funciones

1. Funciones polinómicas
Una función polinómica es aquella que está definida por un polinomio:
definicion
donde a0, a1 ... an-1, an son números reales que se llaman coeficientes del
polinomio y n es el grado del polinomio.
Las características generales de las funciones polinómicas son las siguientes:
1) El dominio de definición es el conjunto de los números reales (R).
2) Son siempre continuas.
3) No tienen asíntotas.
4) Cortan al eje X, como máximo, un número de veces igual que el grado del
polinomio.
5) Cortan el eje Y en el punto (0, a0).
6) El número de máximos y mínimos relativos es, a lo sumo, igual al grado del
polinomio menos uno.
7) El número de puntos de inflexión es, a lo sumo, igual al grado del polinomio
menos dos.
Funciones polinómicas de grado 0:
rectas horizontales
Funciones polinómicas de primer grado:
rectas oblicuas

2. Funciones polinomicas de segundo
grado :
Parábola
Funciones polinomicas de tercer grado : cubicas

3. Funciones polinomicas de cuarto grado : cuadráticas
Funciones exponenciales
Las funciones exponenciales son las funciones que tienen la variable
independiente x en el exponente, es decir, son de la forma:
Las características generales de las funciones exponenciales son:
1) El dominio de una función exponencial es R.

4. 2) Su recorrido es (0, +∞) .
3) Son funciones continuas.
4) Como a0 = 1 , la función siempre pasa por el punto (0, 1).
La función corta el eje Y en el punto (0, 1) y no corta el eje X.
5) Como a1 = a , la función siempre pasa por el punto (1, a).
6) Si a > 1 la función es creciente.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente.
7) Son siempre concavas.
8) El eje X es una asíntota horizontal.
Si a > 1 :
Al elevar un número mayor que 1 a cantidades negativas cada vez más grandes,
el valor de la potencia se acerca a cero, por tanto :
Cuando x → - ∞ , entonces a x → 0
Si 0 < a < 1 :
Ocurre lo contrario que en el caso anterior :
Cuando x → + ∞ , encontes a x → 0
Ejemplo de funciones exponenciales:
1) Dominio:
El dominio de las funciones exponenciales es R.

5. Dom(f) = Dom(g) = R .
2) Recorrido:
El recorrido de las funciones exponenciales es (0, + ∞) .
Im(f) = Im(g) = (0, + ∞) .
3) Puntos de corte:
f(0) = 20 = 1 , el punto de corte con el eje Y es (0, 1).
g(0) = - 20 = 1 , el punto de corte con el eje Y es (0, 1).
La funciones f(x) y g(x) no cortan al eje X.
4) Crecimiento y decrecimiento:
La función f(x) es creciente ya que a > 1 .
La función g(x) es decreciente ya que 0 < a < 1 .
5) Concavidad y convexidad:
Las funciones f(x) y g(x) son concavas.
6) Asíntotas:
Las funciones f(x) y g(x) tienen una asintota en el eje X.
7) Tabla de valores:

6. Funciones logarítmicas
Las funciones logarítmicas son funciones del tipo:
Es la inversa de la función exponencial f(x) = ax
Las características generales de las funciones logarítmicas son:
1) El dominio de una función logarítmica son los números reales positivos:
Dom(f) = (0. + ∞) .
2) Su recorrido es R: Im(f) = R .
3) Son funciones continuas.
4) Como loga1 = 0 , la función siempre pasa por el punto (1, 0) .
La función corta el eje X en el punto (1, 0) y no corta el eje Y.
5) Como logaa = 1 , la función siempre pasa por el punto (a, 1) .
6) Si a > 1 la función es creciente.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente.
7) Son convexas si a > 1 .
Son concavas si 0 < a < 1 .
8) El eje Y es una asíntota vertical.
Si a > 1 :
Cuando x → 0 + , entonces log a x → - ∞
Si 0 < a < 1 :
Cuando x → 0 + , entonces log a x → + ∞
Ejemplo de funciones logarítmicas:

7. 1) Dominio:
El dominio de las funciones logarítmicas es (0, + ∞) .
Dom(f) = Dom(g) = (0, + ∞) .
2) Recorrido:
El recorrido de las funciones logarítmicas es R.
Im(f) = Im(g) = R .
3) Puntos de corte:
f(1) = log21 = 0 , el punto de corte con el eje X es (1, 0).
g(1) = log1/21 = 0 , el punto de corte con el eje X es (1, 0).
La funciones f(x) y g(x) no cortan al eje Y.
3) Crecimiento y decrecimiento:
La función f(x) es creciente ya que a > 1 .
La función g(x) es decreciente ya que 0 < a < 1 .
4) Concavidad y convexidad:
Las función f(x) es convexa ya que a > 1 .
Las función g(x) es concava ya que 0 < a < 1 .
5) Asíntotas:
Las funciones f(x) y g(x) tienen una asintota en el eje Y.
6) Tabla de valores:

8. Funciones trigonométricas
Una función trigonométrica es aquella que da el valor de una razón trigonométrica
en función del ángulo.
Las funciones trigonométricas son: sen x , cos x , tg x , cotg x , sec x ,
cosec x
Todas las funciones trigonométricas son periódicas.
Función seno
Las características fundamentales de la función seno son las siguientes:
1) Su dominio es R y es continua.
2) Su recorrido es [- 1, 1] ya que - 1 ≤ sen x ≤ 1 .
3) Corta al eje X en los puntos k·π con k∈Z .
Corta al eje Y en el punto (0, 0) .
4) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.
sen (- x) = - sen (x)
5) Es estrictamente creciente en los intervalos de la forma (a, b) donde a = -
π/2 + 2·k·π y b = π/2 + 2·k·π siendo k∈Z .
Es estrictamente decreciente en los intervalos de la forma (a, b) donde a = π/2
+ 2·k·π y b = 3π/2 + 2·k·π siendo k∈Z .

9. 6) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma (π/2 + 2·k·π, 1)
con k∈Z .
Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma (3π/2 + 2·k·π, - 1) con
k∈Z .
7) Es periódica de periodo 2π .
sen (x) = sen (x + 2π)
La función f(x) = sen (k·x) es periódica de periodo p = 2π/k
Para |k|>1 el periodo disminuye y para 0 < |k| <1 el periodo aumenta.
8) Está acotada superiormente por 1 e inferiormente por - 1.
Transformaciones de la función seno
A partir de la gráfica de la función f(x) = sen x pueden dibujarse las de:
1) f(x) = - sen x
La función resultante es simétrica respecto al eje X.

10. 2) f(x) = |sen x|
La función valor absoluto transforma los resultados negativos en positivos.
3) f(x) = k + sen x
La función resultante es una traslación vertical hacía arriba de dos unidades.
4) f(x) = sen (x + k)
La función resultante es una traslación horizontal hacía la izquierda de dos
unidades.
5) f(x) = k·sen x
La función resultante multiplica los resultados de la función seno dos unidades.

11. 6) f(x) = sen (k·x)
La función resultante contrae a la función original.
Funciones de Función inversa
Si f es una función biunívoca con dominio en D y contradominio R y g es una
función con dominio en R y contadominio D, entonces g será la función inversa de
f , para esto se tiene que cumplir la siguiente condición:
y = f (x) si y sólo si x = g (y)

12. ejemplos
1. f (x) = 3x + 5
2. f (x) = 1 / (3x – 2)
3. f (x) =(3x + 2) / (2x – 5)

13. 4. f (x) = 2 – 3x2 (x menor o igual a cero)
5. f (x) = 2x3 – 5