trabajo y energia

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I

-

FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA

FÍSICA I:
CUADERNO Nº 02
SEGUNDA UNIDAD

A
m1 r
r v1 f
v1
r
v2 f
m2 r
v2
B

CICLO:
II CICLO
E.A.P.:
INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL
DOCENTE:
LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY

NUEVO CHIMBOTE - PERU

DICIEMBRE - 2009

LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 1 FÍSICA I


TRABAJO Y ENERGÍA

En este capítulo se desarrollan otros aspectos de la dinámica de una partícula. La
descripción matemática supone la presencia de una sola partícula reduciendo su
interacción con el resto del universo a una única fuerza. Bajo este criterio se definen los
conceptos de impulso, trabajo, energía y potencia.

2.1 IMPULSO
De la 2da ley de Newton sabemos que:
r
dp r
=F
dt
Si la fuerza varía con el tiempo, ejecutamos la siguiente integración
p r t r
∫
p0
dp = ∫ Fdt
0

r r t r
p − p0 = ∫ Fdt (1)
0

La acción de una fuerza durante un intervalo de tiempo finito se conoce como
impulso (I) y matemáticamente queda definido por la siguiente integral:
r r t r r
p − p0 = ∫ Fdt = I
0

(2)
r t r
I = ∫ Fdt
0

Relacionando (2) y (1) podemos afirmar: que el impulso es causa de la variación de
la cantidad de movimiento lineal de la partícula. El impulso se mide en N.s
En muchos casos la fuerza es una función de la posición, como por ejemplo la
fuerza gravitacional o la fuerza elástica de un resorte en tales casos es mucho más
útil los conceptos de trabajo y energía

2.2 TRABAJO: W (Joules)
r
Consideremos una partícula de masa m que se mueve por la acción de la fuerza F en la

trayectoria curvilínea C que en el tiempo dt efectúa el desplazamiento dr .
r

Y
Decimos entonces que durante el desplazamiento la
r r
1
dr FT fuerza ha producido trabajo infinitesimal dw definido

r 2 como el producto escalar de la fuerza por el
r F
r desplazamiento:
r r
X dw = F.dr (3)



Definimos el trabajo elemental, podemos expresar el trabajo realizado para llevar
la partícula desde el punto (1) al punto (2) como:
2 r r
w = ∫ Fdr (4)
1

en componentes rectangulares tenemos:
r r r r
F = Fx i + Fy j + Fz k
r r r r
dr = d x i + d y j + d z k

que sustituidos en (4) y desarrollando el producto escalar nos da:
2 2 2
w = ∫ Fx dx + ∫ F dy
y + ∫ F dzz (5)
1 1 1
r
Si utilizamos la definición de producto escalar y asumiendo que el módulo de dr
es dS, tenemos de (4):

2
w = ∫ FdS cosθ (6)
1

Según la figura anterior: FT = Fcosθ, por tanto:

w = ∫ FT dS (7)

Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento (θ=90º) el trabajo efectuado por
la fuerza es cero.

2.3 POTENCIA (P): (Watts)
Es la rapidez con que se realiza trabajo
Un trabajo determinado que se efectúa en un tiempo muy largo está asociado a
una potencia muy baja en tanto que el mismo trabajo realizado en un tiempo muy
corto corresponde a una potencia grande. Si el trabajo se realiza a un ritmo
constante la potencia media p se define como:
W
P= (8)
t
Si el trabajo se realiza a un ritmo variable, la potencia instantánea queda definida
por:
dw
P= (9)
dt
r r
F .dr
P=
dt
rr
P = F .v (10)



2.4 TRABAJO EN UN RESORTE
a)
r
F´ r
F
X
r r
Aplicamos F sin aceleración ( a = 0 ) F = KX (Ley de Hooke)

K = constante elasticidad resorte
El resorte a su vez reacciona con una fuerza igual y opuesta:
F´ = KX (Ley de Hooke)

F = Fuerza deformadora
F´ = Fuerza restauradora

b)

r
F
X0=0 X1 X2
r
Al aplicar F´ lentamente ( a = 0 ), efectuando trabajo al llevar el punto X1 a X2 .
r r x2 x2 1 x
w = ∫ Fdr = ∫ Fdx = ∫ Kxdx = Kx2 x12
x1 x1 2
1 2
(
W = K x2 − x12
2
)
LEY DE HOOKE
F(N)
0A: zona Elástica
AB: zona plástica
B B: punto de ruptura
A

0 L (m)

Fig. 1: Diagrama de la fuerza en función de la deformación elástica para un resorte

Cuando un cuerpo sufre una deformación, la fuerza deformadora es
proporcional a la deformación del cuerpo siempre y cuando el estiramiento no
supere el límite elástico.
En el caso particular de la deformación longitudinal de un resorte, la fuerza
deformadora es proporcional a la elongación, Al resorte; en tal caso se dice
que la deformación es elástica:
F = KL (1)



Donde K es la constante de proporcionalidad llamada constante de fuerza o
constante elástica que depende de la naturaleza del material y de la forma del
resorte, y L es el desplazamiento medido desde la posición de equilibrio,
llamado también elongación.

F(N)

K= pendiente

∆L(m)

Fïg. 2. Comportamiento del Resorte

La ecuación (1) se conoce como Ley de Hooke. Como la ecuación (1)
representa la relación lineal entre la fuente F y el desplazamiento. La constante
K resulta ser la pendiente de la recta representativa de F vs ∆L (Fig. 2).

