Este documento presenta un ejercicio resuelto paso a paso sobre cómo determinar las tensiones en una barra sometida a flexión compuesta debido a una carga excéntrica. Primero se identifica el punto donde se aplica la carga excéntrica mediante el análisis de la fórmula de tensión. Luego, se determina el punto donde el eje neutro corta el eje y. Finalmente, dado que se conoce la tensión en un punto, se calcula el valor y signo de la carga aplicada.

1. Bloque A.
Tensiones producidas por flexión compuesta esviada originada
por la aplicación de una carga excéntrica.
Ejercicio de ejemplo resuelto paso a paso.
Sistemas estructurales – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla

2. Tensiones en una barra sometida a axil excéntrico
 Dada la sección de la figura, sometida a un axil excéntrico aplicado sobre la recta a-a y sabiendo que el eje
neutro pasa por el punto A, señalado en la figura, se pide:
1. Determinar y señalar en la sección el punto en el que está
aplicado el esfuerzo axil (cm).
2. Obtener el punto en el que el eje neutro corta al eje y
representar dicha fibra en la figura (cm).
3. Sabiendo que la tensión en el centro de gravedad es de 25
N/mm2, determinar el valor y el signo de la carga que actúa
sobre el perfil (kN).
4. Determinar cuál será la máxima tensión de tracción y en qué
punto de la sección se dará (kN/cm2).
5. Determinar cuál será la máxima tensión de compresión y en
qué punto de la sección se dará (kN/cm2).
6. Asumiendo que la sección pertenece a una barra vertical
empotrada en el terreno, representar sobre el esquema en 3
dimensiones de la pieza el eje neutro, la zona de la sección
traccionada, la zona comprimida, la deformación esperada y
el punto que sufre la máxima tensión en valor absoluto.
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3. Tensiones en una barra sometida a axil excéntrico
1. Determinar y señalar en la sección el punto en el que está aplicado el
esfuerzo axil (cm).
Partiendo de la fórmula general de la tensión normal debida a flexión esviada
compuesta (según el criterio de signos que manejamos en la
asignatura), podemos deducir la posición del punto en el que está aplicado el axil
sustituyendo las coordenadas de dicho punto.
N Mz  y M y  z
x   
A Iz Iy
A  116 cm 2
Iz  24318,67 cm 4
I y  8198,67 cm 4
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4. Tensiones en una barra sometida a axil excéntrico
1. Determinar y señalar en la sección el punto en el que está aplicado el
esfuerzo axil (cm).
Partiendo de la fórmula general de la tensión normal debida a flexión esviada
compuesta (según el criterio de signos que manejamos en la
asignatura), podemos deducir la posición del punto en el que está aplicado el axil
sustituyendo las coordenadas de dicho punto.
N Mz  y M y  z
x   
A Iz Iy
Sustituyendo Mz y My por los momentos que genera una carga puntual aplicada
excéntricamente en la sección y N por el valor de dicha carga, nos queda:
P P  ey  y P  ez  z
A  116 cm 2 x   
A Iz Iy
Iz  24318,67 cm 4
I y  8198,67 cm 4
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5. Tensiones en una barra sometida a axil excéntrico
1. Determinar y señalar en la sección el punto en el que está aplicado el
esfuerzo axil (cm).
Partiendo de la fórmula general de la tensión normal debida a flexión esviada
compuesta (según el criterio de signos que manejamos en la
asignatura), podemos deducir la posición del punto en el que está aplicado el axil
sustituyendo las coordenadas de dicho punto.
N Mz  y M y  z
x   
A Iz Iy
Sustituyendo Mz y My por los momentos que genera una carga puntual aplicada
excéntricamente en la sección y N por el valor de dicha carga, nos queda:
P P  ey  y P  ez  z
A  116 cm 2 x   
A Iz Iy
Iz  24318,67 cm 4
y sacando P factor común:
I y  8198,67 cm 4
 1 ey  y ez  z 
x  P    
A Iz Iy 
 
