Este documento presenta los temas de un curso de física preuniversitario. Incluye información sobre sistemas de coordenadas en el plano, vectores en el plano, fuerzas y vectores en el espacio. También detalla la evaluación del curso y los temas a cubrir, incluidos ejemplos y ejercicios de sistemas de coordenadas y vectores.

1. 1
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO
FACULTAD TÉCNICA
CURSO PREUNIVERSITARIO
(TURNO VESPERTINO)
DOCENTE:
Ing. Jhonny Freddy Copa Roque
ASIGNATURA:
FÍSICA
TEMARIO:
TEMA 1: SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL PLANO.
TEMA 2: VECTORES EN EL PLANO.
TEMA 3: FUERZAS.
TEMA 4: VECTORES EN EL ESPACIO.
EVALUACIÓN:
ASISTENCIA: 10 %.
PRÁCTICAS: 20 %.
DOS EXÁMENES PARCIALES: 30 %.
EXÁMEN FINAL: 40 %.
TOTAL 100 %.
SEMESTRE 2/2010

2. 2
TEMA 1
SISTEMA DE COORDENADAS EN EL PLANO
DEFINICIÓN
Llamado también coordenadas rectangulares. Un sistema de coordenadas rectangulares es
un sistema de dos ejes o rectas que se cortan en un punto O, siendo perpendiculares entre
si.
- Al eje horizontal, le llamaremos el eje de las X o abscisas y las distancias de O
serán positivas hacia la derecha y negativas hacia la izquierda.
- Al eje vertical, le llamaremos el eje de las Y u ordenadas y las distancias de O
serán positivas hacia arriba y negativas hacia abajo.

3. 3
Los ejes dividen al plano en cuatro partes llamados cuadrantes.
X O Y : es el primer cuadrante.
Y O X’ : el segundo cuadrante.
X’ O Y’ : el tercer cuadrante.
Y’ O X’ : el cuarto cuadrante.
El origen O divide a cada eje en dos semiejes, uno positivo y otro negativo.
OX : Semieje positivo del eje X.
O X’ : Semieje negativo del eje X.
OY : Semieje positivo del eje Y.
O Y’ : Semieje negativo del eje Y.
PAR ORDENADO
Es un conjunto formado por dos elementos a y b anotados así:
(a, b)
Donde a se llama primera componente del par ordenado y b es la segunda componente. Un
par ordenado se utiliza para representar un punto en un sistema de coordenadas; donde la
primera componente representa la distancia de O en dirección horizontal, y la segunda
componente representa la distancia desde O en dirección vertical.

4. 4
(x, y)
DETERMINACIÓN DE UN PUNTO POR SUS COORDENADAS
1. Determinar el punto (2,3).
2. Determinar el punto (-3,5).
3. Determinar el punto (-2,-4).
4. Determinar el punto (4,-2).
RESUMEN
CUADRANTE ABSCISA (X) ORDENADA (Y)
PRIMER CUADRANTE X o Y + +
SEGUNDO CUADRANTE Y O X’ - +
TERCER CUADRANTE X’ O Y’ - -
CUARTO CUADRANTE Y’ O X’ + -

5. 5
EJERCICIO 1
Determinar los puntos: P1 (4,2), P2 (-3,4), P3 (-3,-3), P4 (2,-5), P5 (0,3) y P6 (-2,0).
EJERCICIO 2
Trazar la línea que pasa por los puntos:
a) (-2,1) y (-4,4) b) (2,-4) y (5,-2) c) (-4,0) y (0,-2) d) (-3,-6) y (0,1)

6. 6
EJERCICIO 3
a) Dibujar el triángulo cuyos vértices son los puntos: (0,6), (3,0) y (-3,0).
b) Dibujar el cuadrado cuyos vértices son: (4,4), (-4,4), (-4,-4) y (4,-4).

7. 7
c) Dibujar el rectángulo cuyos vértices son: (1,-1), (1,-3), (6,-1) y (6,-3).
PRÁCTICA 1
1. Determinar gráficamente los puntos: P1 (-1,2), P2 (2,-3), P3 (3,-4), P4 (-3,-4), P5 (-
3,0) y P6 (-4,-3).

8. 8
2. Trazar la línea que pasa por los puntos: a) (1,2) y (3,4) b) (-3,-2) y (-1,-7) c) (3,0) y
(0,4) d) (-4,5) y (2,0) e) (-3,-2) y (3,2).
3. Dibujar las siguientes figuras geométricas:
a) Dibujar el triángulo cuyos vértices son los puntos: (0,-5), (-4,3) y (4,3).

9. 9
b) Dibujar el cuadrado cuyos vértices son: (-1,-1), (-4,-1), (-4,-4) y (-1,-4).
c) Dibujar el rombo cuyos vértices son: (1,4), (3,1), (5,4) y (3,7).
d) Probar gráficamente que la serie de puntos (-3,5), (-3,1), (-3,-1), (-3,4), se halla
paralela a la línea que contiene a los puntos (2,-4), (2,0), (2,3), (2,7).

10. 10
TEMA 2
VECTORES EN EL PLANO
DEFINICIÓN
Vector es aquel elemento matemático, indicado por un segmento orientado que nos permite
representar gráficamente a una magnitud vectorial.
En la escritura, una letra del abecedario mayúscula o minúscula en negrilla como por
ejemplo:
A (en negrilla o tipo grueso)

11. 11
ELEMENTOS DE UN VECTOR
Los elementos de un vector son:
B
L
C
O
A
PUNTO DE APLICACIÓN
Llamado también origen, es el punto donde se supone actúa el vector. En el gráfico es el
punto O.
MÓDULO O INTENSIDAD
Representa el valor de la cantidad física vectorial. En el gráfico esta representado por L.
SENTIDO
Es la orientación del vector y se representa por una flecha. En el gráfico el sentido es de O
a C.
DIRECCIÓN
Esta representada por la recta que contiene al vector. En nuestro caso, la recta que contiene
al vector es la recta A B.
REPRESENTACIÓN DE VECTORES
Los vectores pueden representarse en las siguientes formas:
a) REPRESENTACIÓN GRÁFICA: Un vector se representa gráficamente por un
segmento de recta dirigido.
A a

