Informe estadistica regresion y correlacion

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
(Universidaddel Perú,DECANA DE AMÉRICA)
FIMMGC-EAP INGENIERIAGEOGRAFICA
ESTADISTICA: PRACTICA N° 4
PROFESORA :
Martha Nuñez joseli
Integrantes de grupo:
ALVAREZ RIOS, Leneher Irvin
HUAMAN CHAUCA, Mayra J.
2015

(Universidad del Perú, DECANA DE AMERICA)
1. Los puntajes en la prueba parcial y final del curso de estadística de una muestra
de siete estudiantes fueron los siguientes.
P. parcial(X) 13 15 10 08 16 10 05
P. final(Y) 15 14 13 10 17 12 08
a) Obtener la ecuación de regresión de Y sobre X y de X sobre Y.
b) Estimar la calificación de un estudiante en la prueba final si en la prueba parcial
obtuvo 11.
c) Estimar la calificación de un estudiante en la prueba parcial si en la prueba final
obtuvo 09.
d) Calcular e interpretar los coeficientes de correlación.
e) Calcular el error de estimación.
Solución:
Graficamos y analizamos los datos
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
PRUEBAFINAL(Y)
PRUEBA PARCIAL (X)
prueba final (Y)
Linear (prueba final (Y))
YC= a + bX

Método de mínimos cuadrados (m.m.c) se halla a y b teniendo en cuenta las
ecuaciones normales de la recta que son:
∑ 𝑌𝑖
𝑁
𝑖=1
= 𝑁𝑎 + ∑ 𝑋𝑖
𝑁
𝑖=1
∑ 𝑌𝑖
𝑁
𝑖=1
= 𝑎 ∑ 𝑋𝑖
𝑁
𝑖=1
+ 𝑏 ∑ 𝑋𝑖²
𝑁
𝑖=1
Datos:
∑ 𝑋𝑖
𝑁
𝐼 =1
= 77
∑ 𝑌𝑖
𝑁
𝐼 =1
= 89
∑ 𝑋𝑖𝑌𝑖
𝑁
𝐼 =1
= 1047
∑ 𝑌𝑖2
𝑁
𝐼 =1
= 1187
∑ 𝑋𝑖2
𝑁
𝐼 =1
= 939
Reemplazamos en las ecuaciones normales de las rectas:
89 =7a + 77b
1047=77a + 939b
Entonces los valores de a y b son:
a=4.58, b=0.73

a) Obtener la ecuación de regresión de Y sobre X y de X sobre Y.
Ecuación de Y sobre X seria:
Y = 4.58 + 0.737X
Ecuación de X sobre Y seria por teoría:
Y = 1.59 + 1.01X
b) Estimar la calificación de un estudiante en la prueba final si en la prueba parcial
obtuvo 11.
X = 11, entonces reemplazamos en la ecuación:
Y = 4.58 + 0.737X
Seria:
Y = 4.58 + 0.737(11)
Y = 12.61
c) Estimar la calificación de un estudiante en la prueba parcial si en la prueba final
obtuvo 09.
Y = 9, entonces reemplazamos en la ecuación:
Y = 4.58 + 0.737X
Seria:
9 = 4.58 + 0.73X
X = 6.05
d) Calcular e interpretar los coeficientes de correlación.
Hallemos el índice de correlación.
r = √
𝒂 ∑ 𝒀𝒊+𝒃 ∑ 𝒀𝒊𝑿𝒊−𝑵ӯ²𝑵
𝒊=𝟏
𝑵
𝒊=𝟏
∑ 𝒀𝒊²𝑵
𝒊=𝟏 −𝑵ӯ²
r = √
4.58(89)+𝑜.737(1047)−7(161.65.)
1187 −7(161 .65)

