Tetaedro de cauchi

Lecciń 3
o

Tensiones

Contenidos
3.1. Concepto de tensiń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 26
3.2. Componentes del vector tensiń . . . . . . . . . . . . . .
o 27
3.3. Denominaciń de las tensiones. Criterio de signos . . . .
o 28
3.4. F´rmula de Cauchy. El tensor de tensiones . . . . . . . .
o 28
3.5. Ecuaciones de equilibrio interno . . . . . . . . . . . . . . 30
3.6. Cambio de sistema de referencia . . . . . . . . . . . . . . 34
3.7. Tensiones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.8. Valores m´ximos de las componentes intr´
a ınsecas de la
tensiń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 37
3.9. Tensiń plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 38
3.9.1. Curvas representativas de un estado tensional plano . . . . 40
3.10. Representaciń del estado tensional en el entorno de un
o
punto. C´ırculos de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.10.1. Construcciń del c´
o ırculo de Mohr en tensiń plana . . . . . 41
o
3.10.2. Construcciń de los c´
o ırculos de Mohr de un estado general
de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.10.3. C´lculo gr´fico de las componentes intr´
a a ınsecas del vector
tensiń para una direcciń dada . . . . . . . . . . . . . . .
o o 44
3.11. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

26 Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales

3.1 Concepto de tensiń
o
Al deformarse un s´lido bajo la acciń de unas cargas, la variaciń relativa de la
o o o
distancia entre las part´ıculas que lo constituyen no es indefinida debido a la acciń o
de las fuerzas de atracciń intermoleculares, a excepciń de que se produzca la rotura
o o
del s´lido.
o
Sea un s´lido en equilibrio sometido a un sistema de fuerzas exteriores y a fuer-
o
zas por unidad de masa como se muestra en la Figura 3.1 a). Mediante un corte
imaginario a dicho s´lido por una superficie arbitraria, como el que se muestra en la
o
Figura 3.1 b), se aisla un trozo de s´lido. En el interior del s´lido actán las fuerzas
o o u
por unidad de masa correspondientes. En el contorno actán fuerzas por unidad de
u
superficie que en la superficie de corte corresponden a la acciń de cada una de las
o
dos partes en que se divide el s´lido sobre la otra. Por equilibrio, ambos conjuntos
o
de fuerzas por unidad de superficie han de ser iguales y de sentidos contrarios.

Figura 3.1 Concepto de tensiń: a) s´lido en equilibrio y b) secciń de dicho s´lido
o o o o

Estas fuerzas por unidad de superficie no son fuerzas actuantes sobre el exterior
del s´lido. Son fuerzas internas y resultantes a nivel macrosc´pico de las fuerzas
o o
intermoleculares que se oponen a las separaciones entre molćulas del s´lido. No
e o
obstante, tanto las fuerzas por unidad de superficie que actán en el exterior del s´lido
u o
como estas fuerzas internas, tienen el mismo sentido f´
ısico: son fuerzas actuantes por
unidad de superficie. Cada una de estas fuerzas recibe el nombre de vector tensiń o
−
→
y se denota como t .
En el contorno exterior del s´lido, la superficie sobre la que actán las fuerzas
o u
exteriores est´ perfectamente definida en cada punto del mismo (el vector normal al
a
−
→
contorno en dicho punto es unico) y la tensiń es una funciń de punto t (x, y, z).
´ o o
Sin embargo, para caracterizar el vector tensiń en un punto interior del s´lido es
o o

(c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´rez
e

Tensiones 27

necesario indicar el plano de corte, tangente a dicho punto, utilizado. Este plano
queda definido si se conoce su normal − . Es pues una hip´tesis aceptable conside-
→
n o
rar que el vector tensiń asociado a un punto interior de un s´lido el´stico depende
o o a
del punto considerado y de la normal en tal punto al plano tangente considerado
→
−
tn (x, y, z, − ). Ya que por un punto pasan infinitos planos, habr´ infinitos vectores
→
n a
tensiń asociados a un mismo punto. Cabe preguntarse ¿c´mo es posible sacar con-
o o
clusiones sobre el estado tensional en cualquier punto de un s´lido, si la magnitud
o
que lo define var´ segń el plano que se considere? ¿Existe alguna relaciń que li-
ıa u o
gue estos infinitos vectores tensiń? En el desarrollo del tema se responderń estas
o a
cuestiones.

