Este documento presenta diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales que modelan el movimiento de sistemas estructurales sometidos a cargas dinámicas. Introduce conceptos como grados de libertad, ecuaciones de movimiento para sistemas de un grado de libertad, y métodos analíticos y numéricos para resolver dichas ecuaciones, incluyendo la solución clásica, la integral de Duhamel y métodos de integración directa como diferencias finitas. El documento es útil para comprender el análisis dinámico de e

1. TRABAJO DE INVESTIGACIÓN
“METODO DE LA SOLUCION DE LA
ECUACION DIFERENCIAL ”
Lima Ate- 2019-I
Autor(es):
José, Álvarez Raymundo
Jorge Ramos Huaman
Brayan, Montañez Adama
Victor Antonio, Manco Montaño
Alexis, Zavala Villarroel
Roybi, Delgado campos
Escuela profesional de Ingeniería Civil
EC de ingeniería sísmica

2.  INTRODUCIÓN
 Uno de los aspectos que más ha requerido la atención de los ingenieros
encargados del análisis y diseño de edificaciones de todo tipo, es el
comportamiento de las estructuras ante la excitación de cargas dinámicas. Es por
eso que se requiere de herramientas que permitan llevar a cabo dicho proceso
confiabilidad y rapidez.
 En este trabajo se procedió a abordar de forma breve algunos conceptos básicos
propios de la dinámica estructural, tales como las características de las
de movimiento de uno y varios grados de libertad, haciendo énfasis en los
métodos de solución de sistemas de varios grados de libertad por integración
directa

3. METODO DE LA SOLUCION
DE LA ECUACION
DIFERENCIAL

4. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
*Para representar el comportamiento físico de una estructura
bajo condiciones de carga dinámica es necesario valerse de
modelos matemáticos.
*Los modelos matemáticos no son más que idealizaciones
conceptuales de estructuras reales que proveen un
conocimiento exacto y preciso del comportamiento del
mismo, sin embargo, solo representan una limitada y
aproximada información del comportamiento del sistema real.
*El modelo de análisis para una estructura en particular está
representado por sus ecuaciones de movimiento

5. Grados de libertad
Un factor importante para generar el modelo matemático son los grados de libertad son
definidos como :
“Número de coordenadas independientes y necesarias para especificar la configuración o
posición de un sistema en cualquier tiempo”,
“Número de desplazamientos independientes requeridos para definir la posición desplazada
relativa de todas las masas respecto a su posición original”
En otras palabras, los grados de libertad representan desplazamientos (lineales o angulares)
se estima tendrá la estructura en las uniones de sus elementos (nodos) o en sus masas
concentradas, (Chopra, 2001).

6. Sistemas con un grado de libertad
Esta clasificación del sistema estructural es la más simple, debido a que únicamente se
una sola coordenada de desplazamiento. Su modelo matemático general está dado por la
expresión
fi +f d+ f s = p ( t…………………….. 6.1
Donde fi representa las características de las fuerzas inerciales de la estructura siendo igual a
u˙ donde m es la masa del sistema fd representa al amortiguamiento o características
friccionantes y perdida de energía de la estructura expresa por c u˙ donde c es una constante
de proporcionalidad a la velocidad f s representa a la fuerza de restauración elástica, asi
la capacidad de energía potencial de la estructura, resulta del producto k u siendo k la
del sistema u, u˙ y u˙ representan respectivamente el desplazamiento , la velocidad y la
aceleración de la estructura y p(t) representa una fuerza o un sistema de fuerzas cualesquiera
varían con el tiempo
mu + Cu + ku = p(t)…………6.2
La cual es una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea, que esquemáticamente
modela al sistema masa-resorte de la siguiente figura

