El documento presenta los diferentes tipos de números, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. También explica conceptos matemáticos como suma, resta, multiplicación, división y proporción. Finalmente, introduce las leyes de exponentes como potencias con exponentes 0 y 1, producto y división de potencias de igual base.

1. Números Reales (Parte I)
Profa. Lydia I. Irizarry Jiménez
MATE 1005

2. Los Números Naturales
• Los números naturales tienen dos grandes usos: se utilizan para
especificar el tamaño de un conjunto finito y para describir qué
posición ocupa un elemento dentro de una secuencia ordenada.
• Los números naturales se representan con la letra N y su notación
de conjunto es:

3. Los Números Enteros
• Conjunto de los números enteros Z:={...-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...} Es
el conjunto de los números naturales junto con sus inversos
aditivos u opuestos, nacen por la necesidad en la orientación y en
especificación de medidas.

4. Números racionales
• Los números racionales Q
• Los números racionales son aquellos que pueden representarse
como cociente de dos números enteros. Es decir, los podemos
representar mediante una fracción a/b, donde a y b son números
enteros y además b es distinto de cero.
• Ejemplo: 15/3=5

5. Números Irracionales
• Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción -
el decimal sigue para siempre sin repetirse. Los decimales no siguen
ningún patrón. Números como 22/7 = 3.1428571428571...
• Ejemplos: número de Euler(ⅇ) = 2.71828182845904523536028747135…
número Pi (𝜋) = 3.14159265358979323846264338327…

6. • https://www.youtube.com/watch?v=DkRXynXBJGM

7. Suma
• Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor
absoluto del resultado del siguiente modo: Si ambos sumandos
tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su
valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los
sumandos.

8. Resta
• La resta consiste en el desarrollo de una descomposición: ante una
determinada cantidad, debemos eliminar una parte para obtener
el resultado. Por ejemplo: si tengo nueve peras y regalo tres, me
quedaré con seis peras (9-3=6).
• https://www.youtube.com/watch?v=chHdyf4Mx_I

9. Multiplicación
• Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores
absolutos; si los dos factores tienen igual signo, el producto es
positivo, y si los dos factores tienen distinto signo, el producto es
negativo.

10. División
• La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del
cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y
tiene de signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los
signos.

11. Reglas de signos

12. Orden de Operaciones
• Necesitamos un conjunto de normas comunes para realizar
cálculos. Hace muchos años, los matemáticos desarrollaron un
orden de operaciones estándar que nos indica qué operaciones
hacer primero en una expresión con más de una operación. Sin un
procedimiento estándar para hacer cálculos, dos personas podrían
obtener diferentes resultados para el mismo problema. Por
ejemplo, 3 + 5 • 2 tiene sólo una respuesta correcta. ¿Es 13 o 16?

13. Continuación
• Primero, considera expresiones que incluyan una o más
operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación, y división. El
orden de operaciones requiere que todas las multiplicaciones y
divisiones se hagan primero, yendo de izquierda a derecha en la
expresión. El orden en el cual se calculan la multiplicación y
división está determinado por cuál aparece primero, de izquierda
a derecha.
• Después que se han completado la multiplicación y la división,
suma y resta en orden de izquierda a derecha. El orden también
está determinado por la que aparece primero de izquierda a
derecha.

14. Continuación

15. Continuación

16. Continuación

17. Proporción
• La proporción es la igualdad de dos razones, así que la proporción
se obtiene multiplicando por un mismo número tanto el
antecedente como el consecuente.
• Ejemplo:
• Cuatro empleados producen en 10 días 320 piezas de cierto
producto. ¿Cuántas piezas de ese mismo producto serán
producidas por 10 empleados en 16 días?

18. Ejemplo
• En la carretera A pasaron en el mes de diciembre 1200 vehículos.
En la carretera B pasaron el mismo mes de diciembre 500
vehículos y al año, han pasado un total de 6500 vehículos.
¿Cuántos vehículos pasaron en el año en la carretera A?

19. Práctica
• Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera
tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera
ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda?
• María puede comer 21 tacos en 6 minutos. Ella quiere saber
cuántos minutos le toma comer 35 tacos si puede mantener el
mismo paso. ¿Cuántos minutos necesita María para comer 35
tacos?

