1) El documento introduce los conceptos de vectores geométricos y vectores algebraicos, y la correspondencia entre puntos y vectores. 2) Define un vector geométrico como un segmento de recta orientado, y explica cómo determinar un vector mediante su módulo, dirección y sentido. 3) Explica cómo asociar un vector geométrico a cualquier punto en un espacio de n dimensiones mediante un sistema de coordenadas, estableciendo la equivalencia entre puntos y n-tuplas de números reales.
Este documento presenta 25 problemas de geometría relacionados con vectores, polígonos y cuadriláteros. Los problemas incluyen cálculos de ángulos, lados, diagonales, perímetros y otras medidas geométricas de figuras como triángulos, cuadrados, rectángulos, trapecios y polígonos regulares. El objetivo es practicar conceptos básicos de álgebra y geometría a través de ejercicios con diferentes niveles de dificultad.
Este documento define y explica los conceptos de grafo bipartito y grafo bipartito completo. Un grafo bipartito es aquel cuyos vértices se pueden separar en dos conjuntos disjuntos de tal forma que cada arista una un vértice de un conjunto con uno del otro. Un grafo bipartito completo es aquel donde cada vértice de un conjunto está conectado a todos los vértices del otro conjunto.
Este documento resume conceptos clave sobre grafos bipartitos, grafos bipartitos completos, isomorfismo de grafos y subgrafos. Define un grafo bipartito como uno que puede dividirse en dos partes de tal forma que una parte solo se conecta a la otra. Un grafo bipartito completo es uno donde cada vértice de una parte se conecta a todos los de la otra. Dos grafos son isomorfos si preservan las relaciones de adyacencia. Un subgrafo es un grafo formado por un subconjunto de vértices y aristas de un grafo mayor.
Este documento presenta información sobre grafos isomorfos y árboles. Define grafos isomorfos como aquellos que tienen la misma estructura de conexión entre vértices a pesar de posibles diferencias en la posición de los vértices. También define árboles como un tipo especial de grafo no dirigido sin ciclos.
Este documento trata sobre la teoría de grafos. Explica las representaciones de grafos mediante matrices de adyacencia y de incidencia, así como el concepto de isomorfismo de grafos. También define qué son grafos planos y explica teoremas como el de Euler y el de Kuratowski para determinar si un grafo es plano o no.
Demostracion de isomorfismos grafos PetersenRosa E Padilla
Los grafos de Petersen son isomorfos. El documento explica que dos grafos son isomorfos si existe una función biyectiva entre sus vértices de tal forma que dos vértices son adyacentes en un grafo si y solo si sus imágenes son adyacentes en el otro grafo. Luego, muestra que existe tal función biyectiva entre los vértices de dos grafos de Petersen, por lo que son isomorfos. También muestra que un tercer grafo de Petersen es isomorfo al primero, y por transitividad los tres grafos son isomorfos
El documento presenta un resumen de los capítulos 1 y 2 de un libro sobre teoría de grafos algorítmica. Introduce conceptos básicos como qué es un grafo, tipos de grafos, y operaciones como unión e intersección. También explica el algoritmo de búsqueda en anchura para encontrar la distancia entre vértices en un grafo conectado.
Este documento presenta los temas de un curso de física preuniversitario. Incluye información sobre sistemas de coordenadas en el plano, vectores en el plano, fuerzas y vectores en el espacio. También detalla la evaluación del curso y los temas a cubrir, incluidos ejemplos y ejercicios de sistemas de coordenadas y vectores.
Este documento presenta 25 problemas de geometría relacionados con vectores, polígonos y cuadriláteros. Los problemas incluyen cálculos de ángulos, lados, diagonales, perímetros y otras medidas geométricas de figuras como triángulos, cuadrados, rectángulos, trapecios y polígonos regulares. El objetivo es practicar conceptos básicos de álgebra y geometría a través de ejercicios con diferentes niveles de dificultad.
Este documento define y explica los conceptos de grafo bipartito y grafo bipartito completo. Un grafo bipartito es aquel cuyos vértices se pueden separar en dos conjuntos disjuntos de tal forma que cada arista una un vértice de un conjunto con uno del otro. Un grafo bipartito completo es aquel donde cada vértice de un conjunto está conectado a todos los vértices del otro conjunto.
Este documento resume conceptos clave sobre grafos bipartitos, grafos bipartitos completos, isomorfismo de grafos y subgrafos. Define un grafo bipartito como uno que puede dividirse en dos partes de tal forma que una parte solo se conecta a la otra. Un grafo bipartito completo es uno donde cada vértice de una parte se conecta a todos los de la otra. Dos grafos son isomorfos si preservan las relaciones de adyacencia. Un subgrafo es un grafo formado por un subconjunto de vértices y aristas de un grafo mayor.
Este documento presenta información sobre grafos isomorfos y árboles. Define grafos isomorfos como aquellos que tienen la misma estructura de conexión entre vértices a pesar de posibles diferencias en la posición de los vértices. También define árboles como un tipo especial de grafo no dirigido sin ciclos.
Este documento trata sobre la teoría de grafos. Explica las representaciones de grafos mediante matrices de adyacencia y de incidencia, así como el concepto de isomorfismo de grafos. También define qué son grafos planos y explica teoremas como el de Euler y el de Kuratowski para determinar si un grafo es plano o no.
Demostracion de isomorfismos grafos PetersenRosa E Padilla
Los grafos de Petersen son isomorfos. El documento explica que dos grafos son isomorfos si existe una función biyectiva entre sus vértices de tal forma que dos vértices son adyacentes en un grafo si y solo si sus imágenes son adyacentes en el otro grafo. Luego, muestra que existe tal función biyectiva entre los vértices de dos grafos de Petersen, por lo que son isomorfos. También muestra que un tercer grafo de Petersen es isomorfo al primero, y por transitividad los tres grafos son isomorfos
El documento presenta un resumen de los capítulos 1 y 2 de un libro sobre teoría de grafos algorítmica. Introduce conceptos básicos como qué es un grafo, tipos de grafos, y operaciones como unión e intersección. También explica el algoritmo de búsqueda en anchura para encontrar la distancia entre vértices en un grafo conectado.
Este documento presenta los temas de un curso de física preuniversitario. Incluye información sobre sistemas de coordenadas en el plano, vectores en el plano, fuerzas y vectores en el espacio. También detalla la evaluación del curso y los temas a cubrir, incluidos ejemplos y ejercicios de sistemas de coordenadas y vectores.
Este documento describe los conceptos básicos de vectores, incluyendo:
1) La magnitud vectorial que requiere conocer la dirección y sentido además del valor numérico.
2) Los elementos de un vector como punto de aplicación, módulo, sentido y dirección.
3) Diferentes tipos de vectores y operaciones vectoriales como suma, resta, componentes rectangulares.
4) Ejemplos de fuerzas, desplazamiento, velocidad que ilustran que son magnitudes vectoriales.
El documento define un grafo como un par formado por un conjunto de vértices y aristas que los unen. Explica que un grafo es regular si todos los vértices tienen el mismo grado, bipartito si los vértices pueden dividirse en dos conjuntos sin aristas internas, y completo si tiene una arista entre cada par de vértices. También introduce la matriz de adyacencia para representar un grafo y define caminos eulerianos y hamiltonianos.
Este documento presenta una introducción a la teoría de grafos. Define conceptos fundamentales como grafos, vértices, aristas, grado de vértices, caminos y ciclos. Explica diferentes tipos de grafos como grafos simples, multigrafos, dirigidos y etiquetados. También introduce conceptos como representaciones de grafos mediante matrices de incidencia y adyacencia, e isomorfismo de grafos.
Este documento presenta una discusión de problemas sobre vectores para un curso de física. Incluye definiciones de términos vectoriales como magnitud vectorial, suma vectorial y productos escalar y vectorial. También contiene ejercicios de selección múltiple y preguntas sobre conceptos vectoriales, así como problemas propuestos relacionados con la suma y componentes de vectores.
