟹ 𝟎 = 𝒂𝟏 𝒚 = 𝟏 𝟔 𝒙𝟑 + 𝟏 𝟏𝟐𝟎 𝒙𝟓 + ⋯
- 54. HALLAR LA SOLUCIÓNGENERAL DE LAS SIGUIENTES ECUACIONES 1. 𝑥2 − 1 𝑦′′ + 4𝑥𝑦′ + 2𝑦 = 0 2. 𝑥2 + 2 𝑦′′ + 4𝑥𝑦′ + 2𝑦 = 0 3. 𝑦′′ + 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 0 4. 𝑥2 + 1 𝑦′′ + 6𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 0 5. 𝑥2 − 3 𝑦′′ + 2𝑥𝑦′ = 0 6. 𝑥2 − 1 𝑦′′ − 6𝑥𝑦′ + 12𝑦 = 0 7. 𝑥2 + 3 𝑦′′ − 7𝑥𝑦′ + 16𝑦 = 0 8. 2 − 𝑥2 𝑦′′ − 𝑥𝑦′ + 16𝑦 = 0 9. 𝑥2 − 1 𝑦′′ + 8𝑥𝑦′ + 12𝑦 = 0 10. 3𝑦′′ + 𝑥𝑦′ − 4𝑦 = 0 RESOLVER LOS PVI 11. 𝑥2 + 1 𝑦′′ + 2𝑥𝑦′ − 2𝑦 = 0, 𝑦 0 = 0, 𝑦′ 0 = 1 12. 𝑦′′ + 𝑥𝑦′ − 2𝑦 = 0, 𝑦 0 = 1, 𝑦′ 0 = 0 13. 𝑦′′ + 𝑥 − 1 𝑦′ + 𝑦 = 0, 𝑦 1 = 2, 𝑦′ 1 = 0 14. 2𝑥 − 𝑥2 𝑦′′ − 6(𝑥 − 1)𝑦′ − 4𝑦 = 0, 𝑦 1 = 0, 𝑦′ 1 = 1 Resolver las EDO de segundo orden 15. 𝑦′′ + 𝑒−𝑥𝑦 = 0 16. (cos 𝑥)𝑦′′+𝑦 = 0 17. 𝑥𝑦′′ + sin 𝑥 𝑦′ + 𝑥𝑦 = 0
- 55. Soluciones respecto apuntos singulares • Un punto singular x0 de una ecuación diferencial lineal se clasifica como regular o irregular. La clasificación depende de las funciones P(x) y Q(x) en la forma estándar • Se dice que un punto singular x0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial si ambas funciones: 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 𝑥0)𝑃(𝑥) 𝑦 𝑞(𝑥) = (𝑥 − 𝑥0)𝑄(𝑥) son analíticas en 𝑥0. Un punto que no es regular es un punto singular irregular de la ecuación. 0 0 1 2 y x a y x a y x a ) ( ´ ) ( ´´ ) ( . ) ( ´ ) ( ´´ 0 y x Q y x P y
- 56. Soluciones respecto apuntos singulares… •Teorema de Frobenius: Si x=x0 es un punto singular de la ecuación diferencial, entonces por lo menos existe una solución de la forma: • donde el número r es una constante por determinar. La serie converge por lo menos en algún intervalo 0<x-x0<R. 0 0 1 2 y x a y x a y x a ) ( ´ ) ( ´´ ) ( 0 0 0 n r n o n n n o n r x x C x x C x x y ) ( ) ( ) (
- 57. Soluciones respecto apuntos singulares… • En el teorema de Frobenius, las palabras por lo menos significa que no garantiza la posibilidad de hallar dos soluciones en serie del tipo indicado. • El método de Frobenius es similar al método de coeficientes indeterminados de series en la que se sustituye en la ecuación diferencial dada y se determinan los coeficientes desconocidos cn mediante una relación de recurrencia. Sin embargo, se tiene una tarea más en este procedimiento: antes de determinar los coeficientes, se debe encontrar el exponente desconocido r. Si se encuentra que r es un número que no es un entero negativo, entonces la solución de la correspondiente no es una serie de potencias. 0 n r n o n x x C y ) (
- 58. Ejemplo 1 • Resuelvala ED 3𝑥𝑦´´ + 𝑦´ − 𝑦 = 0 Debido a que 𝑥 = 0 es un punto singular de la ecuación diferencial, se intenta encontrar una solución de la forma: Con ella: 0 n r n n x C y 0 2 0 1 1 n r n n n r n n x C r n r n y x C r n y ) )( ( ´´ ) ( ´ y
- 59.
