tema de geometria cuadrilateros

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Guía Matemática
CUADRIL ´ATEROS
tutora: Jacky Moreno

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1. Pol´ıgonos
Epistemol´ogicamente, la palabra pol´ıgono significa “muchos ´angulos”. Los pol´ıgonos son figuras ce-
rradas planas que est´an formadas por la uni´on de segmentos rectos que tienen distinta direcci´on. Al ser
figuras cerradas el contorno del pol´ıgono delimita dos regiones del plano: el ´area interior que corresponde
al espacio que queda encerrado dentro de las l´ıneas poligonales y el ´area exterior que queda fuera de estas
l´ıneas, tal como lo muestra la figura.
Como dijimos, los pol´ıgonos se caracterizan por tener m´ultiples ´angulos, en base a la medida que
tengan sus ´angulos interiores los podemos clasificar en c´oncavos o convexos.
Pol´ıgonos C´oncavos: Corresponden a aquellos pol´ıgonos en que alg´un ´angulo interior es mayor
que 180°. Tambi´en se pueden identificar como aquellas figuras en las que al trazar un segmento
determinado por dos puntos de la regi´on interior del pol´ıgono, este segmento posee al menos un
punto que est´a en la regi´on exterior.
Pol´ıgonos Convexos: Corresponden a aquellos pol´ıgonos en que todos sus ´angulos interiores son
menores que 180°. Tambi´en se pueden identificar como aquellas figuras en las que al trazar un
segmento determinado por dos puntos de la regi´on interior de pol´ıgono, este segmento tiene todos
sus puntos en la regi´on interior.
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De acuerdo al n´umero de lados los pol´ıgonos los podemos clasificar como se muestran a continuaci´on:
N´umero de lados Nombre
3 Tri´angulo
4 Cuadril´atero
5 Pent´agono
6 Hex´agono
7 Hept´agono
8 Oct´agono u oct´ogono
9 Non´agono o Ene´agono
10 Dec´agono
11 Endec´agono
12 Dodec´agono
13 Tridec´agono
14 Tetradec´agono
15 Pentadec´agono
20 Icos´agono
1.1. Propiedades de los pol´ıgonos
En todo pol´ıgono de n lados se cumplen las siguientes propiedades:
La suma de los ´angulos interiores es igual a 180° · (n − 2).
La suma de los ´angulos exteriores es igual a 360°.
El n´umero de diagonales que se pueden dibujar desde un v´ertice es de (n − 3).
El n´umero total de diagonales que es posible trazar es
n · (n − 3)
2
.
3

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Ejercicios 1
Resolver los siguientes ejercicios.
1. Si el n´umero de diagonales que se pueden trazar en un pol´ıgono es 14, ¿cu´antos lados tiene el
pol´ıgono?
2. Si la suma de los ´angulos interiores de un pol´ıgono es igual a 1260°, ¿cu´antos lados tiene el pol´ıgono?
3. ¿Cu´antas diagonales son posible trazar en un pol´ıgono de 12 lados?
4. Si el n´umero de diagonales que se pueden trazar desde el v´ertice de un pol´ıgono son 7, ¿cu´anto
suman las medidas de los ´angulos interiores del pol´ıgono?
5. Si la suma de los ´angulos interiores de un pol´ıgono es igual a 720°, ¿cu´antas diagonales es posible
trazar en su interior?
1.2. Pol´ıgonos regulares
Los pol´ıgonos regulares corresponden aquellas figuras que tienen todos sus lados congruentes, como
tambi´en todos sus ´angulos interiores. De lo contrario, se denominan pol´ıgonos irregulares.
1.2.1. Propiedad de los pol´ıgonos regulares
En todo pol´ıgono regular de n lados se cumplen las siguientes propiedades:
La medida de cada ´angulo interior es de
180° · (n − 2)
n
.
La medida de cada ´angulo exterior es de
360°
n
.
Se pueden inscribir y circunscribir una circunferencia.
Se pueden dividir en n tri´angulos congruentes.
