Variacion de Parametros
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espero y les agrade.
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1) El documento habla sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden y cómo reducirlas a ecuaciones de primer orden. 2) Explica un método llamado reducción de orden que involucra sustituir una solución conocida de la ecuación de segundo orden para encontrar otra solución. 3) Presenta dos ejercicios como ejemplos de aplicar este método para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden.
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Este documento describe ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes. Explica que una ecuación diferencial es lineal cuando no contiene términos de grado superior al primero, y es homogénea si el término independiente es cero. Las soluciones de ecuaciones homogéneas lineales dependen de dos constantes arbitrarias según los teoremas presentados. Para ecuaciones no homogéneas, la solución general es la suma de la solución de la ecuación homogénea asociada y una solución particular de la ecu
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Variacion de Parametros
- 1. Método de Variación de Parámetros Por : Iván Gil Perales Gómez. Registro 811015 Gpo. B: 211
- 2. Este es un método general para determinar una solución particular de una ecuación diferencial lineal. Sin pérdida de generalidad, consideremos la ecuación lineal de segundo orden escrita como : El método consiste en buscar una solución de la forma : Donde y1y y2 son dos soluciones l.i. de la ecuación diferencial homogénea asociada, y u1 y u2son dos funciones a determinar de modo que sea una solución de y satisfagan una condición arbitraria , pero seleccionada de tal forma que se simplifiquen los cálculos. ;Podemos simplificar esta expresión, imponiendo a u1y u2 la condición de que: Derivando: En tal caso: y por consiguiente:
- 3. Sustituyendo las expresiones de yp,y´p,y´´pen , y usando el hecho de que y1y y2 son soluciones de la ecuación diferencial homogénea, resulta: Así, buscamos una solución particular de la forma : , con u1,u2funciones que satisfacen las ecuaciones: Resolviendo el sistema de ecuaciones (para las incógnitas u1 y u2 ,empleando la regla de Cramer. Obtenemos: Donde W(x) denota al wronskiano W(y1,y2)(x).
- 4. Finalmente, integrando las expresiones resulta : Sustituyendo en se obtiene la solución particular deseada. EJEMPLO 1. Resolver Deteminamos primero la solución general de la ecuación homogénea asociada A saber La ecuación característica de y sus raíces son r1= 1 + i y r2=1— i. En consecuencia: Denotemos por:
- 5. Luego tenemos: Buscamos una solución particular de la forma yp=u1y1 + u2y2 , donde las funciones u1y u2se calculan utilizando las ecuaciones: Se tiene que: y Luego: y por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial no homogénea está dada por :