Este documento demuestra que un número l es punto de adherencia de una sucesión xn si y solo si existe una subsucesión xnj que converge a l. La demostración muestra que si l es punto de adherencia, entonces existe una subsucesión convergente a l, y viceversa, si existe una subsucesión convergente, entonces l es punto de adherencia.

1. Proposición: l es punto de adherencia de la sucesión x n ⇔ existe una
∞
subsucesión xn j que converge a l.
j =1
Demostración:
⇒ ) Sea l punto de adherencia de la sucesión x n , entonces:
∀ε > 0, ∀N > 0, ∃n ≥ N : x n −  < ε [1]
∞
Consideremos una subsucesión x n j . Lo que queremos ver, es si esta
j =1
subsucesión tiende a l cuando j tiende a ∞
Ahora, tomemos ε = 1 ∧ N > 0 , sabemos que ∃n1 ≥ N : x n1 −  < 1 por [1]
Sea ε = 1 ∧ n1 > 0, ∃n2 > n1 : x n2 −  < 1 por [1]
2 2

En general, sea ε = 1 j ∧ n j −1 > 0, ∃n j > n j −1 : xn −  < 1 j
j
por [1]
Por lo tanto, ∀ε > 0, ∃N ´> 0 (que en este caso basta tomar N´=N) tal que
∀j ≥ N ´ se satisface que: xn j −  < ε = 1 (pues n j ≥ j ≥ N ´= N )
j
∞
⇒ xn converge a l.
j
j =1
∞
⇐) Sea x n una subsucesión de x n que converge a l, entonces:
j
j =1
∀ε > 0, ∃N 1 > 0 : ∀j ≥ N 1 : x n j −  < ε [2]
Ahora, sean ε > 0 ∧ N > 0 , tenemos dos posibilidades:
- Si N ≥ N 1 ⇒ x nN − < ε pues n N ≥ N ≥ N 1 y satisface [2]
- Si N 1 ≥ N ⇒ Por el Axioma de Arquímedes, podemos encontrar un j ≥ N 1
entero tal que x n j −  < ε pues n j ≥ j ≥ N 1 ≥ N y satisface [2]
Por lo tanto, ∀ε > 0, ∀N > 0, ∃n ≥ N : x n −  < ε ⇒ l es punto de adherencia de
la sucesión x n