3.2 Componentes del vector tensiń
o
Una descomposiciń habitual del vector tensiń asociado a un punto de un s´lido
o o o
el´stico, referido a un plano de normal − , se realiza mediante la descomposiciń
a →n o
en sus componentes normal y tangencial, como se muestra en la Figura 3.2 a). La
componente normal se denomina tensiń normal σ, y la componente tangencial se
o
denomina tensiń tangencial τ . Ambas reciben el nombre de componentes intr´
o ınsecas
del vector tensiń.
o

Figura 3.2 Vector tensiń. a) Componentes intr´
o ınsecas normal y tangencial. b)
Componentes globales

−
→
La componente intr´ ınseca normal σ es la proyecciń del vector tensiń tn sobre − .
o o →
n
De forma vectorial, se calcula mediante la expresiń
o

→
− →
σ = tn · −
n (3.1)

y de forma matricial, mediante la expresiń
o

σ = nT tn (3.2)
−
→
La componente intr´ınseca tangencial τ es la proyecciń del vector tensiń tn sobre
o o
el plano. De forma vectorial, se calcula mediante las expresiones

− −
→ → −
→
τ = tn · t o τ = tn − σ −
→
n (3.3)

e


−
→
siendo t el vector tangente al plano. En forma matricial, τ se calcula mediante la
expresiń
o

τ = tT tn (3.4)
Las componentes del vector tensiń en un sistema de coordenadas ortogonal, como
o
el que se muestra en la Figura 3.2 b), reciben el nombre de componentes globales del
vector tensiń.
o

3.3 Denominaciń de las tensiones. Criterio de signos
o
Se considerar´ positivo el vector tensiń con sentido hacia el exterior del s´lido. En
a o o
la Figura 3.3 a) se muestran las componentes globales de la tensiń respecto a seis
o
planos paralelos a los coordenados de un sistema cartesiano de ejes. El vector tensiń
o
se descompone en la direcciń normal al plano y en dos direcciones perpendiculares
o
entre s´ contenidas en el plano como se muestra en la Figura 3.3 b).
ı,

Figura 3.3 Vectores tensiń: a) direcciones y sentidos positivos, y b) componentes
o
globales de los vectores tensiń
o

Se denotar´ a la componente normal al plano con σ y vendr´ afectada del sub´
a a ındice
correspondiente al eje perpendicular al plano. Las componentes tangenciales se de-
notarń con τ y vendrń afectadas de dos sub´
a a ındices. El primero corresponde al eje
perpendicular al plano donde est´ contenida y el segundo al eje al que es paralela.
a
Debido al criterio de tensiones positivas, los valores positivos de las componentes de
la tensiń en las caras del primer octante (vistas) corresponden a sentidos positivos
o
de los ejes cartesianos y en las caras ocultas a sentidos negativos de dichos ejes.

3.4 F´rmula de Cauchy. El tensor de tensiones
o
En el apartado 3.1 se afirm´ que en un punto existen infinitos vectores tensiń
o o
asociados a los infinitos planos que pasan por dicho punto. Surg´ la pregunta de si
ıa
existe alguna relaciń entre esos infinitos vectores tensiń. Tal relaciń existe y viene
o o o
dada por la f´rmula de Cauchy.
o
Para deducir la f´rmula de Cauchy, se parte de un tetraedro infinitesimal en el
o
entorno de un punto P . Tres de las caras son paralelas a los planos coordenados y

e

Tensiones 29

se cortan en el punto P , Figura 3.4 a), y la otra cara viene definida por un plano
inclinado de normal − , Figura 3.4 b).
→n

Figura 3.4 Tetraedro infinitesimal formado por a) caras paralelas a los planos
coordenados y b) un plano de normal − →
n

Si el ´rea de la superficie de normal − comprendida en el primer octante es dA, las
a →n
a
´reas de las otras tres superficies que forman el tetraedro serń
a

dAx = dA cos α = dA l
dAy = dA cos β = dA m (3.5)
dAz = dA cos γ = dA n
siendo l, m y n los cosenos directores de − .
→
n

Figura 3.5 a) Tensiones sobre las caras del tetraedro. b) Vector tensiń sobre el
o
plano de normal − →n

Estableciendo el equilibrio de fuerzas en direcciń x, Figuras 3.5 a) y b), se obtiene
o

−σx dAx + (−τyx ) dAy + (−τzx ) dAz + tn dA + bx dV = 0
x (3.6)
donde bx es la componente en x de las fuerzas por unidad de volumen.
Sustituyendo las expresiones (3.5) en la ecuaciń (3.6), se obtiene
o

−σx dA l + (−τyx ) dAm + (−τzx ) dAn + tn dA + bx dV = 0
x (3.7)
Dividiendo por dA y despreciando las fuerzas por unidad de volumen frente a las
fuerzas por unidad de superficie, la ecuaciń de equilibrio de fuerzas en direcciń x,
o o
es

e


σx l + τyx m + τzx n = tn
x (3.8)
Planteando el equilibrio de fuerzas en las direcciones y y z, se obtienen las ecuaciones

τxy l + σy m + τzy n = tn
y (3.9)
τxz l + τyz m + σz n = tn
z (3.10)

Estas tres ecuaciones se pueden expresar en forma matricial expandida como

    
tn
x σx τyx τzx l
 n    
 ty  =  τxy σy τzy   m  (3.11)
tn
z τxz τyz σz n

o bien, en forma matricial compacta

tn = σn (3.12)
A σ, que contiene los valores de las componentes de las tensiones en cada plano, se
le denomina tensor de tensiones.
−
→
Las expresiones (3.11) y (3.12), indican que el vector tensiń tn (tn ) correspon-
o
diente a un plano de normal − (n) se obtiene multiplicando el tensor de tensiones
→n
por el vector unitario normal a dicho plano. Por consiguiente, el estado tensional
en el interior de un s´lido es conocido si lo es, en todos sus puntos, el tensor de
o
tensiones.

