1. 1
– Valores de x tales que f ´(x) no existe
– Es el conjunto vacío, porque f ´(x) esta definida
para todo x.
• Los únicos puntos críticos de f son x = -1, x = 0, x = 2.
• Evaluación de f en los puntos críticos
– f(-1) = 0 , f( 0) = 5 , f(2) = -27
• Evaluación de f en x = -2 y x = 4
– f(-2) = 37 , f(4) = 325
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2. 2
Punto
terminal
izquierdo
Punto
crítico
Punto
crítico
Punto
crítico
Punto
terminal
derecho
x = -2 x = -1 x = 0 x = 2 x = 4
f (-2) = 37 f (-1) = 0 f (0) =5 f (2) = -27
Mínimo
f (4) = 325
Máximo
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3. 3
Ejemplo 2
Determinar los extremos de
f (x) = x 2/3(6 – x)1/3
en el intervalo [-3, 7]
• Solución
• Puntos críticos de f en el intervalo (-3, 7)
– Valores de x tales que f ´(x ) = 0
– f ´(x) = 0  4 – x = 0  x = 4
3/23/1
)6(
4
)´(
xx
x
xf



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4. 4
– Valores de x tales que f ´(x) no existe
– f ´(x) no existe  x = 0 , x = 6
• Los puntos críticos de f son x = 0, x = 4, x = 6.
• Evaluación de f en los puntos críticos
– f(0) = 0 , f( 4) = 3.175 , f(6) = 0
– Evaluación de f en x = -2 y x = 7
– f(-3) = 4.327 , f(7) = -3.659
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5. 5
Punto
terminal
izquierdo
Punto
crítico
Punto crítico Punto
crítico
Punto
terminal
derecho
x = -3 x = 0 x = 4 x = 6 x = 7
f (-3) = 4.327
Máximo
f (0) = 0 f (4) =3.1750 f (2) = 0 f (7) = - 3.659
Mínimo
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6. 6
1. Puntos x para los cuales f ´´ (x ) = 0 o f
´´(x) no existe
– Valores de x tales que f´´(x ) = 0
– f ´´(x) = 0  3(x2 – 9) = 0
x2 = 9
de donde x = -3 y x = 3
– Valores de x tales que f ´(x) no existe
– El conjunto de valores de x tales que f ´´(x) no está
definida es igual al conjunto vacío, porque f ´´(x)
esta definida para todo x.
Los intervalos de prueba vienen a ser
(- ∞, - 3), (-3, 3) y (3, +∞)
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7. 7
Intervalo (-∞, -3) (-3. 3) (3, + ∞)
Valor de
prueba
-4 0 4
Signo de
f ´´(x)
f ´´(-4)>0 f ´(-0)<0 f ´(4)>0
Conclusión Cóncava
hacia arriba
Cóncava
hacia abajo
Cóncava hacia
arriba
2. El análisis del signo de f´´ (x) y la aplicación del criterio
de concavidad, se resume el siguiente cuadro
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8. 8
Definición
•
• Sea f una función continua en un intervalo
abierto y sea c un punto en ese intervalo. Si la
gráfica de f tiene una recta tangente en este
punto (c, f( c)), entonces ese punto es un
punto de inflexión de la gráfica de f si la
concavidad de f cambia de cóncava hacia
arriba a cóncava hacia abajo ( o de cóncava
hacia abajo a cóncava hacia arriba)
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9. 9
Teorema
• Si (c, f( c)) es un punto de inflexión de la
gráfica de f, entonces f´´( c) = 0 o f´´(c) no
existe.
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10. 10
¿Cómo determinar los puntos de inflexión de la
gráfica de una función?
Sea c un punto tal que f’’(c)=0 o f’’(c) no existe,
entonces
• Si f ´´ (c) cambia de negativa a positiva en c, entonces
la gráfica de f tiene un punto de inflexión en (c, f (c) ).
• Si f ´´(c) cambia de positiva a negativa en c, entonces la
gráfica de f tiene un punto de inflexión en (c, f (c) ).
• Si f ´´(c) es positiva o negativa a ambos lados de c,
entonces la gráfica de f no tiene un punto de inflexión
en (c, f (c) ).
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11. 11
Criterio de la segunda derivada y
extremos relativos
• Sea f una función tal que f ´( c) = 0 y la segunda
derivada de f existe en un intervalo abierto que
contiene a c.
• Si f ´´ ( c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en
(c, f( c)).
• Si f ´´ ( c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en
(c, f( c)).
• Si f ´´ ( c) = 0, entonces el criterio falla. (en tal caso se
puede utilizar el criterio de la primera derivada)
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12. 12
Ejemplo 6
• La gráfica del ejemplo 5 tiene dos puntos
de inflexión: (-3, f(-3) ) y (3, f(3) ).
• Verificar.
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13. 13
Problema 1
La tasa de operación (expresada como un porcentaje) de
las fábricas, minas y servicios en cierta región del país en
el día t del año 2007 está dada por la función.
¿En cuál de los primeros 250 días del 2007 alcanzó un
máximo la tasa de operación?
2500,
40000
1200
80)( 2


 t
t
t
tf

14. 14
Problema 2
• La demanda de los neumáticos Super Titán es de
1000000 por año. El costo de inicio de cada nueva
producción es de $4000y y el costo de producción es
de $20 por neumático. El costo de almacenamiento
de cada neumático durante el año es $2. Si se
supone que la demanda es uniforme durante el año y
que existe una producción instantánea ¿Cuántos
neumáticos deben fabricarse en cada nueva
producción para mantener los costos al mínimo?

15. 15
Actividad grupal
Ver hoja adjunta
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