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1. Resistencia de materiales
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PRINCIPIO DE SAINT-VENANT,CONCENTRACION DE ESFUERZOS Y
DEFORMACIONES PLASTICAS.
Moncayo Matute Freddy1
Resumen Abstract
Este documento presenta información sobre el
principio de saint venant sus usos, aplicaciones en
resistencia de materiales su forma de ser calculado
e interpretación. También nos abarcaremos a
cálculos para las concentraciones de esfuerzos
especialmente en placas con agujeros y placas
redondeadas con sus distribuciones real de
esfuerzos analizada y como obtenerla a partir de
diferentes métodos y como último punto
analizaremos las deformaciones plásticas
materiales que se deforman plásticamente con la
acción de cargas constantes y una vez quitadas esas
cargas veremos cómo calcularlas e interpretarlas.
Palabras Clave: carga, concentración, esfuerzo,
resistencia.
This document presents information on the principle
of Saint Venant applications uses material resistance
calculated his nature and interpretation. Also we will
cover in calculations for stress concentrations
especially in plates with holes and rounded with
actual distributions of effort and how to get it
analyzed from different methods as a last point plates
and analyze the material plastic deformations that
deform plastically action constant loads and removed
see these charges see how calculate and interpret.
Keywords: charge, concentration, effort, endurance.
1 Estudiante de Ingeniería Mecánica,Universidad Politécnica Salesiana –Sede Cuenca. Autor para correspondencia:
fmoncayom@est.ups.edu.ec

2. Resistencia de materiales
2
1. Introducción
El siguiente trabajo investigativo tiene el objetivo
de poner en práctica los temas tratados en el
presente documento poner en practica con
problemas que sean más reales y aplicables para la
vida profesional del estudiante de ingeniería. Los
temas desarrollados a continuación se relacionan
mucho con aspectos físico y mecánico, sin
embargo por la parte de modelos matemáticos e
implementación de softwares también presenta
una solución para los mismos simplificando así su
complejidad y volviéndoles modelos matemáticos,
se caracteriza por crear modelos o ecuaciones para
problemas presentados y que tengan una solución
matemática y lógica.
El objetivo principal de este trabajo es presentar a
los demás estudiantes del curso de resistencia de
materiales una solución para problemas de
esfuerzos de elementos aplicando conocimientos
correspondientes al curso, además de incentivar la
investigación por parte de los estudiantes con
respecto a temas relacionados a la carrera que se
esté cursando dentro de la universidad.
La gran mayoría de estructura que se pueden
observar hoy en día están constituidas por una
gran gamma de estructuras y esfuerzos estas se
pueden ver afectadas por cargas, pesos o fuerzas
del sistema que se encuentren soportando o por su
mismo peso creando una afección o una
desviación en las mismas. Esto es lo que se tratará
de explicar a continuación por medio de métodos
matemáticos y físicos.
2. Principio de Saint-Venant
2.1 Introducción.
El principio de Saint-Venant permite en
elasticidad aproximar distribuciones de tensiones
complicadas o condiciones de contorno débiles
por otras más sencillas de tratar matemáticamente,
siempre y cuando el contorno esté suficientemente
alejado.
El principio de Saint-Venant es análogo al usado
en electroestática, donde el campo eléctrico
debido a una distribución complicada de cargas,
puede ser aproximada por un desarrollo
multipolar. De hecho, el teorema de Saint-Venant
establece que si la fuerza resultante (momento de
orden 0) y el momento resultante (momento de
primer orden) para dos sistemas de fuerzas son
iguales a grandes distancias el campo de tensiones
elásticos a ser iguales asintóticamente. De hecho
el principio de Saint-Venant sería equivalente a
afirmar que los momentos de orden superior
decaen más rápidamente que los de menor orden.
Por esa razón, el principio de Saint-Venant puede
ser visto como una afirmación sobre el
comportamiento asintótico de la función de
Green asociada a una carga puntual. [2]
Figura 1. (a)-(b)
2.2 Demostraciones Rigurosas.
Desde la publicación del trabajo de Saint-Venant
ha existido una gran cantidad de intentos rigurosos
de deducir el principio de Saint-Venant a partir de
las ecuaciones en derivadas parciales de la teoría
de la elasticidad. Ese trabajo ha revelado que ni la
forma original en que fue formulado, ni la
formulación clásica que hizo Love han podido ser
probada. Por esa razón, diversos autores han
reformulado ligeramente el principio para poder
obtener resultados exactos, y aproximaciones para
casos particulares. [2]