7. FIG. 6.1 Modelo analógico de sistemas de un solo grado de
libertad
a)componentes básicos
b) diagrama de cuerpo libre

8. Método de la solución de la ecuación diferencial
La ecuación de movimiento para un sistema lineal de 1GDL sometido a una
fuerza externa es la ecuación diferencial de segundo orden que se obtuvo
con anterioridad
 𝒎 𝒖: Fuerza inercial
 𝑪 𝒖: Fuerza de amortiguamiento viscoso
 𝒌𝒖: Fuerza elástica

9. Figura 1: grafico de ecuación de movimiento
Para definir por completo el problema es necesario especificar el desplazamiento inicial
u(0) y la velocidad inicial u(0) en el tiempo cero. Por lo regular, la estructura está en reposo
antes de la aparición de la excitación dinámica, de modo que la velocidad inicial y el
desplazamiento
inicial son cero.

11. Solución particular de una ecuación diferencial Una
solución particular de una ecuación diferencial, es la
que se obtiene a través de información adicional que
permita asignar valores específicos a las constantes que
aparecen en la solución general.

12. SOLUCION CLASICA

13. Solución clásica
u(t)= solución homogénea + solución particular
Solución de una ecuación diferencial Una función f(x) es una solución de una ecuación
diferencial dada, sólo si la ecuación se satisface cuando f(x) y sus derivadas se sustituyen
en dicha ecuación.
Que homogeneidad está formado por elementos con características comunes referidas a
su clase o naturaleza, lo que permite establecer entre ellos una relación de semejanza y
uniformidad
Solución general de una ecuación diferencial Una solución que contiene una o más
constantes arbitrarias, se llama solución general de la ecuación diferencial y corresponde
a toda una familia de funciones, un miembro de la familia para cada valor asignado a
cada constante.

14. La solución completa de la ecuación diferencial lineal de movimiento consiste en la
suma de la solución complementaria uc(t) y la solución particular up(t), es decir, u(t) =
uc(t) + up(t). Como la ecuación diferencial es de segundo orden, se involucran dos
constantes de integración. Éstas aparecen en la solución complementaria y se evalúan
a partir del conocimiento de las condiciones iniciales.
Considere una fuerza escalonada: p(t) = po, t ≥ 0. En este caso, la ecuación diferencial de
movimiento para un sistema sin amortiguamiento (es decir, c = 0) es
La solución particular para la ecuación (a) es:
….4
….3

15.  Y la solución complementaria está asociada con las vibraciones libres, La forma
básica de la ecuación de movimiento es cuando el sistema no se encuentra bajo la
acción de fuerzas externas y en el no existe amortiguamiento. Esta situación resulta
al desplazar la masa desde su posición de equilibrio y dejarla vibrar libremente, de
tal forma que tendera a oscilar alrededor de dicha posición. Si se aísla la masa y se
plantea el equilibrio de fuerzas, da como resultado la ecuación diferencial de
segundo orden homogénea siguiente.
 m u˙ + k u=0
 también se puede escribir:
 u˙ + ω2 u=0
 DONDE k
m

16.  Siendo la frecuencia natural o frecuencia propia del sistema (dada en radianes por
segundo) y s también la frecuencia a la que tiende a vibrar el sistema de acuerdo con
sus propiedades. Al resolver la ecuación (b) con coeficientes constantes, genera una
solución de la forma.
 u(t)= A sen w t+ B cos w t
 Donde A y B son constantes que se calculan a partir de las condiciones iniciales del
sistema. Si se considera que las condiciones iniciales son, para el desplazamiento u(0) =
u0 y para la velocidad u˙( 0 ) en un tiempo t=0
 donde A y B son constantes de integración y ωn = √k/m. La solución completa está
dada por la suma de las ecuaciones (b) y (c):

….6
….5

17.  Si el sistema está inicialmente en reposo 𝑢 0 = 0 y 𝑢 0 = 0 en t =
0 es posible determinar las constantes A y B para sus condiciones iniciales:
 Al sustituir la ecuación (7) en la ecuación (6) se obtiene
….8
….7

