Este documento describe los vectores y sus características en R2 y R3. Explica que un vector tiene una dirección y sentido. También define el módulo de un vector como la longitud del segmento y cómo calcularlo a partir de las coordenadas. Además, describe cómo representar puntos y vectores en R2 y R3 usando sistemas de coordenadas cartesianas y cómo calcular la suma y producto escalar de vectores. Por último, incluye ejemplos y ejercicios sobre vectores.

1. Neomar Salazar
C.I: 25.056.119
29 DE JUNIO DE 2014
VECTORES

2. VECTOR
Un vector fijo AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al
punto B (extremo).
CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR EN R2
Un vector tiene:
Una dirección:
La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de
cualquier recta paralela a ella.
Un sentido:
El sentido del vector

3. UN MÓDULO
El módulo del vector es la longitud del segmento AB, se representa por
El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero.
Módulo de un vector a partir de sus componentes

4. Módulo a partir de las coordenadas de los puntos
GRAFICA DE UN VECTOR EN R2.
En R2 el vector es de la forma (x1, x2)
En R2:
La suma de dos vectores se define por: sean a y b vectores en R2, entonces a + b = (a1,
a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2).
El producto escalar se define por: sea α Є R y a un vector en R2 , entonces αa = α(a1, a2) =
(α a1, α a2).

5. Veamos el significado geométrico de la suma de vectores y el producto escalar en R2.
GRÁFICO DE PUNTOS EN R3.
Los puntos en el espacio R3 pueden representarse de manera análoga a como selo hace
en el plano cartesiano. Para realizar esta representación escogemos tres rectas dirigidas
perpendiculares entre sí que se corten en un punto común del espacio, a estas rectas se
las conoce como: eje x, eje y, eje z, y el punto común de corte se le llama origen, como se
muestra en la figura 1-1
. Se define una escala adecuada sobre cada uno de los ejes y se representan los números
reales de la terna (x, y, z) de tal forma que el valor de x se lo representa sobre el eje x,
positivos adelante del origen y negativos atrás, el valor y, sobre el eje y, positivos a la
derecha del origen y negativos a la izquierda, el valor z, sobre el eje z, positivos arriba del
origen y negativos abajo es común llamar a este conjunto de ejes como Sistema de
Coordenadas Cartesianas en el Espacio, la característica de este sistema es que existe
una correspondencia biunívoca entre los puntos del espacio R3 Y la terna (x, y, z).

6. SISTEMA COORDENADO TRIDIMENSIONAL
La figura 1-2 Representa el gráfico de los puntos (2, -1, 5), (-2, 3, 6) y (3, 5, -4)
z, x, y

7. VECTOR EN EL ESPACIO
Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un
punto y su extremo en el otro
COMPONENTES DE UN VECTOR EN EL ESPACIO
Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes
del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen .

8. Ejemplo:
Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo de
vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).
MÓDULO DE UN VECTOR
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.
El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector
nulo tiene módulo cero.
Cálculo del módulo conociendo sus componentes

9. Ejemplo:
Dados los vectores hallar los módulos de
·
Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos
dichos puntos.
Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).

10. VECTOR UNITARIO
Un vector unitario tiene de módulo la unidad.
La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma
dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su
módulo.
EJERCICIOS EN R2
•Determinar si los vectores AB = (35, -21) y CD = (-10, 6) tienen la misma dirección. Calcular
el módulo de ambos vectores.
Para determinar si dos vectores tienen la misma dirección basta comprobar si sus
componentes son proporcionales.
El cociente de las primeras componentes es 35/-10 (7/-2) y el de las segundas -21/6 (-7/2),
por lo tanto los vectores tienen la misma dirección.
El módulo de los vectores es:
|AB| = (1225 + 441)^1/2 = (1666)^1/2
|CD| = (100 + 36)^1/2 = (136)^1/

11. •Un vector que va de A(3, 5) a B(x, y) representa al mismo vector que va de B(x, y) a
C(8, 1). Hallar B(x, y).
•
Sean: V = AB = B - A = (x, y) - (3, 5) = (x-3, y-5)
W = BC = C - B = (8, 1) - (x, y) = (8-x, 1-y)
Si V=W => (x-3, y-5) = (8-x, 1-y) <=> x-3 = 8-x => x=11/2
y-5 = 1-y => y=3
Por tanto, el punto buscado es B (11/2, 3)
EJERCICIOS EN R3
•Dados los vectores hallar:

13. BIBLIOGRAFÍA
•www.Google.co.ve
•www.wikipedia.com
•www.monografias.com
•www.rincondelvago.com
•http://pierocondor26.blogspot.com/p/ejercicios-en-r3.html
•http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/vectores%20en%20r2%20y%20r3.htm
•http://www.vitutor.com/analitica/vectores/vectores_espacio.html
•http://es.scribd.com/doc/109526048/Representacion-Grafica-en-r3
•http://aguilarcastillovictor.blogspot.com/2012/06/vector-un-vector-es-la-expresion-que.html