- 60. Ejemplo 1... , ... , , , k k k C C r ,... , , , k k k C C r r r r r k r k C C r r r r r C k k k k k k 3 2 1 0 1 3 1 0 3 2 1 0 1 5 3 3 2 0 2 3 1 3 3 1 0 3 2 0 2 3 1 1 1 1 1 2 1 0 : diferentes a recurrenci de ecuaciones dos obtienen se ecuación la satisfacen que de valores dos los en sustituye se Cuando y : son ecuación la satisfacen que de valores dos Los : tener debe se entonces 0, haciendo nada gana se no que a Debido ) )( ( , ) )( ( , / ) ( ) )( ( / ) (
- 61. Ejemplo 1... , ... , , , k k k C C r ,... , , , k k k C C r r r r r k r k C C r r r r r C k k k k k k 3 2 1 0 1 3 1 0 3 2 1 0 1 5 3 3 2 0 2 3 1 3 3 1 0 3 2 0 2 3 1 1 1 1 1 2 1 0 : diferentes a recurrenci de ecuaciones dos obtienen se ecuación la satisfacen que de valores dos los en sustituye se Cuando y : son ecuación la satisfacen que de valores dos Los : tener debe se entonces 0, haciendo nada gana se no que a Debido ) )( ( , ) )( ( , / ) ( ) )( ( / ) (
- 62.
- 63. Ejemplo 1… • Aquíse encuentra algo que no sucedió cuando se obtuvieron soluciones respecto a un punto ordinario; se tiene lo que parecen ser dos conjuntos de coeficientes diferentes, pero cada conjunto contiene al mismo múltiplo C0. Si se omite este término, las soluciones en serie son: n n n n x n n x x y x n n x x y 1 0 2 1 3 2 1 2 3 7 4 1 1 1 2 3 11 8 5 1 1 ) ( * * * * ) !* ( ) ( ) ( * * * * ) !* ( ) ( /
- 64. Ejemplo 1… • Esevidente que ninguna de estas soluciones es múltiplo de la otra y por lo tanto 𝑦1 𝑦 𝑦2 son linealmente independientes, así por el principio de superposición 𝑦 = 𝑐1𝑦1 + 𝑐2𝑦2 , así, la solución general de la ecuación diferencial es: n n n n x n n x c x n n x c y 1 0 2 1 3 2 1 2 3 7 4 1 1 1 2 3 11 8 5 1 1 ) ( * * * * ) !* ( ) ( * * * * ) !* ( /
- 65. Ecuación indicial • Enla ecuación diferencial anterior, el término: r(3r-2) de denomina “ecuación indicial” y r=2/3 y r=0 se llaman “raíces indiciales” o exponentes de la singularidad x=0.
- 66. Tres casos posibles •Al utilizar el método de Frobenuis para resolver la ecuación diferencial de segundo orden se distinguen tres casos que corresponden a la naturaleza de las raíces indiciales r1 y r2. • r1 y r2 son reales y la diferencia r1 - r2 no es un entero positivo. • r1 y r2 son reales y la diferencia r1 - r2 es un entero positivo. • r1 y r2 son reales e iguales. 0 0 1 2 y x a y x a y x a ) ( ´ ) ( ´´ ) (
- 67. CASO I • Sir1 y r2 son reales y la diferencia r1 - r2 no es un entero positivo. • En este caso existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de la forma: 0 0 1 2 y x a y x a y x a ) ( ´ ) ( ´´ ) ( 0 0 0 0 2 0 0 1 2 1 b x b x y c x c x y r n n n r n n n ) ( ) (
- 68. CASO II • Sir1 y r2 son reales y la diferencia r1 - r2 es un entero positivo. En este caso existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de la forma: • Donde C es una constante que podría ser cero. 0 0 1 2 y x a y x a y x a ) ( ´ ) ( ´´ ) ( 0 0 0 0 1 2 0 0 1 2 1 b x b x x Cy x y c x c x y r n n n r n n n ln ) ( ) ( ) (
- 69. CASO III • Sir1 y r2 son reales e iguales. En este caso existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de la forma: 0 0 1 2 y x a y x a y x a ) ( ´ ) ( ´´ ) ( r n n n r n n n x b x x y x y c x c x y 1 1 2 0 0 1 0 ln ) ( ) ( ) (
- 70. Ejemplo 2 • Encontrarla solución general de la ecuación: 2𝑥𝑦´´ − 𝑦´ + 2𝑦 = 0 Partiendo de la sustitución de • en la ecuación diferencial, tenemos: 0 n r n n x C y 0 2 0 1 1 n r n n n r n n x C r n r n y x C r n y ) )( ( ´´ ) ( ´ y
- 71. 0 2 3 0 0 3 2 0 1 2 0 2 1 2 0 2 1 2 0 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 0 2 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 2 r r entonces C Como r r C rC C r r x C x C r k x C r k r k x C x C r n x C r n r n x C x C r n x C r n r n x C x C r n x C r n r n x y y xy indicial Ecuación k r k k r k k k r k k k n k n r n n n k n r n n n k n r n n n r n n n r n n n r n n n r n n n r n n n r n n , : ) ( ] ) ( [ ) ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( ) )( ( ´ ´´ : índices los igualar para sumatorias primeras dos las de término un Tomando : ecuación la de lados ambos x por ndo Multiplica
- 72. Ejemplo 2… Como lasraíces no difieren en un entero (Caso I) la soluciones deben ser de la forma: La ecuación de recurrencia para k=1,2,3,… es: 0 0 0 0 2 0 0 1 2 1 b x b x y c x c x y r n n n r n n n ) ( ) ( ) )( ( 3 2 2 2 1 r k r k C C k k
- 73.