18. VIBRACIONES
FORZADAS

19.  Un sistema forzado (amortiguado o no) es aquél sobre el cual actúa una carga
durante un cierto tiempo, obligando al sistema a vibrar o seguir vibrando. Las
cargas se pueden clasificar como: constantes, impulsivas, armónicas, etc.., de
acuerdo con sus características.
 La ecuación general de movimiento de este tipo de sistemas queda expresada
mediante la ecuación.
 m u˙ + c u˙ + k u =p (t)
P (τ )
d
τ
τ τ + dτ t
τ
Fig. 6.2. Historia de carga general impulsiva

20. Este impulso actúa sobre un cuerpo de masa m , y produce un cambio en la
velocidad, que puede ser determinada de acuerdo con la segunda ley de
Newton.
Reordenando se tiene que:
La ecuación anterior expresa que el sistema experimentará un cambio de velocidad en un tiempo τ. Este
cambio es introducido en la ecuación (6.7) junto con la
velocidad inicial u˙0 = 0 y el desplazamiento inicial u0 =0 , produciendo un desplazamiento en un tiempo posterior t, dado por:

21. Por tanto, el desplazamiento total desde el tiempo t = 0 hasta el tiempo t
debido a la acción continua de la fuerza p (τ) está representado por la
expresión.

22. INTEGRAL DE DUHAMEL
Es un método muy conocido para el desarrollo de ecuaciones lineales diferenciales, como
ecuación de movimiento de un sistema de 1GDL, quien se basa en la representación de la
fuerza aplicada como una secuencia infinitesimal de pulsos cortos, en el caso de
sometidas a señales sísmicas, la ecuación se efectúa numéricamente. El inconveniente de
método es que no sirve para obtener la respuesta de estructuras sometidas a movimientos
severos en que se espera comportamiento inelástico.
La integral de Duhamel es una ecuación teórica que permite el cálculo de la respuesta de
sistema lineal, con un grado único de libertad para estructuras arbitrarias, las cuales se
encuentran bajo excitación breve y externa. En el caso generalizado de un sistema
amortiguado, la integral de duhamel tiene la siguiente forma:

23. Y luego de un cambio trigonométrico, da como resultado:
SIENDO:

24.  El cálculo de la integral duhamel, por lo tanto, requiere el cálculo numérico de las
integrales A(t) y B(t). Varios métodos de integración numérica han sido usados para
este cálculo en estos métodos, las funciones bajo estas integrales son
reemplazadas por una suma de términos, que por conveniencia se calculan a
incrementos iguales a tiempo, Δτ. Los más populares de estos métodos son la regla
trapezoidal y la regla de Simpson. Consideremos la integral de la función general
I(τ).
La operación elemental requerida en la regla trapezoidal es
Y en la regla de Simpson

25.  Donde η=τ/Δτ, que en la regla de Simpson debe ser un numero par. La aplicación
de estas reglas es directa. El resultado obtenido es, sin embargo, aproximado,
porque estas reglas están basadas en la sustitución de la función I(τ) por una
función de segmentos lineales en la regla trapezoidal, o por una función de
segmentos parabólicos en la regla de Simpson

26. Método de integración directa
Cuando se tiene situaciones físicas cuyo modelo matemático
resultan complejos de resolver mediante procesos analíticos, ya
sea por la dificultad, por la cantidad de calculo que se requiere.
Se clasifican en:
sistemas lineales
sistemas no lineales

27. Se clasifican:
Método explicito o abiertos :son aquellas que presenta
un incógnita a determinar y en un solo lado de la
ecuación.
Método implícito o cerrado :son aquellos que llevan la
incógnita en ambos miembros de la ecuación.

28. Formula General

29. Métodos de aceleración para 1GDL

30. Para que se emplea:
 resolver la ecuación para un t, se busca
encontrar los intervalos de tiempo.
 se asume una variación de desplazamientos,
velocidades y aceleraciones con cada
intervalos de tiempo.

