Los números reales y sus propiedades

CURSO CERO MATEMÁTICAS: 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
1.1. Números racionales. Los números reales.
• 1.1.1. Sucesivas ampliaciones el campo numérico.
LOS NÚMEROS NATURALES. N= {1,2,3,4,...}
LOS NÚMEROS ENTEROS. Z ={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}
LOS NÚMEROS RACIONALES.
Los números racionales se simbolizan con la letra Q. Decimos
que x es racional si y solo si existen dos números enteros p,q
tales que x=p/q

• 1.1.2. Expresión decimal de los números racionales
Todos los números racionales admiten una expresión decimal, que se obtiene al
realizar la operación indicada. Pueden ser de tres tipos:
Números decimales exactos: cuando el número de cifras decimales es finito. Por
ejemplo: 0,5.
Números decimales periódicos puros: cuando el número de cifras decimales es
infinito y existe un conjunto de cifras decimales que se repite infinitamente (periodo).
Por ejemplo: 0,33333...
Números decimales periódicos mixtos: cuando el número de cifras decimales es
infinito y existen algunas cifras decimales que no se repiten (parte no periódica) y
otras cifras decimales que se repiten infinitamente (parte periódica). Por ejemplo:
0,122222…

• 1.1.3. Fracción generatriz de números decimales exactos y
periódicos
Sea x=E,D un número decimal exacto, donde E son las cifras de la
parte entera, y D las cifras de la parte decimal, siendo n el número de
cifras de D, entonces

cerosn
ED
x
001 

Sea x=E,P un número decimal periódico puro, donde E son las cifras
de la parte entera, y P las cifras de la parte periódica, siendo n el número
de cifras de P, entonces

nuevesn
EEP
x
99


Sea x=E,AP un número decimal periódico mixto, donde E son las cifras
de la parte entera, A las cifras del anteperiodo y P las cifras de la parte
periódica, siendo m el número de cifras de A y n el número de cifras de P,
entonces
 
cerosmnuevesn
EAEAP
x
0099 



• 1.1.4. Densidad de los números racionales
• 1.1.5. Los números irracionales
Consideremos dos números racionales cualesquiera p y q, es claro que el número
2
qp 
también es racional y está situado entre p y q. Si ahora consideramos el número
2
2
q
qp


este número estará situado entre
2
qp 
y q. Repitiendo este proceso
indefinidamente podríamos conseguir infinitos números racionales entre p y q.
Dados dos números racionales p y q cualesquiera, existen infinitos
números racionales entre p y q. Esta característica define la densidad
de Q, y por eso decimos que Q es un conjunto DENSO.
Los números irracionales son aquellos números que no se
pueden expresar como cocientes de números enteros. La
expresión decimal de un número irracional es un número decimal
que no es exacto ni periódico, tiene infinitas cifras decimales que
no se repiten. Este conjunto se expresa mediante la letra I

• 1.1.6. Los números reales. La recta real
El conjunto formado por todos los números racionales e irracionales se denomina
conjunto de los números reales y se representa mediante la letra R.
...6180339887'1

1.1. EJERCICIOS
1. Determinar si los siguientes números son o no números racionales:
a) 7’555555.... b) 3’034035036037... c) 1’03034444444.... d) 34,350350350351
2. Efectuar las siguientes operaciones utilizando la fracción generatriz de cada número
decimal:
a)
60'0
2'16'0


 b)
5'1
6'03'04

 c)   321'05'04'0 

3. Determinar si los siguientes números son racionales o irracionales:
a) 1’23234234523456....b) 1’23232323.... c) 1’234235236237... d) 1’23
4. Representar en la recta real los siguientes radicales cuadráticos: a) 34 b) 21
5. Calcula la fracción irreducible correspondientes a
a. 1,2222222… b) 0,1262626…. c) 0,08755555… d) 38,01343434…
6. Escribe dos números racionales comprendidos entre:
a. 4/5 y 5/7 b) 1 y 3/2 c) -8/9 , 0

1.2. Intervalos, semirrectas y entornos. Operaciones con intervalos
• 1.2.1. Orden en R
• 1.2.2. Propiedades de las desigualdades de números reales
Dados dos números reales a y b, diremos que ba  si y solo si en la
representación de dichos números, b queda situado a la derecha de a o bien b
coincide con a.
Dados dos números reales a y b, diremos que ba  si y solo si b-a es positivo o
cero.
 ba  “a es mayor o igual que b” ab 
 ba  “a es menor que b” baba  ,
 ba  “a es mayor que b” ab 
 Si a, b y c son números reales cualesquiera entonces se verifica que si
cbcaba  .
 Si a y b son números reales cualesquiera y c es un número real positivo
entonces si cbcaba  .
 Si a y b son números reales cualesquiera y c es un número real negativo si
cbcaba  .