3.5 Ecuaciones de equilibrio interno
Para su deducciń se considerar´ el equilibrio de un elemento diferencial en el entorno
o a
de un punto interior de un s´lido el´stico, formado por un paralelep´
o a ıpedo infinitesimal
cuyas caras son paralelas a los planos coordenados. Las tensiones que actán sobre
u
cada una de las caras se muestran en las Figuras 3.6 a) y b).
Se admite que las componentes de las tensiones son funciones continuas de las
coordenadas del punto en que actán (hip´tesis de medio continuo) y que sus in-
u o
crementos se pueden poner en funciń de las derivadas primeras de las componentes
o
respecto a dichas coordenadas (hip´tesis de pequeãs deformaciones). Si en la cara
o n
∂σx
x = c actá la tensiń normal σx , en la cara x = c+dx actuar´ la tensiń σx +
u o a o dx.
∂x
Sobre el elemento diferencial tambiń actuarń las fuerzas de volumen bx , by y bz .
e a

Para que el elemento est´ en equilibrio deben ser nulos los sumatorios de las
e
proyecciones sobre cada uno de los tres ejes de todas las fuerzas actuantes y los
sumatorios de momentos de todas las fuerzas respecto a cada eje.

e

Tensiones 31

Figura 3.6 Tensiones sobre las caras del paralelep´
ıpedo elemental: a) caras vistas
y b) caras ocultas

Considerando positivo el sentido de los ejes que se muestra en la Figura 3.7, el
equilibrio de fuerzas en la direcci´n del eje x ser´:
o a

Figura 3.7 Tensiones que intervienen en el equilibrio de fuerzas en direcci´n del
o
eje x

∂σx
σx + dx dydz − σx dydz +
∂x
∂τyx
τyx + dy dxdz − τyx dxdz + (3.13)
∂y
∂τzx
τzx + dz dxdy − τzx dxdy + bx dxdydz = 0
∂z

Planteando el equilibrio en las otras dos direcciones, se obtienen las ecuaciones:

e


∂σy
σy + dy dxdz − σy dxdz +
∂y
∂τxy
τxy + dx dydz − τxy dydz + (3.14)
∂x
∂τzy
τzy + dz dxdy − τzy dxdy + by dxdydz = 0
∂z

∂σz
σz + dz dxdy − σz dxdy +
∂z
∂τxz
τxz + dx dydz − τxz dydz + (3.15)
∂x
∂τyz
τyz + dy dxdz − τyz dxdz + bz dxdydz = 0
∂y
Dividiendo las expresiones (3.13), (3.14) y (3.15) por dxdydz, queda el sistema de
ecuaciones:

∂σx ∂τyx ∂τzx
+ + + bx = 0
∂x ∂y ∂z
∂τxy ∂σy ∂τzy
+ + + by = 0 (3.16)
∂x ∂y ∂z
∂τxz ∂τyz ∂σz
+ + + bz = 0
∂x ∂y ∂z
que son las ecuaciones de equilibrio interno en un paralelep´ ıpedo elemental, y re-
lacionan las tensiones con las fuerzas de volumen o de masa. Las condiciones de
equilibrio planteadas en (3.13), (3.14) y (3.15) son necesarias pero no suficientes. Pa-
ra que el paralelep´
ıpedo est´ en equilibrio est´tico es necesario que exista equilibrio
e a
de momentos.
Tomando momentos respecto a un eje paralelo z’, paralelo al z, que pase (para
mayor comodidad) por el centro del paralelep´ ıpedo, las componentes que contribuyen
al equilibrio de momentos respecto a este eje se muestran en la Figura 3.8.
Se debe tener en cuenta que las componentes normales de la tensiń se cortan
o
o son coincidentes con el eje z , por lo que no producen momentos. As´ mismo, ı
tampoco producen momentos las componentes tangenciales de la tensiń paralelas
o
o que cortan al eje. Las tres componentes de las fuerzas de volumen, supuestamente
localizadas en el centro del paralelep´ ıpedo, tambiń cortan al eje y no producen
e
momentos. La condiciń de equilibrio de momentos respecto al eje considerado es,
o
por tanto:

dx ∂τxy dx
τxy dydz + τxy + dx dydz −
2 ∂x 2
(3.17)
dy ∂τyx dy
τyx dxdz − τyx + dy dxdz =0
2 ∂y 2
Tomando momentos respecto a otros dos ejes, paralelos al x e y de referencia, que
pasen por el centro del paralelep´
ıpedo, se obtienen las ecuaciones de equilibrio

e

Tensiones 33

Figura 3.8 Tensiones que intervienen en el equilibrio de momentos alrededor de
un eje perpendicular al plano xy que pasa por el centro del paralelep´
ıpedo

dy ∂τyz dy
τyz dxdz + τyz + dy dxdz −
2 ∂y 2
(3.18)
dz ∂τzy dz
τzy dxdy − τzy + dz dxdy =0
2 ∂z 2

dx ∂τxz dx
τxz dydz + τxz + dx dydz −
2 ∂x 2
(3.19)
dz ∂τzx dz
τzx dxdy − τzx + dz dxdy =0
2 ∂z 2
Dividiendo las expresiones (3.17), (3.18) y (3.19) por dxdydz, se obtiene