1) El documento presenta una serie de ejercicios sobre grafos, incluyendo dibujar grafos y sus matrices de adyacencia, encontrar caminos y circuitos en grafos, y determinar si grafos cumplen propiedades como ser eulerianos o hamiltonianos.
2) También incluye ejercicios sobre grafos dirigidos, ponderados y completos, y sobre aplicar el algoritmo de Dijkstra para encontrar el camino más corto en un grafo.
3) El último ejercicio pide explicar para qué sirve el algoritmo de Dijkstra y cómo funcion
El documento presenta información sobre la teoría de grafos. Introduce los objetivos de estudiar grafos, incluyendo definir y reconocer diferentes tipos de caminos, circuitos, y árboles. Explica el problema histórico de los siete puentes de Königsberg que inspiró el desarrollo de la teoría de grafos. Define los conceptos básicos de un grafo, incluyendo vértices, aristas, grafos dirigidos y no dirigidos.
Este documento presenta una introducción a la teoría de grafos. Explica conceptos básicos como vértices, aristas, tipos de grafos (dirigidos, no dirigidos, ponderados, etc.), grados de vértices, caminos, ciclos, algoritmos como el de Dijkstra. Finalmente, muestra algunas aplicaciones de los grafos en proyectos, sistemas de transporte y contabilidad.
El documento presenta una introducción a la teoría de grafos. Explica conceptos básicos como grafos dirigidos y no dirigidos, representaciones comunes como matrices de adyacencia, y elementos clave como vértices, aristas, caminos y ciclos. También define y describe varios tipos de grafos especiales como grafos completos, ciclos y ruedas.
El documento define conceptos básicos sobre grafos como nodos, aristas, grafos dirigidos, multígrafos, grafos simples e isomorfismo de grafos. También explica las matrices de adyacencia e incidencia, así como conceptos de caminos, ciclos, grafos conexos, grafos eulerianos y hamiltonianos. Por último, introduce grafos etiquetados y describe el algoritmo de Dijkstra para encontrar el camino más corto en un grafo.
Este documento describe los conceptos básicos de los grafos y sus aplicaciones. Los grafos permiten modelar relaciones entre elementos que interactúan. Se definen grafos como conjuntos de nodos y aristas, y se explican conceptos como caminos, ciclos, grado de nodos, y diferentes tipos de grafos como grafos dirigidos, ponderados y bipartitos. También se introducen teoremas importantes como los de Euler y Hamilton para encontrar caminos y ciclos especiales en grafos.
Este documento presenta información sobre grafos y sus propiedades. Explica que un grafo es hamiltoniano si contiene un ciclo que visita cada vértice exactamente una vez. También define lo que es un ciclo euleriano y un grafo bipartito. Resuelve varios ejercicios aplicando estas definiciones y propiedades de los grafos.
Este documento trata sobre diferentes temas relacionados con grafos y árboles. Explica cómo se pueden representar grafos mediante matrices de adyacencia y de incidencia. Luego, define qué son los grafos eulerianos y hamiltonianos, y cómo se diferencian. Finalmente, define qué son los árboles y algunas de sus aplicaciones, como encontrar el camino más corto entre nodos y evitar redundancias en bases de datos.
Este documento proporciona una introducción a la teoría de grafos. Explica que un grafo consiste en un conjunto de nodos y aristas que conectan pares de nodos. Hay dos tipos de grafos: dirigidos y no dirigidos. También describe formas de representar grafos como matrices de adyacencia y listas de adyacencia, y analiza las ventajas y desventajas de cada método.
Este documento presenta información sobre grafos. Define conceptos clave como vértices, aristas, grado de un vértice, caminos, ciclos y más. También describe tres estructuras de datos comúnmente usadas para representar grafos: lista de aristas, lista de adyacencia y matriz de adyacencia. Explica las operaciones básicas de cada una y su complejidad temporal.
Los grafos son unas herramientas indispensables y muy útiles en el mundo de las matemáticas. Vamos a ver su origen con los puentes de Koenigsberg, su definición formal de forma geométrica y de forma algebraica y cómo trabajar con algunos de los resultados clásicos más importantes de la teoría de grafos
Este documento presenta las soluciones a un ejercicio propuesto sobre grafos. Incluye determinar la matriz de adyacencia y de incidencia de un grafo, y si es conexo, simple, regular, completo, hamiltoniano o euleriano. También incluye demostrar cadenas, ciclos, árbol generador y subgrafo parcial del grafo dado.
Este documento describe vectores y fuerzas. Explica que los vectores se caracterizan por su módulo, dirección y sentido. También describe cómo sumar y restar vectores geométricamente usando el método del paralelogramo. Finalmente, explica que las fuerzas concurrentes son fuerzas que intersectan en un punto común o comparten el mismo punto de aplicación.
Este documento describe los conceptos básicos de los grafos, incluyendo aristas, vértices, caminos, clasificaciones de grafos como dirigidos y no dirigidos, grafos Eulerianos, conexos, árboles y bosques. También cubre la representación de grafos en programas, dígrafos, grados, ciclos y aplicaciones de los grafos.
La FAO en Venezuela, unos de mi aporte a la Cátedra de Manipulación de Alimento a cargo de la Prof.Zulma Castillo, en mi Formación de Br. Facultad de Ingeniería de la Universidad Panamericana del Puerto. Pto.Cabello - Estado Carabobo/Venezuela 2007-2008
Este documento discute WebQuests, que são atividades de pesquisa orientadas utilizando recursos da web. WebQuests são projetadas para desenvolver habilidades cognitivas mais elevadas através de tarefas autênticas e aprendizagem cooperativa. O documento descreve as características e estrutura de WebQuests bem como diferentes tipos de tarefas que podem ser incluídas.
Este documento describe las funcionalidades de HARDkey MIO Security Suite, un software de seguridad que incluye un administrador de contraseñas, un disco virtual cifrado y cifrado de archivos. El administrador de contraseñas permite almacenar y autocompletar contraseñas de forma segura utilizando una llave hardware. El disco virtual cifrado crea un área encriptada en el disco duro para almacenar archivos de manera privada y protegida. El software usa cifrado AES de 256 bits junto con la llave hardware para proteger la
Este documento describe los conceptos básicos de vectores, incluyendo:
1) La magnitud vectorial que requiere conocer la dirección y sentido además del valor numérico.
2) Los elementos de un vector como punto de aplicación, módulo, sentido y dirección.
3) Diferentes tipos de vectores y operaciones vectoriales como suma, resta, componentes rectangulares.
4) Ejemplos de fuerzas, desplazamiento, velocidad que ilustran que son magnitudes vectoriales.
El documento define un grafo como un par formado por un conjunto de vértices y aristas que los unen. Explica que un grafo es regular si todos los vértices tienen el mismo grado, bipartito si los vértices pueden dividirse en dos conjuntos sin aristas internas, y completo si tiene una arista entre cada par de vértices. También introduce la matriz de adyacencia para representar un grafo y define caminos eulerianos y hamiltonianos.
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1) El documento presenta una serie de ejercicios sobre grafos, incluyendo dibujar grafos y sus matrices de adyacencia, encontrar caminos y circuitos en grafos, y determinar si grafos cumplen propiedades como ser eulerianos o hamiltonianos.
2) También incluye ejercicios sobre grafos dirigidos, ponderados y completos, y sobre aplicar el algoritmo de Dijkstra para encontrar el camino más corto en un grafo.
3) El último ejercicio pide explicar para qué sirve el algoritmo de Dijkstra y cómo funcion
El documento presenta información sobre la teoría de grafos. Introduce los objetivos de estudiar grafos, incluyendo definir y reconocer diferentes tipos de caminos, circuitos, y árboles. Explica el problema histórico de los siete puentes de Königsberg que inspiró el desarrollo de la teoría de grafos. Define los conceptos básicos de un grafo, incluyendo vértices, aristas, grafos dirigidos y no dirigidos.