20. • Eliana manejó su automóvil 81 km, y usó 9 litros de gasolina.
Quiere saber cuántos kilómetros puede manejar con 22 litros de
gasolina. Supone que su coche va a seguir consumiendo gasolina al
mismo ritmo.
• Maddy lleva un bote con bebida para deportistas; el bote de 5
litros pesa 7.5 kg. Ella quiere saber cuántos kilogramos pesará un
bote de 2 litros. Ella supone que la relación entre volumen y peso
es proporcional.

21. Porciento
• Los porcentajes están relacionados con las fracciones y los
decimales por que un porcentaje es otra manera de identificar las
partes de un número entero. De hecho, un porcentaje es un
número fraccionario cuyo denominador es 100.
• Un equipo ha jugado 15 partidos y ha ganado 6 ¿Qué porcentaje
representan los partidos ganados sobre el total?
• 6/15 = 0.4 x 100 = 40%
• 75/100= 0.75 x 100= 75%

22. Práctica de Porciento
• En EE.UU. 13 de cada 20 latas se reciclan.
• ¿Qué porcentaje de las latas se recicla?
• De los 50 estados de EE.UU., 4 tienen nombres que empiezan con la
letra W ¿Qué porcentaje de los estados de EE.UU. tienen nombres que
empiezan con la letra W?
• Un zoológico tiene 15 pingüinos emperador. Los pingüinos emperador son
el 30%, porciento de todos los pingüinos en el zoológico. Cuántos
pingüinos viven en el zoológico?

23. Leyes de exponentes
• Las leyes de los exponentes y radicales establecen una forma
simplificada o resumida de trabajar una serie de operaciones
numéricas con potencias, las cuales siguen un conjunto de reglas
matemáticas.
• Por su parte, se denomina potencia a la expresión an, (a)
representa el número base y (n o enésima) es el exponente que
indica cuántas veces se debe multiplicar o elevar la base según lo
expresado en el exponente.

24. Ejemplos
• 52 es lo mismo que (5) ∙ (5) = 25. Es decir, se debe multiplicar 5
dos veces.
• 23 es lo mismo que (2) ∙ (2) ∙ (2) = 8. Es decir, se debe multiplicar
(2) tres veces.

25. Potencia con exponente 0
• Cualquier número elevado a un exponente 0 es igual a 1. Cabe
destacar que la base siempre debe ser diferente a 0, es decir a ≠
0.
• Ejemplos:
• a
0
= 1
• -5
0
= 1

26. Potencia con exponente1
• Cualquier número elevado a un exponente 1 es igual a sí mismo.
• Ejemplos:
• a
1
= a
• 7
1
= 7

27. Producto de potencias de igual base o
multiplicación de potencias de igual base
• ¿Qué pasa si tenemos dos bases (a) iguales con diferentes
exponentes (n)? Es decir, an ∙ am. En este caso, las bases iguales
se mantienen y se suman sus potencias, es decir: an ∙ am = an+m.
• Ejemplos:
• 2
2
∙ 2
4
es lo mismo que (2) ∙ (2) x (2) ∙ (2) ∙ (2) ∙ (2). Es decir, se
suman los exponentes 2
2+4
y el resultado sería 2
6
= 64.
• 3
5
∙ 3
-2
= 3
5+(-2)
= 3
5-2
= 3
3
= 27

28. Continuación
• Esto sucede porque el exponente es el indicador de cuántas veces
se debe multiplicar el número base por sí mismo. Por tanto, el
exponente final será la suma o resta de los exponentes que tienen
una misma base.

29. Potencia de un producto o Ley distributiva de la
potenciación con respecto de la multiplicación
• Esta ley establece que la potencia de un producto debe ser
elevada al mismo exponente (n) en cada uno de los factores.
• Ejemplos:
• (a ∙ b ∙ c)
n
= a
n
∙ b
n
∙ c
n
• (3 ∙ 5)
3
= 3
3
∙ 5
3
= (3 ∙ 3 ∙ 3) (5 ∙ 5 ∙ 5) = 27 ∙ 125 = 152.
• (2ab)
4
= 2
4
∙ a
4
∙ b
4
= 16 a
4
b
4

30. División de potencias de igual base o
cociente de dos potencias con igual base
• El cociente de dos potencias de igual base es
igual a elevar la base según la diferencia del
exponente del numerador menos el
denominador. La base debe ser diferente a 0.