2. MODELO DEL MOVIMIENTO FORZADO
Cuando en un sistema masa-resorte hay una fuerza externa 𝑓𝑒(𝑡)
(fuerza de excitación). Se le conoce como sistema con movimiento forzado.
Cuya ecuación diferencial es la siguiente:
𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝛽
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑥 = 𝑓𝑒(𝑡)
3. Movimiento forzado con amortiguamiento
(𝛽 ≠ 0)
𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝛽
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑥 = 𝑓𝑒(𝑡)
La solución general esta dada por una solución complementaria 𝑥𝑐(𝑡) y una solución particular
𝑥𝑐(𝑡)
𝑥 𝑡 = 𝑥𝑐 𝑡 + 𝑥𝑝(𝑡)
Donde:
𝑥𝑐 𝑡 :Terrmino transitorio (porque lim
𝑡→+∞
𝑥𝑐 𝑡 = 0)
𝑥𝑝(𝑡):Estado estable
5. Ejemplo:
Se une una masa de 1 kg a un resorte con un amortiguador donde la
constante del resorte es 1 N y la constante de amortiguamiento 2
veces la velocidad instantánea. Si se aplica una fuerza de excitación
𝑓𝑒 𝑡 = 17Cos t, determine la posición y velocidad de la masa en
cualquier tiempo suponiendo que x(0)=0 m y x´(0)=0.
8. Observación
Termino transitorio 𝑥𝑐 𝑡 =
Note que lim
𝑡→+∞
𝑥𝑐 𝑡 = 0, esto es que a medida pasa el tiempo solo se preserva el movimiento
oscilatorio provocado por la fuerza externa.
9. Movimiento forzado sin amortiguamiento
(𝛽 = 0)
Se tiene un sistema masa-resorte donde 𝑚 = 5 𝑘𝑔 y 𝑘 = 20 𝑁
𝑚, que esta sometido a una
𝑓𝑒 𝑡 = 5𝐶𝑜𝑠 3𝑡 𝑁. Si el sistema tiene condiciones iniciales 𝑥 0 = 0.02 𝑚 𝑦 𝑣 0 = 0 𝑚
𝑠.
Determine:
a) La posición velocidad y aceleración en cualquier tiempo.
b) El periodo
c) Los tiempos donde alcanza sus máximos y mínimos relativos.
12. b) El periodo seria el minimo común múltiplo de los periodos de las funciones dadas.
Como:
Note que Periodo de Cos 2t es 𝜋 y periodo de Cos 3t es
2𝜋
3
El minimo común múltiplo de 𝜋 y
2𝜋
3
es 2𝜋
Por lo que el periodo es 2𝜋