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Ejercicios 2
Resolver los siguientes ejercicios.
1. ¿Cu´anto mide cada ´angulo interior de un tetradec´agono regular?
2. Si el ´angulo interior de un pol´ıgono regular mide 135°, ¿cu´antos lados tiene el pol´ıgono?
3. Si el ´angulo exterior de un pol´ıgono regular mide 60°, ¿cu´antas diagonales se pueden trazar en el
pol´ıgono?
4. ¿Cu´anto mide cada ´angulo exterior de un pent´agono regular?
5. ¿Cu´anto miden los ´angulos interiores de uno de los 9 tri´angulos congruentes que se pueden formar
en un non´agono regular?
6. ¿Cu´al es el pol´ıgono regular que tiene el mayor ´angulo exterior? ¿Cu´anto mide?
2. Cuadril´ateros
Un cuadril´atero es un pol´ıgono de cuatro lados, los cuales se cortan de dos en dos formando una figura
geom´etrica cerrada compuesta por 4 v´ertices, 4 lados y 4 ´angulos (interiores y exteriores), que de acuerdo
a su disposici´on van variando la forma y tama˜no que tendr´a la figura geom´etrica. Al igual que con los
pol´ıgonos podemos encontrar cuadril´ateros c´oncavos y convexos, de acuerdo a si uno de sus ´angulos mide
m´as de 180° o no.
En esta gu´ıa cuando hablemos de cuadril´ateros haremos referencia a cuadrilateros convexos a no ser
que se indique lo contrario.
2.1. Propiedades de los cuadril´ateros
Todo cuadril´atero cumple las siguientes propiedades que se obtienen a partir de las caracter´ısticas
generales de los pol´ıgonos:
La suma de los ´angulos interiores es igual a 360°.
La suma de los ´angulos exteriores es igual a 360°.
El n´umero de diagonales que se pueden dibujar desde un v´ertice es 1.
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El n´umero total de diagonales que es posible trazar dentro del cuadril´atero es 2.
La longitud del lado mayor debe ser menor que la suma de las longitudes de los otros tres lados.
Ejemplo
En el cuadril´atero ABCD de la figura se cumple que α = 3β y γ +δ = 2α. ¿Cu´anto miden los ´angulos
α y β?
Soluci´on: Como la figura es un cuadril´atero la suma de los ´angulos interiores es 360°. As´ı que:
360° = α + β + γ + δ
360° = 3β + β + 2α
360° = 3β + β + 2(3β)
360° = 10β
36° = β
Por otro lado como α = 3β tenemos que el ´angulo α mide 108°.
Ejercicios 3
Resolver los siguientes ejercicios.
1. En el cuadril´atero ABCD de la figura, ¿cu´anto mide ABC?
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2. En el cuadril´atero ABCD de la figura se cumple que 2 BAD = ADC y ABC =
BCD
4
.
¿Cu´anto mide cada ´angulo interior del cuadril´atero?
3. En el cuadril´atero ABCD de la figura, ¿cu´anto mide el ´angulo exterior β?
4. ¿Cu´anto miden los ´angulos interiores del cuadril´atero formado por la intersecci´on de las rectas L1,
L2, L3 y L4?
2.2. Clasificaci´on de los cuadril´ateros
Los cuadril´ateros se pueden clasificar de acuerdo a las caracter´ısticas que tienen sus cuatro lados.
En particular, de acuerdo a la relaci´on de paralelismo que existe entre los lados, se pueden clasificar en
paralelogramos, trapecios y trapezoides.
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2.2.1. Paralelogramos
Son aquellos cuadril´ateros que tienen dos pares de lados opuestos paralelos.
Propiedades de los paralelogramos
Todo paralelogramo cumple las siguientes propiedades:
Los ´angulos opuestos son congruentes, es decir, miden lo mismo.
Los ´angulos consecutivos son suplementarios, es decir, suman 180°.
Las diagonales siempre se cortan en sus puntos medios, es decir, cada diagonales se divide en dos
segmentos iguales.