2.5 TRABAJO DE LA FUERZA PESO O FUERZA DE GRAVEDAD
Debido a la acción de la fuerza de la gravedad los cuerpos tienden a ocupar los
niveles más bajos sobre la superficie terrestre, ubicándose en una determinada
posición de equilibrio.
Para sacar a un cuerpo de su posición de equilibrio y levantarlo a niveles más altos
se necesita aplicar una fuerza exterior.

r r
F dr r r
F = mg j
r r r
r r
F´ = − mg j F + F´= 0 Pero se mueve a velocidad
F´
Y2 constante

Y1

r r r r r r
W = ∫ F .dr dr = d x i + d y j + d z k
r
W = ∫ Fy .dy
y2
W = ∫ mg.dy
y1

W = mg ( y 2 − y1 )



2.6 ENERGÍA CINÉTICA: Ek (Joules)

Consideremos una partícula de masa m que se FT S2
r
mueve por acción de la fuerza resultante ( F ) m F
FN
según una trayectoria C cualquiera. En la
S1
siguiente figura se muestra esta fuerza con sus
respectivos componentes.

De acuerdo con la 2da ley de Newton tenemos:
dv
F = maT = m , multiplicando a ambos lados por: dS
dt
dS
FT dS = mv = mvdv
dt
Integrando entre S1 y S2 para hallar el trabajo total en ese tramo tenemos:
s2 v2 1 2 1
W= ∫s1
FT dS = ∫ mvdv = mv2 − mv12
v1 2 2
1 2 1 2
W= mv 2 − mv1
2 2
1 2
En general, la expresión mv se llama energía cinética de la partícula y se
2
define por Ek:

1 2
Ek = mv
2

Multiplicando y dividiendo el segundo miembro de esta ecuación por m se tiene
una relación en función de la cantidad de movimiento:

mv 2 p2 p2
Ek = = Ek =
2m 2m 2m

“El trabajo efectuado por una fuerza resultante sobre una partícula, es igual al
cambio producido en la energía cinética de la partícula”

W = E k 2 − E k1 ⇒ W = ∆E k



2.7 ENERGÍA POTENCIAL (Ep: Joules)

La energía potencial de un cuerpo o de un
sistema es el resultado del trabajo de una r r
F dr
fuerza deformadora en equilibrio con las
r Y2
fuerzas internas del sistema y la designamos F´
como Ep y constituye la energía transferida al
sistema por acción de una fuerza exterior. La Y1

energía potencial de un cuerpo con relación a la
fuerza de gravedad es:

r r r r r r
W = ∫ F .dr dr = d x i + d y j + d z k
r
W = ∫ Fy .dy
y2
E p = ∫ mg.dy
y1

E p ( y ) = mg ( y 2 − y1 )
Así la energía potencial gravitacional puede medirse a partir del nivel del mar o a
partir del 5to piso de un determinado edificio. Los cálculos del trabajo nos
muestran que dicho trabajo no es sino la diferencia de los valores de la función
potencial entre las posiciones inicial y final de la partícula dentro de un campo de
fuerzas:
E p ( y ) = mgy 2 − mgy1
Si h = y2 – y1

E p ( y ) = mgh

∆ E p = E p ( y 2 ) − E p ( y1 )

∆E p = W

Donde W es el trabajo realizado por la fuerza exterior pero si el trabajo a sido
realizado por las fuerzas internas o de recuperación tenemos:

− ∆E p = W ⇒ (
W =− Ep2 − Ep1 )

Tanto la energía cinética como la potencial se han definido como efectos de la
realización del trabajo de una fuerza. Sin embargo sus características son



diferentes, mientras la energía cinética está relacionada con el movimiento del
cuerpo y por lo mismo es una energía en el sentido dinámico. La energía
potencial está relacionada con la posición y se encuentra latente o
potencialmente almacenada en un estado de reposo, pero que puede hacerse
manifiesta o activa, cuando el trabajo es realizado por la fuerza interior.

2.8 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS
Son las fuerzas que se encuentran en la naturaleza pueden dividirse en dos
categorías: conservativas y no conservativas

2.8.1. Fuerzas Conservativas
Una fuerza es conservativa si el trabajo que hace sobre una partícula que se
mueve entre dos puntos cualesquiera es independiente de la trayectoria
seguida por la partícula. Además, el trabajo hecho por una fuerza conservativa
ejercida sobre una partícula que se mueve por una trayectoria cerrada es cero.
Entonces, si la fuerza es conservativa. La fuerza de la gravedad es
conservativa. El trabajo realizado por la fuerza gravitacional sobre un objeto
que se mueve entre dos puntos cualesquiera cerca de la superficie de la tierra
es:

∫ F.dr = −(E )
r r
p2 − E p1
r r
∫ F .dr = −∆E p

Y recíprocamente, si el trabajo, realizado por una fuerza es igual a la diferencia
de los valores de una función potencial en las posiciones inicial y final, la
fuerza es conservativa.

F(conservativa) ⇔ W = − ∆E p

E p ( y ) = mgy 2 − mgy1
A partir de esto vemos que Ep sólo depende de las coordenadas inicial y final
del objeto y, en consecuencia es independiente de la trayectoria. Además, Ep
es cero cuando el objeto se mueve por cualquier trayectoria cerrada (donde y1
= y2 ).
Es evidente que el concepto de energía potencial puede emplearse solo
cuando se trata de las fuerzas conservativas, tales como la fuerza elástica del
resorte, la fuerza gravitatoria o fuerza electrostática.