Este documento presenta una introducción a la teoría de grafos. Explica conceptos básicos como vértices, aristas, tipos de grafos (dirigidos, no dirigidos, ponderados, etc.), grados de vértices, caminos, ciclos, algoritmos como el de Dijkstra. Finalmente, muestra algunas aplicaciones de los grafos en proyectos, sistemas de transporte y contabilidad.
El documento presenta una introducción a la teoría de grafos. Explica conceptos básicos como grafos dirigidos y no dirigidos, representaciones comunes como matrices de adyacencia, y elementos clave como vértices, aristas, caminos y ciclos. También define y describe varios tipos de grafos especiales como grafos completos, ciclos y ruedas.
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Este documento presenta las soluciones a un ejercicio propuesto sobre grafos. Incluye determinar la matriz de adyacencia y de incidencia de un grafo, y si es conexo, simple, regular, completo, hamiltoniano o euleriano. También incluye demostrar cadenas, ciclos, árbol generador y subgrafo parcial del grafo dado.
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Este documento describe los conceptos básicos de los grafos, incluyendo aristas, vértices, caminos, clasificaciones de grafos como dirigidos y no dirigidos, grafos Eulerianos, conexos, árboles y bosques. También cubre la representación de grafos en programas, dígrafos, grados, ciclos y aplicaciones de los grafos.
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Presentación de la técnica conocida por sus siglas BTL “below the line” significa “bajo la línea” refiriendose a estrategias de comunicación y mercadotecnia en medios no convencionales, y llevada a cabo a través de acciones dirigidas a un mercado específico, lo que incrementa la efectividad de los mensajes al llegar al segmento deseado.
Este documento presenta ocho reglas de composición fotográfica: 1) identificar el centro de interés, 2) llenar el encuadre, 3) apoyarse en las líneas, 4) trabajar el flujo, 5) jugar con la dirección, 6) usar elementos repetidos, 7) aprovechar el interés de grupos de tres, y 8) aplicar la regla de los tercios. Siguiendo estas reglas, los fotógrafos pueden crear imágenes más atractivas visualmente.
Uma proposta de padronização de objetos de aprendizagem com base em objetivos...Thiago Reis da Silva
1. O documento propõe padronizar Mapas de Conteúdo e Dependência como Objetos de Aprendizagem usando o padrão SCORM para torná-los mais compartilháveis e reutilizáveis.
2. Os Mapas de Conteúdo e Dependência auxiliam os professores a planejarem disciplinas baseados em objetivos educacionais e teorias de aprendizagem.
3. A padronização dos mapas como Objetos de Aprendizagem pode melhorar o planejamento de cursos e o processo de ensino-aprendizagem.
Este documento resume la vida y obra del escritor francés Alejandro Dumas (hijo). Hijo natural de Alexandre Dumas y una costurera, Dumas (hijo) se convirtió en un reconocido autor como su padre. Su novela más famosa fue La dama de las camelias de 1848, la cual adaptó posteriormente al teatro y sirvió de base para la ópera La Traviata. A lo largo de su carrera, Dumas abogó por los derechos de la mujer y los niños en sus obras teatrales.
Este documento habla sobre diferentes aspectos de la moda como las tendencias de vestir, estilos y accesorios que marcan épocas y lugares. Explica que la moda se refiere a las costumbres de vestir de una época o lugar, aunque existen diferentes gustos personales. También menciona modas juveniles, modas de los años 60, 80 y de invierno y verano, así como modas para eventos especiales como bodas y quinceañeras.
El documento describe la inervación del miembro pelviano del caprino. Explica que los nervios se originan en el plexo lumbosacro, el cual recibe raíces de los nervios lumbares 4-6 y sacros 1-2. Identifica los principales nervios que inervan la pierna del caprino, incluyendo el femoral, ciático, peroneo común, tibial y sus ramificaciones. Describe detalladamente la inervación motora y sensitiva de la piel y músculos de la pierna y el pie del caprino.
Presentación institucional Poder Volar octubre 2012Claudio Pla Alem
Poder Volar es una organización dedicada a brindar herramientas para personas con miedo a volar. Ofrece diversos servicios como conferencias, cursos grupales e individuales presenciales u online sobre cómo volar sin miedo. Cuenta con un equipo interdisciplinario incluyendo psiquiatras, pilotos y psicólogos. Los testimonios destacan la eficacia de los programas para mejorar la experiencia de volar.
Este documento presenta información sobre nudos y amarres utilizados en cabuyería. Proporciona detalles sobre varios nudos comunes como el nudo simple, ocho doble, ocho llanos, pescador, az de guía, corredizo, horca y margarita. También describe amarres como el amarre cuadrado y define términos clave relacionados con cuerdas y nudos.
La adolescencia es una etapa de transformación del niño al adulto. Los amigos pueden influenciar mucho el carácter de los jóvenes. Los adolescentes sin amigos suelen sentirse solitarios e infelices y tienen peor rendimiento escolar y baja autoestima. Los jóvenes consumen alcohol y otras sustancias para divertirse, por presión social o para imitar a los adultos. Prefieren beber los fines de semana y festivos y empiezan a consumir cada vez más jóvenes, especialmente cerveza y bebidas de larga duración. Para combatir el
101280731 dissertacao-definitiva-sinterizacao-em-duas-etapas-de-pos-ultra-fin...Ana Maria Souza
Este documento apresenta uma dissertação sobre sinterização em duas etapas de pós ultrafinos de alumina. A autora estuda diferentes métodos de sinterização visando obter microestruturas com alta densidade e mínimo crescimento de grãos. São caracterizadas amostras sinterizadas quanto à densidade aparente e tamanho de grão. A análise estatística é utilizada para determinar quais variáveis influenciam mais nos processos de sinterização estudados. Os resultados indicam que a sinterização em duas etapas controla melhor
O documento fala sobre a Felicidade e sua família. A Felicidade é casada com o Tempo, com quem teve três filhos: a Amizade, a Sabedoria e o Amor. O Amor é o filho mais problemático, mas no final tudo dá certo se acreditarmos no Tempo, na Amizade, na Sabedoria e principalmente no Amor.
OBA-MC: um modelo de objeto de aprendizagem centrado no processo de ensino-ap...Thiago Reis da Silva
O documento descreve a defesa de dissertação de mestrado de Thiago Reis da Silva sobre o OBA-MC, um modelo de objeto de aprendizagem centrado no processo de ensino-aprendizagem para o Moodle. O resumo apresenta o tema, o mestrando e a banca examinadora, composta pelo orientador e três membros. O documento também fornece o roteiro da defesa, incluindo a introdução, o referencial teórico e detalhes sobre o OBA-MC.
O documento descreve o Projeto Papel de Gente, que oferece capacitação profissional e apoio a pessoas com transtornos mentais há 16 anos. O projeto usa a reciclagem de papel para promover a inclusão social e a sustentabilidade ambiental. Ele já atendeu mais de 50 mil pessoas e recicla 800 kg de papel por mês.
Silvio cantou a música "A nossa transformação" no Show de Talentos 2011 Parte 1. A Banda Marcial Bernardo Lemke também se apresentou no evento. O documento lista as apresentações musicais no show de talentos.
Este documento presenta una unidad didáctica sobre vectores en el plano para estudiantes de cuarto año. La unidad contiene seis sesiones que introducen conceptos como vectores fijos y libres, operaciones con vectores, y aplicaciones como determinar la distancia entre puntos y el punto medio de un segmento usando vectores. El objetivo es que los estudiantes manejen vectores gráfica y algebraicamente para resolver problemas de álgebra y geometría.