12. 12
b) REPRESENTACIÓN RECTANGULAR O CARTESIANA: Para esta forma de
representación es necesario tomar como referencia un sistema de ejes coordenados
rectangulares; en estas condiciones, se dice que un vector está representado en
forma rectangular o cartesiana cuando viene definido por un par ordenado (x,y). su
notación es:
A = (Ax, Ay) representa un vector en el plano.
Ejemplo 1, representar los siguientes vectores:
→ → → → →
A = (4,3); B = (2,5); C = (3,−4); D = (−5,−2); E = (−3,4)
c) REPRESENTACIÓN POLAR: Un vector está representado en forma polar
cuando viene definido por un par ordenado (A, θ), donde A representa su magnitud
y θ el ángulo que forma con una recta de referencia (por lo general el eje positivo
x).
→
A = (A, θ )
Ejemplo 2,
→ → →
A = (60,0°) B = (90,35°) C = (180,220°)

13. 13
CLASES DE VECTORES
Estudiaremos las siguientes clases:
1) VECTORES LIBRES, son aquellos vectores que se pueden desplazar libremente a
lo largo de sus direcciones o hacia rectas paralelas sin sufrir modificaciones.
2) VECTORES PARALELOS, dos o mas vectores son paralelos si las rectas que los
contienen son paralelas.
A B
L1 L2
3) VECTORES COPLANARES, dado un conjunto de vectores se dice que son
coplanares cuando las rectas que los contienen están en un mismo plano.

14. 14
4) VECTORES CONCURRENTES O DISCURRENTES, cuando sus líneas de
acción (dirección) se cortan en un solo punto.
5) VECTORES COLINEALES, cuando sus líneas de acción se encuentran sobre una
misma recta.
6) VECTORES IGUALES, si tienen igual magnitud y dirección.
→ →
A=B
7) VECTORES OPUESTOS, se llaman opuestos si tienen igual magnitud, la misma
dirección y sentido contrario u opuesto.
→ →
A = -B
OPERACIONES CON VECTORES
MÉTODOS GRÁFICOS
SUMA DE VECTORES
La suma de dos o más vectores es otro vector resultante. La resultante es aquel vector que
al reemplazar a un conjunto de vectores produce el mismo efecto que el conjunto. Se tienen
los siguientes métodos gráficos:
a) MÉTODO DEL PARALELOGRAMO, válido para dos vectores, consiste en
trazar los dos vectores con sus magnitudes, direcciones y sentidos de modo que sus
orígenes coincidan, luego se trazan paralelas a cada vector; la suma R estará
representada por la diagonal del paralelogramo, cuyo origen es el de los vectores
dados.

15. 15
EJERCICIO 1:
→ → →
R = A+ B
EJERCICIO 2:
→ → →
R = M+ N
b) MÉTODO DEL TRIÁNGULO, es una deducción del método del paralelogramo.
Consiste en formar un triángulo con los vectores dados, colocándola una a
continuación del otro. La resultante se obtiene uniendo el origen del primer vector
con el extremo final del segundo, en este sentido.
EJERCICIO 3:
→ → →
R = A+ B
EJERCICIO 4:
→ → →
R = C+ D
c) MÉTODO DEL POLÍGONO, se emplea para sumar más de dos vectores. El
método es análogo al del triángulo.

16. 16
EJERCICIO 5:
→ → → → →
R = A+ B+ C+ D
DIFERENCIA DE VECTORES
La diferencia de vectores es un caso particular de la suma; pues, si se tiene los vectores
→ →
A yB.
→ → →
 →
A− B = A+  − B 
 
O sea que se convierte en adición al sumar el primer vector al opuesto del segundo.
→ →
EJERCICIO 6: Hallar A − B
→ →
 →
R = A+  − B 
 
METODOS ANALÍTICOS
Para realizar operaciones con vectores mediante los métodos analíticos, primeramente es
necesario conocer o tener nociones generales sobre las funciones trigonométricas.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Para hablar de funciones trigonométricas, específicamente debemos referirnos aun triángulo
rectángulo.

17. 17
Respecto al ángulo α: a es el cateto opuesto b es el cateto adyacente.
Respecto al ángulo β: a es el cateto adyacente b es el cateto opuesto.
Respecto al ángulo α:
a b a
Senα = , Cosα = , Tanα =
c c b
Respecto al ángulo β:
b a b
Senβ = , Cosβ = , Tanβ =
c c a
TEOREMA DE PITÁGORAS
Este teorema se aplica para hallar la resultante de dos vectores si estos forman un ángulo de
90° entre si.
R 2 = A2 + B 2
TEOREMA DE LOS COSENOS
Este teorema se utiliza para hallar la resultante de dos vectores en el caso de que formen
entre si un ángulo diferente de 90°.
α = 180° − β
R 2 = A 2 + B 2 − 2 ABCosα = A 2 + B 2 − 2 ABCos (180° − β )
R = A2 + B 2 − 2 ABCos(180° − β )
TEOREMA DE LOS SENOS
Para aplicar este teorema se construye gráficamente la resultante de la suma o diferencia de
dos vectores, formando de esta manera un triángulo.

18. 18
A B R
= =
Senγ Senδ Senα
EJERCICIO 7:
DATOS: A = 75 Kp (180° con la horizontal), B = 100 Kp (35° con la vertical).
R = A2 + B 2 − 2 ABCos(125°) = 752 + 100 2 − 2 ⋅ 75 ⋅100 ⋅ Cos(125°) = 155.66( Kp)
EJERCICIO 8:
En el siguiente gráfico A = 600 N. determinar el valor de la componente B y el de la
resultante R.
B 600 600 ⋅ Sen 30°
= ⇒B= = 346.41(N )
Sen 30° Sen 120° Sen 120°
R 600 600 ⋅ Sen 30°
= ⇒B= = 346.41(N )
Sen 30° Sen 120° Sen 120°
DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR DE VECTORES
Es expresarlo en función de otros vectores ubicados sobre rectas perpendiculares entre si.