τxy = τyx , τxz = τzx , τyz = τzy (3.20)
Estas igualdades expresan matem´ticamente el Teorema de Reciprocidad de las Ten-
a
siones tangenciales: las componentes de las tensiones tangenciales en un punto co-
rrespondientes a dos planos perpendiculares, en la direcci´n normal a la arista de
o
su diedro, son iguales. El sentido de dichas componentes es tal que considerando un
diedro recto, ambas se dirigen hacia la arista o ambas se separan, como se muestra
en la Figura 3.9.

Figura 3.9 Sentido de las tensiones tangenciales

A partir de estos resultados se puede aﬁrmar que el tensor de tensiones es sim´trico,
e
quedando de la forma

e


 
σx τxy τxz
σ =  τxy σy τyz  (3.21)
τxz τyz σz

3.6 Cambio de sistema de referencia
−
→
Conocido el tensor de tensiones, el vector tensiń tn sobre un plano de normal −
o →
n
viene dado por la f´rmula de Cauchy (en notaciń matricial)
o o

tn = σn

Las componentes del tensor de tensiones estń referidas a un sistema de referencia
a
xyz como se muestra en la Figura 3.10 a).

Figura 3.10 a) Componentes de la tensiń referidas a un sistema xyz. b)
o
Componentes de la tensiń referidas a un sistema x∗ y ∗ z ∗
o

Se considerar´ un nuevo sistema de referencia ortogonal con el mismo origen que el
a
anterior, pero con distinta orientaciń como se muestra en la Figura 3.10 b). ¿Cu´les
o a
serń las componentes del tensor de tensiones en este nuevo sistema?
a
En lo que sigue de apartado se utilizar´ notaciń matricial. Sea σ ∗ el tensor de
a o
tensiones referido a este nuevo sistema. El vector tensiń tn* , correspondiente a un
o
plano cuya orientaciń viene definida por el vector unitario n* , es
o

tn* = σ ∗ n* (3.22)

Los vectores tensiń en ambos sistemas, referidos al mismo plano, estń relacionados
o a
mediante la matriz de rotaciń de ejes R por la ecuaciń
o o

tn* = R tn (3.23)

Las filas de la matriz de rotaciń de ejes son los cosenos de los ńgulos formados por
o a
cada eje nuevo con los antiguos, medidos en sentido antihorario del antiguo al nuevo
sistema,

e

Tensiones 35

 
cos θxx∗ cos θyx∗ cos θzx∗
R=  cos θxy∗ cos θyy∗ cos θzy∗  (3.24)
cos θxz ∗ cos θyz ∗ cos θzz ∗
Las componentes de los vectores unitarios en ambos sistemas de referencia estń
a
ligadas por la relaciń
o

n* = R n (3.25)
Al ser la matriz de cambio de ejes ortogonal (por pasar de un sistema de coordenadas
ortogonal dextr´giro a otro sistema de coordenadas ortogonal dextr´giro), su inversa
o o
es igual a la traspuesta, R−1 = RT . Por tanto, se cumple

n = R−1 n* = RT n* (3.26)
La expresiń (3.25), teniendo en cuenta la f´rmula de Cauchy y la ecuaciń (3.26),
o o o
se expresa como

tn* = R tn = R σn = RσRT n* (3.27)
Sustituyendo (3.22) en (3.27)

σ ∗ n* = R σRT n* (3.28)
y dividiendo por n* , se obtiene la relaciń que liga σ y σ ∗
o

σ ∗ = R σRT (3.29)
La ecuaciń (3.29) permite obtener el tensor de tensiones en cualquier sistema de
o
referencia conocidos el tensor en otro sistema de referencia y la matriz de rotaciń
o
de ejes entre ambos sistemas.

3.7 Tensiones principales
Mediante la f´rmula de Cauchy en forma matricial
o

tn = σn
conocido el tensor de tensiones σ, se obtiene el vector tensiń correspondiente a
o
un determinado plano multiplicando el tensor de tensiones por el vector unitario −
→
n
normal a dicho plano.

