El documento presenta tres demostraciones matemáticas. La primera prueba que un punto es de clausura de un conjunto dado sus propiedades. La segunda demuestra que la unión de dos conjuntos cerrados también es cerrado. La tercera prueba que el complemento de un conjunto abierto es cerrado usando la definición de conjunto abierto y punto de clausura.

1. 1) Debemos probar que
Para esto probaremos que ; sabemos que así que la demostración se reduce
a probar que .
Sea entonces dado (por definición de punto de clausura)
(i)
Como entonces nuevamente por definición de punto de clausura (aunque esta vez
para y)
(ii)
Luego por (i) y (ii) tenemos que: por propiedades de valor
absoluto tenemos que entonces tenemos
que
por lo que concluimos que
2) Debemos probar que la unión de dos conjuntos cerrados es un conjunto cerrado
Sean conjuntos cerrados
Sera conveniente que demostremos primero que
• Veamos primero que
Sabemos que
• Ahora debemos probar que o lo que es equivalente
Supongamos entonces

2. Sea entonces de lo cual
concluimos que lo que prueba que
Hemos demostrado que
Ahora volvamos a la demostración; vimos que también sabemos que
son cerrados entonces volviendo a la igualdad anterior se
Obtiene que . Lo cual nos dice que es cerrado.
3) Debemos probar que el complemento de un conjunto abierto es cerrado
Sean como
(ya que O es abierto). De esta manera no puede ser punto de clausura de ya que
. ¿podrías explayarte un poco más sobre esta última
afirmación? Pero esto nos garantiza que todos los puntos de son puntos de clausura.
Villagra, Nelson