19. 19
DETERMINACIÓN DE FÓRMULAS
OA=BC (Por construcción).
OCB Es triángulo (Por construcción).
Por trigonometría
Vx
Cosα = ⇒ Vx = V ⋅ Cosα Componente en el eje x.
V
Vy
Senα = ⇒ Vy = V ⋅ Senα Componente en el eje y.
V
La resultante se obtendrá con la siguiente relación:
V = (Vx ) + (Vy )
2 2
El ángulo que forma la resultante con el eje de abscisas (eje x) viene dado por la fórmula:
 Vy 
α = Arc Tan 
 Vx 
EJERCICIO 9: Datos: A = 90 Kp, B = 60 Kp, α = 20°, θ = 50°, hallar la R y φ.
β = 90° − θ = 90° − 50° = 40°

20. 20
∑ Rx = −B⋅Cos β + A⋅Cos α = −85⋅Cos 40° + 65⋅Cos 20° = −4.03 (N)
∑ Ry = −B⋅Sen β + A⋅Sen α = −85⋅Sen 40°+ 65⋅Sen 20°= 76.87 (N)
R= (∑ Rx) + (∑ Ry )
2 2
= (− 4.03)2 + (76.87)2 = 76.98 (Kp )
 ∑ Ry 
θ = Arc Tan  = Arc Tan 76.87  = 87°
 
 
 ∑ Rx   4.03 
EJERCICIO 10: Datos: A = 90 Kp, B = 60 Kp, C = 120 Kp, D = 30 Kp, α = 45°, β = 30°,
φ = 60°. Hallar la R y δ.
∑ Rx = − A⋅Cos 45° + C ⋅Cos 30° − B ⋅Cos 30° + D = 90⋅Cos 45° +120⋅Cos 30° − 60⋅Cos 30° + 30 =145.6 (Kp)
∑ Ry = − A⋅ Sen 45° −C ⋅ Sen 30° − B⋅ Sen 30° = 90⋅ Sen 45° +120⋅ Sen 30° − 60⋅ Sen 30° = −26.36 (Kp)
R= (∑ Rx) + (∑ Ry )
2 2
= (145.6)2 + (− 26.36)2 = 147.97 (Kp )
 ∑ Ry 
θ = Arc Tan  = Arc Tan 26.36  = 10.26°
 

 ∑ Rx 
  145.6 

21. 21
PRACTICA 2
1.- Sumar los siguientes vectores mediante el método del paralelogramo.
a)
b)
2.- Sumar los siguientes vectores mediante el método del triángulo.
a)

22. 22
b)
3.- Sumar los siguientes vectores por el método del polígono.
a)

23. 23
b)

24. 24
PRÁCTICA 3
EJERCICIO 1.-
DATOS: A = 100 (N), B = 125 (N), C = 75 (N), D = 50 (N), E = 150 (N).

25. 25
∑ Rx = B + A⋅Cos 20° − C⋅Cos 60° − E⋅Cos 40° − D ⋅ Cos 45° =
= 125 +100 ⋅ Cos 20° − 75 ⋅ Cos 60° −150 ⋅ Cos 40° − 50 ⋅ Cos 45° = 31.21 (N)
∑ Ry = A⋅Sen 20° + C⋅Sen 60° + E⋅Sen 40° − D⋅Sen 45° =
= 100 ⋅ Sen 20° + 75 ⋅Sen 60° −150 ⋅ Sen 40° − 50 ⋅ Sen 45° = 160.22 (N)
∑ Rx = 31.21(N )
∑ Ry = 160.22(N )
R= (∑ Rx) + (∑ Ry )
2 2
= (31.21)2 + (160.22)2 = 163.23 (N )
 ∑ Ry 
θ = Arc Tan  = Arc Tan 160.22  = 78.98°
 

 ∑ Rx 
  31.21 

26. 26
EJERCICIO 2
∑ Rx = 5 ⋅ Cos 60° − 16 ⋅ Cos 45° − 11 ⋅ Cos 30° = -13.34 (Kp)
∑ Ry = 15 ⋅ Sen 60° + 16 ⋅ Sen 45° − 11 ⋅ Sen 30° − 12 = 6.8 (Kp )
∑ Rx = −13.34(Kp )
∑ Ry = 6.8(Kp )
R= (∑ Rx) + (∑ Ry )
2 2
= (− 13.34)2 + (6.8)2 = 14.97 (Kp )
 ∑ Ry 
θ = Arc Tan  = Arc Tan 6.8  = 27.01°
 
 
 ∑ Rx   13.34 

27. 27
EJERCICIO 3
∑ Rx = 3 + 4 ⋅ Cos 30° − 4 ⋅ Cos 30° = 3 (Kp )
∑ Ry = 4 ⋅ Sen 30° + 4 ⋅ Sen 30° = 4 (Kp)
∑ Rx = 3(Kp )
∑ Ry = 4(Kp )
R= (∑ Rx) + (∑ Ry )
2 2
= (4)2 + (3)2 = 5 (Kp )
 ∑ Ry 
θ = Arc Tan  = Arc Tan 3  = 53.13°
 
 
 ∑ Rx  4

28. 28
EXAMEN PRIMER PARCIAL
1. Ubicar los siguientes puntos en el eje cartesiano: (5,0), (1,1), (0,5), (-1,1), (-5,0), (-
1,-1), (0,-5), (1,-1).
2. Dibujar la recta que pasa por (4,0) y (0,6) y la recta que pasa por (0,1) y (4,5) y
hallar el punto de intersección de las dos rectas.

29. 29
3. El siguiente grupo de vectores resuelva por:
a) Por el método del polígono.

30. 30
b) Por el método de descomposición rectangular.
∑ Rx = 3 + 4 ⋅ Cos 30° − 3 ⋅ Cos 45° = 4.34 (m )
∑ Ry = 2 + 4 ⋅ Sen 30° − 3 ⋅ Sen 45° = 1.88 (m )
∑ Rx = 4.34(m )
∑ Ry = 1.88(m )
R= (∑ Rx) + (∑ Ry )
2 2
= (4.34)2 + (1.88)2 = 4.73 (m)
 ∑ Ry 
θ = Arc Tan  = Arc Tan 1.88  = 23.42°
 
 Rx 
∑   4.34 

31. 31
TEMA 3
FUERZAS
FUERZAS COPLANARIAS PARALELAS - MOMENTO DE UNA FUERZA (O
PAR)
Con respecto a un eje es una medida de la efectividad de la fuerza para producir una
rotación alrededor de dicho eje.
MOMENTO = MÓDULO DE LA FUERZA x DISTANCIA DEL EJE DE ROTACIÓN
Si la fuerza se expresa en Kilopondios (Kp) y la distancia en metros (m), la unidad de
momento es el Kilopondio-metro (Kp-m).
DEFINICIÓN DE EQUILIBRIO
Un cuerpo sobre el que actúa un sistema de fuerzas está en equilibrio cuando dicho sistema
no produce cambio alguno ni en su movimiento de traslación (rectilíneo), ni en el de
rotación.
CONDICIONES DE EQUILIBRIO BAJO LA ACCIÓN DE FUERZAS
COPLANARIAS PARALELAS
1. La suma algebraica de las fuerzas aplicadas a un cuerpo en una dirección cualquiera
debe ser cero. Ello equivale a decir que la suma de las fuerzas hacia arriba sea igual
a la de abajo y lo mismo para las fuerzas actuando en otras direcciones.
∑ Fv = 0 ∑ Fh = 0
2. La suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas aplicadas a un cuerpo con
respecto a un eje cualquiera perpendicular al plano que las contiene debe ser cero.
∑ Mo = 0
EJERCICIO 1
Una barra AC de 1 m de longitud está sometida a la acción de tres fuerzas verticales.
Encontrar:

32. 32
a) La suma algebraica de las fuerzas.
b) La suma algebraica de los momentos con respecto a un eje que pase por cada uno de
los puntos A, B y C.
c) La resultante y equilibrante del sistema de fuerzas.
a) ∑ Fv = 0
= (− 3 + 2 − 4)Kp = −5 (Kp )
b)
∑M A = (2 ⋅ 0.6 − 4 ⋅ 1)Kp ⋅ m = −2.8(Kp ⋅ m )
∑M B = (3 ⋅ 0.6 − 4 ⋅ 0.4)Kp ⋅ m = 0.2(Kp ⋅ m )
∑M C = (3 ⋅ 1 − 2 ⋅ 0.4)Kp ⋅ m = 2.2(Kp ⋅ m )
c)
Si la resultante R = - 5 Kp, la equilibrante E = 5 Kp

33. 33
∑M A =0
4 − 1 .2
2 ⋅ 0 .6 − 4 ⋅ 1 + 5 ⋅ x = 0 ⇒ x = = 0.56 (m )
5
∑M B =0
3 − 0 .8
3 ⋅ 1 − 2 ⋅ 0 .4 − 5 ⋅ y = 0 ⇒ y = = 0.44 (m )
5
Entonces:
L = 0.56 + 0.44 = 1 (m )
EJERCICIO 2
Hallar la longitud de los brazos de una palanca de 36 cm de largo, sabiendo que permanece
en equilibrio cuando de sus extremos cuelgan dos pesos de 10 Kp y 20 Kp respectivamente.
Se supone que la palanca no tiene peso.
∑M A =0
720
10 ⋅ x − 20 ⋅ (36 − x ) = 0 ⇒ 10 ⋅ x − 720 + 20 ⋅ x = 0 ⇒ x = = 24 (m )
30
Entonces: y = 36 − x = 36 − 24 = 12(m )

34. 34
EJERCICIO 3
Una varilla AB, de peso despreciable y 100 cm de longitud, se encuentra sometida a la
acción de las fuerzas horizontales de 8, 4, 2 y 2 Kp representadas en la figura. ¿Qué es
necesario añadir al sistema para que se encuentre en equilibrio?
∑F H =0
R = (− 2 − 2 + 4 − 8)Kp = −8 (Kp ) Hacia la izquierda.
Entonces la equilibrante será: E = 8 (Kp) Hacia la derecha.

35. 35
∑M A =0
200 + 160 − 80
2 ⋅ 100 + 2 ⋅ 80 − 8 ⋅ y − 4 ⋅ 20 = 0 ⇒ y = = 35 (m )
8
EJERCICIO 4
Una barra uniforme AB de 100 cm de longitud y 5 Kp de peso, está sometido a la acción de
una fuerza vertical hacia debajo de 2 Kp aplicada a un punto situado a 20 cm del extremo
A, y a las fuerzas verticales hacia arriba de 5, 3 y 8 Kp aplicadas respectivamente. ¿Qué es
fuerza es necesario añadir al sistema para que se encuentre en equilibrio?.
∑ Fv = 0
R = (5 + 3 + 8 − 2 − 5)Kp = 9 (Kp ) Hacia arriba.
Entonces la equilibrante será: E = −9(Kp ) hacia abajo.
∑M A =0
180 + 800 + 40 − 250
− 2 ⋅ 20 − 5 ⋅ 50 − 9 ⋅ x + 3 ⋅ 60 + 8 ⋅ 100 = 0 ⇒ x = = 76.67 (cm )
9
EJERCICIO 5
Una barra AB de 100 cm de longitud, apoyada en sus extremos, tiene su centro de gravedad
a 20 cm del extremo A. teniendo en cuenta que el peso de la barra es de 100 Kp, calcular
las fuerzas ejercidas sobre los apoyos A y B.

36. 36
∑M A =0
100 ⋅ 20
− 100 ⋅ 20 + FB ⋅ 100 = 0 ⇒ FB = = 20 (Kp )
100
∑M B =0
100 ⋅ 80
− FA ⋅ 100 + 100 ⋅ 80 = 0 ⇒ FA = = 80 (Kp )
100
EJERCICIO 6
Una tabla uniforme de 3 m de longitud y 50 Kp de peso está soportada en posición
horizontal por dos cuerdas verticales unidas a sus extremos. Calcular la tensión en cada
cuerda cuando un hombre de 90 Kp permanece sobre ella a una distancia de 1 m de uno de
los extremos.
∑M A =0
90 + 75
− 90 ⋅ 1 − 50 ⋅ 1.5 + TB ⋅ 3 = 0 ⇒ TB = = 55 (Kp )
3
∑M B =0
180 ⋅ 75
− T A ⋅ 3 + 90 ⋅ 2 + 50 ⋅ 1.5 = 0 ⇒ T A = = 85 (Kp )
3
EJERCICIO 7
Hallar la suma de los momentos de las fuerzas representadas con respecto a ejes
perpendiculares al plano que pasen por B.

37. 37
∑M B = (− 10 ⋅ 20 + 50 ⋅ Sen 30° ⋅ 20)Kp ⋅ m = 0 (Kp ⋅ m )
PRÁCTICA 4
1. Una barra uniforme de 4 m de longitud y 15 Kp de peso se mantiene en posición
horizontal sobre un apoyo, cuando de sus extremos cuelgan pesos de 20 y 25 Kp.
Calcular la posición del punto de apoyo.
∑ Fv = 0
− 20 − 15 + P − 25 = 0 ⇒ P = 20 + 15 + 25 = 60(Kp )
∑M A =0
30 ⋅ 100
− 15 ⋅ 2 + P ⋅ x − 25 ⋅ 4 = 0 ⇒ x = = 2.17 (cm )
60

38. 38
2. Hallar la resultante R de las tres fuerzas indicadas en la figura y la distancia x de la
resultante R.
∑ Fv = 0
R = −30 − 50 − 20 = −100 (Kp ) Hacia abajo.
Entonces la equilibrante será: E = 100 (Kp ) hacia arriba.
∑M A =0
1200 + 5000 + 3000
− 30 ⋅ 40 − 50 ⋅ 100 + E ⋅ x − 20 ⋅ 150 = 0 ⇒ x = = 92 (cm )
100
3. Una barra uniforme AB, de 100 cm de longitud y 60 Kp de peso, está sometida a la
acción de una fuerza vertical hacia arriba de 50 Kp aplicada en un punto a 20 cm del
extremo A, y a las fuerzas verticales hacia debajo de 60 y 30 Kp en A y B
respectivamente. Hallar la equilibrante del sistema y su punto de aplicación.

