Este documento presenta una propuesta para una serie de clases destinadas a ayudar a estudiantes de educación media a diferenciar vectores en el espacio y en el plano. La propuesta incluye cuatro clases que abordan objetivos como reconocer los componentes de un vector en el espacio, diferenciar vectores en el espacio y el plano, y aplicar propiedades de vectores. Cada clase incluye ejemplos, ejercicios y discusión para explicar conceptos como suma y producto de vectores.

1. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓN
ESCUELA DE EDUCACIÓN
CÁTEDRA TALLER DE GEOMETRÍA
Integrante:
Ernesto Da Rocha
C.I.:19967209
Prof. Yazmary Rondón
Mérida, octubre de 2013

2. Presentación
La presente propuesta consiste en enfrentarse a una problemática muy común que se ve en los
estudiantes de educación media general a la hora de diferenciar los vectores en el espacio del plano; se
noto en el diagnostico aplicado a los estudiantes de la institución “Escuela Técnica Industrial
Robinsoniana Manuel A. Pulido Méndez”, el cual va anexado en la presente propuesta; con esto se
quiere lograr diferenciar dichos aspectos. Como referencia se usará el modelo Van-Hiele en conjunto a
la Colección Bicentenario, Sistema Educativo Bolivariano para el desarrollo de esta propuesta.

3. Objetivo General
•
Contribuir con el reconocimiento y diferenciación de los contenidos de vectores en el espacio y
plano.
Objetivos Específicos
•
Reconocer los componentes de un vector en el espacio
•
Diferenciar los componentes de un vector en el espacio a los del plano
•
Aplicar las propiedades de manera correcta a la hora de trabajar con vectores
•
Entender como se ve un vector en el espacio realmente
•
Diseñar un recurso didáctico.

4. Desarrollo Clase 1
En esta clase se está abarcando la fase de preguntas/información.
Se iniciará la clase con la presentación del estudiante de la Universidad de los Andes a los estudiantes
de la institución para el inicio de la clase como tal se realizara una serie de preguntas con respecto al
tema para generar una lluvia de ideas en donde se evidencien los conocimientos con los que están
familiarizados los estudiantes y comenzar con un breve repaso del contenido de geometría en el plano
para refrescar los conocimientos para vislumbrar el contenido de geometría en el espacio
•
Preguntas que se usarán para generar la lluvia de ideas:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
¿Qué entiende por sentido?
¿Qué entiende por magnitud?
¿Qué entiende por dirección?
¿Cómo se grafica?
¿Qué entiende por plano?
¿Qué entiende por espacio?
¿Cómo se mide un ángulo?
¿Qué relación tiene el contenido de vectores en el espacio con la vida cotidiana?
¿Para qué nos sirve los vectores en el espacio?

5. Desarrollo clase 2
En esta clase se dará inicio a la Fase II: Orientación dirigida.
El desarrollo de esta clase se llevara a cabo mediante ejemplos de la vida cotidiana en conjunto con la
utilización del pizarrón e interacción con los estudiantes.
Para entrar en el tema lo haremos con una pregunta para captar el interés de los estudiantes, pregunta:
“¿Ejempló: el movimiento de una escalera eléctrica se pueden ver como vectores saben porque?”
Para resolver dicha incógnita veremos el contenido de vectores en el Espacio pero
aprendamos a ubicar pontos en el espacio.
primero
Entonces para representar vectores en el espacio debemos definir u sistema de coordenadas
tridimensional, el cual está formado por la interacción de tres planos paralelos entre si
Un sistema de Coordenadas Tridimensional consta de tres ejes de coordenadas, x,y,z, perpendiculares
entre sí, los cuales determinan tres semiplanos coordenados: XY,XZ e YZ
En cada eje se representan los números reales como se muestra en el dibujo el espacio se divide en
ocho regiones llamadas octantes, un punto se identifica con una trena ordenada (x,y,z) son x,y,z ∈ R 3 ,
cada terna ordenada (x,y,z) en este sistema representa un punto en el espacio veamos pues un ejemplo:
veamos el punto (2,4,5)

6. Muy bien... ¿ahora comencemos con lo primero que es la definición a ver
muchachos?
quién me la dice
.
Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su
origen en un ponto y su extremo en otro punto
Componentes de un vector en el espacio
Si las coordenadas de un punto A y B son A (x1,y1,z1) y B (x2,y2,z2), entonces las coordenadas o
componentes del vector AB se obtienen restando las coordenadas del punto extremo con las
coordenadas del punto en el origen
⃗ ( x 2 −x 1 , y 2− y1 , z 2 − z 1 )
AB=
Ejemplo: las componentes del vector AB son

A = (3,4,0)

B = (-3,6,3)
AB = (3+3,6-4, 0-3) = (6,2, -3)
Un vector especial es el que une el origen de coordenadas O con un punto P, se llama vector de poción
delo punto P.
Dejemos para la próxima clase lo que es el modulo de un vector