3. Resistencia de materiales
3
2.3 Situación física.
Si las cargas se aplican en el centro de cada placa,
las placas se moverán una hacia la otra sin girar,
acortando el elemento y aumentando su ancho y
espesor. Es razonable suponer que el elemento
permanecerá recto, que las secciones planas
seguirán planas, y que todos los elementos del
miembro se deformaran de la misma manera, ya
que tal suposición es claramente compatible con
las condiciones dadas. Esto se ilustra en la Figura
1. (a)-(b) que muestra un modelo de caucho antes
y después de la carga. Ahora si todos los
elementos se deforman de la misma manera, la
distribución de deformaciones unitarias atraves del
miembro debe ser uniforme.
2.4 Modelo matemático.
En otras palabras la deformación unitaria axial ϵᵧ y
la deformación unitaria axial ϵᵧ= -ⱱϵᵧ son
constantes. Pero, si los esfuerzos no sobrepasan el
límite de proporcionalidad, se aplica la ley de
Hooke y puede escribirse 𝜎ᵧ=E ϵᵧ de lo que sigue
que el esfuerzo normal 𝜎ᵧ también es constante.
Por lo tanto, la distribución de esfuerzos es
uniforme a través del miembro y, en cualquier
punto.
𝜎ᵧ = (𝜎ᵧ) ᵖᵣ =
P
𝐴
Figura 2. (c)
2.5Análisis y resultados.
Por otra parte, si las cargas están concentradas,
como se ilustra en la Figura 2.(c), los elementos en
la cercanía inmediata de los puntos de aplicación
de las cargas se encuentran sometidos a esfuerzos
muy grandes, mientras que otros elementos cerca
de los extremos del miembro no están afectadas
por la carga. Esto puede verificarse observando
que grandes deformaciones y, por lo tanto,
grandes esfuerzos ocurren cerca de los puntos de
aplicación de las cargas, mientras que no ocurren
deformaciones en las esquinas. Sin embargo,
cuando se consideran elementos cada vez más
lejos de los extremos, se nota una igualación
progresiva de las deformaciones involucradas y,
por lo tanto, una distribución casi uniforme de las
deformaciones y de los esfuerzos a través de una
sección del miembro. Esto se ilustra mejor en la
figura 3. (d), la cual muestra el resto del cálculo
por métodos numéricos avanzados de la
distribución de esfuerzos a través de varias
secciones de una placa rectangular delgada
sometido a cargas centrales.
Figura 3. (d)

4. 4
La carga real y la utilizada para calcular los
esfuerzos deben ser estáticamente equivalentes.
Los esfuerzos no pueden calcularse, de esta
manera, en la cercanía inmediata de los puntos
de aplicación de las cargas. Deben utilizarse
métodos teóricos o experimentales avanzados
para determinar la distribución de esfuerzos en
estas áreas.[1]
3. Concentración de esfuerzos.
3.1 Introducción.
Los esfuerzos cerca de los puntos de aplicación
de las cargas concentradas pueden alcanzar
valores mucho más grandes que el valor
promedio de esfuerzos en el elemento. Cuando
un elemento estructural contiene una
discontinuidad de la geometría como:
Agujeros
Muescas
Estrías
Raspaduras
Cambios de forma y tamaño de la sección
Chaveteras
Marcas de herramientas
Inclusiones y defectos en el material
La figura 4. (e-f) muestra la distribución de
esfuerzos en una sección con muescas laterales
de una pieza. Esta distribución real de esfuerzos
se obtiene a partir de diferentes métodos,
ejemplo:
 Métodos matemáticos aplicados a la
teoría de elasticidad
 Fotoelasticidad
 Métodos numéricos como el método de
los elementos finitos, método de los
elementos de borde, etc.
 Mediciones directas de la deformación
(strain gauge)
Figura 4. (e-f)
3.2 Situación física.
Cerca de los puntos de aplicación de las cargas
concentradas los esfuerzos pueden alcanzar
valores mucho más grandes que el valor
promedio en el elemento, y si en este elemento
tenemos una discontinuidad como un agujero o
cambio repentino en su sección transversal
también pueden ocurrir grandes esfuerzos
localizados cerca de la discontinuidad. [1]
Figura (2.52-2.53)
3.3 Modelo matemático.
A un diseñador lo que le interesa es el valor
máximo del esfuerzo en una sección dada antes
que su distribución real ya que su preocupación
es determinar si el esfuerzo permisible será
excedido bajo una carga dada y no donde se
excederá este valor, por este motivo se define la
razón
𝐾 =
𝜎 𝑚𝑎𝑥
𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚
Del esfuerzo máximo sobre el esfuerzo
promedio calculado en la sección critica

