El documento demuestra que si f y g son funciones continuas, entonces su producto f ⋅ g también es continuo. Primero establece que f y g son continuas si sus límites izquierdo y derecho existen y coinciden en cada punto. Luego, usa propiedades de límites para mostrar que los límites izquierdo y derecho de f ⋅ g existen y coinciden, lo que implica que f ⋅ g es continua.

1. Proposición: Si f y g son funciones continuas, entonces f ⋅ g también es continua.
Demostración:
 lím− f ( x) = f ( x0 ) 
 x → x0 
 
[1] Sea f : E → R continua en E ⇒ ∧  ⇒ x → x f ( x) = f ( x 0 ) , ∀x ∈ E
lím
 lím f ( x) = f ( x )  0
 x → x0+

0


 lím− g ( x) = g ( x 0 ) 
 x → x0 
 
[2] Sea g : E → R continua en E ⇒ ∧  ⇒ x → x g ( x) = g ( x 0 ) , ∀x ∈ E
lím
 lím g ( x ) = g ( x )  0
 x → x0
 + 0


Veamos si f ⋅g es continua en E. Es decir, tenemos que probar que:
lím ( f ⋅ g ) ( x ) = ( f ⋅ g ) ( x 0 ), ∀x 0 ∈ E. Pero por definición de producto de funciones, ésto
x → x0
es: x → x f ( x ) ⋅ g ( x ) = f ( x 0 ) ⋅ g ( x0 ) , ∀x 0 ∈ E
lím
0
Sea x 0 ∈ E :
[3] xlím− f ( x ) ⋅ g ( x) = xlím− f ( x ) ⋅ xlím− g ( x ) por propiedad de límites
→x →x →x
0 0 0
lím f ( x ) ⋅ g ( x) = f ( x 0 ) ⋅ g ( x 0 ) de [1] y [2]
−
x → x0
[4] xlím+ f ( x) ⋅ g ( x ) = xlím+ f ( x ) ⋅ xlím+ g ( x) por propiedad de límites
→x →x →x
0 0 0
lím f ( x) ⋅ g ( x ) = f ( x0 ) ⋅ g ( x0 ) de [1] y [2]
+
x → x0
De [3] y [4] resulta: x → x f ( x ) ⋅ g ( x ) = f ( x 0 ) ⋅ g ( x0 ) , ∀x 0 ∈ E
lím
0
Por lo tanto, f ⋅ g es continua en E.