Presentación Completación de cuadrados y Teorema de Pitágoras

1. DEMOSTRACIONES SIN
PALABRAS
Juan Enrique Gallardo
gallardo@unsl.edu.ar
Departamento de Matemática
Facultad de Ciencias Físico Matemática y Naturales
Universidad Nacional de San Luis

2. DEMOSTRACIONES SIN
PALABRAS
Proofs without words
Exercises in visual thinking
Roger B. Nelsen
1993

3. DEMOSTRACIONES SIN
PALABRAS
Proofs without words II
More Exercises in visual thinking
Roger B. Nelsen
2000

4. DEMOSTRACIONES SIN PALABRAS
 La Matemática es una Ciencia, un Arte y también
un Juego.
 La Matemática es una Disciplina, y un Lenguaje.
 Su construcción se remonta a miles de años.
 Se ha ido construyendo con los aportes de
mentes brillantes
 de apasionados por la Matemática
 una gran masa crítica que contribuye día a día con su
trabajo.

5. DEMOSTRACIONES SIN PALABRAS
 Hay dos aspectos que se reclaman mutuamente:
el Formal y el Informal.
 La parte Formal son las “Demostraciones”, que se
basa en los procesos deductivos.
 La parte Informal se basa en las Figuras,
Diagramas y Esquemas
 Usualmente han estado al servicio de la parte
formal

6. DEMOSTRACIONES SIN PALABRAS
 No son demostraciones.
 Son una serie de figuras geométricas o
diagramas que nos permiten ver, por que una
relación es verdadera.
 Nos ayuda a elaborar una demostración
formal.
 Ejercita al alumno en el uso de la geometría
muy olvidada en el ciclo medio

7. DEMOSTRACIONES SIN PALABRAS
 C. F. Gauss (1777-1855) consideraba que la
Matemática era el arte de pensar bien
recurriendo a figuras imperfectas o
incompletas.
 Rufus Isaacs explica: “todo lo que yo
pretendía era hacer hincapié en el inusual y
aislado placer de extraer una verdad
matemática sólo de las evidencias visuales”

8. DEMOSTRACIONES SIN PALABRAS
 Miguel de Guzmán decia: “Toda visualización
puede entenderse como una operación
cognitiva que intenta realizar una
decodificación del objeto dado”.
 Gardner dice: “No hay ayuda más efectiva
para ampliar el conocimiento de algunas
identidades algebraicas que un buen
diagrama”

9. DEMOSTRACIONES SIN PALABRAS
x x x
x x x
x
a
a/2
a/2
a/2
a/2
9
Juan Enrique Gallardo 12/05/2014

10. x
x
x
x
x
x
x
a
a/2
a/2
a/2
a/2
10
COMPLETACION DE CUADRADO

11. 12/05/2014 Juan Enrique Gallardo 11
a b
a²
b²
(a + b)²
ab
ab
(a + b)² = a² + 2ab + b²
a + b

12. 12
TEOREMA DE PITAGORA
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de
los catetos.
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la
longitud de la hipotenusa es igual a la suma de
los cuadrados de las longitudes de los catetos.
El área del cuadrado construido
sobre la hipotenusa de un
triángulo rectángulo, es igual a
la suma de las áreas de los
cuadrados construidos sobre los
catetos.

13. 13
TEOREMA DE PITAGORA I H. E. Dudeney (1917)

14. 14
TEOREMA DE PITAGORA I H. E. Dudeney (1917)

15. TEOREMA DE PITAGORA II
b
a
c
a
b
c

16. TEOREMA DE PITAGORA II
b
a
c
a
b
c

17. 17
TEOREMA DE PITAGORA III
c
b
a
a
b
c

18. 18
TEOREMA DE PITAGORA III James A. Garfield (1876)
c
b
a
a
b
c

19. 19
TEOREMA DE PITAGORA IV
cb
a
c
b
a
cb
a
c
a
cb
a

20. 20
TEOREMA DE PITAGORA IV
b
a
c
c
a
a²
b²
c²
a² + b² = c²

21. 21
TEOREMA DE PITAGORA V
b
a
c
a
c² = a² + b²
b
a²
b²
4
3
2
1
c
4
2 1
3
a
a
b
b
c²
b
a