Funciones exponenciales, por alumnos de 4°CS

1. FUNCIONES
EXPONENCIALES

2. DEFINICIÓN
 Se
denomina función exponencial a toda
aquella función que tenga la forma:
Exponente
Coeficiente de la función
Base de la
función

3. Condiciones
El
coeficiente (k) debe ser un
número real NO nulo.
La
base (a) debe ser un número
real positivo distinto de 1.

4. Si la base es:
a >1 es
creciente:
a <1 es
decreciente:

5. Representación sin grafico
 La
ecuación general completa es: y= k.ax +b
 Dominio: todos los reales
 Asíntota horizontal y=b
 k>0 imagen (b, )
 K<0 imagen (- ,b)
 Si k> 0
a>1
crece
0<a<1 decrece
 Si k<0
a>1
crece
0<a<1
decrece

6. Para recordar:

7. Representación grafica

• El conjunto imagen de todas las funciones exponenciales es:
(0 ; ).
• Como han podido observar en el grafico, la curva que
representa a la función crece de manera muy rápida. A este
crecimiento se lo denomina “crecimiento exponencial”.

8. Asíntota


9.  Hay
dos funciones de “gran presencia”
que corresponden a las bases:
F(x) = 10x
F(x) = ℮x

10. Donde K:

Coeficiente:
•Positivo
•Negativo
•Nunca nulo
 En este caso se generan
grandes diferencias:
Conjunto Imagen:
a.(0;∞)
b.(-∞;0)
Ordenada al origen:
a.(0;2)
b.(0;-2)
¿Crece o Decrece?
a. Crece
b. Decrece
Conclusiones:
▪ Si el coeficiente es positivo, la función crece. Mientras que si el coeficiente
es negativo, la función decrece.
▪ Las curvas de las funciones que tienen igual base y coeficientes opuestos
son simétricas respecto al eje de las abscisas (eje x).

11. Variaciones

g
f
• Ambas curvas se cortan en el
punto (0,1).
• No cortan el eje de las abscisas.
• El conjunto imagen es (0; ).
Conclusiones:
• Si la base A es mayor a 1, la función es creciente.
• Si la base A es menor a 1, la función es decreciente.
LAS BASES AL SER INVERSAS O RECÍPROCAS, SON SIMÉTRICAS
CON RESPECTO AL EJE DE LAS COORDENADAS (EJE Y).

12. Variaciones

Las funciones y = ax + b son de tipo
exponencial. Su grafica se obtiene trasladando
la grafica de y = ax en b unidades hacia arriba
si b es positivo, y en b unidades hacia abajo si
es negativo.

Las funciones y = ax + b son también de tipo
exponencial. Su grafica se obtiene trasladando
la grafica de y = ax en b unidades hacia la
izquierda si b es positivo, y b unidades hacia la
derecha si es negativo.

13. Ejemplo

14. Explicación práctica
Hallar la fórmula de una función
Podemos encontrar la fórmula de una
función exponencial conociendo dos
puntos de la curva:
A: (-1;(2/3))
B: (4;162)
 Reemplazamos en la formula general de
la función exponencial:
y = k . ax
2/3 = k. a-1
162 = k. a-4
 Despejamos “k”
(2/3) : a-1 = k
162 : (a4) = k

15. Explicación práctica
 Igualamos
ambas expresiones:
(2/3) . a4 = 162 . (a-1)
 Pasaje de término, operamos y despejamos
“a” y encontramos “k”:
(a4): a-1 = 162 : (2/3)
a4-(-1) = 162 : (2/3)
a5 = 162: (2/3)
a5 = 243
a = 5 √243
a=3
K= 2
 Entonces
la función es:
f(x) = 2 . 3x

16. Aplicaciones de las
funciones exponenciales
Alcohol y conducción de vehículos
Se puede calcular el riesgo de tener un accidente
automovilístico mediante la función:
R = 6ekx
X = Concentración de alcohol en sangre
K = Constante
R = Riesgo (en porcentaje)

17. Aplicación
La mitosis o división celular
Este proceso obedece a la ley de crecimiento inhibido
Una fórmula que proporciona el número (N) de células en
el cultivo después de transcurrir un tiempo (t) (en las
primeras etapas del crecimiento) es:
N(t)= N0ekt
Donde k es una constante positiva.
Donde N0 es el número inicial de células.

18. Aplicación
Eficiencia de un artefacto
El proceso de declinación de la eficiencia
de un aparato o instrumento puede ser
representado por funciones
exponenciales decrecientes.

19. Aplicación
Cicatrización de heridas
A0= área original de la herida
A= área de la herida luego de “nº” de días
A= A0e -0.35n

20. Aplicación
 La
presión atmosférica de un globo o
aeroplano puede representarse en una
función decreciente.
P = P0 . e-mgh/kT
P = presión atmosférica a
una altura h
H = altura
P0 = presión atmosférica
a nivel del mar
m = masa de las
moléculas de aire
k = constante de
Boltzmann
T = temperatura
G = gravedad

21. Ejercicios


22. Bibliografía y Links
•Matemática 1 - Serie Polimodal. Ed.
Santillana
•http://docencia.udea.edu.co/ingeni
eria/calculo/pdf/1_3_3.pdf
(Aplicaciones)
•http://goo.gl/nlu1z (Aplicaciones)
•Apuntes de la carpeta
Vitutor. Funciones exponenciales

23. Integrantes
 Altobelli,
Leandro.
 Cancinos, José.
 González, Gloria.
 Hnilitza, Fernanda.
4º 1º Economía - 2013