r = 0.85
Interpretación: el grado de disociación con respecto d la recta de regresión es 0.85 lo cual
está garantizando que la recta de regresión es el modelo adecuado para ese conjunto de
datos.
e) Calcular el error de estimación.
Sabemos que el error de estimación es igual a:
= √ 𝑆𝑦𝑠2 = √
∑ (𝑌𝑖 − 𝑌𝑐)2𝑁
𝑖=1
𝑁
Entonces reemplazamos:
√ 𝑆𝑦𝑠2 = √
5.227
7
= 0.74
2. Los datos que siguen muestran la mejora (ganancia en velocidad de lectura; en
palabras por minuto) de seis estudiantes que participaron en un programa de
velocidad en la lectura y el número de semanas que han participado en el
programa.
a) determinar la recta de mínimos cuadrados a partirde la cual podemos
pronosticar la gananciaen velocidad de lecturade una persona que ha
tomado parte del programaun numerode semanas dado.
b) Estimar el incremento en la velocidad de lectura que espera lograr una
persona que toma parte en el programa durante 5 semanas.
c) Calcular e interpretar el coeficiente de determinación.
Solución:
1ero ordenamos en una taba de distribución
xi yi xiyi xi
2 yi
2
4 91 364 16 8281

2 50 100 4 2500
8 210 1680 64 44100
6 164 984 36 26896
9 241 2169 81 58081
3 79 237 9 6241
32 835 5534 210 146099
2do graficamos los puntos respectivamente en el eje xy y luego trazamos la línea que pasa
por casi la mayoría de los puntos.
3ero hallamos los parámetros a , b por el método de mínimos cuadrados
∑ 𝑌𝑖
𝑁
𝑖=1
= 𝑁𝑎 + 𝑏∑ 𝑋𝑖
𝑁
𝑖=1
∑ 𝑌𝑖.
𝑁
𝑖=1
𝑋𝑖 = 𝑎 ∑ 𝑋𝑖
𝑁
𝑖=1
+ 𝑏 ∑ 𝑋𝑖²
𝑁
𝑖=1
Luego nos va quedar así: 835 = 6a + 32b
5534 = 32a +210b
0
50
100
150
200
250
300
0 2 4 6 8 10
Grafica de dispersionde los puntos X,Y
Valores Y

Resolvemos y nos da los valores de a, b
a= -7.36
b=27.47
Remplazando en Y=a+bx
y = -7.36 + 27.47x
Estimando el incremento en la velocidad de lectura que espera lograr una persona
que toma parte en el programa durante 5 semanas seria reemplazando en la
ecuación anterior:
Y = -7.36 + 27.47(5)
Y = 129.99
Para calcular e interpretar el coeficiente de determinación, sabemos que:
Coeficiente de determinación = r2
Entonces hallamos r:
r = √
𝒂 ∑ 𝒀𝒊+𝒃 ∑ 𝒀𝒊𝑿𝒊−𝑵ӯ²𝑵
𝒊=𝟏
𝑵
𝒊=𝟏
∑ 𝒀𝒊²𝑵
𝒊=𝟏 −𝑵ӯ²
r = √
(−𝟕.𝟑𝟔) 𝟖𝟑𝟓+𝟐𝟕.𝟒𝟕( 𝟓𝟓𝟑𝟒)−𝟔(𝟏𝟗𝟑𝟔𝟕.𝟑)
𝟏𝟒𝟔𝟎𝟗𝟗−𝟔(𝟏𝟗𝟑𝟔𝟕.𝟑)
r = 0.996
Entonces: r2 = 0.992
Interpretación: el 99.2 % de la variabilidad se ha explicado o eliminado gracias a la
regla de regresión.

3. Si (X1,Y1),(X2,Y2),…(Xn,Yn) cumplen la relación Y=bX, estimar el valor de b usando
el método de mínimos cuadrados.
Solución:
∑ 𝑌𝑖
𝑁
𝑖=1
= 𝑁𝑎 + ∑ 𝑋𝑖
𝑁
𝑖=1
∑ 𝑌𝑖
𝑁
𝑖=1
= 𝑎 ∑ 𝑋𝑖
𝑁
𝑖=1
+ 𝑏 ∑ 𝑋𝑖²
𝑁
𝑖=1
En la ecuación que nos dan seria:
∑ 𝑌𝑖
𝑁
𝑖=1
= ∑ 𝑋𝑖
𝑁
𝑖=1
∑ 𝑌𝑖
𝑁
𝑖=1
= 𝑏∑ 𝑋𝑖²
𝑁
𝑖=1
4. Se han estudiado las calificaciones de 60 estudiantes en la asignaturas de
matemática y estadística, obteniéndose los siguientes resultados:
X: puntaje en matemática