Este documento muestra una serie de fotos antes y después que ilustran los resultados de diferentes tratamientos cosméticos como brillo y contraste, ojos rojos, pecas, arrugas y ojeras, manchas y pelo y manchas. Las fotos parecen promover los beneficios de estos tratamientos al mostrar las mejoras entre las imágenes antes y después.
El documento describe cómo el cuerpo humano puede verse afectado por factores externos como la radiación, los campos electromagnéticos y geopatías. Estos factores pueden perturbar el equilibrio energético del cuerpo y causar enfermedades. La geociencia estudia cómo detectar estas zonas de radiación dañinas llamadas "redes H" y "Curry" para prevenir exponer a humanos a ellas. Corrigiendo la polaridad magnética de un lugar a través de objetos de cobre, se puede revertir el efecto de las geopat
Solucionario Física y Química 1º Bachillerato Anaya.pdfSantiago705467
Este documento presenta 16 unidades que abarcan temas fundamentales de física y química para bachillerato como cinemática, dinámica, energía, electromagnetismo, estructura atómica y reacciones químicas. Cada unidad incluye conceptos clave, ejemplos y actividades resueltas para reforzar la comprensión de los estudiantes.
Vectores, ángulos direccionales, leyes de senossgq190
Este documento presenta información sobre vectores, ángulos direccionales, la ley de senos y la ley de cosenos. Explica cómo representar vectores en un plano cartesiano usando componentes rectangulares y vectores unitarios. También describe cómo calcular ángulos direccionales y el producto escalar de vectores. Las leyes de senos y cosenos se explican como relaciones geométricas para resolver triángulos.
Este documento presenta la resolución de 6 problemas que involucran sumas y diferencias de vectores utilizando el método geométrico y el método analítico. En cada problema se dan los valores numéricos relevantes de los vectores y se muestra gráficamente su representación geométrica. Luego se presenta la solución utilizando las leyes de los cosenos, senos o teoremas de Pitágoras y trigonometría cuando corresponde. Finalmente se indica cuál es la alternativa correcta entre las opciones dadas.
Este documento describe los conceptos de variación directamente proporcional y funciones lineales. Explica que en una variación directamente proporcional, la razón entre dos valores cualesquiera de las variables es constante. También describe las diferentes formas de representar una función lineal, incluyendo tablas, gráficas y modelos algebraicos. Además, analiza los parámetros a y b de una función lineal y ax + b = y su relación con la pendiente y la ordenada al origen.
Este documento introduce los números complejos. Explica que son números que combinan una parte real y una parte imaginaria de la forma a + bi, donde a es la parte real e i es la unidad imaginaria tal que i2 = -1. También describe cómo se pueden representar gráficamente los números complejos en un plano cartesiano y define conceptos como el módulo, conjugado y forma polar de un número complejo. Finalmente, introduce teoremas como el de Moivre que establece cómo calcular potencias de números complejos.
Este documento describe magnitudes escalares y vectoriales en física. Explica que las magnitudes físicas pueden ser escalares o vectoriales, y proporciona ejemplos de cada una. También describe cómo representar y operar con vectores, incluida la suma, resta, producto punto y producto vectorial. Finalmente, cubre temas como transformación de unidades y prefijos en el Sistema Internacional de Unidades.
El documento trata sobre conceptos básicos de vectores como su definición, suma, resta, multiplicación y diferentes sistemas de coordenadas. Explica que un vector representa una magnitud física con módulo y dirección, y provee fórmulas y ejemplos para realizar operaciones con vectores como suma, resta y multiplicación. También define conceptos como campo vectorial, vectores unitarios y sistemas de coordenadas rectangulares.
El documento presenta varios problemas de cinemática que involucran conceptos como movimiento rectilíneo uniformemente variado, movimiento de proyectiles en el vacío, ecuaciones de trayectoria parabólica, velocidades, ángulo de la velocidad, parábola de seguridad y alcance máximo. Se resuelven cuatro problemas numéricos que implican calcular profundidades, distancias y tiempos para diferentes situaciones de movimiento.
Vectores1 trabajo con vectores utilizando coordenadas y componentesArturo Iglesias Castro
El documento resume los conceptos fundamentales de los vectores, incluyendo su módulo, dirección y sentido. Explica cómo sumar y restar vectores usando la regla del paralelogramo, y las propiedades de conmutatividad, asociatividad y distributividad de la suma y el producto de vectores por escalares. También cubre combinaciones lineales de vectores.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de vectores, incluyendo definiciones, operaciones (suma, resta, multiplicación por escalares), sistemas de coordenadas cartesianas, vectores unitarios, campos vectoriales, producto punto y producto vectorial cruz. Incluye ejemplos ilustrativos de cada uno de estos temas.
1) El documento describe las características de los vectores y magnitudes vectoriales, incluyendo su representación gráfica y cambios entre representaciones. 2) Explica cómo realizar operaciones con vectores como la multiplicación por un escalar y suma vectorial. 3) Proporciona ejemplos detallados de cómo representar vectores en forma polar y rectangular, y realizar conversiones entre estas formas.
Este documento presenta un análisis de conceptos vectoriales como vectores, sumas y restas de vectores, productos escalares y vectoriales, sistemas de coordenadas y campos vectoriales. Incluye definiciones formales y ejemplos ilustrativos de cada uno de estos conceptos fundamentales del álgebra lineal aplicada a la física.
Este módulo trata sobre las funciones seno y coseno. Los objetivos específicos son: 1) describir la variación de estas funciones mediante una tabla y construir sus gráficas, 2) exponer las propiedades de estas funciones usando sus gráficas. Se construyen las gráficas de las funciones x=senθ y x=cosθ, y se exponen las propiedades fundamentales de cada una, como su periodicidad y variación en cada cuadrante.
Este documento introduce el análisis vectorial como una herramienta matemática útil para expresar y comprender conceptos físicos como velocidad y fuerza. Explica la diferencia entre cantidades escalares y vectoriales, y define vectores y sus propiedades como magnitud y dirección. También cubre la suma y resta de vectores, producto escalar y vectorial de dos vectores, y proporciona ejemplos ilustrativos de su aplicación a conceptos como desplazamiento, trabajo y velocidad.
Manual con ejercicios de Física General 1 y con algunas soluciones detalladas de los mismos. Contempla temas como vectores, MRUA, Dinámica traslacional y rotación, hasta gravitación.
El documento resume dos teoremas sobre triángulos. El Teorema del Coseno establece que el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de estos por el coseno del ángulo comprendido. Se demuestra mediante la construcción de alturas. El ejemplo aplica el Teorema del Coseno para hallar los ángulos de un triángulo dado sus lados.
Este documento presenta una propuesta para una serie de clases destinadas a ayudar a estudiantes de educación media a diferenciar vectores en el espacio y en el plano. La propuesta incluye cuatro clases que abordan objetivos como reconocer los componentes de un vector en el espacio, diferenciar vectores en el espacio y el plano, y aplicar propiedades de vectores. Cada clase incluye ejemplos, ejercicios y discusión para explicar conceptos como suma y producto de vectores.
El documento describe conceptos básicos de física como unidades de medida, modelos ideales, vectores y sus propiedades. Explica cómo representar cantidades físicas como escalares y vectores, y cómo realizar operaciones con vectores como suma, resta y descomposición en componentes.
El documento describe los conceptos básicos de sistemas de coordenadas, magnitudes escalares y vectoriales, y operaciones con vectores. Introduce los sistemas de coordenadas rectangular y polar, y explica cómo representar puntos y vectores usando coordenadas. También define sumas, restas, multiplicación de vectores y escalares, y descomposición de vectores en componentes.
Este documento describe las diferencias entre magnitudes escalares y vectoriales. Las magnitudes escalares se pueden representar por un número real, mientras que las magnitudes vectoriales requieren tanto un número real como una dirección. También introduce conceptos como adición, sustracción, multiplicación y división de vectores, así como productos escalares y vectoriales.