Los lados opuestos son congruentes, es decir, tienen la misma medida.
Clasificaci´on de los paralelogramos
Los paralelogramos se pueden clasificar de acuerdo a la medida de sus lados y de sus ´angulos en las
siguientes figuras geom´etricas:
Cuadrado: Paralelogramo que tienen sus cuatro lados de igual medida y todos sus ´angulos rectos,
es decir, miden 90°.
Dentro de las caracter´ısticas particulares que tienen los cuadrados podemos destacar las siguientes:
• Las diagonales son congruentes, es decir, tienen la misma medida.
• Las diagonales son bisectrices de los ´angulos interiores.
• Las diagonales son perpendiculares, es decir, en su intersecci´on se forman ´angulos rectos.
• Al ser un pol´ıgono regular, se le puede inscribir y circunscribir una circunferencia.
Rect´angulo: Paralelogramo que tiene sus lados opuestos iguales y sus lados consecutivos distintos.
En cuanto a sus ´angulos, todos son rectos por lo que miden 90°.
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Dentro de las caracter´ısticas particulares que tienen los rect´angulos podemos destacar las siguientes:
• Las diagonales son congruentes, es decir, tienen la misma medida.
• Se le puede circunscribir en una circunferencia.
Rombo: Paralelogramo que tiene sus cuatros lados de igual medida. En cuanto a los ´angulos
interiores, ninguno mide 90°.
Dentro de las caracter´ısticas particulares que tienen los rombos podemos destacar las siguientes:
• Las diagonales son bisectrices de los ´angulos interiores.
• Las diagonales son perpendiculares, es decir, en su intersecci´on se forman ´angulos rectos.
• Se le puede inscribir una circunferencia.
Romboide: Paralelogramo que tiene sus lados opuestos iguales y sus lados consecutivos diferentes.
En cuanto a los ´angulos interiores, ninguno mide 90°.
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Ejemplo
En el rombo ABCD de la figura se cumple que BDA = 2 BCA. ¿Cu´anto miden los ´angulos interiores
y exteriores del rombo?
Soluci´on: Sabemos que las diagonales del rombo act´uan como bisectrices de los ´angulos, es decir, los
divide por la mitad. Adem´as al ser el rombo un cuadril´atero sus ´angulos opuestos tienen igual medida y
la suma de sus ´angulos interiores es igual a 360°.
Sea el BCA = x, entonces tenemos que BCD = BAD = 2x. Adem´as como el BDA = 2 BCA
tenemos que ABC = CAD = 4x. A partir de los datos anteriores podemos plantear la siguiente
ecuaci´on:
360° = 4x + 4x + 2x + 2x
360° = 12x
360°
12
= x
30° = x
Por lo tanto los ´angulos interiores del rombo miden 60° y 120° y los ´angulos exteriores miden lo mismo.
Ejercicios 4
Resolver los siguientes ejercicios.
1. ¿Cu´anto mide el suplemento del complemento del EBA del cuadrado ABCD?
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2. En el romboide ABCD de la figura se traza el BG que es bisectriz del ABC. Si EF es paralela a
AD y ADC = 124°, ¿cu´anto mide BHE?
3. En el rect´angulo ABCD de la figura se cumple que DA ∼= AE. Si el BDE = 22°, ¿cu´anto mide el
AFB?
4. En el rombo ABCD de la figura se trazan los segmentos BE y DF perpendiculares a los lados DC
y AB respectivamente. Si el BCD mide 50°, ¿cu´anto mide el CGB
5. En la figura, el cuadrado EFGD intersecta su lado EF con el cuadrado ABCD en el punto A. Si
el DAE = 40°, ¿cu´anto mide el GOD?
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6. En la figura, el cuadril´atero ABCD es rect´angulo y el tri´angulo EBF es equil´atero. ¿Cu´anto mide
el BGF si ADB = 60°?
2.2.2. Trapecios
Son aquellos cuadril´ateros que tienen un par de lados opuestos paralelos. A estos lados se les denomina
base y de acuerdo a la medida que tengan se les puede denominar base mayor o base menor.