Y: puntaje en estadística
X =13 Y = 12.5 Sx = 2 Sy = 1.2 r = 0.9
a) Estimar el puntaje de un estudiante en Estadística si en matemática obtuvo 14
b) Para un estudiante que en Estadística obtuvo 10, que puntaje se estima
obtendría en matemática.
Solución:
A la vez X e Y son medias aritméticas de las calificaciones de los 60 estudiantes.
Se sabe que:
r =
Sxy
SxSy
0.9 =
Sxy
2×1.2
 SXY = 2.16
También se sabe que la pendiente de la recta es b:
b =
S 𝑋𝑌
𝑆 𝑥2

2.16
4
= 0.54
Y = a + bX
12.5 = a + 0.54×13
 a = 5.48
La ecuación de regresión es: Yc = 5.48 + 0.54X

a) Si el puntaje en matemáticas fue 14 , entonces X= 14, reemplazamos en la
ecuación hallada:
Yc = 5.48 + 0.54X
YC= 5.48 + 0.54(14)
YC= 13.04, el puntaje de estadística estimado seria 13.04.
b) Si el puntaje en estadística fue 10, entonces yc=10, reemplazamos en la
ecuación hallada:
Yc = 5.48 + 0.54X
10= 5.48 + 0.54X
X= 8.37, el puntaje de matemáticas estimado seria 8.37.
5. Si Y=2 + 0.8X, 𝒀̅=10, S2
X=49, S2
Y=64, obtener la ecuación de regresión lineal de X
sobre Y.
Solución:
Y - 𝑌̅ = b(X - 𝑋̅)
Y – 10 = 0.8(X - 𝑋̅)
Y = (10 - 0.8𝑋̅) + 0.8X ≅ Y=2 + 0.8X
Entonces.
10 - 0.8𝑋̅= 2
𝑋̅=10
Además se sabe que:
b =
S 𝑋𝑌
𝑆 𝑥2
 0.8 =
S 𝑋𝑌
49
S 𝑋𝑌= 39.2

r =
Sxy
SxSy

39.2
63
= 0.62
r2= 0.387
b.d=r2
b.d= 0.387
(0.8)d = 0.387
d= 0.483
Entonces la ecuación de regresión lineal de X sobre Y:
Y - 𝑌̅ =
1
𝑑
(X - 𝑋̅)
Tendríamos:
Y -10 = 2.06 (X – 10)
Y = -10.06 + 2.06X
6. Para las variables X e Y tenemos que r=0.6, SX=1.5, SY=2,𝑿̅=10, 𝒀̅=20.
a) Obtener las ecuaciones de regresión lineal de Y sobre X y de X sobre Y.
b) Calcular el error de estimación de Y respecto a X.
Solución:
r =
Sxy
SxSy
b =
S 𝑋𝑌
𝑆 𝑥2
0.6 =
Sxy
1.5(2)
b =
0.9
(1.5)(1.5)
0.9= Sxy b = 0.4

Entonces:
La ecuación de regresión lineal de Y sobre X.
Y - 𝑌̅ = b(X - 𝑋̅)
La ecuación de regresión lineal de X sobre Y.
Y - 𝑌̅ =
1
𝑑
(X - 𝑋̅)
Además que: b.d = r2  d = 0.90
Reemplazamos:
La ecuación de regresión lineal de Y sobre X.
Y - 20 = 0.4(X -10)
Y= 16 + 0.4X
La ecuación de regresión lineal de X sobre Y.
Y - 20 =
1
0.9
(X - 10)
Y =8.9 + 1.11X
Calculamos el error de estimación de Y sobre X.
Se sabe:
r= 0.6
0.6=√
𝑆𝑦𝑐2
4

0.36(4)= 𝑆𝑦𝑐2
1.44 = 𝑆𝑦𝑐2
Tenemos que:
𝑆𝑦2
= 𝑆𝑦𝑐2
+ 𝑆𝑦𝑠2
4 = 1.44 + 𝑆𝑦𝑠2
𝑆𝑦𝑠2
= 2.56
Entonces el error de estimación seria
√𝑆𝑦𝑠2 = 1.6
7. si Sy = 0.2Sx y se sabe que r = 0.8.
Hallar el coeficiente de regresión de la recta: y = a + bx
Solución:
El coeficiente de regresión de la recta es nada más que la pendiente. “b” y también es el
coeficiente de regresión lineal.
Sabiendo que:
b =
𝑺𝒙𝒚
𝑺𝒙²
r =
𝑺𝒙𝒚
𝑺𝒙𝑺𝒚
Resolvemos: 0.8 =
𝑆𝑥𝑦
0.2𝑆𝑥𝑆𝑥
0.16 =
𝑆𝑥𝑦
𝑆𝑥²