1. CAIPITIUILO 11
INTRODUCCIÓN.
En lo fTsico hoy mognitudes, como lo velocidad, aceleración, fuerzo, e t c . , que no
quedon completomente determinados con un número; estos mognitudes se I loman vecto-
res geométricos. Al reiocionor este» vectores geométricos con lo geometría anairtica,
surgieron M vectores olgebraicos; posteriormente, con ei desarrollo de ios motemót! -
cas, bosóndose en ios propiedodes de ios vectores geométricos / olgabroicos, se definió
ufKi estructura algebraico llomodo espocio vectorial sobre un ccvnpo. En este capítulo
estudiaremos básicamente e^o estnictura oigebraico, tratondo de seguir uno secuen-
cio histórico.
Sección 1. Vectores Geométricos
Definición: Vector Geométrico (físico) es un segmento de recto orientodo.
Notación: Vector Geométrico: AB ó o*^
A es ei origen del vector geométrico AB
B es ei extremo del vector geométrico A B
De lo definición anterior se desprende que pora determinor exactomente un vector geo-
métrico ( A B ) se necesita conocer :
i) El módulo det vector: lo longitud del segmer#o AB , con reloción o uno unidad
previomente estobiecido. Por ser uno longitud, el módulo siempra es positivo .
Notoción: 1 [ A B 1 Í ó ltá*'(| módulo de AB ó c^ respectivamente.
II) l a diracción dei vector; io recta que contiene el segmeitfo AB .
If) 51 sentido de! vector: Ic orientación que define !o fleche del vector.
Noto: Cuondo se elige un sistema de referencio odecuodo, el sentido quecki completo-
mente definido, especificando solomente lo dirección.
Seo G * 1 o * / o*^ es un segmento de recto orientado j
^
G es et conjunto de todos tos vectores geométricos.
2. -12-
i g u o l d o d de Vectores:
Definición:
Sean a * ' y H * ' é ^ G o ^ ' D s l y solo si tos vectores o y b tierten lo mlvno
<
% , longitud o módulo, sentido y dirección porale-
/
A / f, /
^ ios. De esto definición se deduce que en lo i -
5"= í a r{: c
Note t LJOS relociones ' erttre vectores geométricas se plontaon mediente construcciones
y 0/
geométricos, debido o su definición. de vectores no Interaso al punto da
/ / gualdad
iniciación (origen).
Sumo d e Vectores:
Lo sumo de vectores es uno ley de composición Interno c^e tomo dos vectores cuolesqule-
rade G ( o ^ B T é G ) y medionte lo siguiente construcción le asigno otro vector (que
notaremos o ^ b )•
Dibuje el vector o", en el extremo de o* trace un vector Igual o E^ el vector que re-
sulla da unir al origen de o^ y el extrwnno de IT es o*'-*- V ,
ct
Figura 2
Llomoremos ángulo entre o y F ol ángulo que fomon cuondo los orígenes de tos
dos vectores coindden.
SI en el triángulo ABC aplicamos lo ley del coseno podemos haltor el móckilo de
a"+ E*
117+ r a - J o^? ^ Uril^ - 21IÍ|| ijbíí eos (180*-e) cos(180'-e) - eos
y llo"!!^ + ll"£ll ^ + 2 BS-II llb íl e o s 7
3. -13-
1) + es uno operación ciausurottvo o^-f b < G
£
2) -*- es uno operación conmutotivo "0"+ b *• b -f o*^ (dm figura 2 )
3) + 0 8 uno operación osociotivo ( ^ + b ) + c*" = 5*"+ (b + c^ (dm figura 3 )
Figuro 3
Definición:
Seo o " ^ G , llwnoremos opuesto de a*^ y io notoremos - oT a un vector de
Igual longitud, dirección y de sentido contrario ol de o*".
BA es el opuesto da A B y viceversa
Vector geométrico cero:
Es el resultodo de sumar 0*^+ {-"o) ^ O^jounque O no tiene uno dirección
dado consideraremos que U ¿ G . KOÍf*^ O
4) (a^)¿G T + r - r A T + BA* » AÁ* = O*"
De oquí podemos concluir que ( G , + ) es un grupo obeliono.
Multiplicación de u n v e c t o r g e o m é t r i c o p o r u n escolar:
Esto es uno operación que relocíono ei conjunto de los reales y el conjunto de t o -
dvj» iuft vwíurm yóOiTiéírícas. SI -^ '^ £ y r**"^ G « t a producto io notoremos co-
mo o** y está definido de lo siguiente manera: o " es un vector geométrico tol
que:
1) lor^itud |(^a*^l » K I H ^ Í I
2) dirección t lo mismo de o
4. -14-
3) sentido: i)^< e>¿>0 o¿a tierte el mismo senHdo de o*^
II) o¿ m Q Zo^' O*"
III) «^ "¿^ O oLo tiene sentido contrario ol de o*
Noto; De lo definición se deduce <^e c/-o CQ y que los vectoras a l . ' o ' y o
son paralelos.
Definición:
Seon o, b é G o es poralelo o b si y solo si o "^ o^ b .
Propiedades: da io multiplicación da un vector por un esootor:
Seo < J , 0 € f í ,
=. T , h^é. G .
1) («?¿ + / « ) a ^ = c^a + ^
2) cpí. ( a^ + b*) « T T + JET
3) /^(«<r) = (<^is)'sr
4) Ko^^cT ^ -15*"' -o
dm:
1) Pueden ocurrir los siguientes posibilidades pora
I) c^>0, /»?'0
II) a><0, yL^Q
5. -15-
III) Si e¿ y 0 son da signos contrarios y <>/ + /^ >0
Iv) Vi c ¿ y / 3 son de signos coftfrarios y o f + /3 < O
? ¿
I) Sea^-p='0>v/g;^0
//(«í +/3 )0}í'- /-«^ + í b l l l t l j ComO¿^ T' O/v ^ > 0 d ^ ( i m u l ^ l(b
¡I ^ + j r / / « / ¡ Ü 3 p + ¡/lerjF - 2eos 180°//^57/ //^y//
- K/^ / o/^ + ,.^/ ^/ o/^ + 2 / ^ / //^// 7 /
• / ( / ^ / + M/)2//o//2'= U^I^I^DÜo'U
' • ^ l / ^ +/S////Ó¡/
luego los módulos de tos vectores son iguotes.
Como^ 7 - 0 /^•T'O ^ + / 3 0
entonces í^a+/3a y (í»¿ + /2')a tie-
nen lo mismo dirección y sentido de o .
(Ver figura 1 )
2) J (T-^ ^ ) "jT+g^h
o)</- y Q
Figura
6. -16-
Los triángulos ABC y ADE son semejantes, luego
líl! . IIr + bü Miir+rií - iiJír+TTíi
i|i??ii ilro*+ZT**ií
luego son vectoras qua tienen Igual módulo y dirección.
b ) < ^ -íi O
J {Ooi) « (¿^/^ ) a r
Cosos posibles:
1)^ -^ O, /? •p'O
2)^ ^ O,/^-^O
3)^ <c 0 , ; ^ ?> O
fu{BT)il "¡'^l llJ^^lh Hll^l T ' l'^fil'o
(J {(i o ) " / c3i^(/6o ) es paralelo o /itx y tiene el mismo sentido que /^o,
pero ^ o es poralelo y tiene el mismo sentido que "o
luego c3¿(^) " (í^/«)5*'
4) 1 o* = o* 1 cT * / l í í í o l í «i/o*"!] luego son iguoles.
Diferencio de Vectores:
Defi niel ón:
Sean eT, b £ G a*+ ( - ? ) = o * - b*
o - b es un vector que obtertemos sumándole o o ei opuesto de b .
7. -17-
t-¿;
n
'-f/
ST
/ ^
-a-.
^
'«/ ^ —?
