El documento define conjuntos abiertos y cerrados de números reales. Un conjunto es abierto si para cada elemento existe un intervalo abierto contenido en el conjunto. Un conjunto es cerrado si contiene todos sus puntos de clausura, es decir, números cercanos al conjunto. Se proveen ejemplos de conjuntos abiertos como (0,1) y cerrados como [0,1]. Finalmente, se definen cubrimientos abiertos y finitos y cómo aplicarlos a conjuntos cerrados y acotados.

1. CONJUNTOS ABIERTOS Y
CERRADOS DE NÚMEROS
REALES
Autor: Cynthia E. Castro
Materia: Funciones Reales
Año: 2009

2. Definición: Un conjunto O de números reales, se dice abierto si
∀x ∈ O, ∃δ > 0 : ∀y, ( x − y < δ → y ∈ O )
O lo que es lo mismo: ∀x ∈ O, ∃Ι (intervalo abierto) tal que x ∈ Ι ⊂ O
Ejemplo 1: Consideremos el conjunto O = { x ∈ R : 0 < x < 1}
Notemos que para cualquier elemento x del conjunto O, podemos encontrar un δ > 0
tal que si la distancia entre x y cualquier otro número y, es menor que ese δ > 0 ,
entonces el y, también pertenecerá al conjunto O.
También, podemos observar que para cualquier elemento x del conjunto O, siempre
existe un intervalo abierto Ι contenido en O, que contiene al x, ya que el Ι buscado en
este caso, puede ser el mismo conjunto O.
∴ El conjunto O es abierto.
Definición: Un número real x se dice punto de clausura de un conjunto E si
∀δ > 0, ∃y ∈ E : x − y < δ
O lo que es lo mismo: ∀δ > 0, ( x − δ , x + δ ) ∩ E ≠ ∅
Al conjunto de todos los puntos de clausura del conjunto E, lo denotamos: E
Ejemplo 2: Consideremos el conjunto E = { x ∈ R : 0 < x ≤ 1}
Notemos que los números 0 ≤ x ≤ 1 , son todos puntos de clausura del conjunto E, ya
que podemos tomar un δ > 0 tan pequeño como queramos y siempre podremos
encontrar otro elemento y del conjunto, cuya distancia entre x e y sea menor que ese
δ > 0.
También, podemos observar que tomando el δ > 0 tan pequeño como queramos, el
intervalo ( x − δ , x + δ ) y el conjunto E siempre tendrán elementos en común.

3. Definición: Un conjunto F se dice cerrado si F = F
Observación: Siempre sucede que F ⊂ F , entonces para saber si un conjunto F es
cerrado, basta probar que F ⊂ F
Ejemplo 3: En el ejemplo 1 vimos que los números 0 ≤ x ≤ 1 , son todos puntos de
clausura del conjunto E. Ahora, consideremos el conjunto F = { x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1} .
Podemos observar que F ⊂ F y como siempre F ⊂ F , tenemos que: F = F
∴ El conjunto F es cerrado.
Definición: Una colección C de conjuntos, cubre a un conjunto F si F ⊂ {O : O ∈ C}.
En este caso, se dice que la colección C es un cubrimiento de F.
Si cada O en la colección C es abierto, decimos que C es un cubrimiento abierto de F.
Si C contiene un número finito de conjuntos, decimos que C es un cubrimiento finito.
Ejemplo 4: Consideremos el conjunto de los números reales R. C =  ( − n, n ) es un
n∈N
cubrimiento abierto de R, del que no se puede extraer un subcubrimiento finito.
Ejemplo 5: Consideremos el conjunto F del ejemplo 3, que es cerrado y acotado. El
teorema de Heine-Borel nos asegura que cada vez que tengamos un cubrimiento
abierto de un conjunto cerrado y acotado, podemos quedarnos con un subcubrimiento
finito. Veamos si lo podemos hacer en este caso:
Tomemos el cubrimiento abierto C =  (− 1 + 1 n ,2 − 1 n ) ⊃ F , podemos quedarnos
n∈N
 ( − 1 + 1 n ,2 − 1 n ) ⊃ F
2
con el cubrimiento finito C*=
n =1