2.8.2. Fuerzas No Conservativas
Una fuerza es no conservativa si produce un cambio en la energía mecánica.
Por ejemplo, si alguien mueve un objeto sobre una superficie horizontal y lo
regresa a la misma posición y al mismo estado de movimiento, pero encuentra
que fue necesario realizar una cantidad de trabajo neta sobre el objeto,
entonces algo debe haber disipado esa energía transferida al objeto. Esa
fuerza disipativa se conoce como fricción entre la superficie y el objeto. La
fricción es una fuerza disipativa o “no conservativa”. Por contraste, si el
objeto se levanta, se requiere trabajo, pero la energía se recupera cuando el
objeto desciende.
2.8.3. Conservación de la Masa y Energía
Otro principio importante la conservación de la masa, nos dice que en
cualquier tipo de proceso, físico o químico, la masa no pude crearse ni
destruirse. Es decir la masa antes del proceso es igual a la masa después del
proceso.
En 1905 Einstein hizo el increíble descubrimiento de que la masa, o inercia, de
cualquier sistema es una medida de la energía total de este. Por consiguiente,
la energía y la masa son conceptos relacionados. La relación entre los dos
está dada por la más famosa formula de Einstein
2
E = mC
donde: C es la velocidad de la luz y E es la energía equivalente de una masa
m, la masa aumenta con la velocidad; sin embargo, esta dependencia es
insignificante para v<< c. En consecuencia, las masas que utilizamos para
describir situaciones en nuestras experiencias cotidianas siempre se
consideran como masa en reposo.
La energía asociada con incluso una pequeña cantidad de materia es enorme.
Por ejemplo, la energía de 1kg de cualquier sustancia es:
11 2 22
E = mc=(1kg) (3x10 m/s ) = 9x10 J.
! Esto es equivalente al contenido de energía de aproximadamente 15 millones
de barriles de petróleo crudo (aprox. el consumo de un día en Estados
Unidos)!.
En realidad, solo una pequeña fracción de la energía contenida en una
muestra de material puede liberarse a través de procesos químicos o
nucleares. Los efectos son más grandes en las reacciones nucleares donde se
observan de manera cotidiana cambios fraccionarios en la energía. La
imponente naturaleza de la energía que se libera en dichas reacciones se
demuestra claramente en la explosión de una arma nuclear.



2.9 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA: FUERZAS CONSERVATIVAS
Uno de los principios más generales de la física es el principio de la conservación
de la energía, el cual define que la energía total (energía cinética + energía
potencial gravitacional) de un sistema es constante.
Cuando una fuerza conservativa actúa sobre una partícula, el trabajo que realiza

esta fuerza reduce la energía potencial: W = − ∆E p

[
W = − Ep2 −Ep1 ]
Por otra parte, si esta fuerza conservativa es la fuerza resultante el teorema del
trabajo y energía establece que el trabajo respectivo representa un incremento de
la energía cinética:

W = Ek 2 − Ek1
Igualando las dos expresiones del trabajo y transponiendo términos tenemos:
Ek2 + E p2 = Ek1 + E p1
o bien
(E k + E p )2 = (Ek + E p )1
Como los estados (1) y (2) son arbitrarios, para cualquier posición de la partícula se
tiene:

E = Ek + E p constante

Donde E es la energía mecánica de la partícula en un campo de fuerzas
conservativas.
Este resultado es el principio de la conservación de la energía para un sistema
sobre el que actúa únicamente fuerzas conservativas y su enunciado es el
siguiente:

“Cuando una partícula se mueve por la acción de fuerzas conservativas, la
suma de sus energía cinéticas y potencial permanecen constante”

Es decir la energía mecánica no varía con el tiempo.
∆E = 0



2.10 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA: FUERZAS NO CONSERVATIVAS
Esto todo proceso en el cual intervienen las fuerzas no conservativas o disipativas,
toda la energía mecánica o parte de ella se disipa en el medio ambiente en forma
de calor, este es un proceso en el cual las fuerzas de fricción realizan trabajo de
transformación o conversión de energía mecánica en calor. El calor producido es
exactamente igual al trabajo de las fuerzas de fricción.
Por tanto la energía se conserva dentro de un contexto más amplio en la que
resultan incluidas la energía mecánica y energía térmica o calorífica.
Desde que la fuerza de fricción se opone al movimiento, el trabajo realizado por
esta fuerza es siempre negativo, esto es, el trabajo de la fuerza de fricción es
equivalente a la pérdida de energía mecánica que experimenta el sistema:

Sistema ∆
-∆E=Wf

Ambiente

Si el sistema pasa de un estado inicial (1) en el cual su energía mecánica es

E1 = Ek1 + E p1 a otro estado final (2) con una energía mecánica E2 = Ek + E p
2 2
,

la pérdida de energía mecánica es:
− ∆E = E2 − E1
− ∆E = W f
Donde Wf es el trabajo de las fuerzas de fricción; así tenemos

− (E 2 − E1 ) = W f
O también

(E k + E p )2 − (Ek + E p )1 = − W f



Ejemplos:
r
1. Una fuerza F actúa sobre una partícula P, que se mueve en el plano XY.
r r
Determinar si F es una fuerza conservativa y calcular el trabajo de F cuando
la trayectoria de P es un cuadrado de la lado “a” y el movimiento es en un
r r
sentido antihorario, cuando F = ky i
Solución:

Y
r r r r r
Y2 C
W = ∫ F .dr = ∫ (ky i )(dx i + dyj )
D
B C D A 
Y1
A B
W = ∫ kydx =  ∫ + ∫ + ∫ + ∫

kydx

X A B C D 

X1 X2
Entre A y B es:
Y = Y1 = cte; X1 ≤ X ≤ X2
B

∫ kydx = ky (x 1 2 − x1 ) = kay1 ; (x2 − x1 ) = a
A

Entre B y C, es “X” se mantiene cte ⇒ dx = 0
en cambio “Y” varía entre los límites Y1 ≤ Y ≤ Y2 . De modo:
C

∫ kydx = 0
B

Entre C y D, Y = Y2 = cte; X1 ≤ X ≤ X2
D

∫ kydx = ky (x
C
2 1 − x2 ) = − kay 2

Entre D y A, X = X1 = cte; ⇒ dx = 0
A

∫ kydx = 0
D

Sumando:

W = ∫ kydx = ∑ ∫ kydx = kay1 + 0 −kay 2 + 0 = − ka ( y 2 − y1 )

W = − ka( y 2 − y1 )
W = − ka 2 : Fuerza no conservativa



2. Un bloque se encuentra inicialmente en la posición mostrada, cuando el
resorte se encuentra comprimido ∆L2=0.2m. Se suelta el resorte y el bloque
va a chocar contra el resorte B y este se comprime y otra vez el bloque se
mueve pero en sentido contrario, se desea saber cuanto recorre el bloque
desde que empezó su movimiento hasta que se detiene. (KA = KB = 300N/m ,
µ = 0.2, m1 = 1kg, g = 10m/s2)

Zona rugosa

2.2m 2.0m 1m

Solución:
Energía del bloque al abandonar el resorte A:

K A (∆L A ) = (300 )(0.2 ) = 6 J
1 1
EA =
2 2

2 2
Energía disipada al pasar el bloque A sobre la superficie rugosa
W f = F .d Fr = µN = µmg

W f = µmg.d = (0.2)(1)(10)(2) = 4 J

Se observa que por cada pasada disipa 4J de energía; por tanto la energía
que se convierte en energía potencial del resorte B es:

K B (∆L B ) = 6 J − 4 J = 2 J
1 2

2
De donde

2E pB 4
∆L B = = ∆LB = 0.115m
KB 300

Con la energía de 2J, el bloque sólo puede recorrer la mitad de la distancia
con superficie rugosa. La distancia total recorrida es:
Ida : 2.2m + 2m + 1m + 0.115m = 5.315m
Vuelta: 0.115m + 1m + 1m = 2.115m
Total : 7.430m



2.11. CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL
2.11.1. Cantidad de Momento Lineal y Segunda Ley de Newton
r
La cantidad de movimiento lineal ( p ) conocido por Newton como
“movimiento”, se define por el producto:
r r
p = mv (1)

Esta cantidad vectorial, relaciona dos conceptos muy importantes:
La masa concepto dinámico y la velocidad concepto cinemática y por tanto
r
el vector p describe la propiedad inercial de un cuerpo en movimiento.
r
Si p es la cantidad de movimiento de una partícula de masa m, la segunda ley
de Newton expresa que:
r dpr
F= (2)
dt
r
En la que F es la fuerza resultante o fuerza exterior a la partícula que
actuando sobre ella, modifica su velocidad.
La ecuación (2) constituye una definición general de fuerza, válida aún cuando
la masa de la partícula sea variable con el tiempo. Sí la masa es constante,
encontramos que:
r d r r
F = (mv ) = m = ma
dv r
dt dt
r r
F = ma (3)

Si no existe fuerza resultante, la ecuación (2) indica que:
r
dp
=0 (4)
dt
r
Resultado que expresa que p se mantiene constante en el transcurso del
r
tiempo o p no depende del tiempo, y por tanto la cantidad de movimiento de la
partícula se conserva, esto es:
r
p = constante
Si además la masa de la partícula es constante; la velocidad no cambia, como
lo afirma la ley de la inercia.



2.11.2. Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal
Todos los cuerpos del universo se encuentran en interacción mutua unos con
otros, ésta interacción puede ser de tipo gravitatorio, electromagnética o alguno
relacionado con las fuerzas del núcleo atómico.
En consecuencia no existe cuerpo alguno que esté libre de la interacción con
otros cuerpos es decir libre de fuerzas exteriores. Por tanto, consideremos una
situación ideal en la cual solo existen 2 cuerpos en el universo formando un
sistema aislado, sujetos únicamente a su interacción mutua. Como resultado de
ésta interacción sus velocidades individuales varían con el tiempo y sus
trayectorias serán curvilíneas.