-t—, (,
«k'fb
i i r - r i i = V ''""^l* ^1^^*" 2ii^inibii cose
Aplicondo ley del coseno en triángulo A B C .
6 : ángulo entre o y L
Ejercicios:
1) Demostrar que el conjunto de todos los vectores paralelos o o forman un
gnipo.
2) Sean o y b dos vectores geométricos, que forman entre sí un ángulo de 60 .
SI i| o * í / = 3 lj b¡| » 2 halle l| 0*+ T j ! , lo dirección de 0*+ T con
respecto o cT, lj cT- b lí y lo dirección de , a - b f respecto o o .
3) Demuestre los numeratas qua fottoron en los propiedodes de la multiplicación
de un vector por un esootor.
4) Simplifique: 3(a"+ 2 r ) - 4 r + 2^"
5) Sean oT y T é! G . SI ll T U = 2 el arruto entre a" y T » 30**. Cuál
l b ll pora que o + b seo perpendlcuior o o - b .
Sección 2. Correspondencia entre un punto y un vector.
Supongamos que un móvil siempre se desplazo en una mismo dirección, esto es
sobre uno recto, y que queremos en cuoiquier momento podar looalizario. Pora
8. -18-
poder ubtcorío fácilmente dafldrwnos: un punto da referencio (origen), urra unlckid y
un sentido de desplozamiento en lo recto. Lo recto osT definido lo llamaremos eje
de coordenados.
-£- J í - ÍV
SHr- m—b A
En este sistemo podemos ver que un número nos define un punto y un punto nos define
un número, esto es x é. • equlvoie o un punto de lo recto.
Si et móvil se despieza en un plono, pora poder ubicarlo necesitaremos un sistemo de
referertcio de dos ejes coordenados, que tengon el mismo origen y que generalmente
* X 1 ^ « { ( x , y ) / x , y 6 1 ] - el plano xy
serán perpendicu lores, en este coso vemos que un punfo P nos define uno parejo orde-
noáa ( x , y ) y que io parejo (x, y) nos define un punto, esto es ( x , y ) ¿ K^ e q u i -
vole o un punto del plono. Diremos que el plano tiene dos dimensiones.
SI trabo jomas en ei espacio y tratomos de ubicar un punto necesitaremos tres ejes
da coordenodas.
pc<.í.¡^^
I
I y x , y, z ) / x , y, z é 1 j » Espado xyz
=^:Í
y^ I
^ •^i
Uí."^
En este coso un punto nos define uno terno ( x , y, z ) y uno terna nos define Igualmen-
te un punto.
( x , y, z) £ w *==«> p es un punto del espacio.
9. -19-
Bosóndonos en io ontarior podemos hablar de un espacio de n dimensiones:
( x ^ , X2 . . . . x ^ ) é K " es un puito y un punto de K está determinado por n
reales ordenados.
Definición:
Licsnoremos n-tupios o los elemertfos de K*^. Ejemplo: ( x i , X2 . . . x ^ ) es uno
n-tupio.
Sea P un punto en un sistemo de referencia dado. Si este punto lo relacionamos con
ei origen dei sistemo definimos un vector geométrico OP , entonces o codo punto del
espacio podamos osoclorta un vector geométrico y todo vector geométrico nos define
un punto, yo que siempre podemos constniír un vector iguol o un vector dado, cuyo
origen coincido eon ei origen del sistemo de coordenodas.
E|are»|ei
Seo AB = o** un vector geométrico situado en el plono
= A = ( 0 | , 02) origen
del vector B =* ( b f , b2) «(tremo del vector.
1t
AB « 0 ( B - A ) « (b^ - o^ , b j - o j )
=
El hecho de que a codo punto de un espocio podamos asoclorle un vector geomé-
trico nos IrKkice lo siguiente definición:
Definición;
Llamaremos vector oigebraico o lo n - h ^ l o ( x | . . . x ^ ) é. K , X| es coordeno-
do o componente i del vector.
10. -20-
E| ampio:
A ' (2, - 1 ) es un vector algebraico perteneciente o I T
A'= ( - 2 , 1, O, 4 , 3) es un vector oigebraico perteneciente o t r
Igualdad de vectores olgebraicos»
A, B t « A " [ o ^ , On . . . . o )
B » ( b j , bj . . . . b^)
A •= B si y solo si 0| " b| pora todo i - 1, 2 . . . . n
Sumo de Vectores:
Seo K . Definiremos uno ley de composición interna de lo siguiente formo:
^ wT x t T — • "
( A , B) - A + B - (oj + b p 02 + b j , . . . . o^ + b „ )
Esto es A + B se obtiene sumando ios respectivas coordenodas de A y B.
.*. A + B é t"
Ejemplo: en 1 ^ A = ( 1 , 2, 3, 4 ) B » (2, - 1 , - 3 , 0)
A + B - ( 1 + 2 , 2 + (-1), 3 + (-3), 4 + 0) - (3,1,0,4) . ^^^téf^
. ^ ^ ^ ' " ^
Propiedodes: ^x*^^"
1) IJO sumo de vectores olgebraicos es uno ley de composición osociotiva
A , B, C fc i™
(A + B) + C » A + (B + C)
2) O " (O, O, O, 0 . . . 0 ) C l"
Q + A ' A + Q ' A Oes eiemer^o neutra respecto o lo sumo.
11. -21 -
3) ^ e ^ A « ( O j , ^2 . . . , o^) -A « (-Op -OJ . . . -o^) é l "
yo que oj 6 R como R es un campo - a | ^ R.
A + (-A) « ( - A ) + A = (o^ - O p <»2"*'2 • • • ^ n ' ^ ^ n ' ' ^ ( 0 , 0 / 0 • • • / 0) " Q
Todo elemento de R " posee un inverso (opuesto) en R " .
4) l o sitmo de vectores olgebraicos es conmutativo.
A + B = ( a | + b | , Oj •*"^2 • • • " n •*^**n^ * ^^1 "'""l ' • " ''n "''"n) " ^ ^ f<
Luego ia ( R " , + ) as un grupo oi>etIano.
M u l t l p l i e o c i ó n de u n v e c t o r o i g e b r a i c o p o r un escolor;
Definición:
S e a ^ é R , A ¿ R " . S e a f i R x R " »- R"
{e< , A ) — * i A = ( / O ^ , o¿a2 . . . o¿a^)
^ k € ^ Ejemplo en R"* A = ( 1 , 2, 3 , - 4 ) ^«-2
2A * ( - 2 , - 4 , - 6 , 8) .
Propiedod» de e ^ op<micIón»
Sea o/ , / ^ ^ R , A , B £ R"
1) {cL +/6> ) A = « Í A + /3A
2) *^(A + B) » C^A + Í^B
3) /0 ( ^ A) « ( /*^ ) A
4) IA - A
Wxy que notar que en algunos cosos + nos represento uno sumo de reales y en
otres uno sumo de vectores. Ejemplo:
(c^ + / 4 ) A « '^ k + '^A
Sumo de reates Suma de vectores
12. -22-
Iguolmer^ sucede con ei producto: en unos casos es producto da realas y en otros
producto de un escolar por un vector.
Yo tenemos estructurodos tos vectoras algebraicos y estudiadas sus operaciones.
Ahora vamos o trotar de mostrar qué vectores geométricos son simptemerte vectores
olgebiolcos cuondo n = 1, 2 y 3. Yo vimoi que pora n = 1, 2, 3 codo punto o ele-
mento de Rr nos defina con el origen un v e d a r . Además si revisamos ios propieda-
des de los operoclones hasta ohora definidos en los respectivos conjuraos, vemos que
son los mismas; por consiguiente, basto demostrar ios equivolencios de las opera-
elor>es.
Entonces, después de haber hecho estos demostraciones, podremos trabajar de uno
manara más general con K y MIS operoclones y todos los rasuitodos que obtenga-
mos sarán válidos pora los vedares g^ynétrleos.