Figura 3.11 Vector tensiń coincidente con la normal al plano
o

e


Si la direcciń del vector normal y del vector tensiń coinciden, Figura 3.11, la com-
o o
ponente intr´ ınseca tangencial es nula, existiendo solamente componente intr´ ınseca
normal. En este caso, se verifica, continuando en notaciń matricial
o

σn = σn = σIn (3.30)
o bien, pasando al primer miembro

[σ − σI] n = 0 (3.31)
siendo σ el tensor de tensiones, I la matriz identidad y σ el m´dulo de la tensiń
o o
normal. Por tanto,
   
1 0 0 σ 0 0
σI = σ  0 1 0 = 0 σ 0  (3.32)
0 0 1 0 0 σ
La ecuaciń (3.31) es un sistema de tres ecuaciones algebraicas homogńeas lineales,
o e
con los cosenos directores (l, m, n) como inc´gnitas. Adem´s, las inc´gnitas deben
o a o
satisfacer, por el carćter unitario del vector normal, la ecuaciń
a o

l2 + m2 + n2 = 1 (3.33)
Desarrollando la ecuaciń (3.31), se tiene
o

 (σx − σ) l + τxy m + τxz n = 0
τxy l + (σy − σ) m + τyz n = 0 (3.34)

τxz l + τyz m + (σz − σ) n = 0
Los tres cosenos directores no pueden ser todos cero, ya que deben satisfacer la ecua-
ciń (3.33). Para que un sistema de ecuaciones homogńeas lineales tenga soluciń
o e o
distinta de la trivial, es condiciń necesaria y suficiente que el determinante de la
o
matriz de coeficientes sea igual a cero

σx − σ τxy τxz
τxy σy − σ τyz =0 (3.35)
τxz τyz σz − σ
Al desarrollar este determinante se obtiene una ecuaciń c´bica, denominada ecua-
o u
ciń caracter´
o ıstica

−σ 3 + I1 σ 2 − I2 σ + I3 = 0 (3.36)
siendo

I1 = σ x + σ y + σ z (3.37)
σy τyz σx τxz σx τxy
I2 = + + (3.38)
τyz σz τxz σz τxy σy
σx τxy τzx
I3 = |σ| = τxy σy τyz (3.39)
τzx τyz σz

e

Tensiones 37

Las ra´ ıces de la ecuaciń caracter´
o ıstica (los valores propios de σ) reciben el nombre
de tensiones principales. Se denominan σi , siendo i = 1,2,3. Las direcciones corres-
pondientes de las tensiones principales (los vectores propios de σ) reciben el nombre
de direcciones principales. Se convendr´ que σ1 es la ra´ mayor (algebraicamente) y
a ız
σ3 la menor. En todo punto interior de un s´lido el´stico existen, si el determinante
o a
de la matriz de tensiones es distinto de cero, tres direcciones ortogonales entre s´ que
ı,
son las direcciones de las tensiones principales. Los valores de las tensiones principa-
les son independientes del sistema de referencia adoptado, y son los valores m´ximos a
y m´ ınimos que pueden adoptar las componentes del vector tensiń en el entorno
o
del punto considerado. Esto implica que las ra´ ıces de la ecuaciń caracter´
o ıstica son
invariantes. Esta afirmaciń responde a la primera de las preguntas planteadas en
o
el ultimo p´rrafo del apartado 3.1, concretamente, c´mo era posible obtener infor-
´ a o
maciń del estado tensional de un s´lido si la magnitud que lo define var´ segń el
o o ıa u
plano que se considere.
Puesto que las ra´ ıces de la ecuaciń caracter´
o ıstica (las tensiones principales) no
dependen de la elecciń del sistema de referencia, los coeficientes de dicha ecuaciń
o o
tampoco dependen del sistema de referencia. As´ pues, las expresiones de I1 , I2 e I3
ı
son escalares invariantes, concretamente, se denominan invariante lineal, invariante
cuadr´tico e invariante c´bico, respectivamente.
a u

3.8 Valores m´ximos de las componentes intr´
a ınsecas de
la tensiń
o
Los valores m´ximos de las tensiones normales son las tensiones principales y co-
a
rresponden a planos perpendiculares a las direcciones principales (planos de ten-
siń tangencial nula). Al ordenar las tensiones principales tal que se cumpla que
o
σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 , la mayor tensiń de tracciń (o m´
o o ınima de compresiń) corresponde
o
al plano principal 1, y la m´ınima tensiń de tracciń (o m´xima de compresiń)
o o a o
corresponde al plano principal 3.

Figura 3.12 Normales de los planos de tensiń tangencial m´xima
o a

Los valores m´ximos de la tensiń tangencial corresponden a planos cuyas normales
a o
coinciden con las bisectrices de los ńgulos rectos que forman las direcciones princi-
a
pales dos a dos, como se muestra en la Figura 3.12. La m´xima de todas, de acuerdo
a
con el criterio de ordenaciń de las tensiones principales adoptado, se produce segń
o u

e


la bisectriz de las direcciones principales 1 y 3, y su valor es
σ1 − σ3
τm´x = τ13 =
a (3.40)
2
Los otros valores m´ximos de las tensiones tangenciales son
a

σ1 − σ 2
τ12 = (3.41)
2
σ3 − σ 2
τ23 = (3.42)
2

3.9 Tensiń plana
o
Un s´lido est´ sometido a tensiń plana si todas las componentes de la tensiń se
o a o o
encuentran en un mismo plano. Si el plano considerado es el xy, se verifica que
σz = τxz = τyz = 0, y el tensor de tensiones es

σx τxy
σ= (3.43)
τxy σy
Mediante la f´rmula de Cauchy
o

tn = σn
es posible conocer las componentes del vector tensiń en un punto P respecto a
o
− forme un ńgulo θ con el eje x, tal y como se muestra
→
cualquier plano cuya normal n a
en la Figura 3.13.

