2. Adición de números enteros
• En la recta numérica:
-2++7
• Desde el -2 contamos 7 en sentido
positivo, porque el otro sumando es +7.
Obtenemos una suma de +5.
3. Adición de números enteros
• Adición de dos enteros positivos:
– Se realiza como hasta ahora se han sumado
dos números naturales:
+8++3= +11
• Adición de dos enteros de distinto signo:
– Se restan los valores absolutos y se conserva
el signo del sumando que tiene mayor valor
absoluto:
+7+-6 │+7│-│-6│ +1
4. Propiedades de la adición de
números enteros
• En el conjunto de los números enteros se cumplen todas
las propiedades que tú ya conoces para la adición.
Estas son: clausura, conmutatividad, asociatividad y
elemento neutro.
En ejemplos:
• -6 + +2 = +2 + -6 Conmutativa, porque el orden de los sumandos
no cambia la suma.
• (-3 + +4) + -2 = -3 + (+4 + -2) Asociativa, porque sólo podemos
sumar 2 números a la vez, y lo representamos con paréntesis.
• +8 + 0 = +8 Elemento neutro el 0, porque cualquier entero sumado
con 0 tiene como suma a dicho entero.
5. Elemento inverso aditivo
• En la adición de enteros aparece una nueva propiedad conocida
como elemento inverso aditivo. Se llama así al número que,
sumado con otro, nos da como suma el elemento neutro.
En otras palabras, será sumar 2 números enteros cuya suma nos
dé 0.
• ¿Cuáles serán los números que cumplan esa condición?
Sumemos:
+6 + -6 = 0
-18 + +18 = 0
• Quiere decir que llamamos elemento inverso aditivo al opuesto
de un número entero.
• Entonces, el inverso aditivo de -327 es +327 y el inverso aditivo de
+4 es -4, etcétera.
6. Sustracción de números enteros
• Se comenzará por observar que una resta entre
números naturales puede interpretarse de la siguiente
manera, usando los números negativos:
10 - 6 = 10 + -6
• Si se piensa que el número negativo -6 representa una
deuda en UF, está claro que al tener 10 UF más una
deuda de 6 UF , el saldo es de 4 UF , y esto es lo que se
obtiene al restar 10 -6.
• Así, siempre que se tenga que realizar una resta ,
puede escribirse como la suma del minuendo más el
opuesto del sustraendo.
7. Desarrollo de una sustracción de
enteros
• Tenemos la siguiente sustracción
-5 ― +3 =
• Entonces cambiamos el signo de operación y
transformamos la resta en una suma:
-5 + + 3=
• Luego, cambiamos también el signo del segundo
término de la resta y calculamos:
-5 + -3= -8
El resultado final es -8
8. Sustracción de números enteros
• A partir del conjunto Z, la sustracción ya no se resuelve
como tal, porque aplicamos la propiedad del elemento
inverso aditivo.
• ¿Cómo es eso? Si tenemos una sustracción, la
cambiamos por adición del inverso aditivo del entero
que ocupa el lugar del sustraendo.
Veamos un ejemplo:
+8 - +3 ----> cambiamos el - de la operación por + y
en lugar de +3 ponemos su inverso -3.
Nos queda: +8 + -3 =
A continuación, resolvemos la adición obteniendo como
resultado +5.
9. Responde …
“Julio César nació en el año 101 a. de C. y murió
asesinado en el año 44 a. de C. El emperador
Augusto nació el año 63 a. de C. y fue nombrado
emperador de Roma a la edad de 36 años. Murió
el año 14 d. de C.”
¿A qué edad murió Julio César?
¿Qué edad tenía Julio César cuando
nació el emperador Augusto?
¿En qué año fue nombrado emperador
Augusto?
¿Qué edad tenía Augusto cuando murió
César?
¿Qué edad tenía Augusto al morir?
10. Multiplicación y división de enteros
• Imagina un grifo de agua que al abrirse,
llena un tanque a razón de 4
litros por minuto.
11. Multiplicación de enteros de igual signo
• Si en el momento en que son las 6:00 p.m., hay
135 litros de agua en el tanque y el grifo estará
abierto hasta las 6:05 p.m., ¿cuántos litros de
agua habrá a esa hora?
Como cada minuto entran 4 litros de agua al
tanque, al cabo de 5 minutos habrán entrado
+4 •+5 = +20 litros de agua al tanque.
• Como había 135 lts. a las 6:00 pm, a las 6:05 pm
habrá
+135 + + 20= 155 litros de agua en el tanque.