39. 39
∑ Fv = 0
R = (50 − 60 − 60 − 30)Kp = −100 (Kp ) Hacia abajo.
Entonces la equilibrante será: E = 100 (Kp ) hacia arriba.
∑M A =0
3000 + 3000 + 1000
50 ⋅ 20 − 60 ⋅ 50 + E ⋅ x − 30 ⋅ 100 = 0 ⇒ x = = 50 (cm )
100
4. Hallar la suma de los momentos de las fuerzas representadas con respecto a ejes
perpendiculares al plano y que pasen por C en la figura.
∑M C = (− 60 ⋅ Sen 30° ⋅ 50 − 25 ⋅ 50)Kp ⋅ cm = 2750 (Kp ⋅ cm ) = 27.5 (Kp ⋅ m )

40. 40
FUERZAS COPLANARIAS NO PARALELAS
CONDICIONES DE EQUILIBRIO
1. FUERZAS: La resultante o suma vectorial de todas las fuerzas aplicadas al cuerpo
debe ser cero.
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0
2. MOMENTOS: La suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas, con
respecto a un eje cualquiera perpendicular al plano de las mismas debe ser cero.
∑ Mo = 0
EJERCICIO 8
Un peso de 100 Kp se mantiene en equilibrio suspendido de dos cuerdas, como se presenta
en la figura. Una de las cuerdas tira en dirección horizontal y la otra forma un ángulo de
30° con la vertical. Calcular la tensión en las cuerdas.
∑F x = 0 ⇒ T2 ⋅ Cos 60° − T1 = 0 (1)
∑F y = 0 ⇒ T2 ⋅ Sen 60° − 100 = 0 (2)
De (2) despejando T2 se tiene:
100
T2 = = 115.47 (Kp )
Sen 60°
Reemplazando en (1) tenemos:
T1 = T2 ⋅ Cos 60° = 115.47 ⋅ Cos 60° = 57.74 (Kp )

41. 41
EJERCICIO 9
Un peso de 600 Kp está suspendido de un poste por medio de la barra OA, de 4 m de
longitud, articulado en A, y de la cuerda OB, unida al poste en el punto B situado a 3 m por
encima de A. calcular la tensión T en la cuerda OB y el empuje P de la barra AO.
Calculando la longitud L
L= (4)2 + (3)2 = 25 = 5 (m)
Hallando las funciones trigonométricas respecto de α.
3 4
Sen α = Cos α =
5 5
∑ Fx = 0 ⇒ − P + T ⋅ Cos α = 0 (1)
∑F y = 0 ⇒ −600 + T ⋅ Sen α = 0 (2)
De (2) despejando T se tiene:
600 600
T= = = 1000 (Kp )
Sen α 3
5
Reemplazando en (1) se tiene:
4
P = T ⋅ Cos α = 1000 ⋅ = 800 (Kp )
5
EJERCICIO 10
El extremo B de una barra AB está articulada a un mástil, mientras que del otro extremo A
cuelga un peso de 80 Kp, como se representa en la figura. La barra se mantiene en posición

42. 42
horizontal por medio de un acuerda unida al extremo A y al mástil, formando con la barra
un ángulo de 50°. Hallar la tensión en la cuerda AC y el empuje de la barra contra el mástil.
∑F x = 0 ⇒ − R + T ⋅ Cos 50° = 0 (1)
∑F y = 0 ⇒ T ⋅ Sen 50° − 80 = 0 (2)
De (2) despejando T se tiene:
80
T= = 104.43 (Kp )
Sen 50°
Reemplazando en (1) se tiene:
R = T ⋅ Cos 50° = 104.43 ⋅ Cos 50° = 67.13 (Kp )
EJERCICIO 11
Los extremos de una cuerda de 11 m de longitud se unen a dos ganchos colocados en un
techo horizontal y separados entre si 9 m. A los 4 m de uno de los extremos de la cuerda se
une un peso de 100 Kp. Calcular la tensión en los dos segmentos de la cuerda.

43. 43
Hallando los ángulos α y β utilizando el teorema de los cosenos.
 16 + 81 − 49 
7 2 = 4 2 + 9 2 − 2 ⋅ 4 ⋅ 9 ⋅ Cos α ⇒ α = Arc Cos  = 48.19°
 72 
 81 + 49 − 16 
4 2 = 9 2 + 7 2 − 2 ⋅ 9 ⋅ 7 ⋅ Cos β ⇒ β = Arc Cos  = 25.21°
 126 
∑F x = 0 ⇒ −T1 ⋅ Cos 48.19° + T2 ⋅ Cos 25.21° = 0 (1)
∑F y = 0 ⇒ T1 ⋅ Sen 48.19° + T2 ⋅ Sen 25.21 − 100 = 0 (2)
T2 ⋅ Cos 25.21°
De (1) despejando T1 se tiene: T1 = ⇒ T1 = 1.36 ⋅ T2 (3)
Cos 48.19°
Reemplazando en (2) se tiene:
(1.36 ⋅ T2 ) ⋅ Sen 48.19° + T2 ⋅ Sen 25.21 = 100 ⇒ 1.01 ⋅ T2 + 0.43 ⋅ T2 = 100
100
T1 = = 69.44 (Kp )
(1.01 + 0.43)
Reemplazando en (3) se tiene: T1 = 1.36 ⋅ T2 = 1.36 ⋅ 69.44 = 94.44 (Kp )
EJERCICIO 12
El extremo superior de una barra uniforme de 2 m de longitud y 80 Kp de peso está
articulado a un soporte mientras que el inferior se halla unido a un soporte mientras que el
inferior se halla unido a una cuerda horizontal que mantiene a la barra formando un ángulo
de 40° con la vertical. Calcular la tensión T en la cuerda.
∑M O =0
(− 80 ⋅ Sen 40° ⋅ 1 + T ⋅ Cos 40° ⋅ 2)Kp ⋅ m = 0