Entonces el coeficiente de regresión es
b = 0.16
8. Las pruebas sobre el consumo de combustible de un vehiculo que viaja a
diferentes velocidades produjeron los siguientes datos codificados
X Velocidad
(v)
20 30 40 50 60 70
Y Consumo
(C)
18.3 18.8 19.1 19.3 19.5 19.7
a) Ajustar a dichos datos una ecuacion de regresión de la forma C = A + B/V
b) Estimar C para una velocidad de 45
Solución:
x Y XY X2 Y2
v c
20 18.3 366 400 334.89
30 18.8 564 900 353.44
40 19.1 764 1600 364.81
50 19.3 965 2500 372.49
60 19.5 1170 2600 380.25
70 19.7 1379 4900 388.09
270 114.7 5208 13900 2193.97

3ero hallamos los parámetros a , b por el método de mínimos cuadrados
∑ 𝑌𝑖
𝑁
𝑖=1
= 𝑁𝑎 + 𝑏∑ 𝑋𝑖
𝑁
𝑖=1
18.2
18.4
18.6
18.8
19
19.2
19.4
19.6
19.8
0 10 20 30 40 50 60 70 80
𝑌 = 𝑎 + 𝑏/𝑋

∑ 𝑌𝑖.
𝑁
𝑖=1
𝑋𝑖 = 𝑎 ∑ 𝑋𝑖
𝑁
𝑖=1
+ 𝑏 ∑ 𝑋𝑖²
𝑁
𝑖=1
Luego nos va quedar así: 114.7= 6a + 270b
5208 = 270a +13900b
Resolvemos y nos da los valores de a, b
a= 17.92
b=0.026
Remplazando en Y=a+ b/x ≅ C = A + B/V
C= 17.92 + 0.026/V
Estimando C para una velocidad de 45 seria:
C= 17.92 + 0.026/45
C= 17.9205
9. el número de bacterias por unidad de volumen en un cultivo tras X horas viene
dado en la siguiente tabla:
X Numero
de horas
0 1 2 3 4 5 6
Y Numero 32 47 65 92 132 190 275

de
bacterias
c) ajustar una curva de mínimos cuadradode la forma Y = a.bx a los datos.
d) estimar el valor de Y cuando X = 7
Solución:
X Y Logy (logy)x X2 Logy2
0 32 1.5051 0 0 2.265
1 47 1.672 1.672 1 2.795
2 65 1.8129 3.6258 4 3.283
3 92 1.9637 5.8911 9 3.853
4 132 2.1205 8.482 16 4.494
5 190 2.2787 11.3935 25 5.1892
6 275 2.4393 14.6358 36 5.948
21 833 13.792 45.7002 91 27.827

3ro determinamos los parámetros a y b por el método de mínimos cuadrados.
Ecuación normal de la función exponencial
∑( 𝑙𝑜𝑔𝑦𝑖)
𝑁
𝑖=1
= 𝑁𝑙𝑜𝑔𝑎 + 𝑙𝑜𝑔𝑏 ∑ 𝑥 𝑖
𝑁
𝑖
∑( 𝑙𝑜𝑔𝑦𝑖)( 𝑥 𝑖) = 𝑙𝑜𝑔𝑎∑ 𝑥 𝑖 + 𝑙𝑜𝑔𝑏 ∑(𝑥 𝑖)2
𝑁
𝑖=1
𝑁
𝑖=1
𝑁
𝑖=1
Remplazamos la información obtenida en la distribución de la tabla.
13.792=7loga+21logb
34.50=21loga+91logb
Operando las ecuaciones los valores:
Loga= 1.506  a=32.06
logb =0.15  b=1.41
Sustituyendo los parámetros a y b en la función:
0
50
100
150
200
250
300
0 1 2 3 4 5 6 7
𝑌 = 𝑎𝑏 𝑥