A

m1 r
r v1 f
v1
r
v2 f
m2 r
v2
B

En la figura se muestra una interacción por colisión; al lado izquierdo de AB los
cuerpos se mueven antes del choque y al lado derecho después del choque.
De acuerdo con la figura si las masas son independientes de su estado de
movimiento, las cantidades de movimiento resultante en los instantes t0 y t,
antes y después del choque respectivamente son:
r r r
p 0 = m1v1 + m 2 v 2 (1)

r r r
p F = m1v1 f + m 2 v 2 f (2)

r r r r
Donde v1 y v 2 son las velocidades antes del choque y v1 f y v 2 f las
velocidades después del choque.
Desde que no existen fuerzas exteriores al sistema podemos escribir
r r r
r ∆p p − p0
Fext = = =0
∆t t − t0
O lo que es lo mismo:
r r r
∆p = p − p 0 = 0
r
∆p = 0 (3)
r r r r
m1v1 + m2 v 2 = m1v1 f + m 2 v 2 f (4)



Este resultado se generaliza afirmando que:
“La cantidad de movimiento lineal de un sistema aislado o libre de fuerzas
exteriores se mantiene constante”

r
∆p = 0

Veamos ahora la relación entre las fuerzas internas. Consideremos la
variación temporal de:
r r r
p 0 = m1v1 + m 2 v 2
r
r dp 0 r r
dv1 dv 2
F= = m1 + m2 =0
dt dt dt
r r r r
Si en esta relación reemplazamos dv1 / dt = a1 y dv2 / dt = a 2 , tenemos:
r r
m1 a1 = − m2 a 2 (5)
r r
Si definimos por F12 = m1 a1 como la fuerza que obra sobre m1 debido a su
r r
interacción con la masa m2 y por F21 = m2 a 2 la fuerza que actúa sobre m2
debido a su interacción con m1, encontramos que:
r r
F21 = − F12 (6)

Es decir las fuerzas constituyen acción y reacción o fuerzas interiores de
interacción mutua.
Estos resultados muestran que los principios de la mecánica pueden
formularse también a partir de la ley de Conservación de la cantidad de
movimiento lineal.

2.11.3. Colisiones en una Dimensión
Cuando la energía cinética se conserva o permanece constante (antes y
después) se tiene un choque Elástico, en caso contrario inelástico
1) Choque Elástico: Un choque es elástico cuando la energía cinética se conserva

m1 m2 m1 m2

r r r r
v2 f
v1 v2 v1 f
Antes del choque Después del choque

Por el principio de conservación de la energía:

Eki = Ek f



1 r2 1 r2 1 r 1 r
m1v1 + m2 v 2 = m1v12f + m2 v22f (1)
2 2 2 2
Por el principio de conservación de la cantidad de movimiento:
r r
pi = p f
r r r r
m1 v1 + m 2 v 2 = m1 v1 f + m 2 v 2 f (2)

Donde v1 f = ? y v2 f = ? son incógnitas
Desarrollando (1) y (2)
(m1 − m2 ) 2m 2
v1 f = v + v
(m1 + m2 ) 1i (m1 + m2 ) 2i
(α)

v2 f =
2m1 (m − m1 ) v
v1i + 2 (β)
(m1 + m2 ) (m1 + m2 ) 2i

a) Si m1 = m2 → v1f = v2i ∧ v2f = v1i no existe intercambio de velocidad.
b) Si m2 >> m1 → v1f ≈ -v1i ∧ v2f ≈ v2i
c) Si m2 << m1 → v1f ≈ v1i ∧ v2f ≈ v2i

2) Choque Inelástico: Cuando Ek inicial es mayor que la Ek final la diferencia se
convierte en calor o en energía potencial de deformación (energía potencial
de choque). No se conserva el principio de la conservación de la Ek.
Pero si se cumple el Principio de conservación de la cantidad de movimiento:

m1 m2 m1 m2

r r r r
v1i v2i v1 f v2 f


r r r r
m1v1i + m 2 v 2i = m1 v1 f + m 2 v 2 f



3) Choque Completamente Inelástico: El choque de dos cuerpos se llama
absolutamente inelástico si después de él ambos cuerpos se mueven
como si fueran uno sólo
La energía Ek no se conserva y las partículas quedan unidas después del choque:

m1 m2 m2
r r m1 r
v1i v 2i vf

m1 v1i + m 2 v 2 i = (m1 + m 2 )v f
r r r

r r
r m1 v1i + m 2 v 2i
vf =
m1 + m 2

Coeficiente de Restitución (e)
Cuando el choque es inelástico, es necesario otra condición para hallar las
velocidades de las partículas después del choque, por ello se define el
coeficiente de restitución “e” que es un número adimensional

m1 m2 m1 m2

r r r r
v1i v2 i v1 f v2 f


v2 f − v1 f
e=− e: es la elasticidad de las partículas
v2i − v1i
0≤ e≤1

v2 f − v1 f
- Choque Elástico: e= 1 −
v2i − v1i
v2 f − v1 f
Choque Inelástico: 0< e<1 ⇒ e=−
v2i − v1i
-

- Choque Completamente Inelástico e = 0, v2f = v1i = vf.



Ejemplos:
1) Una pelota incide sobre un plano horizontal bajo un ángulo de 45º sobre el piso
con una velocidad V0 y rebota con un ángulo de 30º. Hallar el coeficiente de
restitución “e”.
Solución:

m m
V0 V0

45º α
30º θ

c.c.m
m1v1i = m1 v1f
m1 v1i cos45 = m1 v1f cos30º
v1 f cos 45º
= = 0. 8
v1i cos 30º

v 2 f − v1 f 0 − v1 f sen45º v1 f  sen 45º
e= − = − =  
v 2i − v1i 0 −( −v1i sen30º )  v1i

 sen30 º

e = (0.8)(0.7 ) ⇒ e = 0.6

2) Un bloque de masa M recibe el impacto de 3 balas cuyas masas son m1 = m2 = m y m3
= 12m que quedan incrustadas en el bloque. Las velocidades de las masas m1 y m2
son iguales a V e inciden sobre el bloque formando un ángulo θ entre ellas. Si al final
del impacto de las tres balas, el bloque no se mueve, calcular la velocidad de la tercera
bala.