5. Resistencia de materiales
5
de la discontinuidad y a esta razón se la
conoce como el factor de concentración
de esfuerzos de la discontinuidad dada.
Los factores de concentración de
esfuerzos pueden calcularse de una vez
por todas en términos de las razones de
los parámetros geométricos involucrados,
y los resultados obtenidos pueden ser
expresados en forma de tablas o gráficas.
Figura (2.54)
Figura (2.55)
Para determinar el máximo esfuerzo que ocurre
cerca de una discontinuidad en un elemento dado
sometido a una carga axial P dada, el diseñador
solo necesita calcular el esfuerzo promedio
𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝑃/𝐴 en la sección crítica, y multiplicar
el valor obtenido por el valor apropiado del
factor de concentración del esfuerzo K, pero este
procedimiento es válido solo mientras 𝜎 𝑚𝑎𝑥 no
exceda el límite de proporcionalidad del
material, ya que los valores de K se obtuvieron
suponiendo una relación lineal entre el esfuerzo
y la deformación unitaria.[1]
3.4 Análisis y resultados.
El análisis se realizó bajo la suposición de que la
relación esfuerzo deformación unitaria es lineal.
Por lo que la distribución de esfuerzos y los
valores de los factores de concentración de
esfuerzos no pueden usarse cuando hay
deformación plástica es decir cuando el valor de
𝜎 𝑚𝑎𝑥 obtenido excede a la resistencia a la
cedencia 𝜎𝑦.
Figura (2.69)
El área bajo la curva de distribución de esfuerzos
representa la integral ∫ 𝜎 𝑑𝐴 que es igual a la
carga P, así esta área y el valor 𝜎 𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝜎𝑦, todas
las distribuciones sucesivas de esfuerzo
obtenidas al aumentar P tendrán la forma

6. 6
mostrada en la figura 2.96 a. al aumentar P por
encima del valor 𝑃𝑦 que corresponde a 𝜎 𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑦
figura 2.96 b la curva de distribución de
esfuerzos se debe aplanar en la cercanía del
agujero figura 2.96 c ya que el esfuerzo en el
material considerado no puede exceder el valor
de 𝜎𝑦. Al aumentar mas la carga P la zona
plástica donde ocurre la cedencia se sigue
expandiendo hasta alcanzar los bordes de la
placa figura 2.96 d. en ese punto, la distribución
de esfuerzos a través de la placa es uniforme 𝜎 =
𝜎𝑦 y el valor correspondiente de la carga P=𝑃𝑢 es
el valor máximo que puede aplicarse en la barra
sin causar rotura.
El esfuerzo promedio 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝑃/𝐴, donde A es
la sección transversal y la definición del factor
de concentración de esfuerzos, K=𝜎 𝑚𝑎𝑥 /𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚
tenemos
P= 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 𝐴 = 𝜎 𝑚𝑎𝑥 𝐴/𝐾
Para cualquier valor de 𝜎 𝑚𝑎𝑥 que no ceda 𝜎𝑦.
Cuando 𝜎 𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑦 figura 2.96 b se tiene que P=
𝑃𝑦:
𝑃𝑦 = 𝜎𝑦 𝐴/𝐾
Pero si P = 𝑃𝑢 figura 2.96 se tiene que
𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝜎𝑦 :
𝑃𝑢 = 𝜎𝑦 𝐴
Y
𝑃𝑦 = 𝑃𝑢/𝐾
[1]
4. Deformaciones plásticas.
4.1 Introducción.
Irreversible o permanente Modo de
deformación en que el material no regresa a su
forma original después de retirar la carga
aplicada. Esto sucede porque, en la
deformación plástica, el material experimenta
cambios termodinámicos irreversibles al
adquirir mayor energía potencial elástica. La
deformación plástica Figura (2.70) es lo
contrario a la deformación reversible. [1]
Figura (2.70)
4.2 Situación física.
La curva usual Esfuerzo - Deformación (llamada
también convencional, tecnológica, de ingeniería
o nominal), expresa tanto el esfuerzo como la
deformación en términos de las dimensiones
originales de la probeta, un procedimiento muy
útil cuando se está interesado en determinar
los datos de resistencia y ductilidad para
propósito de diseño en ingeniería Figura.(2-71).
Para conocer las propiedades de los materiales,
se efectúan ensayos para medir su
comportamiento en distintas situaciones. Estos
ensayos se clasifican en destructivos y no
destructivos. Dentro de los ensayos destructivos,
el más importante es el ensayo de tracción. [3]
Figura.(2-71)