Figura 3.13 Componentes intr´
ınsecas del vector tensiń en un punto respecto a
o
un plano de normal n →
−

La f´rmula de Cauchy en forma expandida es
o

tn
x σx τxy l σx τxy cos θ
= = (3.44)
tn
y τxy σy m τxy σy sen θ

Las componentes globales del vector tensiń son
o

tn = σx cos θ + τxy sen θ
x
(3.45)
tn = τxy cos θ + σy sen θ
y

La componente intr´
ınseca normal σ es

e

Tensiones 39

σ = nT tn =
σx cos θ + τxy sen θ
= cos θ sen θ = (3.46)
τxy cos θ + σy sen θ
= σx cos2 θ + σy sen2 θ + 2τxy sen θ cos θ

y la componente intr´
ınseca tangencial τ

τ = tT tn =
σx cos θ + τxy sen θ
= − sen θ cos θ = (3.47)
τxy cos θ + σy sen θ
= −σx cos θ sen θ + σy cos θ sen θ − τxy sen2 θ + τxy cos2 θ

siendo
T T
t= cos (90 + θ) cos θ = −sen θ cos θ
Mediante las siguientes relaciones trigonom´tricas
e

1 + cos 2θ
cos2 θ =
2
1 − cos 2θ
sen2 θ =
2
sen 2θ = 2 sen θ cos θ
cos 2θ = cos2 θ − sen2 θ

las componentes intr´
ınsecas normal y tangencial se pueden expresar como

σ x + σy σ x − σy
σ = + cos 2θ + τxy sen 2θ (3.48)
2 2
σx − σ y
τ = − sen 2θ + τxy cos 2θ (3.49)
2
Dejando a un mismo lado de la igualdad los coeficientes multiplicados por funciones
trigonom´tricas, las ecuaciones (3.48) y (3.49) quedan como
e

σx + σy σx − σy
σ− = cos 2θ + τx y sen 2θ (3.50)
2 2
σ x − σy
τ =− sen 2θ + τxy cos 2θ (3.51)
2
Si el plano de referencia fuera principal, se verificar´ que τ = 0. As´ igualando a
ıa ı,
cero la ecuaciń (3.51) se obtiene el ńgulo θ que forma la direcciń principal 1 con
o a o
el eje x
τxy
tan 2θ = σ − σ (3.52)
x y
2

e


3.9.1 Curvas representativas de un estado tensional plano
Es posible representar gr´ficamente algunas caracter´
a ısticas que definen un estado
tensional plano mediante una serie de curvas, algunas de las cuales se definen a
continuaciń.
o

L´
ıneas isost´ticas
a
Las l´
ıneas isost´ticas son las envolventes de las tensiones principales. Hay dos familias
a
de estas curvas, cada una de las cuales corresponde a una de las tensiones principales.
Por cada punto pasan dos isost´ticas, una de cada familia, que son ortogonales entre
a
s´
ı.
Las ecuaciones de las isost´ticas se obtienen a partir de la ecuaciń
a o

τxy 2 tan θ
tan 2θ = σ − σ = (3.53)
x y 1 − tan2 θ
2
siendo θ el ńgulo que forma la direcciń principal 1 con la direcciń positiva del eje
a o o
x. Por tanto, se verifica

dy
tan θ = (3.54)
dx
Sustituyendo (3.54) en (3.53), se obtiene
2
dy σx − σy dy
+ −1=0 (3.55)
dx τxy dx
dy
que es una ecuaciń de segundo grado en
o , cuyas ra´
ıces son
dx
2
dy σx − σy σx − σy
=− ± +1 (3.56)
dx 2τxy 2τxy
Las isost´ticas son de gran utilidad en el diseõ de elementos de hormigń armado, ya
a n o
que las armaduras de acero que cosen las fisuras que las tracciones originan en el hor-
migń deber´ colocarse coincidentes con la familia de isost´ticas correspondientes
o ıan a
a la tensiń principal 1.
o

L´
ıneas isobaras
Las l´
ıneas isobaras unen puntos de igual valor de las tensiones principales correspon-
dientes a cada familia de isost´ticas. Las expresiones anal´
a ıticas son

2
σx + σy σx − σy 2
σ1 = + + τxy = k1 (3.57)
2 2
2
σx + σy σx − σy
σ2 = − 2
+ τxy = k2 (3.58)
2 2

e

Tensiones 41

L´
ıneas de m´xima tensiń cortante
a o
Son las envolventes de las direcciones para las que la tensiń tangencial es m´xima
o a
en cada punto. Forman dos familias de curvas ortogonales que cortan a 45o a las
isost´ticas.
a
Las ecuaciones de estas curvas se obtienen a partir de la ecuaciń
o