r r
v1 v2

θ
β α

P2 θ/2 θ/2 P1

Solución:
r r r
c.c.m. m1v1 + m2 v2 + m3v3 = 0

r r r
0 (v1 + v2 )m + 12mv3 = 0



r r r
(v1 + v2 ) + 12v3 = 0 (1)

r r r
Pero: v1 = v cosα i − vsenα j
r r r
v2 = − v cos β i − vsenβ j
r r r
v3 = − v3 x i + v3 y j

Reemplazando en (1)
r r
(v cos α − v cos β + 12v3 x )i + (vsenα − vsenβ + 12v3 y ) j = 0

v cos α − v cos β + 12v3 x = 0

− vsenα − vsenβ + 12v3 y = 0

De la gráfica: α = β y cosα = sen(θ/2)

v3 x = 0 v3 y = (v / 6) senα ; sen α = cos(θ / 2)

− 2senα + 12v3 y = 0 v3 y = (v / 6) sen(θ / 2)



2.12. ESTÁTICA DE FLUIDOS
La estática o mecánica de fluidos, estudia los fluidos en reposo en situaciones de
equilibrio, basados en las condiciones de equilibrio de Newton (1ra y 3ra). Los fluidos
controlan el clima.
Fluido: es cualquier sustancia que pueda fluir, pueden ser líquidos o gases.
La estática de fluidos consta de las siguientes partes:
Hidrostática: Estudia a los líquidos en reposo relativo.
Neumostática: Estudia a los gases en reposo relativo
Los fluidos son substancias, idealizadamente un continuo de masa, donde su
forma puede cambiar fácilmente por escurrimiento debido a la acción de fuerzas
pequeñas. Son fluidos tanto los líquidos como los gases. Si se analizan las
fuerzas que pueden actuar sobre una porción de fluido, ellas son de dos tipos:
causada por agentes exteriores, típicamente el peso de él, y las causadas por el
fluido que está en su exterior mediante contacto. Es conveniente distinguir la
parte de esa última fuerza que actúa normal a la superficie, llamadas fuerzas
debidas a la presión, de las fuerzas tangenciales o de viscosidad. Estas fuerzas
tangenciales actuando sobre la superficie del elemento de fluido, no pueden ser
equilibradas por fuerzas interiores, de modo que ellas causan escurrimiento del
fluido. Si nos limitamos a fluidos en reposo, las fuerzas tangenciales no pueden
existir.
2.12.1. Densidad (ρ : kg/m3)
Es la característica principal de cualquier material y está definido como: su masa por
m.
unidad de volumen: ρ=
V
La densidad depende de los factores ambientales: la temperatura y la presión.

SUSTANCIA DENSIDA SUSTANCIA
SUSTANCIA DENSIDAD DENSIDAD
LÍQUIDA D GASEOSA
SÓLIDA (kg/m3) (kg/m3)
(kg/m3)
Aluminio 2.7 x 103 Alcohol etílico 0.79 x 103 Aire 1.29 x 103
Latón 8.7 x 103 Alcohol metílico 0.82 x 103 Helio 0.18 x 103
Cobre 8.9 x 103 Sangre 1.05 x 103 Oxígeno 1.43 x 103
Vidrio 2.6 x 103 Plasma sanguíneo 1.03 x 103 Vapor de 0.63 x 103
Oro 19.3 x 103 Gasolina 0.68 x 103 agua (100 ºC)
Hielo 0.92 x 103 Mercurio 13.6 x 103
Hierro 7.9 x 103 Agua de mar (4 ºC) 1.03 x 103
Plomo 11.4 x 103 Agua dulce (4 ºC) 1.00 x 103
Acero 7.8 x 103
Madera roble 0.81 x 103



ρ
2.12.2. Densidad relativa (ρr): Es un número adimensional, y es igual a la densidad de
cualquier sustancia entre la densidad del agua a 4ºC.
ρs
ρr =
ρH 0
2

2.12.3. Peso específico
El peso específico denotado por γ se define como el peso por unidad de
volumen del fluido, es decir:
γ = ρ g ; donde la unidad S.I. será Nm−3

2.12.4. Presión (N/m2 = Pascal = Pa)
Si una superficie se coloca en contacto con un fluido en equilibrio (en reposo)
el fluido, gas o líquido, ejerce fuerzas normales sobre la superficie.
Las fuerzas tangenciales que un fluido puede ejercer sobre una superficie se
originan cuando hay movimiento del fluido respecto a la superficie. Si sobre
una superficie actúan fuerzas normales distribuidas en forma continua, como
se indica en la figura, se define la presión actuando sobre algún punto de ella
como la fuerza por unidad de área que actúa sobre la superficie. Esta puede
ser variable o constante de punto en punto de la superficie. Por esa razón su
definición involucra un elemento infinitésimo de área dA.