44. 44
80 ⋅ Sen 40°
T1 = = 40 ⋅ Tan 40° = 33.56 (Kp )
2 ⋅ Cos 40°
PRÁCTICA 5
1. El extremo B de una barra uniforme AB de 100 Kp de peso está unido a un mástil por
medio de una articulación. La barra se mantiene en posición horizontal, como indica la
figura, mediante un cable unido al extremo A y al mástil que forma con la barra un
ángulo de 34°. Hallar la tensión en el cable AC y la reacción de la articulación.
∑F x = 0 ⇒ −T AC ⋅ Cos 34° + R AB = 0 (1)
∑F y = 0 ⇒ T AC ⋅ Sen 34° − 100 = 0 (2)
100
De (2) despejando TAC se tiene: T AC = = 178.83 (Kp )
Sen 34°
Reemplazando en (1) se tiene: R AB = T AC ⋅ Cos 34° = 148.26 (Kp )
2. El extremo inferior de una escalera se apoya contra la pared vertical y sobre un suelo
horizontal, como se representa en la figura. El extremo superior está unido a la pared
por medio de una cuerda horizontal de 9 m de longitud. La escalera tiene una longitud
de 15 m, pesa 50 Kp y su centro de gravedad se halla situado a 6 m de su extremo
inferior. Calcular la tensión en la cuerda cuando un hombre de 75 Kp de peso se
encuentra a una distancia de 3 m del extremo superior.

45. 45
9 9
Sen α = ⇒ α = Arc Sen   = 36.87°
15  15 
9 9
Cos β = ⇒ β = Arc Cos   = 53.13°
15  15 
∑M A =0
(− 50 ⋅ Sen 36.87° ⋅ 6 − 75 ⋅ Sen 36.87° ⋅12 + TBC ⋅ Cos 36.87° ⋅15)Kp ⋅ m = 0
50 ⋅ Sen 36.87° ⋅ 6 + 75 ⋅ Sen 36.87° ⋅ 12
T1 = = 60 (Kp )
15 ⋅ Cos 36.87°
3. Una barra uniforme AB de 2 m de longitud y 10 Kp de peso soporta una carga de 20
Kp como se representa el diagrama adjunto. Calcular: a) Esfuerzo en el tirante b)
Compresión en la barra.

46. 46
Calculando el ángulo α se tiene:
1 .5  1 .5 
Sen α = ⇒ α = Arc Sen   = 36.87°
2 .5  2 .5 
∑M A =0
(TBC ⋅ Sen 36.87° ⋅ 2 − 20 ⋅ 1.5 − 10 ⋅ 1)Kp ⋅ m = 0
20 ⋅ 1.5 + 10 ⋅ 1
TBC = = 33.33 (Kp )
2 ⋅ Sen 36.87°
∑F x = 0 ⇒ −TBC ⋅ Cos 36.87° + R AB = 0
R AB = TBC ⋅ Cos 36.87° = 33.33 ⋅ Cos 36.87° = 26.67 (Kp )
EJERCICIO 13
La viga uniforme de 120 (N) de peso mostrada en la figura está soportado por dos cuerdas,
un peso de 400 (N) está suspendida a ¼ de separación desde el extremo izquierdo.
Encuéntrese T1 y T2.

47. 47
∑M A =0
1 1
T1 ⋅ Cos 30° ⋅ 1 − 120 ⋅   − 400 ⋅   = 0
2 4
60 + 100 160
T1 = = = 184.75 ( N )
Cos 30° Cos 30°
∑M B =0
1 1 1
− T2 ⋅ Cos 14° ⋅ 1 − 400 ⋅  +  + 120 ⋅   = 0
4 2 2
300 + 60 360
T1 = = = 371.02 ( N )
Cos 14° Cos 14°
EJERCICIO 14
Una barra uniforme AB de 2 M de longitud y 10 Kp de peso soporta una carga de 20 Kp,
como se representa en la figura. Calcular: a) El esfuerzo en el tirante. b) Compresión en la
barra.

48. 48
Calculando el ángulo α se tiene:
1 .5  1 .5 
Cos α = ⇒ α = Arc Cos   = 53.13°
2 .5  2 .5 
∑M A =0
(− 20 ⋅ 2 + TCD ⋅ Sen 53.13° ⋅ 1.5 − 10 ⋅ 1)Kp ⋅ m = 0
20 ⋅ 2 + 10 ⋅ 1
TBC = = 41.67 (Kp )
1.5 ⋅ Sen 53.13°
∑F x = 0 ⇒ R AB − TCD ⋅ Cos 53.13° = 0
R AB = TCD ⋅ Cos 53.13° = 41.67 ⋅ Cos 53.13° = 25 (Kp )

49. 49
EJERCICIO 15
En el punto C de unión de dos barras AC y BC de una armadura metálica, formando
ángulos de 60° y 30°, respectivamente, con el plano horizontal sobre el que se apoyan sus
pies, está aplicada una carga de 100 Kp, como se muestra en la figura. Dichos pies se hallan
unidos por medio del tirante AB. Calcular las fuerzas de compresión en cada barra, el
esfuerzo a que se encuentran sometidos el tirante y las fuerzas hacia abajo, sobre los
soportes. El peso de la armadura se supone despreciable.
Asumiendo una longitud entre apoyos de 1 m, se tiene:
En el triángulo grande:
L 1
Sen 30° = ⇒ L = 1 ⋅ Sen 30° = 0.5 (m ) = (m )
1 2
En el triángulo pequeño:
x 1 1 1 1
Cos 60° = ⇒ x = ⋅ Cos 60° = ⋅ = (m )
1 2 2 2 4
2
∑F V = 0 ⇒ R1 + R2 − 100 = 0 (1)
1 100
∑M A = 0 ⇒ R2 ⋅ 1 − 100 ⋅ = 0 ⇒ R2 = = 25 (Kp ) (2)
4 4
Reemplazando (2) en (1), se tiene:
R1 = 100 − R2 = 100 − 25 = 75 (Kp )

50. 50
En A
∑ Fy = 0
R1 75
R1 − T AC ⋅ Sen 60° = 0 ⇒ T AC = = = 86.6 (Kp )
Sen 60° Sen 60°
∑F x =0
T − T AC ⋅ Cos 60° = 0 ⇒ T = T AC ⋅ Cos 60° = 86.6 ⋅ Cos 60° = 43.3 (Kp )
En B
∑ Fy = 0
R2 25
R2 − TBC ⋅ Sen 30° = 0 ⇒ TBC = = = 50 (Kp )
Sen 30° Sen 30°
EXAMEN SEGUNDO PARCIAL
1. El brazo de un par formado por una fuerza de 6 Kp es de 10 cm: a) Determinar el
brazo que debe tener un par formado por una fuerza de 12 Kp para equilibrar al
anterior. b) Hallar cual debe ser la fuerza del par que equilibra si tiene un brazo de 8
cm.
Para a)