σx − σy 2 tan θ
tan 2θ = − = (3.59)
2τxy 1 − tan2 θ
como

dy
tan θ =
dx
Sustituyendo esta expresiń en (3.59), se obtiene
o
2
dy 4τxy dy
− −1=0 (3.60)
dx σx − σy dx
dy
que es una ecuaciń de segundo grado en
o , cuyas ra´
ıces son
dx
2
dy 2τxy 2τxy
= ± +1 (3.61)
dx σx − σy σx − σ y

3.10 Representaciń del estado tensional en el entorno
o
de un punto. C´
ırculos de Mohr
Los c´
ırculos de Mohr permiten de forma gr´fica resolver problemas de tensiń plana
a o
y de estados generales de tensiones.

3.10.1 Construcciń del c´
o ırculo de Mohr en tensiń plana
o
Se utilizar´ el siguiente criterio: una componente normal o tangencial de tensiń
a o
ser´ positiva siempre que acté sobre la cara positiva del elemento en la direcciń
a u o
positiva de los ejes (en la direcciń negativa de los ejes sobre la cara negativa del
o
elemento).
El c´
ırculo de Mohr se construye sobre un sistema de ejes de abscisa σ y de orde-
nada τ , como se muestra en la Figura 3.14. Para su trazado, se siguen los siguientes
pasos:

σx + σy
1. Se representan los puntos A (σx , 0), B (σy , 0), C ,0 y
2
X (σx , τxy )

2. Se traza la l´
ınea CX. Esta es la l´
ınea de referencia correspondiente a un plano
en el cuerpo el´stico cuya normal es la direcciń x positiva.
a o

3. Con centro en C y radio R = CX se traza una circunferencia

e


Figura 3.14 Construcciń del c´
o ırculo de Mohr

Soluciń gr´fica para tensiones sobre un plano inclinado
o a

Si se conocen las tensiones σx , σy y τxy en un sistema xy, las tensiones σx , σy y τxy
en cualquier plano inclinado que forme un ńgulo θ con la direcciń positiva del eje
a o
x, pueden obtenerse gr´ficamente siguiendo el procedimiento que se muestra en la
a
Figura 3.15 como sigue:

Figura 3.15 Soluciń gr´fica para tensiones sobre un plano inclinado
o a

1. Se traza el c´
ırculo de Mohr segń se ha descrito en el apartado anterior.
u

2. Para encontrar el punto sobre la circunferencia de Mohr que represente un
plano en el cuerpo el´stico cuya normal est´ girada un ńgulo θ (en sentido
a a a
antihorario) respecto del eje x, hay que girar un ńgulo 2θ (en sentido horario)
a

e

Tensiones 43

a partir de la l´
ınea CX. El punto X de intersecciń de la recta girada con la
o
circunferencia es el punto buscado, cuyas coordenadas son σx , τxy .

3. La abscisa del punto D , que est´ en el extremo opuesto del di´metro que pasa
a a
por X es σy , siendo las coordenadas del punto σy , −τxy .

Soluciń gr´fica para el c´lculo de tensiones y direcciones principales
o a a

Figura 3.16 Soluciń gr´fica para el c´lculo de tensiones y direcciones principales
o a a

La Figura 3.16 muestra un procedimiento sencillo para determinar gr´ficamente las
a
tensiones y las direcciones principales de un estado tensional conocido. El c´ ırculo de
Mohr se construye como se indic´ anteriormente.
o
Por definiciń, en los planos principales, la componente intr´
o ınseca tangencial es
nula. Los puntos de intersecciń del c´
o ırculo de Mohr con el eje de abscisas son puntos
de componente τ = 0. Por tanto, representan el valor de las tensiones principales.
La tensiń tangencial m´xima corresponde al radio del c´
o a ırculo.
Para obtener las direcciones principales se dibujan l´ıneas desde el punto X a los
puntos σ1 y σ2 . La l´ ınea Xσ1 es paralela al plano del cuerpo el´stico sobre el que
a
actá la tensiń σ1 , mientras que la l´
u o ınea Xσ2 es paralela al plano del cuerpo el´stico
a
sobre el que actá la tensiń σ2 . Tńgase en cuenta que θ es el ńgulo de inclinaciń
u o e a o
de la normal del plano sobre el que actá σ1 , y no la inclinaciń del plano.
u o

3.10.2 Construcciń de los c´
o ırculos de Mohr de un estado general
de tensiones
Para construir los c´ırculos de Mohr de un estado general de tensiones es necesario
referir el tensor de tensiones al sistema de ejes principales. Es decir, el tensor de
tensiones debe tener la forma

e


 
σ1 0 0
σ =  0 σ2 0  (3.62)
0 0 σ3
El m´todo gr´fico se muestra en la Figura 3.17 siguiendo estos pasos:
e a

1. Situar en abscisas los puntos A (σ1 , 0), B (σ2 , 0) y C (σ3 , 0).

σ2 + σ 3 σ2 − σ3
2. Construir las circunferencias C1 con centro O1 ,0 y radio ,
2 2
σ1 + σ3 σ1 − σ3 σ1 + σ2
C2 con centro O2 , 0 y radio , y C3 con centro O3 ,0
2 2 2
σ1 − σ2
y radio .
2

Figura 3.17 Construcciń de los c´
o ırculos de Mohr de un estado general de
tensiones

Un estado tensional es posible si las componentes intr´ ınsecas correspondientes son
interiores a C2 (o caen sobre C2 ) y exteriores a C1 y C3 (o caen sobre C1 o C3 ).