- 74.
- 75.
- 76. Ejemplo 3 • Encontrarla solución general de la ecuación: 𝑥3𝑦´´ − 𝑥2(1 + 𝑥)𝑦´ + 𝑥𝑦 = 0 • Partiendo de la sustitución de en la ecuación diferencial, tenemos: 0 n r n n x C y 0 2 0 1 1 n r n n n r n n x C r n r n y x C r n y ) )( ( ´´ ) ( ´ y
- 77. Ejemplo 3… iguales. reales raíces dos Obtenemos : 0 n para que tenemos x, las en exponente menor de sumatorias las Tomando 1 0 1 1 2 0 0 1 2 0 1 0 1 1 1 2 1 2 2 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 2 1 0 1 0 0 1 3 2 0 2 3 2 3 r r r r r r entonces C Como r r C C rC C r r x C x C r n x C r n x C r n r n x C x x C r n x x x C r n r n x xy y x x y x indicial Ecuación n r n n n n r n n r n n n r n n n r n n n r n n n r n n ) ( : ) ( ] ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) )( ( ´ ) ( ´´
- 78. Ejemplo 3… Como lasraíces son reales e iguales (Caso III) la soluciones deben ser de la forma: La ecuación de recurrencia con r=1 para los valores de k=2,3,4,… es: 1 2 1 k C C k k r n n n r n n n x b x x y x y c x c x y 1 1 2 0 0 1 0 ln ) ( ) ( ) (
- 79.
- 80. Ejemplo 3… • Paraencontrar y2, utilizaremos: Con: dx y e x y y Pdx 2 1 1 2 ) ( 1 1 1 1 3 2 1 x x x x x x x P y xe y x ) ( ) ( ) (
- 81.
- 82. Ejemplo 4 • Encontrarla solución general de la ecuación: 𝑦´´ + 2𝑦´ + 𝑥𝑦 = 0 • Partiendo de la sustitución de en la ecuación diferencial, tenemos: 0 n r n n x C y 0 2 0 1 1 n r n n n r n n x C r n r n y x C r n y ) )( ( ´´ ) ( ´ y
- 83.
- 84. Ejemplo 4… Como lasraíces son reales y la diferencia es un entero (Caso II) la soluciones deben ser de la forma: La ecuación de recurrencia para r=0 y los valores de k=2,3,4,… es: ya que para k=0 obtenemos la ecuación indicial y para k=1 C1=0. ) ( 1 2 k k C C k k 0 0 0 0 1 2 0 0 1 2 1 b x b x x Cy x y c x c x y r n n n r n n n ln ) ( ) ( ) (
- 85.
- 86.
- 87.
- 88. Usar series depotencias para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas • El estudiante debe adquirir la competencia de resolver EDOL no homogéneas usando serie de potencias
- 89. Método de coeficientesindeterminados de series Sea la ecuación de la forma 𝑎2 𝑥 𝑑2𝑦 𝑑𝑥 + 𝑎1 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑎0 𝑥 𝑦 = ℎ(𝑥) Donde 𝑎2 𝑥 , 𝑎1 𝑥 , 𝑎0 𝑥 y ℎ(𝑥) son analíticas en un intervalo de la forma 𝑥 − 𝑥0 < 𝑅, la solución es de la forma 𝑦 = 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0 𝑛 ≈ 𝑐1𝑦1 + 𝑐2𝑦2 + 𝑦𝑝 Haciendo el cambio 𝑧 = 𝑥 − 𝑥0 se puede considerar 𝑦 = 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛𝑧𝑛 = 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛𝑥𝑛