1.2. Intervalos, semirrectas y entornos. Operaciones
• 1.2.3. Intervalos y semirrectas.
Intervalo cerrado de extremos a,b: se designa por [a,b] y esta
definido por }/{],[ bxaRxba  , son los números reales
comprendidos entre a y b incluidos los extremos.
Intervalo abierto de extremos a,b: se designa por (a,b) y esta definido
por: }/{),( bxaRxba  , son los números reales
comprendidos entre a y b excluyendo los extremos.
Intervalos semiabiertos (a,b] y [a,b) están definidos por:
}/{],( bxaRxba  }/{),[ bxaRxba 
Semirrectas
}/{),( axRxa  }/{],( axRxa 
}/{),( axRxa  }/{),[ axRxa 

1.2. Intervalos, semirrectas y entornos. Operaciones con
intervalos
• 1.2.4. Entornos
• 1.2.5. Operaciones con intervalos
Se llama entorno de centro a y radio r, y se representa por E(a,r) al
intervalo abierto (a-r,a+r).
Se llama entorno reducido de centro a y radio r, y se representa por E*(a,r)
al intervalo (a-r,a+r){a}
Dados dos intervalos 21,II se definen la operaciones unión e intersección
como:
121 /{ IxRxII  ó }2Ix
121 /{ IxRxII  y }2Ix
Ejemplos:
a) )7,4[)4,2( 
b) )4,0(),2[ 
c) )7,4[)4,2(  Ø

1.2. Ejercicios
1. Dados los siguientes conjuntos de números reales, ordenarlos de menor a mayor:
a.
2
7
,
12
1
,
4
3
,
3
2
y
6
1
b. 867'1,76'1,,

 y 869'1

c. 838'3,38'3,83'3,4'3

y 140'3

2. Intercalar tres números reales de forma ordenada entre los pares de números siguientes:
a) 103'1,20'1

b) 203'3,20'3

 .
3. Realizar las siguientes operaciones con intervalos y representar el resultado obtenido:
a) [-5,5] (0,6) b) [-5,5] (0,6)
c) (4,9](5,8] d) (4,9](5,8]
e) (-,0)(-1,4] f) (-,0)(-1,4]
g) (-3,4](2,+) h) (-3,4](2,+)

1.3. Potencias y Radicales
• 1.3.1. Potenciación de números reales. Propiedades
Sea a un número real ( Ra ) , y sea n un número entero ( Zn ) se define la potencia de
base a y exponente n como:
aaaa
vecesn
n

 si n>0 y n
n
a
a
1

si n>0 .
Propiedades de las potencias:

nmmn
aaa 
 (producto de potencias de la misma base)

nmmn
aaa 
: (cociente de potencias de la misma base)

nnn
baba )(  (producto de potencias del mismo exponente)

nnn
baba ):(:  (cociente de potencias del mismo exponente)

nmnm
aa 
)( (potencia de una potencia)
Ejemplos: 12555553
 ;
27
1
3
1
3 3
3

;
4
9
2
3
2
3
2
3
3
2
22
















 


• 1.3.2. Raíz n-ésima de un número real
Sea a un número real, y n un número natural diremos que x es la raíz n-ésima de a y se
escribe n
ax  n
xa  .
A la expresión n
a se le llama radical y se puede expresar como potencia de exponente
fraccionario n
a /1
. En el caso nmn m
aa /
 .
El valor numérico de un radical es el resultado de efectuar la raíz n-ésima que indica, así:
39  ya que 932
 y 9)3( 2
 , 3273
 ya que 2733
 , 3273
 ya que
27)3( 3
 , 56254
 pues 62554
 y 625)5( 4
 , 32 no existe en los reales,
006
 , 2 =1’414213... , 3 =1’7320..
Como podemos observar el valor numérico de un radical depende del radicando y del índice,
así:
Si a>0: si el índice n es impar el resultado es una raíz n-ésima positiva
si el índice n es par existirán dos raíces una positiva y otra negativa
Si a=0: el resultado es siempre 0
Si a<0: si el índice es impar existirá una raíz n-ésima negativa
si el índice es par no existirá ninguna raíz real.

• 1.3.3. Radicales equivalentes.
1.3.4. Reducción de radicales a índice común
Dos radicales diremos que son equivalentes si tienen el mismo valor numérico.
Ejemplo: Los radicales 6
27 y 3 son equivalentes pues su valor numérico es 1’73200508...
2/16/36/16
332727 
pn pmn m
aa
 

Una utilidad de la propiedad anterior consiste en la construcción de varios radicales con el índice común. Para
ello basta considerar el m.c.m. de los índices de los radicales y aplicar la propiedad.
Por ejemplo, consideremos los siguientes radicales
4 312 53
3,2,4 ,
pmn pn m
aaaa 
Esta propiedad permite comparar radicales de índices diferentes.