3.10.3 C´lculo gr´fico de las componentes intr´
a a ınsecas del vector
tensiń para una direcciń dada
o o
Para resolver el problema gr´ficamente es necesario que tanto el tensor de tensiones
a
como el vector que define la direcciń en la que se van a determinar las componentes
o
intr´
ınsecas, estń referidos al sistema de ejes principales. Adem´s, dicho vector debe
e a
ser unitario. La Figura 3.18 muestra el m´todo gr´fico, que consiste en los siguientes
e a
pasos:

e

Tensiones 45

1. Construcciń de los c´
o ırculos de Mohr como se indic´ en el apartado anterior
o
(el punto correspondiente a las componentes intr´ ınsecas debe ser exterior a las
circunferencias primera y tercera, e interior a la segunda, o bien, se hallar´ en
a
alguna de las tres).

2. Usando los datos de l y n, se trazan por los puntos correspondientes a σ1 y
σ3 del eje de abscisas, las rectas inclinadas mostradas en la Figura 3.18, cuyos
a
ńgulos con la direcciń del eje de ordenadas son, respectivamente
o

α = arc cos l
γ = arc cos n

Estas rectas cortan a la circunferencia C2 en los puntos P y Q

3. Se trazan sendas circunferencias con centros en O1 y O3 , que pasen por Q y
P, respectivamente

4. El punto S de intersecciń de ambas circunferencias es el extremo del vector
o
tensiń buscado. Sus proyecciones sobre el sistema σ-τ son las componentes
o
intr´
ınsecas

Figura 3.18 Construcciń de los c´
o ırculos de Mohr de un estado general de
tensiones

3.11 Ejercicios propuestos
Ejercicio 3.1
Conocido el tensor de tensiones en el entorno de un punto de un s´lido el´stico, se
o a
pide:

e


1. Calcular las componentes globales respecto a un plano que contiene al eje x y
su traza es bisectriz del plano yz

2. Calcular las componentes intr´
ınsecas del vector tensiń referido al plano defi-
o
nido en el apartado anterior

Datos:
 
2 1 −4
σ= 1 4 0 
−4 0 1
siendo MPa las unidades de la tensiń σ.
o
Soluciń:
o

1. Calcular las componentes globales respecto a un plano que contiene al eje x y
su traza es bisectriz del plano yz

 √ 
  5 2
 − 
tn
x  2 
   √ 
t n =  tn  =  −2 2 
y
 √ 
tn  
z 2
2

2. Calcular las componentes intr´
ınsecas del vector tensiń referido al plano defi-
o
nido en el apartado anterior

σ = 2, 5 MPa
τ = 3, 8406 MPa

Ejercicio 3.2
Conocido el tensor de tensiones en un punto de un s´lido el´stico, se pide calcular:
o a

1. Los planos de tensiń normal m´xima
o a

2. La normal unitaria del plano libre de tensiones

Datos:
 
3 1 1
σ= 1 0 2 
1 2 0
siendo las unidades de la tensiń σ MPa.
o

e

Tensiones 47

Soluciń:
o

1. Los planos de tensiń normal m´xima
o a

T
n1 = ± √6
2
± √6
1
± √6
1

T
n2 = √1
3
± √3
1
± √3
1

T
n3 = 0 ± √2
1 √1
2

2. La normal unitaria del plano libre de tensiones

T
n= √2
6
± √6
1
± √6
1

Ejercicio 3.3
Conocido el tensor de tensiones en un punto de un s´lido el´stico, se pide
o a

1. Calcular las componentes del tensor de tensiones respecto a un sistema de ejes
generado al girar 60◦ los ejes x e y alrededor del eje z, en sentido antihorario,
manteniendo este ultimo fijo
´

Datos:
 
1 −1 −1
σ =  −1 −3 3 
−1 3 −3
siendo MPa las unidades de la tensiń σ.
o
Soluciń:
o

1. Calcular las componentes del tensor de tensiones respecto a un sistema de ejes
generado al girar 60◦ los ejes x e y alrededor del eje z, en sentido antihorario,
manteniendo este ultimo fijo
´

 √ √ √ 
4+ 3 1−2 3 −1 + 3 3
 − 
 2
√ √
2 2
√ 
 
 1−2 3 3 3+ 3 
σ* =  
 2 2 2 
 √ √ 
 −1 + 3 3 3+ 3 
−3
2 2

e

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