y = (32.06)1.41x
Estimando el valor de Y cuando X = 7 seria:
y = (32.06)1.41x
y = (32.06)1.41(7)
y = 355.21
10. Los siguientes datos se refieren a la dosis de rayos cósmicos medidos a varias
altitudes
Altura (en pies)X 50 450 780 1200 4400 4800 5300
Dosis Y 28 30 32 36 51 58 69
a. Ajustar esos datos a una curva de la forma 𝒀 = 𝒂. 𝒆 𝒆𝒙
b. El resultado obtenido en “a” para estimar la dosis media a una altitud de
3000pies.
Solución:
 ∑ 𝐿𝑜𝑔𝑌𝑖 = 𝑁. 𝐿𝑜𝑔 𝐴 + 𝐿𝑜𝑔𝐵 ∑ 𝑋𝑖𝑁
𝑖=1
𝑁
𝑖=1
 ∑ ( 𝐿𝑜𝑔𝑌𝑖).( 𝑋𝑖) =𝑁
𝑖=1 𝐿𝑜𝑔𝐴 .∑ 𝑋𝑖𝑁
𝑖=1 + 𝐿𝑜𝑔𝐵 ∑ 𝑋𝑖2𝑁
𝑖=1
Reemplazando: 11,295579 = LogA . 7+ LogB.16980
29502,30578 = Log A .16980 + LogB . 72743400
LogA= 1.452031566 LogB= 6.662885957 x 10-5
A= 28.31597798 B= 1.00015343
B= ec  c= ln(1.00015343) =1.5341861 x 10-4
a) Ecuación: 𝑌 = 28,31597798 . 𝑒(1,5341861 . 10−4). 𝑋

b) X= 3000 pies  𝑌 = 28,31597798 . 𝑒(1,5341861 . 10−4). 3000
Y= 44.8660807
11. La presión P(kg/cm2) de un gas correspondiente a diferentes volúmenes V(cm3)
se registró de la siguiente manera:
Volumen
Presión
La ley de los gases ideales da la ecuación PVa = C, donde a y C son constantes.
a) Encuentre las estimaciones de mínimos cuadrados de a y C de los datos
proporcionados.
b) Estime P cuando V= 80 centímetros cúbicos.
Volumen (V) 50 60 70 90 100
Presión (P) 64.7 51.3 40.5 25.9 7.8
La ley de los gases ideales da la ecuación P.Va = C, donde a y C son constantes
a) Encuentre las estimaciones de mínimos cuadrados de a y C de los datos
proporcionados.
b) Estime P cuando V=80 centímetros cúbicos.
Solución:
Llamamos V = X y P = Y
TABLA PARA METODO DE MINIMOS CUADRADOS
Xi Yi log Xi log Yi log Xi log Yi (log Xi)2
50 64.7 1.699 1.811 3.077 2.887
60 51.3 1.778 1.709 3.039 3.161
70 40.5 1.845 1.607 2.965 3.404
90 25.9 1.954 1.413 2.761 3.818
100 7.8 2.00 0.892 1.784 4.000
370 190,1 9.276 7.432 13.626 17.270
Determinamos a y b. por m.m.c.

∑ 𝒍𝒐𝒈𝒀𝒊
𝑵
𝒊=𝟏
= 𝑵𝒍𝒐𝒈𝒂 + 𝒃∑ 𝒍𝒐𝒈𝑿𝒊
𝑵
𝒊=𝟏
∑ 𝒍𝒐𝒈𝒀𝒊 𝒍𝒐𝒈𝑿𝒊
𝑵
𝒊=𝟏
= 𝒍𝒐𝒈𝒂 ∑ 𝒍𝒐𝒈𝑿𝒊
𝑵
𝒊=𝟏
+ 𝒃∑(𝒍𝒐𝒈𝑿𝒊) 𝟐
𝑵
𝒊=𝟏
Sustituyendo:
7.432 = 5loga + b9.276
13.626 = 9.276loga + b17.270
Resolviendo el sistema, tenemos:
b = -2.644
loga = 6.392 ⇒ a = 2466039
Ecuación: Y = 2466039 X-2.644
b) Y =2466039 (80)-2.644 ⇒ Y = 22.92 Kg/cm3
12. En la tabla siguiente, Y es la presión barométrico medida a la altura X sobre el
nivel mar.
Y (pulgadas) 29.9 29.4 29.0 28.4 27.7
X (minutos) .0 500 1000 1500 2000
a) Usar el método de mínimos cuadrados para ajustaruna curva exponencial de la
forma:
Y = a.e-bx
b) Estimar Y para una altura de 2500 pies.