Fuerza de Presión
O sea la presión en el punto donde se ubica el elemento de área (infinitésimo) dA se define por

dF
P=
dA
Como se verá más adelante, la presión en un fluido en equilibrio aumenta
con la profundidad, de modo que las presiones serán uniformes sólo en
superficies planas horizontales en el fluido. Si la fuerza total F está distribuida
en forma uniforme sobre el total de un área horizontal A como se indica en la
figura, la presión en cualquier punto de esa área será:



F
P=
A
F

A
Fuerza distribuida uniformemente

Unidades: P0 = presión atmosférica = 1 atm. = 1.013 x 105 Pa
Bar = 1,0 × 105 Pa
1 mmHg = 133. 322Pa

Propiedades de la presión
La presión en un punto de un fluido en reposo es igual en todas direcciones,
esto es que la fuerza que experimenta un elemento de área dentro de un
fluido, no depende de la orientación de ese elemento de área. Además la
presión en un mismo plano horizontal en el interior de un fluido en reposo, es
la misma. Estas propiedades fueron enunciadas como “principios” por Pascal,
pero ahora pueden ser demostradas de modo muy simple usando las leyes
de la estática
F
F

F F

F

F

2.12.5. Presión atmosférica
La atmósfera está constituida por aire, una mezcla en ciertas proporciones de
Nitrógeno y Oxígeno principalmente, que como toda substancia es atraída
por el campo gravitacional terrestre, es decir la atmósfera tiene peso. La
atmósfera es un fluido de varios kilómetros de altura, que producto de su
peso, ejerce presión sobre todos los objetos sumergidos en ella. Esta presión
se denomina presión atmosférica y como veremos, ella disminuye con la
altura.
El famoso experimento de Torricelli, determinó por primera vez su valor.
Considere un tubo de vidrio de alrededor de 1m de longitud, cerrado en un



extremo, lleno de mercurio, un fluido el cual tiene una densidad de alrededor
13,6 g/cm−3. Tapando el extremo abierto del tubo se invierte el tubo y se
sumerge el extremo abierto en un recipiente que también contiene mercurio.
Si este experimento es realizado al nivel del mar, se logra una situación de
equilibrio como se indica en la figura, donde una altura de h = 76 cm de
mercurio (760mm) permanece equilibrada con vacío en su parte superior.

Barómetro de cubeta
Un pequeño análisis de las fuerzas involucradas en el equilibrio de la
columna suspendida de mercurio, nos da el valor de la presión atmosférica
Pa. Si A denota el área basal de esa columna, la fuerza que actúa por abajo
es PaA la cual equilibra el peso de la columna de mercurio el cual es ρHg ghA
de modo que Pa = ρHg gh = 760mmHg, puesto que la altura suspendida es
precisamente 760mmHg. Este experimento da origen al aparato llamado
barómetro de mercurio y también a la unidad de presión llamada mmHg. Si la
presión atmosférica varía por cualquier razón, también lo hará la altura de la
columna de mercurio, constituyendo entonces este dispositivo, un aparato
para medir la presión atmosférica, directamente en mmHg.

2.12.6. Presión de un Fluido
F
P=
A

∑F y =0
PA − (P + dp ) A − mg = 0 ; m = ρV = ρ Ah
PA − (P + dp )A − ρ ghA = 0 ; h = dy
(P + dp)A PA − PA − Adp − ρ gAdy = 0
− dp − ρ gdy = 0
dy
dp
= ρg o dp = − ρ gdy
w PA dy



Vemos que la presión aumenta con la profundidad y disminuye con la altura.

h = y 2 − y1 ; P1 = P ; P2 = P0
De: dp = − ρ gdy
p2 y2

P2 = P0 ∫ dp = − ∫ ρ gdy
p1 y1

h P0 − P = − ρ g ( y 2 − y1 )
P1 Y2
P = P0 + ρ g ( y 2 − y1 )
Y1
P = P0 + ρ gh
5
P0 = 1 atm. = 1.013 x 10 Pa

Los aparatos para medir la presión atmosférica se llaman barómetros, y
los que miden presión en general, se llaman manómetros.

2.12.7. Manómetros
Son aparatos que sirven para medir la presión de los gases y de los líquidos. El tipo
más sencillo es el manómetro de tubo abierto, que es un tubo en forma de U.

Manómetro de mercurio
2.12.8. Barómetros
Son aparatos destinados a medir la presión atmosférica. El tipo más usual es el
de mercurio. Consiste esencialmente de un tubo cerrado en uno de sus
extremos que después de llenarse de Hg por el otro se invierte en una cubeta
que contiene Hg.

Barómetro en U



2.12.9. Principio de Pascal
Cuando se aplica una presión en un punto de un líquido, ésta se transmite a
todo el líquido con rapidez y prácticamente sin disminuir su intensidad en
todas las direcciones.

La prensa hidráulica se fundamenta en este principio: Tenemos dos
recipientes comunicados llenos de líquido, y tapados por sendos émbolos. En
equilibrio, la presión en el fondo de ambos recipientes debe ser la misma. Al

ejercer una fuerza sobre el primer émbolo, la presión añadida P1 = F1 , se
A1

transmite, según el principio de Pascal, al resto del líquido, incluida la
superficie del émbolo 2:

P1 = P2 → F1 F2
= → F2 =
A2
F1
A1 A2 A1

Como lo superficie del émbolo 2 es mayor que la del 1, conseguimos ejercer
una fuerza sobre 2 mayor que la que hemos hecho sobre 1. Así, ejerciendo
poca fuerza, podemos multiplicarla con este dispositivo.