7. Desarrollo clase 3
En esta clase se continúa la orientación dirigida.
El desarrollo de esta clase se efectuara mediante ejemplos de la vida cotidiana en conjunto con la
utilización del pizarrón e interacción con los estudiantes.
Modulo de un vector en el espacio R 3
El modulo de un vector es la longitud del segmento orientado y esta dado por la expresión:
en donde x,y,z ∈ R 3
El modulo de un vector siempre es positivo.
Vamos a calcular el modulo del vector AB .En el siguiente ejemplo
AB = (6,2,3)
Entonces:
AB = 6 2 +2 2 +32
= 36 +4 +9
= 49
=7unidades
Por otra parte si no tenemos los componentes del vector si no solo los puntos entonces podemos a ser
esto
Suma de vectores


Sean V =(x1,y1,z1) y W =(x2,y2,z2) dos vectores. La suma de estos vectores queda definida de la
siguiente manera:
 
V +W = (x1,y1,z1) + (x2,y2,z2) =
(x1+x2,y1+y2,z1+z2)

8. Para cualquier par de vectores
Veamos ahora que propiedades cumplen la suma de vectores
Tenemos las siguientes propiedades:
Propiedad asociativa: (a+b) + c = a + (b+c)
Propiedad conmutativa: a + b = b + a
Existencia de elemento neutro: para cualquier a existe (0) tal que : 0 + a : a
Existencia del elemento opuesto: para cualquier a existe un único -a tal que : a + (-a) = 0
Producto de un numero real por un vector (producto escalar)

Sea A =(x,y,z) un vector en R 3 y α un número real. El producto del número real
es otro definido así:
α


A=
Ejemplo: sea el vector A = (-2,1,3) y
α por, el vector
α (x,y,z)= ( α x, α y, α z)
α = 3 calcular el producto α

α A = 3(-2,1,3) = (-6,3,9)

α A = (-6,3,9)

A
Veamos ahora que propiedades cumplen el producto escalar de vectores
Propiedades del producto escalar
•
propiedad distributiva del producto de un escalar respecto a la suma de vectores
α (
•
 
A+B )=

A +
α

B
propiedad distributiva del producto de un vector con respecto a la suma de escalares

α +β ( B ) =
•
α
α


B + βB
propiedad asociativa respecto al producto de números reales
α .(
β.A) =
α . β.A

A

9. •
•



elemento neutro: para todo A , existe 1∈ R , tal que 1. A = A
Espacio Vectorial
El conjunto de todos los vectores en R 3 , las operaciones de suma y producto por un escalar que hemos
definido anterior mente.
ˆ
Vectores directores: ( i ,
ˆ, k
j ˆ
)
Los vectores (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) reciben el nombre de vectores canónicos o directores, tales
vectores son lineales con base en ellos se pueden construir todos los vectores del espacio usando una
ˆ j ˆ
adecuada combinación lineal de los mismos. Esto vectores reciben la denominación ( i , ˆ, k )
Es decir:
ˆ
i =
(1,0,0)
= (0,1,0)
ˆ
k = (0,0,1)
ˆ
j
ˆ
ˆ
Por tanto el vector (3,0,-4) lo podemos representar como el vector resultante de 3 i -4 k
Producto vectorial




Dados dos vectores A =(x1,y1,z1) y B =(x2,y2,z2), se llama producto vectorial de A por B lo
 
denotaremos A x B ,al nuevo vector.
Otra definición de producto vectorial es la geométrica


Dados dos vectores A y B se llama producto vectorial a otro vector, tal que su magnitud es:




La dirección de A y B es la de la perpendicular común de A y B


El sentido es el sentido de las agujas del reloj que gira de A a B según el menor Angulo
Ejemplo:




Dados los vectores A = (1,-2,3) y B = (0,3, 2). Encontrar A x B .
Solución:

10. Propiedades del producto vectorial
•
•
•
•
•
•
 
 
A x B = - B x A . No tiene propiedad conmutativa (anticomutativa).


 
 

A x ( B + C ) = A x B + A x C (propiedad distributiva del producto vectorial respecto a la
suma).
 

 

α ( A x B ) = ( α A )x B = A x( α B ) siendo (alfa) escalar
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
j
j
i x i = ˆ x ˆ = k x k =0
ˆ xk = i
ˆ
ˆ
ˆ j
ˆ
j
i x ˆ = k
 
 
el modulo A x B representa el área del paralelo de lados A y B
 


Si A x B =0 con A ≠ 0 y B ≠ 0, ambos tienen la misma dirección
ˆ
k
ˆ
xi =
ˆ
j

11. Desarrollo clase 4
En esta clase se dará inicio a la Fase III y IV: explicitación y orientación libre
El desarrollo de esta clase se efectuara mediante ejercicios de vectores en el espacio en conjunto con
la utilización del pizarrón e interacción con los estudiantes.
Repasemos lo aprendido hasta ahora realizando los siguientes ejercicios
Comencemos con la representación de vectores en el espacio




dados los pontos A =(6,7,9) ; B =(9,4,2); C =(5,4,2) ; U =(0,0,1) graficarlos vectores
resultantes al unirlos dos a dos
Ahora la longitud de los vectores resultantes:
AB
;
BC
;
AC
;
BU
;
;
AU
CU
Y qué ocurre si sumamos: AB + BU ; CB + AU ; CB + CU
No se nos olvide el producto que tenemos dos casos entonces veamos que podemos a ser












a) A x B b) C x U c) A x U d) B x C e) 3 A f) 5 U g)4 B h)3 C
Y para continuar en casa tenemos los siguientes ejercicios
Ejercicios para resolver en casa
1. dados los puntos P=(-2,1,3) Q=(3,1,2) hallar las componentes del vector