Solución:
a)
Xi Yi Xi2 Log(Yi) Log(Yi) . Xi
0 29,9 0 1,475671188 0
500 29,4 250000 1,46834733 734,173665
1000 29 1000000 1,462397998 1462,398
1500 28,4 2250000 1,45331834 2179,97751
2000 27,7 4000000 1,442479769 2884,95954
∑=5000 ∑=144,4 ∑=7500000 ∑=7,302214626 ∑=7261,50871
∑logy = nloga + ∑x log b
∑xlogy=∑log X + ∑ X2logb
sustituyendo:
7.3019=5loga + 5000logb
a=30.7265; b=0.999937525
𝒀 = 𝒂. 𝒃 𝒙
 b = e-Bx B =( 6.2476 ).10-5
 Ecuación :
Y=30.7265 𝒆 –(6.2476).X.10-5
c) Para 2500 pies ; Y= 26.2833 pulgadas

13. Los datos siguientes pertenecen a la cantidad de una sustancias que permanece en un
sistema químico en reacción después de X minutos:
a) Ajustar una curva de Gompertz de la forma:
Y = eeax+b
b) Estimar Y para X = 8
Solución:
Yi Xi log Yi log (Yi).Xi (Xi)2
96 1 1.982 1.982 1
75 5 1.875 9.375 25
63 10 1.799 17.99 100
30 25 1.477 36.929 625
9 50 0.954 47.700 2500
2 100 0.301 30.100 10000
X 191 8.388 144.076 13251
𝑵
𝒊=𝟏
= 𝑵𝒍𝒐𝒈𝒂 + 𝒍𝒐𝒈𝒃∑ 𝑿𝒊
𝑵
𝒊=𝟏
∑ 𝒍𝒐𝒈𝒀𝒊 𝑿𝒊
𝑵
𝒊=𝟏
= 𝒍𝒐𝒈𝒂 ∑ 𝑿𝒊
𝑵
𝒊=𝟏
+ 𝒍𝒐𝒈𝒃∑(𝑿𝒊) 𝟐
𝑵
𝒊=𝟏
Sustituyendo:
8.388 = 6loga + logb 191
144.076 = 191loga + logb 13251
Logb = -0.0171
b = 0.9614
a = 1.9424
Ecuación: Y = 𝑒 𝑒1.9424𝑋+0.9614

Para X=8
b) Y = 68.253 gr
⇒ En 8 minutos existirá 68.253 gr de sustancia.
14.- El número de pulgadas que una estructura recién construida se ah hundidoen el
terreno está dado por:
𝒀 = 𝟑 − 𝟑𝒆 𝒂𝑿
Donde X es su edad en meses.
X 2 4 6 12 18 24
Y 1.07 1.88 2.26 2.78 2.97 2.99
Use el método de mínimos cuadrados para estimar a.
Solución:
Y: Nº pulgadas
X: edad en Nº meses
Yi Xi log Yi log (Yi).Xi (Xi)2
1.07 2 1.029 0.058 4
1.88 4 0.274 1.096 8
2.26 6 0.354 2.124 36
2.78 12 0.444 5.328 144
2.97 18 0.473 8.514 324
2.99 24 0.476 11.424 576
X 66 2.05 28.544 1092

𝑵
𝒊=𝟏
= 𝑵𝒍𝒐𝒈𝒂 + 𝒍𝒐𝒈𝒃∑ 𝑿𝒊
𝑵
𝒊=𝟏
∑ 𝒍𝒐𝒈𝒀𝒊 𝑿𝒊
𝑵
𝒊=𝟏
= 𝒍𝒐𝒈𝒂 ∑ 𝑿𝒊
𝑵
𝒊=𝟏
+ 𝒍𝒐𝒈𝒃∑(𝑿𝒊) 𝟐
𝑵
𝒊=𝟏
Sustituyendo:
2.05 = 6loga + logb 66
28.544 = 66loga + logb 1092
Logb = 0.0164
b = 1.0385
a = 1.4498

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