- 90. Ejemplo. Encuentre lasolución del PVI 𝑦′′ + 𝑥2𝑦 = sin 𝑥 , 𝑦 0 = 0, 𝑦′ 0 = 0 Usamos serie de potencias alrededor de 𝒙𝟎 = 𝟎 𝒚 = 𝒏=𝟎 ∞ 𝒂𝒏𝒙𝒏 , 𝒚′ = 𝒏=𝟏 ∞ 𝒏𝒂𝒏𝒙𝒏−𝟏 , 𝒚′′ = 𝒏=𝟐 ∞ 𝒏(𝒏 − 𝟏)𝒂𝒏𝒙𝒏−𝟐 Reemplazando en la ecuación se tiene 𝒚′′ + 𝒙𝟐 𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒏=𝟐 ∞ 𝒏(𝒏 − 𝟏)𝒂𝒏𝒙𝒏−𝟐 + 𝒙𝟐 𝒏=𝟎 ∞ 𝒂𝒏𝒙𝒏 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒏=𝟐 ∞ 𝒏(𝒏 − 𝟏)𝒂𝒏𝒙𝒏−𝟐 + 𝒏=𝟎 ∞ 𝒂𝒏𝒙𝒏+𝟐 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒏=𝟎 ∞ (𝒏 + 𝟐)(𝒏 + 𝟏)𝒂𝒏+𝟐𝒙𝒏 + 𝒏=𝟐 ∞ 𝒂𝒏−𝟐𝒙𝒏 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙
- 91. Desplazando hasta 𝒏= 𝟐 se tiene 𝟐𝒂𝟐 + 𝟔𝒂𝟑𝒙 + 𝒏=𝟐 ∞ (𝒏 + 𝟐)(𝒏 + 𝟏)𝒂𝒏+𝟐𝒙𝒏 + 𝒏=𝟐 ∞ 𝒂𝒏−𝟐𝒙𝒏 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝟐𝒂𝟐 + 𝟔𝒂𝟑𝒙 + 𝒏=𝟐 ∞ 𝒏 + 𝟐 𝒏 + 𝟏 𝒂𝒏+𝟐 +𝒂𝒏−𝟐 𝒙𝒏 = 𝒙 − 𝒙𝟑 𝟑! + 𝒙𝟓 𝟓! + ⋯ Igualando coeficientes se tiene 𝟐𝒂𝟐 = 𝟎, 𝟔𝒂𝟑 = 𝟏. Dando valores a 𝒏 𝒏 = 𝟐 ⟹ 𝟏𝟐𝒂𝟒 + 𝒂𝟎 = 𝟎 ⟹ 𝒂𝟒 = − 𝟏 𝟏𝟐 𝒂𝟎 𝒏 = 𝟑 ⟹ 𝟐𝟎𝒂𝟓 + 𝒂𝟏 = − 𝟏 𝟑! ⟹ 𝒂𝟓 = − 𝟏 𝟐𝟎 𝒂𝟏 − 𝟏 𝟏𝟐𝟎 𝒏 = 𝟒 ⟹ 𝟑𝟎𝒂𝟔 + 𝒂𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝒂𝟔 = 𝟎 𝒏 = 𝟓 ⟹ 𝟒𝟐𝒂𝟕 + 𝒂𝟑 = 𝟏 𝟓! ⟹ 𝒂𝟕 = 𝟏 𝟒𝟐 × 𝟓! − 𝟏 𝟒𝟐 × 𝟔 Reemplazando los valores se tiene 𝒚 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝟑𝒙𝟑 + ⋯ 𝒚 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒙 + 𝟏 𝟔 𝒙𝟑 − 𝟏 𝟏𝟐 𝒂𝟎𝒙𝟒 + − 𝟏 𝟐𝟎 𝒂𝟏 + 𝟏 𝟏𝟐𝟎 𝒙𝟓 + 𝟏 𝟒𝟐 × 𝟓! − 𝟏 𝟒𝟐 × 𝟔 𝒙𝟕 + ⋯ 𝒚 𝟎 = 𝟎 ⟹ 𝟎 = 𝒂𝟎 𝒚′ = 𝒂𝟏 + 𝟏 𝟐 𝒙𝟐 + ⋯ , 𝒚′ 𝟎 = 𝟎 ⟹ 𝟎 = 𝒂𝟏 𝒚 = 𝟏 𝟔 𝒙𝟑 + 𝟏 𝟏𝟐𝟎 𝒙𝟓 + ⋯
Notas del editor
- #51 Notas para el moderador: ¿Cuál es su propósito al compartir esta reflexión? ¿Es el final de un proyecto o unidad? ¿Está compartiendo esta reflexión como realización de un objetivo de aprendizaje que estableció para si mismo? ¿Es el final de un curso? Indique el propósito de su reflexión o incluso el propósito de la experiencia de aprendizaje o el objetivo de aprendizaje. Sea claro y específico al indicar su propósito.
- #89 Notas para el moderador: ¿Cuál es su propósito al compartir esta reflexión? ¿Es el final de un proyecto o unidad? ¿Está compartiendo esta reflexión como realización de un objetivo de aprendizaje que estableció para si mismo? ¿Es el final de un curso? Indique el propósito de su reflexión o incluso el propósito de la experiencia de aprendizaje o el objetivo de aprendizaje. Sea claro y específico al indicar su propósito.