51. 51
∑M A =0
(12 ⋅ x − 6 ⋅ 10)Kp ⋅ cm = 0 ⇒ x = 6 ⋅ 10 = 5 (cm)
12
Para b)
∑M A =0
(8 ⋅ F − 6 ⋅ 10)Kp ⋅ cm = 0 ⇒ F = 6 ⋅ 10 = 7.5 (Kp )
8
2. En el punto C de unión de dos barras AC y BC de una armadura metálica, formando
ángulos de 70°, respectivamente, con el plano horizontal sobre el que se apoyan sus
pies, está aplicada una carga de 120 Kp, como se muestra en la figura. Dichos pies se
hallan unidos por medio del tirante AB. Calcular las fuerzas de compresión en cada
barra, el esfuerzo a que se encuentran sometidos el tirante y las fuerzas hacia abajo,
sobre los soportes. El peso de la armadura se supone despreciable.
Como se trata de un triángulo isósceles los ángulos en los vértices A y B serán los mismos,
de la misma forma las reacciones en A y B. Entonces RA = RB = R
∑F V = 0 ⇒ R A + RB − 120 = 0 ⇒ R + R = 120 ⇒ 2 ⋅ R = 120 ⇒ R = R A = RB = 60 (Kp )
Los tirantes AC y BC son iguales por lo que solo se operará un lado.

52. 52
∑F x = 0 ⇒ R AB − T ⋅ Cos 55° = 0 (1)
∑F y = 0 ⇒ R A − T ⋅ Sen 55° = 0 (2)
De (2) despejamos T, entonces se tiene:
RA 60
T= = = 73.25 (Kp )
Sen 55° Sen 55°
Reemplazando en (1) se tiene:
R AB = T ⋅ Cos 55° = 73.25 ⋅ Cos 55° = 42.01 (Kp )
EXAMEN TERCER PARCIAL (SEGUNDA INSTANCIA PARCIALES)
1. La bola liza homogénea pesa 50 Kp y descansa sobre el plano inclinado 30° en A,
apoyándose contra la superficie vertical en B. calcular las fuerzas de contacto en A y B.
β = 90° − α = 90° − 30° = 60°

53. 53
∑F x =0 R A ⋅ Cos 60° − RB = 0 (1)
∑F y =0 R A ⋅ Sen 60° − W = 0 (2)
De (2) despejamos RA.
W 50
RA = = = 57.74 (Kp )
Sen 60° Sen 60°
Reemplazando en (1)
RB = R A ⋅ Cos 60° = 57.74 ⋅ Cos 60° = 28.87 (Kp )
2. En la figura AB es una barra rígida y CB un cable, si W es 2000 Kp ¿Cuál es la
reacción del pasador en A sobre la barra AB? ¿Cuál es la tensión en el cable?
∑F x = 0 ⇒ RH − T = 0 ⇒ RH = T (1)
∑F y = 0 ⇒ RV − 2000 = 0 ⇒ RV = 2000 (Kp ) (2)
Calculando la distancia x
x
Tan 60° = ⇒ x = 5 ⋅ Tan 60° = 8.66 (m )
5
∑M A =0
(− 2000 ⋅ 8.66 + T ⋅ 5)Kp ⋅ m = 0 ⇒ T = 2000 ⋅ 8.66 = 3464.1 (Kp )
5
3. El perno B se mantiene sujeto por una fuerza de agarre de 5 Kp perpendicular a las
mandíbulas del alicate que se ve en la figura. ¿Qué fuerza P deben aplicarse
perpendicularmente a sus mangos para suministrar la fuerza de agarre?

54. 54
P '⋅5.03
∑M O = 0 ⇒ P '⋅5.03 − P ⋅ 11.8 = 0 ⇒ P = = 2.13 (Kp )
11.8
TEMA 4
VECTORES EN EL ESPACIO
DETERMINACIÓN DE FÓRMULAS
Consideremos un vector V actuando en el origen O del sistema de coordenadas
rectangulares X, Y, Z. para definir la dirección de V, se dibuja el plano vertical OBAC que
contiene a V. este plano pasa a través del plano vertical Y, su orientación está definida por
el ángulo Φ que éste forma con el plano XY. La dirección V dentro del plano esta definida
por el ángulo Φy que V forma con el eje y. el vector V se puede descomponer en una
componente vertical Vy a lo largo del eje Y y en una componente horizontal Vxz contenida
en el plano horizontal XZ; esta operación mostrada en la Fig. 1, se efectúa en el plano
OBAC siguiendo las reglas desarrolladas en el tema 2.

55. 55
Las componentes escalares correspondientes son:
VY = V ⋅ Cos θ Y (A)
V XY = V ⋅ Sen θ Y (1)
Pero VXZ se puede descomponer en dos componentes rectangulares Vx y Vz a lo largo de
los ejes X y Z, respectivamente. Esta operación, mostrada en la Fig. 2, se efectúa en el
plano XZ. De esta forma, se obtiene las siguientes expresiones para las componentes
escalares correspondiente a VX y VZ:

56. 56
COMPONENTE VX:
V X = VH ⋅ Cos Φ (2)
Reemplazando (1) en (2):
V X = V ⋅ Sen θ Y ⋅ Cos Φ (B)
COMPONENTE VZ:
VZ = VH ⋅ Sen Φ (3)
Reemplazando (1) en (3):
VZ = V ⋅ Sen θ Y ⋅ Sen Φ (C)
Por lo tanto, el vector dado V se ha descompuesto en tres componentes vectoriales
rectangulares VX, VY y VZ, que están dirigidas a lo largo de los tres ejes coordenados;
cuyos valores se muestran en las ecuaciones (A), (B) y (C) respectivamente.
Aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos OAB y OCD de la Fig. 3 se tiene:
V 2 = (OA) = (OB ) + (BA) = VY + V XZ ⇒ V 2 = VY + V XZ
2 2 2 2 2 2 2
V XZ = V 2 − VY
2 2
(4)