Btudloremos lo equivolenclo da los operaciones en r (en ei plano), iguolmen-
te sa demuestran en 1 y 3 dimensiones.
Sao A B un vector geométrico si -
B>Ci9,U)
tuodo en el p i o i o . Entonces:
A * ( a | , 0 2 ) es ei origen dei vec-
tor A T -
B = ( b « , I12) es el extremo del vec-
tor A B.
AB " O(B-A) • ( b | - 0 | , b 2 " 0 2 ^ ^ ' ^ yo es un vector algebraico.
Pora io sumo:
Sean o y b vectores geométricos; hogomos coincidir ios orígenes de o y b eon et
« , ! _ . _ J_l .»,» J - .1 I.- «I I . » . . I _^ » _ /
j*ifmií M«i aiMoiiivi u v «.(.ruruNNiuua» y c u n « n u uwriiHrno» iu» p u n r o * A ~ ai , «2/
B = (b,, bj).
Hallemos ahora o + b . Estoes, en el extremo de o trazomos un vector iguol o
b , el vector rasultortfe a V b tiene origen en O y definiremos ei punto C los
coar<fonadcn de C < (o^ + b | , 02 + b 2 ) ; luego de ocuerdo o lo definición de
=
«ifflo en R^ :
C - A * »
13. -23-
C - C^l+loijll-rbx)
Por consiguiente es equivalente sumar vectoras geométricos y algebraicos.
Pora la multiplicación por un esoaiori
Seo o un vector geométrico. Sltuémoslo en el origen det sistemo de coordenadas.
Constmyomos «^ol Esto nos define un punto. Llamémoslo C ( c i , C2) .
f«. e») Los triángulas O A A * y OCC* son
semejantes . *.
l|;r^¡l _ c] C2
lo U °1
02
«1
c, - o{ a, «2 • - ^ « ^ ( <^ o ^ ,
> í^ O j ) » «^ A
Luego es equivalente muitipiicor vectores geométricos por un ascoior que multipli-
car vectores algebraicos por un escolar.
* ^ s %• • n« t i.yM • VI W'^n i w« v o w f l - ^ i o # ifd^Mirws I • %»Oi» « « t I s n i wt»* ta/w ^ w i v«i % > i,») il ^
> «ii Bñ e
i^fíniciSn:
Saon A y B6 R A es poralelo o B si exista o^ £ W tol qua
. A *= < < B
71
14. -24-
Ejwnpio:
Sao A = ( 1 , 3, 6 ) B - ( 3 , - 9 , 18) C - (IA h 2)
Es A paralelo o B? Es A poralelo o C ?
0) Supongamos que existe d tal qua A =• <^ B
(1,3,6) » ^ ( 3 , - 9 , 18)
( 1 , 3, 6 ) « ( 3 ^ . - 9 c ¿ , 18«í )
De lo iguoldod en R^^ obtenemos un sistemo de tres ecuaciones con uno I n -
cógnito
1 = 3 ^ í^= 1/3
3 « -9¿v: o^« -1/3
6 = 18^ o¿. 1/3
.*. Este sistemo no tiene solución luego no existe tol que A - (?¿ B
.*. A no es paralelo o B .
b) Supongamos que A es paralelo o C . Entonces: A * <^ C
(1,3,6) = ^ ( 1 / 3 , 1, 2)
(1,3,6) = («^/3, c ^ , 2^ )
m d / ^ .vr*>f. «{ = 3 Sistemo de tres ecuo-
3 = 1 ^ ciones con una
6 = 2°^ ~ » > c^« 3 Incógnito.
Solución de! SIEÍSÍTO C*- — "^ .'. A es '^rntelo o C .
Ejercicios;
1) Demostror las propiedades de lo sumo y de lo multiplicación por un escolor
en los vectores olgebraicos.
15. -25-
2) Seon A * ( 1 , 3, 6 ) B • ( 4 , - 3 , 3) y C = ( 2 , 1, 5) vectores
de R^ . Deterniinor:
1) A + B , 2) A - 3 B + 2C 3) A - 3 ( A - 2B) - 2 ( 2 C - A )
3) Seo A-(2,2) B=(2, 4). Halle para t = 1 , t = - 1 , t - 2, t = - 2 ,
t - 1/2, t = 4
o) A + tB SI une todos estos puntos qué obtiene?
b) tA + B Si urte todos estos puntos qué obtiene?
4) Seo A = (2,1) B = ( 1 , 3) C " (5, 3 )
0) H o l l a r ^ "^ 2 * toles que C " ¿ ^ ^ A +-^2*
b) Mostrar que todo X £ Wd X " (x, y) puede expresorse como
X •<?<:.A + J ^ h • Expresar ¿^ « y «^ 2 * " función de x y de y .
c) SI X * (O, 0 ) , cuáles son los volores de ¿x!^ . y c^. ^ 7
5) Seo A = ( 1 , 1 , 1) B « (O, 1 , 1) y C = ( 2 , 1 , 1) tres vectores
deR"'. SI D ^ ^ ^ A + t ? i ^ i + U ^C donde -<^, £ R
1) Determinar ios componentes de D.
2) Hollar volores pora ^ I , C ¿ A , (^3 no todos mitos toles que D "» O
3) Hottor ^ ^ ^ 2 ^ 3 * « ' « <í»« ^ = ( 3 , 3, 3)
4) Mostrar que no existe c^ , cr¿ c¿ ^ toles que D "^ ( 1 , 2 , 3)
6) Seo o un vector geométrico de móckilo 4 . Se formo con ei eje positivo de
tos X un ángulo de 120 . Expresarlo como vector oigebraico.
7) Sea A , B <^ R^. Hollar un vector P tol que el P seo punto medio
de T t
16. -26-
8) Seo A « ( 1 , 2 , 3) B * ( - 3 , - 4 , 1) . Hollar un vector P tol que
TP' = 2 PB*.
Sección 3. Estractura de bpoeJo Vectorlol
Yo vimos que los vectores ojgeL>raicos son uno generalización de los vectoras geométri-
cos. A contlmioción definiremos un espocio vectorial sobre un campo, que es uno ge-
neraiizoción más fuerte de ios propiedodes de ios vectores. Pora ello postularemos uno
a«rfe da requisitos. Si los elementos de un conjunto y de un campo los cumplen d i r e -
mos que V as un espacio vectorlol sobre dicho compo y los elementos de V los tlomo-
ramos vectores.
Definición:
Seo V un conjunto, K un campo.
En V definiremos uno ley de composición Interno V x V ' » V que lloDoremos
sumo ( + ) y definiremos otra qperación de K x V * V que llomoremos muitl-
pliooclón por un escolar.
V es un Mpocio vectorial sobre un campo, si se cumplen ios siguientes condicio-
nes: Sea i l , c/z ^ K f V | , V2 ^ V
1) ( V , +) es un grupo obeliono
2) ( .^ ^ + -^ 2 ) ^1 * "^ 1 ^1 "^ '^ 2 ' ' l
3) D¿. (v^ + Vj) «^ »¿iv^ 4 di V2
-•) c¿,(«/2^1^ " ^ "^'1 ' ^ 2 ^ ^ 1
5) 1 . V. " V. donde 1 es ei eiemento neutro respecto oi producto dei
campo.
En general, aquí trabajaremos con • ! campo de ¡o» reaies.
Ejemplo 1 :
Es cloro que tos vectores geométricos y vectores algebraicos son espacios vectoria-
les sobre los R .
17. -27-
Ejemplo 2 :
Seo F " [f: R R/ f es continua j
K = R
Seo V '2 ^ '^ ^ ^ *
+ f^ + f2.- (', + ^2^** " ^ ^ ^ * '2^**^
ic¿f^){x) = ^f,(?c)
F es un espocio vectorial sobre los reoles.
