La intersección de dos conjuntos abiertos O1 y O2 es un conjunto abierto. Para probarlo, se demuestra que cualquier punto x en la intersección cumple la definición de conjunto abierto, es decir, existe un radio δ tal que todos los puntos dentro de esa distancia de x también están en la intersección. Esto se logra tomando el mínimo de los radios δ1 y δ2 que cumplen la definición de conjunto abierto para x en O1 y O2, respectivamente. También, la intersección de una colección C de conjuntos cerrados es un conjunto cer

1. Proposición: La intersección O1 ∩ O2 de dos conjuntos abiertos O1 y O2 es un
conjunto abierto.
Demostración:
Debo probar que: O1 ∩ O2 es abierto. Es decir:
∀x ∈ O1 ∩ O2 , ∃δ > 0 : ∀y, ( x − y < δ → y ∈ O1 ∩ O2 )
- Si O1 ∩ O2 = ∅ ⇒ O1 ∩ O2 es abierto.
- Si O1 ∩ O2 ≠ ∅ , tomemos un x ∈ O1 ∩ O2 ⇒ x ∈ O1 ∧ x ∈ O2
Como x ∈ O1 y O1 es abierto, tenemos por definición que:
∃δ 1 > 0 : ∀y , ( x − y < δ 1 → y ∈ O1 ) [1]
Como x ∈ O2 y O2 es abierto, tenemos por definición que:
∃δ 2 > 0 : ∀y, ( x − y < δ 2 → y ∈ O2 ) [2]
Sea δ = Mín{δ 1 , δ 2 } ⇒ δ ≤ δ 1 ∧ δ ≤ δ 2
 y ∈ O1 , de[1] 
 
Luego, ∀y, x − y < δ ⇒ ∧  ⇒ y ∈ O1 ∩ O2
 y ∈ O , de[ 2]
 2 
Como ésto vale cualquiera sea x ∈ O1 ∩ O2 , resulta que O1 ∩ O2 es abierto.
Proposición: La intersección de una colección C de conjuntos cerrados es un
conjunto cerrado.
Demostración:
Sea C = {F: F es cerrado} y U = F
F ∈C
Debo probar que U es cerrado. O lo que es lo mismo, que U = U
1. Sabemos que siempre se cumple: U ⊂ U
2. Sea x ∈ U ⇒ ∀δ > 0, ∃y ∈ U : x − y < δ [I]
Si y ∈ U =  F ⇒ y ∈ F , ∀F ∈ C [II]
F ∈C

2. De [I] y [II] resulta que: ∀γ > 0, ∃y ∈ F : x − y < δ , ∀F ∈ C ⇒ x ∈ F , ∀F ∈ C
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Como F es cerrado: F = F , entonces: x ∈ F , ∀F ∈ C ⇒ x ∈ F∈C F = U

∴U ⊂ U
De 1) y 2) resulta que: U es cerrado.
Castro