7. Resistencia de materiales
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4.3 Modelo matemático.
Cuando solo algunas de las partes de una
estructura indeterminada sufren
deformaciones plásticas, o cuando distintas
partes de la estructura sufren diferentes
deformaciones plásticas, los esfuerzos en
varias partes de la estructura no regresan a
cero después que la carga a sido retirada. Los
esfuerzos llamados esfuerzos residuales,
permanecerán en las distintas partes de las
estructura Figura (2-72).
Después de que la carga P ha regresado a cero,
las fuerzas internas 𝑃𝑣 y 𝑃𝑡 no son iguales a
cero.
Para determinar los esfuerzos residuales se
determinan los esfuerzos inversos 𝜎´ 𝑟 y 𝜎´ 𝑡
causados por la descarga y se sumaran a los
esfuerzos máximos 𝜎𝑣 y 𝜎𝑡. La deformación
es igual a 𝛿´/𝐿 donde 𝛿´ es la deformación del
ensamble durante la descarga.
∈ ´ = 𝛿´/𝐿
𝜎´ 𝑟= ∈ ´𝐸𝑟
𝜎´ 𝑡= ∈ ´𝐸𝑡
Los esfuerzos residuales se encuentran
superponiendo los esfuerzos debidos a la
carga y los esfuerzos inversos debido a la
descarga.
(𝜎´ 𝑟) 𝑟𝑒𝑠= 𝜎𝑟 + 𝜎´ 𝑟
(𝜎´ 𝑡) 𝑟𝑒𝑠= 𝜎𝑡 + 𝜎´ 𝑡
También por la temperatura se puede producir
esfuerzos residuales, debido a las
deformaciones plásticas producidas por
cambios de temperatura.[1]
∆𝑇 = −
𝜎
𝐸𝛼
Figura (2-72)
4.4 Anexos.
GRÁFICAS DE CONCENTRACIÓN DE
ESFUERZOS.
Por medio de estas gráficas es posible hacer
varias observaciones acerca del factor de
concentración de esfuerzos:
 El factor de concentración de esfuerzos K
es independiente de las propiedades del
material
 Está afectado significativamente afectado
por la geometría
 También se afecta por el tipo de
discontinuidad; el factor de concentración
de esfuerzos es considerablemente menor
para un filete que para un agujero

8. 8
5. Conclusiones
Al haber realizado el estudio de estos tres
temas muy importantes en la catedra de
resistencia de materiales podemos concluir
como punto importante en análisis exhaustivo
de esfuerzos en placas y elementos mecánicos
ya que estos cálculos y formulas son
aproximados por lo que debemos hacer el uso
de dichas tablas que se encuentran en el anexo
de este documento sabiendo distinguir el
estado de la placa y el tipo para proceder a
realizar los cálculos también logramos deducir
nuevas fórmulas que facilitan este cálculo la
investigación nos proponía usar dichos
softwares ya que son muy extensos y tediosos
realizarlos.
6. Referencias:
.
[1]
Mecánica de materiales de Ferdinand P. Beer.
cuarta edición.
[2]
http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_Saint-
Venant
[3]
http://www.monografias.com/trabajos72/diagrama
-esfuerzo-deformacion/diagrama-esfuerzo-
deformacion.shtml