La caracter´ıstica que destaca en estas figuras, es que la suma de los ´angulos colaterales internos entre
las bases son suplementarios:
α + δ = 180°
β + γ = 180°
Clasificaci´on de los trapecios
Los trapecios se pueden clasificar de acuerdo a la medida de sus lados y de sus ´angulos en las siguientes
figuras geom´etricas:
Trapecio is´osceles: Corresponde al trapecio que tienen sus lados no paralelos de igual medida.
Adem´as los ´angulos que forman los lados no paralelos con la base mayor son congruentes.
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Dentro de las caracter´ısticas particulares que tienen los trapecios is´osceles podemos destacar las
siguientes:
• Las diagonales son congruentes, es decir, tienen la misma medida.
• Los ´angulos basales son congruentes.
• Los ´angulos opuestos son suplementarios.
Trapecio rect´angulo: Corresponde al trapecio que tiene uno de sus lados no paralelos perpendi-
culares a las bases.
Trapecio escaleno: Corresponde al trapecio que tienen sus lados no paralelos de distinta medida.
2.2.3. Trapezoides
Son aquellos cuadril´ateros en que no existe ning´un lado paralelo a otro.
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Clasificaci´on de los trapezoides
Los trapezoides de acuerdo a la medida de sus lados se pueden clasificar en las siguientes figuras
geom´etricas:
Trapezoide asim´etrico: Trapezoide que tienen todos sus lados de distinta medida.
Trapezoide sim´etrico o deltoide: Trapezoide que tienen dos pares de lados congruentes entre s´ı.
Dentro de las caracter´ısticas particulares que tienen los deltoides podemos destacar las siguientes:
• Las diagonales son perpendiculares, es decir, en su intersecci´on forman ´angulos rectos.
• Una diagonal es bisectriz.
• La diagonal que es bisectriz, divide a la otra diagonal en dos segmentos congruentes.
Ejemplo
En el trapecio is´osceles ABCD de la figura se cumple que DAB = x+45° y BCD = 3x+15°. ¿Cu´anto
mide el ´angulo α?
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Soluci´on: Como es un trapecio is´osceles tenemos que los ´angulos opuestos son suplementarios:
180° = DAB + BCD
180° = x + 45° + 3x + 15°
180° = 4x + 60°
120° = 4x
30° = x
Y al ser un trapecio is´osceles los ´angulos basales son congruentes, por lo tanto DAB = α = (30+45)° =
75°.
Ejercicios 5
Resolver los siguientes ejercicios.
1. En el deltoide ABCD el DAB = 98° y ABC = 30°. ¿Cu´anto mide el DCA?
2. En el trapecio ABCD de la figura el ABC = 54°. ¿Cu´anto miden los otros ´angulos interiores del
trapecio?
3. En el trapecio is´osceles ABCD de la figura se tiene que el ABC = 73°. ¿Cu´anto mide el ADC?
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4. En el deltoide, ABCD el BDA = 16° y el DCB = 104°. ¿Cu´anto mide el DBA?
5. En el trapecio ABCD de la figura se tiene que DBC = 36° y el DCB = 100°. ¿Cu´anto mide
DBA?
6. En el trapecio ABCD de la figura se cumple que AD ∼= DC ∼= CB. Si DAB = 50°, ¿cu´anto mide
BDC?
7. En el trapecio ABCD de la figura, los segmentos DE y EC son bisectrices de ADC y BDC
respectivamente. Si BAD = 75° y ABC = 37°, ¿cu´anto mide CED?
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Bibliograf´ıa
[1 ] Manual de preparaci´on PSU Matem´atica, Quinta Edici´on,
Oscar Tap´ıa Rojas, Miguel Ormaz´abal D´ıaz-Mu˜noz, David L´opez, Jorge Olivares Sep´ulveda.
[3 ] Desarrollo del pensamiento matem´atico, Cuadril´ateros y otros pol´ıgonos, No 14,
Abril 2006,
Mart´ın Andonegui Zabala.
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