El documento resume los teoremas de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales. El teorema de Picard-Lindelöf garantiza una solución única si las funciones son continuas. El teorema local de existencia y unicidad requiere que la función sea continua para garantizar una solución única expresada como una integral. La condición de Lipschitz también garantiza una solución única.

1. TEOREMAS DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

2. ADRIANA BERBESI RODRIGUEZ LIBARDO CARRASCAL EDGAR MARQUEZ DE AVILA DAYANA MONTERO LOZADA DELMIDES NAVARRO RANGEL MAILE NIETO MUÑOZ SAMIA PAYARES ARDILA VICTOR PEREZ MENDEZ ANDREA RODRIGUEZ

4. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIONES Para una gran clase de problemas de valor inicial, la existencia y unicidad de una solucion puede ser demostrado. El teorema de Picard-Lindelöf garantiza una solución única en el intervalo que contiene algunos t o si ƒ y sus derivadas parciales ∂ƒ/∂y son continuas en una región que contiene t o e y o . Una prueba de la edad de Picard-Lindelöf el teorema construye una secuencia de funciones que convergen a la solución integral de la ecuación, y por lo tanto. La solucion del problema de valor inicial. Dicha construcción a veces se denomina “el método de Picard” o “el método de aproximaciones sucesivas”.

6. EJEMPLO 1: Determine si existe una solución única para el problema de valor inicial SOLUCIÓN: Tenemos lo siguiente: y vemos que una complicación potencial surge para los puntos (x, y) para los cuales x 2 + y 2 = 9 . Supongamos que estamos alejados de tales puntos al escoger por ejemplo una región R dentro del círculo x 2 + y 2 = 8 (ver Figura), la cual incluye al punto (1,2) descrito por la condición inicial. Entonces, puesto que se cumplen las condiciones del teorema, podemos concluir que sí existe una solución única al problema de valor inicial. En otras palabras, existe una única curva solución C contenida en la región R que pasa por el punto (1,2) como se indica en la Figura.

7. PROBLEMA 2: Use el teorema de existencia-unicidad para determinar si existe una solución única para el problema de valor inicial siguiente: SOLUCIÓN: Tenemos lo siguiente: Así esperamos tener complicaciones en regiones que incluyan puntos donde y = 0 . Del teorema de existencia-unicidad no podemos garantizar la existencia o unicidad de una solución en tale? regiones. Probando y = 0 vemos que es una solución lo cual muestra que al menos una solución existe, pero no sabemos si es única.