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6. Tensiones en una barra sometida a axil excéntrico
Las coordenadas ey y ez corresponden al punto de aplicación de la carga puntual
P medidas sobre el eje correspondiente (excentricidad en el eje y y excentricidad
en el eje z), según el siguiente esquema:
A  116 cm 2
Iz  24318,67 cm 4
I y  8198,67 cm 4
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7. Tensiones en una barra sometida a axil excéntrico
Las coordenadas ey y ez corresponden al punto de aplicación de la carga puntual
P medidas sobre el eje correspondiente (excentricidad en el eje y y excentricidad
en el eje z), según el siguiente esquema:
A  116 cm 2
Iz  24318,67 cm 4
I y  8198,67 cm 4
Conociendo que la tensión en el punto A de la sección es nula (puesto que el E.N.
pasa por ese punto), sustituimos los datos de que disponemos:
 1 ey  0 e  ( 10) 
 A(0,10)  0  P    z 
 116 24318,67 8198,67 
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8. Tensiones en una barra sometida a axil excéntrico
Dado que si el valor de P fuese cero no habría tensión en ningún punto de la
sección, debemos hallar el valor de ez que verificaría esta igualdad:
1 ey  0 e  ( 10)  8198,67 
  z 0  ez     7.067cm
116 24318,67 8198,67  1160 
A  116 cm 2
Iz  24318,67 cm 4
I y  8198,67 cm 4
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9. Tensiones en una barra sometida a axil excéntrico
Dado que si el valor de P fuese cero no habría tensión en ningún punto de la
sección, debemos hallar el valor de ez que verificaría esta igualdad:
1 ey  0 e  ( 10)  8198,67 
  z 0  ez     7.067cm
116 24318,67 8198,67  1160 
Al conocer que la carga P está situada sobre la recta a-a, el valor de ey nos viene
dado por la siguiente relación:
1
ez  ey ; ey  14,13 cm
2
A  116 cm 2
Iz  24318,67 cm 4
I y  8198,67 cm 4
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10. Tensiones en una barra sometida a axil excéntrico
Dado que si el valor de P fuese cero no habría tensión en ningún punto de la
sección, debemos hallar el valor de ez que verificaría esta igualdad:
1 ey  0 e  ( 10)  8198,67 
  z 0  ez     7.067cm
116 24318,67 8198,67  1160 
Al conocer que la carga P está situada sobre la recta a-a, el valor de ey nos viene
dado por la siguiente relación:
1
ez  ey ; ey  14,13 cm
2
El punto en el que se aplica la carga, representado en la sección con un aspa
sobre un círculo, quedaría como sigue:
A  116 cm 2
Iz  24318,67 cm 4
I y  8198,67 cm 4
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11. Tensiones en una barra sometida a axil excéntrico
2. Obtener el punto B en el que el eje neutro corta al eje y. Representar dicha
fibra en la figura.
Una vez tenemos los valores de las excentricidades, no tenemos más que sustituir
la coordenada z por cero en la fórmula de la tensión normal igualada a cero
(porque buscamos un punto que pertenece al E.N.) y despejar “y” -la cota en la
que el eje neutro corta al eje de las ordenadas-.
A  116 cm 2
Iz  24318,67 cm 4
I y  8198,67 cm 4
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12. Tensiones en una barra sometida a axil excéntrico
2. Obtener el punto B en el que el eje neutro corta al eje y. Representar dicha
fibra en la figura.
Una vez tenemos los valores de las excentricidades, no tenemos más que sustituir
la coordenada z por cero en la fórmula de la tensión normal igualada a cero
(porque buscamos un punto que pertenece al E.N.) y despejar “y” -la cota en la
que el eje neutro corta al eje de las ordenadas-.
Esta ecuación vuelve a tener como una posible solución P = 0, pero como en el
caso anterior, si esta situación se diera no habría tensión en ningún punto de la
sección.
 1 14,3  y 7,067  (0) 
 EN ( y ,0)  0  P     ; y  14.86 cm
 116 24318,67 8198,67 
A  116 cm 2
Iz  24318,67 cm 4
I y  8198,67 cm 4
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13. Tensiones en una barra sometida a axil excéntrico
2. Obtener el punto B en el que el eje neutro corta al eje y. Representar dicha
fibra en la figura.
Una vez tenemos los valores de las excentricidades, no tenemos más que sustituir
la coordenada z por cero en la fórmula de la tensión normal igualada a cero
(porque buscamos un punto que pertenece al E.N.) y despejar “y” -la cota en la
que el eje neutro corta al eje de las ordenadas-.
Esta ecuación vuelve a tener como una posible solución P = 0, pero como en el
caso anterior, si esta situación se diera no habría tensión en ningún punto de la
sección.
 1 14,3  y 7,067  (0) 
 EN ( y ,0)  0  P     ; y  14.86 cm
 116 24318,67 8198,67 
A  116 cm 2
Iz  24318,67 cm 4
I y  8198,67 cm 4
Nótese que la posición del eje neutro no depende del módulo ni del
signo de la carga que se aplica, únicamente del punto escogido.
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14. Tensiones en una barra sometida a axil excéntrico
3. Sabiendo que la tensión en el centro de gravedad es de 25
N/mm2, determinar el valor y el signo de la carga que actúa sobre el perfil
(kN).
Partiendo de la fórmula general, sustituyo los valores de excentricidad y
coordenadas en las que se produce la tensión de 25 N/mm2 y podré despejar el
valor de la carga P.
 1 ey  y ez  z 
x  P    
A Iz Iy 
 