Ejemplo 3 :
P = • / OQ + o^x + 02X + o ^ x ^ / a . £ R 1 = 1 . . . n j
P « conjunto de todos los polinomios de grado menor o iguol o n .
Seo K = R
Seo p,(x), PJÍK) ^ P a/éñ
O n
D.íx^ = b- + b»x + bjx + ... + b X
9 n
P2(x) = C3 + c^x + C2X + . . . + c^x
"+" P,(x) + P2(x) - (bo + C3) + (b, + c^)x + (b2 + e2)x2 + . . . + (b„ + Cn)x^
. 2p,(x) - « ^ b ^ + ( ^ b , ) x + (^b2)x^ + ... (^b„)x"
18. -28-
El conjunto P es un espocio vectorial sobre los raotes.
El objetivo de los ejemplos 2 y 3 es mostrar que Riera de R hoy otro tipo de
cortjuntos que son espacios vectoriales. En estos notos se demuestran los teore-
mos en un espacio vactoriol cuolquiera, pero siempre se ejemplorizará en R " .
Ejemplo 4 1
Seo A -(I,2)J
Sp(A) = ^ 1 ( 1 , 2 ) / oié R ^ Sp(A) C R^ Á é
v^, Vj é Sp(A) — * v^ - ¿^ ( 1 , 2) - i í é- «
Vj = ¿ 2 (U 2) ¿2 ^ •
+ v^ + ^2 ' ^ , ( U 2 ) + i ^ í ^ ' 2) « ( i ^ + o¿2)(l, 2)
. iv^ - ái o/^ ( 1 , 2 ) ) « (-Í c/^)(l, 2)
=
Veentos que Sp(A) es un especio vet^orloi sobre los raotes con Icn operaciones
anteriormente definidas.
"+" es uno ley de composición Interno yo que:
V, + Vj = ( ^ ^ + < ¿ 2 ) < ' ' 2 ) é Sp(A) yo que « , + j
^ ^^ * por
ser R un compo.
iv, - (<*! ¿ p ( l , 2) é Sp(A) yaque Á J. ^ ^ W por
sar R un «vnpo.
Veamos ohora que:
1) ( S p ( A ) , + ) a s u n grupo obationo
o) " + " as osociotiva. Seo v , , v - , v^ ^ Sp(A) Vj = / 3 ( 1 , 2)
N|*V2)+V3- [{cl^*J.2)(},2)] + ^ 3 ( 1 , 2 ) - ( ( ' ^ , + o l 2 ) * ' ^ 3 ) 0 , 2)
* («^ , + ( ' ^ 2 ' ' ' ° ^ 3^^^^'^^ osoclotividod de ios reatas
19. -29-
t^ ( I , 2) - ^ [ { c l -i-Ji ) { , 2)1 definición operoció
on
^ , (1,2) + [ i 2 0,2) + Ji 3 O, 2)]
Vl + ( v , + V , )
b) (O, 0) 6 Sp(A) yaque (O, 0) = 0 ( 1 , 2) = ( 0 . 1 , 0 . 2 ) O é- R
<L^ ( 1 , 2) + 0 ( 1 , 2) = 0 ( 1 , 2) + ¿ ^ O, 2) - cl^ ( I , 2)
c) V. 6 Sp(A) Como o¿ . é M. - Í¿ ^ ^ ñ (Inverso respecto o +)
tuego - v^ = - ^ ^ ( * , 2) 6 Sp(A)
i , 0 , 2 ) + ( - ^ , ) ( 1 , 2) = ( ¿ ^ - .'^,)(1, 2) = (O, 0)
d) "+" es conmutativa.
V, + v^ = (t¿^ + « ! 2 ) 0 , 2) = ( o l j + t^ ^ ) 0 , 2)
< Conmutotivldod res-
= Vj + V pecto o io + de R
2) Seo r,;<;¿ ¿- R
( r +<¿ ) V, » ( ( r + ;. ) ;2^ ( 1 , 2) = i r c l y + ^ <^,) (1, 2) distributívídod de R
=
- (r^,)0,2) + ( ^ ^ , ) ( l , 2)
r Vj + c¿ V,
'1
3) r ( v , + Vj) = r i i J - ^ + d 2 ) 0 , 2 ) ) = ( r ( í ^ , + ^ 2 ) ) 0 , 2) dlstributibidod de I
K
r ^ (. 7) + r^ ^ n . 2)
r v^ + r V j
4) r ( ^ v^) = r ( ( , l ^ ^ ) ( 1 , 2 ) ^ { r { JL Jí ^ ) ) ( 1 , 2) = (r , ¿ ) ( / ^ ( l , 2)) oso-
= ( r ,¿ ) v ciotividod de iS
20. -30-
5) l.v, - l o / , ( 1 , 2) « ^ ,
= (1,2)
1
Hoy que notar que en ios demostraciones de codo uno de los numerales anteriores
son básicos los propiedodes del compo en este coso los R.
Gráficamente Sp(A) es el siguiente conjunto:
Propiedodes de un espocio vectorial sobre un campo:
Teorema:
Seo V un espacio vectorial sobre un campo K. Entonces:
1) Seo V ¿ V O é K (O eiemento neutro respecto o lo sumo)
Ov ' O O (elemento neutro de ( V , + ) )
2) Ji & K O é: V
JO » O
3) JLé K A ^ O v^-V
,¿v = O ==t» V = O
4) (- 1)V - - V
21. -31 -
dm :
1) i) 0 + 0 * 0 neutro del compo
Ov « (O + 0 ) V •= Ov + Ov propiedad 2 de espocio vectoriol
Ov at Ov + Ov luego Ov actúo como neutro y como ( V , + ) es un
grupo, ei neutro es único luego Ov " O .
li) V é V ==*> -V t V
Ov + V = (O + 1 ) v = 1V = V
(Ov + v ) + ( - v ) = V + (-v)
Ov + (v + ( - v ) ) = O
Ov + p * O Ov « O
2) I t K S e o v í V JvÉ^V
^0 + ¿V = J(0 + v) - «iv ( - i/ v ) 6 V
( JO + ¿ v ) + (- i v ) « « V + ( - i v)
1
O + ( ¿V + ( - ¿ v ) ) - O
^0 + 0 = 0 «^o-o
»
3) JtK ¿ ?t O =«b J"' 6- K
Seo Jv = O
i^iv) = I "^0)
( ¿"V )v « g
l.v = Q
V - O
22. -32-
4) (-l)v + v = -lv + lv= (-1+1 )v = 0v = Q
(- 1 ) V + V = O Como ( V , +) M un grapo, v solomente ti
un opuesto luego - 1 v = - v .
Definición:
Seo V un espocio vectoriol sobre un campo K.
V , , Vj 6- V , A & K
Vi es poralelo o V2 si y solo si existe « ^ K tol que v, "» « V2 .
^ 2
Ejerclclos:
1) Demostrar Ejemplos 2 y 3.
2) Demostrar que los reates son un E.V. sobre los reoles.
3) Seo e, = ( 1 , O, 0) eg » (O, 1, 0) e , , 02 é- R^
Considere el siguiente conjunto:
S p ( ( « i , « 2 Í ) '-[«^ l ' l ^-^ 2 « 2 / ' ^ l " ^ 2 ^* ) *^
y como compo los raoies.
Seo v,,V2¿ Sp((e,,e2lí) ^'i " « ] «1 ^ -^ 2 *2
^ J ,1 2 ^ ^
Vj = S,e, + í 2*2 S i S2 ^»
H X "
+" V, + VJ = (,^, + ^ , ) e , + (¿2"^J'2)*»2
;3v, = {/iJl p e , + (/3J2)e2
Es Sp ( { e . , •2!!) ^°'^ ' ° * operoclones anteriormente definidos un Mpocio
vectoriol sobre los R ?
Gráfioomertte c^é represento Sp ( j e , , 02^ ) ?