57. 57
V 2 = (OC ) = (OD ) + (DC ) = V X + V Z ⇒ V XZ = V X + V Z
2 2 2 2 2 2 2 2
(5)
Igualando los segundos miembros de (4) y (5)
V 2 = V x + VY + VZ
2 2 2
(6)
Para despejar V extraemos la raíz cuadrada a ambos miembros.
V = V x + VY + VZ
2 2 2
(D)
La ecuación (C) representa la magnitud de V en función de sus componentes rectangulares.
Si en la Fig. 1, en vez de θX o θZ como los ángulos que V forma con los ejes X y Z
respectivamente, se puede deducir dos fórmulas similares a la ecuación (A), esto es:
V X = V ⋅ Cos θ X (E)
VZ = V ⋅ Cos θ Z (F)
Los ángulos θX o θY y θZ son los que definen la dirección del vector V. Los cosenos de
estos ángulos se conocen como los cosenos directores del vector V, esto es:
VX
Cos θ X = (G)
V
VY
Cos θ Y = (H)
V
VZ
Cos θ Z = (I)
V
Elevando al cuadrado ambos miembros de estas tres ecuaciones y sumando miembro a
miembro se tiene:
2 2 2
VX V V
Cos 2 θ X + Cos 2 θ Y + Cos 2 θ Z = 2
+ Y 2 + Z2
V V V
El segundo miembro de esta ecuación es una fracción homogénea, por tanto:
V X + VY + V Z
2 2 2
Cos 2 θ X + Cos 2 θ Y + Cos 2 θ Z =
V2
En el segundo miembro de esta ecuación, el numerador de la fracción, según la ecuación
(6) de esta sección es igual a V2, esto es:

58. 58
V2
Cos 2 θ X + Cos 2 θ Y + Cos 2 θ Z = 2
⇒ Cos 2 θ X + Cos 2 θ Y + Cos 2 θ Z = 1 (J)
V
EJEMPLO 1
Descomponer la fuerza F = 600 Kp en sus componentes rectangulares y expresarlas en
forma vectorial.
DATOS: F = 600 Kp, α = 25°, β = 30°
Descomponemos F en una componente contenida en el eje Y (FY) y otra contenida en el
plano XZ (FXZ), aplicando funciones trigonométricas.
FY = F ⋅ Cos α ⇒ FY = 600 Kp ⋅ Cos 25° = 543.78 (Kp )
FXZ = F ⋅ Sen α (1)
Seguidamente descomponemos FXZ a lo largo de los ejes X y Z.
FX = FXZ ⋅ Cos β (2)
Reemplazando (1) en (2):
FX = F ⋅ Sen α ⋅ Cos β = 600(Kp ) ⋅ Sen 25° ⋅ Cos 30° = 219.60 (Kp )
FZ = FXZ ⋅ Sen β (3)
Reemplazando (1) en (3):
FZ = F ⋅ Sen α ⋅ Sen β = 600(Kp ) ⋅ Sen 25° ⋅ Sen 30° = 126.79 (Kp )

59. 59
EJERCICIO 2
Determinar los ángulos θX, θY y θZ que la fuerza F = 450 (Kp) forma con los ejes
coordenados.
DATOS: F = 600 (Kp), β = 40°, α = 35°.
Descomponemos F en una componente a lo largo del eje Y (FY) y otra contenida en el
plano XZ (FXZ) en forma directa aplicando funciones trigonométricas.
FY = F ⋅ Sen α ⇒ FY = 450 Kp ⋅ Sen 35° = 258.11 (Kp )
FXZ = F ⋅ Cos α (1)
Seguidamente descomponemos FXZ a lo largo de los ejes X y Z.
FX = FXZ ⋅ Sen β (2)
Reemplazando (1) en (2):
FX = − F ⋅ Cos α ⋅ Sen β = −450(Kp ) ⋅ Cos 35° ⋅ Sen 40° = −236.94 (Kp )
FZ = FXZ ⋅ Cos β (3)
Reemplazando (1) en (3):
FZ = F ⋅ Cos α ⋅ Cos β = 450(Kp ) ⋅ Cos 35° ⋅ Cos 40° = 282.38 (Kp )
Los ángulos buscados según las ecuaciones G, H e I son:
FX F   − 236.94 
Cos θ X = ⇒ θ X = Arc Cos  X  = Arc Cos   = 121.77°
F  F   450 

60. 60
FY F   258.11 
Cos θ Y = ⇒ θ Y = Arc Cos  Y  = Arc Cos   = 55°
F  F   450 
FZ F   282.38 
Cos θ Z = ⇒ θ Z = Arc Cos  Z  = Arc Cos   = 51.13°
F  F   450 

61. 61
EXAMEN FINAL DE FÍSICA (PREUNIVERSITARIO)
1. Probar gráficamente a) Que la línea que pasa por (-4,0) y (0,-4) es perpendicular a la
línea que pasa por (-1, -1) y (-4,-4) b) Halle el punto de intersección entre ambas rectas.
Respuesta a) Son perpendiculares.
Respuesta b) El punto de intersección es (-2,-2).
2. Halle la resultante del siguiente grupo de vectores mediante el método del polígono.

62. 62
3. Sobre un cuadrado de 2 m de lado están aplicadas las fuerzas de 2, 6, 5, 4, 3 y 9 (Kp),
como se muestra en la figura. Hallar la suma de momentos de dichas fuerzas
a) Con respecto al punto A,
b) Con respecto al punto B.
a) ∑M A = 0 ⇒ −9 ⋅ 2 − 4 ⋅ 1 + 6 ⋅ 1 + 5 ⋅ 2 = −18 − 4 + 6 + 10 = −6 (Kp )
b) ∑M B = 0 ⇒ 2 ⋅ 1 + 5 ⋅ 1 − 9 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 = 2 + 5 − 9 + 3 = 1 (Kp )

63. 63
4. Encontrar las tensiones T1 y T2 según el gráfico mostrado.
∑F x = 0 ⇒ T2 ⋅ Cos 45° − T1 = 0 (1)
∑F y = 0 ⇒ T2 ⋅ Sen 45° − W = 0 (2)
De (2) despejamos T2, entonces se tiene:
W 160
T2 = = = 226.27 (Kp )
Sen 45° Sen 45°
Reemplazando en (1) se tiene:
T1 = T2 ⋅ Cos 45° = 226.27 ⋅ Cos 45° = 160 (Kp )

64. 64
BIBLIOGRAFÍA
1. Colección SCHAUM: Física General.
2. Ing. Angel Salgado G. Prof. Mery Choque T.: FÍSICA 3° de Secundaria.
3. Aurelio Baldor: Algebra.
4. Ing. Juan Goñi Galarza: Física General.
5. Alonzo Finn: Física General.