• 1.3.5. Operaciones con radicales.
Producto de radicales. Si tienen el mismo índice se cumple
n pmn pn m
baba 
Cociente de radicales Si tienen el mismo índice se cumple
n pmn pn m
baba :: 
Potencia de radicales   n mm
n
aa 
Esta propiedad sólo es válida cuando existen los radicales n
a y n m
a . Ejemplo:   6
6
)3(3  ya que
3 no existe.
Raíz m-ésima de un radical
nm pm n p
aa 

Extracción e introducción de factores de un radical.
n prn prn
aaa 
Suma y diferencia de radicales. Solamente podemos sumar o restar dos radicales si estos son
semejantes, por ejemplo: 25272523  .
Puede ocurrir que inicialmente los radicales no sean semejantes, pero extrayendo o introduciendo factores
se pueden convertir en semejantes y podemos realizar la operación.
Por ejemplo: 3218728 

• 1.3.6. Simplificación de radicales.
• 1.3.7. Racionalización de denominadores.
Simplificar un radical consiste en obtener un radical equivalente que tenga el índice menor,
y extraer de la raíz todos los factores posibles.
Por ejemplo, simplificar el radical
4
64 .
El procedimiento por el cual transformamos una expresión algebraica que contiene
radicales en el denominador en otra expresión algebraica equivalente sin radicales en el
denominador se denomina racionalización de denominadores.
Para racionalizar utilizamos varios procedimientos:
a) Cuando en el denominador hay un único sumando que contiene un radical de índice 2 del
tipo a . Entonces multiplicamos numerador y denominador por a .
Por ejemplo:
2
63
22
233
2
33



 .
b) Cuando en el denominador aparece un único sumando que contiene un radical del tipo m p
a
con p<m. En ese caso multiplicamos numerador y denominador por el radical m q
a donde p+q=m.
Con esto conseguimos hacer desaparecer el radical del denominador.

1.3. Potencias y Radicales. EJERCICIOS.
1. Realizar las siguientes operaciones con potencias:
a)
23344
)8/3(34:53( 
 b) 41
3
3
543


zy
y
zx
zyx
2. Ordenar de mayor a menor los siguientes radicales:
a) 8
16 , 125 , 4
49 b) 43
16,345,34
3. Efectua y simplifica las siguientes expresiones, racionalizando si fuese necesario:
a)
5
5
55  b)
3
4
3 5
15
32
c) 3
35
35


d) 24152943150216  e)
4
652
55
3553 



4. Racionaliza los denominadores de:
a)
75
75


b)
532
735


c) 3
5
492
57
5. Simplifica las siguientes expresiones:
a) 4 2
3
5
1254
a
a
b) 4 333 yxyxx  c)  44 84 5
223 ayayay 

1.4. Logaritmos
• 1.4.1. Concepto de logaritmo
• 1.4.2. Logaritmos decimales y logaritmos neperianos
Sea a>0 y 1a y consideremos 0y . El logaritmo en base a de y es el exponente al
que debemos elevar a para obtener y. Se representa mediante yalog :
yaxy x
a log
OBSERVACION
Para obtener yalog es necesario que y sea positivo, pues toda potencias 0x
a , es decir,
no es posible calcular )7(log2  pues no existe ningún número real que verifique que
72 x
Los logaritmos de base 10 se denominan logaritmos decimales y se escriben sin indicar en
el subíndice la base.
Así por ejemplo, 5log5log 10 ..
De la misma forma los logaritmos con base el número e, se denominan logaritmos
neperianos en honor a John Neper y se escribe mediante la abreviatura ln .
Así por ejemplo 5log5ln e

1.4. Logaritmos
• 1.4.3. Propiedades de los logaritmos.
1. 01log a para cualquier a>0, 1a
2. 1log aa para cualquier a>0, 1a
3. NMNM aaa loglog)(log  .
4. NMNM aaa loglog)/(log 
5. MNM a
N
a log)(log 
6. CAMBIO DE BASE:
a
M
M
b
b
a
log
log
log 
Ejemplos: 1)
3
7
3
53 49log25/1log27log 
2) Utiliza la calculadora para obtener el valor de >: a) 24log3 b) 121log3

1.4. EJERCICIOS: Logaritmos
1. Calcular por definición, sin el uso de la calculadora:
a) 01'0log b)
1000
1
log c) )100log(
d) 27log3 e) 625log5 f) 32log 2/1 g) 50/2log 2'0
2. Sabiendo que 25'0)ln( x , 15'0ln y y 30'210ln  , utiliza las propiedades de los logaritmos y la definición
para obtener el resultado de:
y
x
x
x
xy e
ln
1'0
log 3

3. Utiliza las propiedades de los logaritmos y su definición para obtener:
a)
5
625
log
3
27
log256log 53 23
3
2  b) 357 2
10
001'0
log
225
1
log
1
ln 
e
c)   )5ln(2
16
8
log636log 7
62
5
6 e d)
001'0
10
log
ln
5
3
e
e
4. Utiliza la calculadora para obtener una aproximación por redondeo a la centésima de:
a) 72log5 b) 745log6 c) 17log2

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