12. Multiplicación de enteros de diferente signo
• Si el grifo estuvo abierto desde antes de las 6:00 p.m., ¿cuántos litros de
agua había en el tanque a las 5:55 p.m.?
• Se pueden usar números negativos para las operaciones a realizar en la
resolución de este problema. La hora considerada como presente, es las
6:00 p.m., los minutos antes de las 6:00 pueden considerarse negativos
y los minutos después de las 6:00, como positivos.
• Por ejemplo, para expresar los 5 minutos antes de las 6:00
podemos escribirlo así: -5.
• Como el tanque se ha estado llenando a razón de 4 litros por minuto, lo
cual significa que en cada minuto que pasa, entran exactamente 4 litros
de agua al tanque, es natural pensar que antes de las 6:00 había menos
agua que a las 6:00. Por eso, se dice que:
-5 •+4= -20
Es decir, 5 minutos antes de las 6:00 había 20 litros menos de agua que
la cantidad que hay a las 6:00.
13. Recuerda que …
• Para multiplicar dos enteros de igual signo, se
multiplican tal como lo has hecho hasta ahora, y luego al
resultado le colocas el signo basándote en la siguiente
regla:
+ • + = + “El amigo de mi amigo es mi amigo”
- • - = - “El enemigo de mi enemigo es mi amigo”
- • + = - “El enemigo de mi amigo es mi enemigo”
+ • - = - “El amigo de mi enemigo es mi enemigo”
14. Propiedades de la multiplicación
a) Distributividad de la multiplicación respecto a la suma
Cuando se multiplica un número entero por otro, y éste último está
escrito como la suma de otros dos, por ejemplo, si tenemos
+7•(+10++3), se sabe que esta operación es igual a
(+7•+10)+(+7•+3)
Esta propiedad se conoce como la propiedad distributiva de la
multiplicación con respecto a la suma de números enteros y se puede
ver que es muy natural que esto se cumpla siempre, si se observa el
siguiente cálculo con bolitas:
15. Propiedades de la multiplicación
b) Conmutatividad:
Al igual que en la adición, en la multiplicación de
números enteros se cumple que si cambiamos el orden
de los números (pero conservando siempre su signo), no
se altera el resultado:
Ej:
-4 •+6 = +6• -4
-24 -24
=
16. Propiedades de la multiplicación
c) Asociatividad:
Al igual que en la adición, en la multiplicación de
números enteros podemos decir que, sin importar
cómo agrupemos los factores, el resultado se
mantiene.
Ej:
Observa que la regla de los signos también es importante en el ejemplo
-4• (-8•+6) = (-4• -8)•+6
-4• -48 = +32 •+6
+192 +192
17. Propiedades de la multiplicación
d) Propiedad anuladora del cero:
Esta propiedad es muy importante, y nos
indica que, cualquier número multiplicado por
el 0 da como resultado 0.
Ej.: - 23598• 0 = 0
+202• 0 = 0
18. División de números enteros
• Para dividir números enteros se cumple la
misma regla que en la multiplicación:
El cociente tendrá signo positivo si el dividendo y el
divisor tienen igual signo.
El cociente tendrá signo negativo si el dividendo y el
divisor tienen signos opuestos.
Por ejemplo:
a)
b)
―15 : +3 = ―5
Dividendo Divisor Cociente o resultado
―21 : ―7 = +3
Dividendo Divisor Cociente o resultado
19. Operaciones combinadas
• Los paréntesis indican prioridad de ejercicios.
1º se resuelven lo que está en los paréntesis
redondos () ,
2º lo que va en los paréntesis cuadrados o de
corchete [ ],
Y finalmente lo que está en los paréntesis de
llave { }.
• En los paréntesis, las sustracciones también
deben cambiarse por adiciones del inverso aditivo.
• Ej.: { [+7• -8 ] : [4 •(5 + 2)] } ― +1
20. Realización del ejemplo
• Ej.: { [+7• -8 ] : [4 •(5 + 2)] } ― +1
• Se efectúan en primer lugar las operaciones que están dentro de los
paréntesis redondos, y luego las que están agrupados por los corchetes:
1º { [+7• -8 ] : [+4•+5 + +4 •+2] } ― +1
2º { [-56] : [+20 + + 8] } ― +1
• Ahora se efectúa la división que está dentro de las llaves:
3º { [-56] : [+28] } ― +1
{ -2 } ― +1
• Y finalmente se trabaja lo que está afuera:
4º -2 ― +1
-3
• El resultado que obtenemos es -3