31. Ejercicio método numérica de la respuesta
dinámica.
Ejemplo 5.1
Un sistema de 1GDL tiene las propiedades siguientes: m = 0.2533 kip-s2/pulg, k
= 10 kips/pulg, Tn = 1 s (ωn = 6.283 rad/s) y ζ = 0.05. Determine la respuesta
u(t) de este sistema para la p(t) definida por la fuerza de pulso sinusoidal de
medio ciclo que se muestra en la fi gura E5.1, (a) mediante la interpolación
lineal por partes de p(t) con ∆t = 0.1 s y (b) mediante la evaluación de la
solución teórica.
ζ .-es la razón o fracción del amortiguamiento crítico.
m .- masa.
K .- rigidez.
tn .- periodo natural.
Wn .- frecuencia natural.
∆t .- variación del tiempo.

32. PASO.1
CALCULOS INICIALS
𝑒−0.05∗6.283∗0.1
= 0.9691
𝜔𝐷 = 6.283 1 − 0.052
= 6.275 frecuencia angular viscosa
Sen6.275*0.1 = 0.5871
cos6.283*0.1 = 0.8095
PASO 2.
Sustituir.
COEFICIENTES EN LAS FÓRMULAS DE RECURRENCIA (ζ < 1)
A = 0.96(0.050*0.5871) +0.8095
A = 0.8129

33. A` = - 0.96(6.29*0.5871)
A` = -3.57
A =0.8129 B =0.09067 C =0.01236 D =0.006352 A` =−
3.5795 B` =0.7559 C` =0.1709 D` =0.1871

34. Calcular la respuesta teórica válida para t ≤ 0.6 s

35. MÉTODO DE LA DIFERENCIA CENTRAL
FÓRMULAS DE RECURRENCIA:

36. A =0.8129 B =0.09067 C =0.01236 D =0.006352
A` =− 3.5795 B` =0.7559 C` =0.1709 D` =0.1871

38. 1-.METODO BASADO EN LA INTERPOLACION
DE LA FUNCION DE EXCITACIÓN
ESTE PROCEDIMIENTO NUMERICO SON MUY
EFICIENTES PARA SISTEMAS LINEALES Y CONSISTEN
EN LA INTERPOLACIÓN DE LA EXCITACIÓN SOBRE
CADA INTERVALO DE TIEMPO ARBITRARIO, MIENTRAS
MAS CORTO SEA LOS INTERVALOS SERÁ MAS PRECISA

39. 2.-MÉTODO BASADOS EN EXPRESIONES DE
DIFERENCIAS FINITAS DE VELOCIDAD Y
ACELERACIÓN
 Método de la diferencia central : esta basado en
expresiones de diferencias finitas para la
velocidad y la aceleración.

40. 3-.METODOS BASADOS EN LA VARIACIÓN
SUPUESTA DE LA ACELERACIÓN.
 Método de Newmark: mediante métodos implícitos de
integración.

41.  Método de la aceleración lineal: se basa en la
suposición de la variación de la aceleración en forma
lineal, en el paso de tiempo considerado para el
calculo.

42.  Método de la aceleración promedio: este método se
considera la aceleración promedio durante un
de tiempo.

43.  Método de Wilson : este método resulta de una
modificación del método de aceleración lineal, el que
consiste en asumir que la aceleración varia linealmente
una extensión de paso de tiempo

44. Métodos de aceleración para VGDL
Para determinar la respuesta dinámica de un sistema
con VGDL que se encuentre estrictamente dentro de un
rango elástico lineal, es posible el utilizar la
superposición lineal (análisis modal).
Estos procedimientos numéricos tiene la ventaja de no
requerir de la determinación de modos, formas y
frecuencias de vibración.
Tambien es recomendable emplear a los métodos un
tratamiento matricial.

46. Método de la aceleración lineal
Se basa en la superposición de la aceleración y
permanece lineal durante los intervalos de
tiempo considerados.
M,C,K y vector ΔP se obtiene la aceleración
incial mediante la expresión.

53. 2 cálculos para cada paso de tiempo.
 Primera iteración

57.  segunda iteración