2. representar el vector A = (2,4,3) en el plano tridimensional
3. dados los siguientes datos
A = (1,2,3)
B = (-1,3,-1)
C = (-2,1,3)
PQ
D=(2,-1,-2)
E=(0,-2,1)
F=(3,3,3)
G=(3,-1,2)
H=(-1,-2,-3)
I=(0,0,2)
J=(0,2,0)
K=(2,0,0)
L=(2,2,0)
M=(-3,4,2)
N=(4,-2,3)
O=(5,6,1)
P=(4,2,3)
Hallar:
•
•
•
Dado el vector AB =(-2,1,0) y el punto B =(0,-1,3) ¿cual es la coordenada del punto A?
Obtener el valor de AB + EI , JL + JH , OD + PA usando los valores de la tabla anterior
Dado α = (3,8,6,4,2,-0,-4,6,-3,-5) hallar los vectores resultantes al multiplicar cada valor de α
con los vectores AB , CD , EF , GH , OP , IM , OP , EJ , OD que conclusiones sacan
de ello

12. •
•
•

Dados los vectores A =(9,6,1) y B=(2,3,4) y los escalares α =(3) y β=2 hallar :
 
 




α ( A + B ); β ( A + B ); ( α A )+( β B ); ( β A )+( α B )
Hallar el valor que debe tener cada vector (x,y,z) para que se cumplan las igualdades
a) 3(x,y,z) = (1,3,7) b) -3(x,y,z) = (3,3,8) c) 1/6(x,y,z) = (1,6,2)
     
 
Dados los dados de la tabla anterior hallar A x B ; C x E ; P x O ; K x H

13. Desarrollo clase 5
En esta clase se dará inicio a la Fase V: Integración
El desarrollo de esta clase se efectuara mediante ejercicios y problemas enviados la clase anterior en
conjunto con la utilización del pizarrón e interacción con los estudiantes con el presente recurso
didáctico.
Recurso didáctico:
MATERIALES: Este recurso didáctico fue realizado en material acrílico para permitir una óptima
visibilidad, y se utilizarán hilos de lana de diferentes colores y grosores, así como también cartulinas y
colores.
INSTRUCCIONES
Se seleccionan los puntos de los vectores al azar a través de ruletas (una para cada eje de coordenadas),
se enlazan los puntos por medio de los hilos de colores (uno para cada eje de coordenadas)
enhebrándolos a través de los orificios del acrílico.
PROYECTO TERMINADO

14. INTRODUCCIÓN
“Enhebrando un Vector”, es un juego didáctico tridimensional que da la oportunidad al estudiante de
construir vectores en el espacio, manejando los ejes X, Y e Z.
Su utilización en el ámbito del aprendizaje de las matemáticas es sumamente útil, ya que brinda la
oportunidad de visualizar los tres planos a la vez.
Usando las placas de base se puede recurrir a hilos de distintos colores para “dibujar” o representar los
vectores en cada eje de coordenadas y obtener una imagen más realista de los vectores seleccionados
que si éstos fuesen apenas dibujados sobre el papel.
OBJETIVO GENERAL: Lograr que los y las estudiantes construyan y visualicen vectores en los tres
ejes de coordenadas del plano (X, Y, Z).

15. JUSTIFICACIÓN
Los y las estudiantes del nivel de educación media diversificada presentan, a menudo, dificultades para
imaginar y representar el eje de coordenadas Z del plano. Puesto que en el aula de clases, se
acostumbra a realizar la representación de los ejes de coordenadas sobre una superficie plana (el
pizarrón y/o el cuaderno); de allí que cuando se habla de los ejes X o Y, no haya problemas para que el
alumno o la alumna los visualice por su forma de representarlos (horizontal y vertical), la dificultad
surge cuando se presenta el eje Z que precisa de una representación tridimensional que es imposible de
realizar en un medio bidimensional.
La finalidad del presente recurso didáctico es brindar la posibilidad a los usuarios de construir vectores
en los tres ejes de coordenadas a la vez, visualizándolos a través de hilos de diferentes colores.
REFERENCIA: LEHMANN, Geometría Analítica. LIMUSA NORIEGA EDITORES.
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
VICERRECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE HUMANIDADES
ESCUELA DE EDUCACIÓN
EDUCACIÓN MENCIÓN MATEMÁTICA
Mediante este recurso se graficara los ejercicios planteados de tareas en la clase anterior.