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15. Tensiones en una barra sometida a axil excéntrico
3. Sabiendo que la tensión en el centro de gravedad es de 25
N/mm2, determinar el valor y el signo de la carga que actúa sobre el perfil
(kN).
Partiendo de la fórmula general, sustituyo los valores de excentricidad y
coordenadas en las que se produce la tensión de 25 N/mm2 y podré despejar el
valor de la carga P.
 1 ey  y ez  z 
x  P    
A Iz Iy 
 
 1 14,3 cm  0 7,067 cm  0 
 G(0,0)  2500 N  P
2 2
 4
 
cm  116 cm 24318,67 cm 8198,67cm 4 
P  290  103 N  290 kN
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16. Tensiones en una barra sometida a axil excéntrico
3. Sabiendo que la tensión en el centro de gravedad es de 25
N/mm2, determinar el valor y el signo de la carga que actúa sobre el perfil
(kN).
Partiendo de la fórmula general, sustituyo los valores de excentricidad y
coordenadas en las que se produce la tensión de 25 N/mm2 y podré despejar el
valor de la carga P.
 1 ey  y ez  z 
x  P    
A Iz Iy 
 
 1 14,3 cm  0 7,067 cm  0 
 G(0,0)  2500 N  P
2 2
 4
 
cm  116 cm 24318,67 cm 8198,67cm 4 
P  290  103 N  290 kN
4. Determinar cuál será la máxima tensión de tracción en la sección y en qué punto de la misma aparecerá (kN/cm2).
La máxima tensión de tracción se producirá en el punto más alejado del eje neutro dentro de la zona traccionada
(sombreada en azul) coordenadas (+20,+10)
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17. Tensiones en una barra sometida a axil excéntrico
3. Sabiendo que la tensión en el centro de gravedad es de 25
N/mm2, determinar el valor y el signo de la carga que actúa sobre el perfil
(kN).
Partiendo de la fórmula general, sustituyo los valores de excentricidad y
coordenadas en las que se produce la tensión de 25 N/mm2 y podré despejar el
valor de la carga P.
 1 ey  y ez  z 
x  P    
A Iz Iy 
 
 1 14,3 cm  0 7,067 cm  0 
 G(0,0)  2500 N  P
2 2
 4
 
cm  116 cm 24318,67 cm 8198,67cm 4 
P  290  103 N  290 kN
4. Determinar cuál será la máxima tensión de tracción en la sección y en qué punto de la misma aparecerá (kN/cm2).
La máxima tensión de tracción se producirá en el punto más alejado del eje neutro dentro de la zona traccionada
(sombreada en azul) coordenadas (+20,+10)
 1 14,3 cm  ( 20 cm) 7,067 cm  ( 10 cm) 
 G(20,10)  290 kN  2
 4
 4   8,360 kN / cm
2
 116 cm 24318,67 cm 8198,67 cm 
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18. Tensiones en una barra sometida a axil excéntrico
5. Determinar cuál será la máxima tensión de compresión que se dará en la
sección y en qué punto de la misma aparecerá (kN/cm2).
La máxima tensión de tracción se producirá en el punto más alejado del eje
neutro dentro de la zona comprimida (sombreada en rojo) con coordenadas
(-20,-10)
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19. Tensiones en una barra sometida a axil excéntrico
5. Determinar cuál será la máxima tensión de compresión que se dará en la
sección y en qué punto de la misma aparecerá (kN/cm2).
La máxima tensión de tracción se producirá en el punto más alejado del eje
neutro dentro de la zona comprimida (sombreada en rojo) coordenadas (-20,-
10)
 1 14,3 cm  ( 20 cm ) 7,067 cm  ( 10 cm ) 
 G ( 20,10)  290 kN  2
  
 116 cm 24318,67 cm 4 8198,67 cm 4 
 G ( 20,10)  3,365 kN / cm 2
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20. Tensiones en una barra sometida a axil excéntrico
6. Asumiendo que la sección pertenece a una barra vertical empotrada en el terreno, representar a estima sobre el
esquema en 3 dimensiones de la pieza la deformación esperada y la arista que sufre mayor valor de tensión en valor
absoluto.
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21. Tensiones en una barra sometida a axil excéntrico
6. Asumiendo que la sección pertenece a una barra vertical empotrada en el terreno, representar a estima sobre el
esquema en 3 dimensiones de la pieza la deformación esperada y la arista que sufre mayor valor de tensión en valor
absoluto.
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22. Tensiones en una barra sometida a axil excéntrico
6. Asumiendo que la sección pertenece a una barra vertical empotrada en el terreno, representar a estima sobre el
esquema en 3 dimensiones de la pieza la deformación esperada y la arista que sufre mayor valor de tensión en valor
absoluto.
La arista sometida
a mayor tensión en
valor absoluto es la
más traccionada
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23. Bloque A.
Tensiones producidas por flexión compuesta esviada originada
por la aplicación de una carga excéntrica.
Ejercicio de ejemplo resuelto paso a paso.
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