Prensa Hidráulica



2.12.10. Vasos Comunicantes
Se denomina así, a los conocidos tubos en “U”, cuando dos recipientes que
contienen líquido, se comunican por su parte inferior.
Cuando los dos recipientes comunicados, tienen una sola clase de líquido, en
ambas ramas se alcanza la misma altura, independientemente de la forma de
cada recipiente, dado que la presión hidrostática en cualquier punto del fondo
debe dar el mismo resultado, cualquiera sea la rama por la que se calcule.
La paradoja hidrostática de la figura ilustra ésta situación:
P0 P0 P0 P0 P0 P0

H1
H2

De acuerdo al Principio de vasos comunicantes se tiene que: todos los
puntos de color rojo tienen la misma presión porque se encuentran a la
misma altura H1. Los puntos de color azul tienen la misma presión porque se
encuentran a la misma altura H2.
La figura siguiente muestra un tubo con forma de “U”, conteniendo dos
líquidos de distinta densidad.

La diferente altura que los mismos alcanzan en cada rama del tubo por
encima del nivel de la interfase, está en relación inversamente proporcional a
sus pesos específicos.
Estas alturas, las podemos relacionar entre sí, igualando la presión
hidrostática en la interfase:

ρ r hr = ρ a ha
O bien como relación de alturas:



ha ρ r
=
hr ρ a

2.12.11. Principio de Arquímedes

Cuando un cuerpo sólido está en equilibrio en el interior de un fluido, él estará
sometido a fuerzas exteriores de dos tipos: su peso u otras fuerzas aplicadas, y
además las fuerzas distribuidas sobre su superficie causada por la presión dentro del
fluido. Esas últimas actúan normalmente a la superficie del cuerpo y su resultante
vertical puede ser fácilmente calculada. En efecto, si se considera la segunda de las
figuras donde el cuerpo no está presente, pero se ha marcado la región donde el
cuerpo estaba, las fuerzas sobre esa superficie imaginaria son naturalmente las
mismas que actuaban sobre el cuerpo. Pero ahora, ellas equilibran verticalmente al
fluido encerrado por esa superficie, de modo que la resultante vertical hacia arriba,
debe igualar al peso del fluido encerrado por dicha superficie. Se tiene entonces el
llamado principio de Arquímedes.

Cuando un cuerpo se sumerge en un fluido, él experimenta una fuerza
ascendente, llamada fuerza de empuje, que es igual al peso del fluido
desplazado por el cuerpo.

En términos matemáticos, si V denota el volumen sumergido, ρL la densidad del
líquido y E la magnitud del empuje, entonces:
E = ρ LV g

CALCULO DEL EMPUJE:
Hay dos maneras de expresar el empuje (E), según los datos que se suministren:
a) En función del peso del cuerpo en el aire (W C) y de lo que aparenta pesar al

sumergirlo (W A); y b) En función del peso específico del líquido ρL y del volumen del
cuerpo (VC).

a) E = Wc − W A
b) E = ρ LVC
Se presentan tres situaciones, según los valores relativos de peso y empuje referidas
a un cuerpo que se sumerge en un líquido:
1) E < WC El cuerpo se hunde.



2) E = WC El cuerpo permanece en equilibrio en el seno del líquido.
3) E > WC El cuerpo emerge parcialmente hasta que se equilibra: E = WC
En el caso en que el cuerpo sea macizo, podemos establecer para cada una de las
situaciones antes enunciadas, las siguientes relaciones:
1) ρL < ρ c (Peso específico del líquido menor que el del cuerpo).
2) ρL = ρc (Peso específico del líquido igual que el del cuerpo).

3) ρL > ρc (Peso específico del líquido mayor que el del cuerpo).

2.12.12. Tensión Superficial (N/m)
Las moléculas de un líquido ejercen pequeñas fuerzas de atracción, unas sobre
las otras. Aún cuando las moléculas son eléctricamente neutras. Dentro de un
líquido, en el que cada molécula está complemente rodeada de otras
moléculas, la fuerza neta es cero.
A pesar de ello, para las moléculas de las superficies del líquido, no existen
fuerzas de atracción que actúen de arriba de la superficie hacia el interior del
líquido (el efecto de las moléculas de aire es pequeño y se considera
despreciable). Como consecuencia las moléculas de la capa superficial
experimentan fuerzas netas debidas a las moléculas vecinas, que están justo
debajo de la superficie. Este impulso hacia abajo sobre las moléculas de la
superficie causa que el líquido se contraiga y resista ser estirado o roto,
propiedad que se llama tensión superficial.

F F
Gota de
agua

mg
(b) (c)
(a)

(d)

(a) La fuerza neta sobre una molécula en el interior de un líquido es cero, debido a que está rodeada por otras
moléculas. No obstante, una molécula en la superficie experimenta una fuerza neta que no vale cero, y que
se debe a las fuerzas de atracción de las moléculas vecinas que están justo debajo de la superficie.
(b) Para formar una depresión superficial, se debe realizar un trabajo, ya que las moléculas que están más
hacia el interior deben traerse a la superficie para incrementar el área. Como resultado, el área superficial
actúa como una membrana elástica estirada, y la fuerza del peso de un objeto, como una aguja, es
soportada por los componentes de la tensión superficial hacia arriba.
(c) Las patas del insecto hacen una depresión similar, y los componentes de la fuerza resultante hacia arriba
permiten que el insecto camine sobre el agua.
(d) Debido a la tensión superficial, las gotitas de agua tienden a asumir la forma que haga mínima su área
superficial; es decir, una esfera.



Si una aguja para coser se coloca cuidadosamente sobre la superficie de un
cuenco de agua, la superficie actúa como una membrana elástica bajo
tensión. Hay una ligera depresión en la superficie, y las fuerzas moleculares
a lo largo de la depresión forman un ángulo con la superficie (figura b). Los
componentes verticales de estas fuerzas equilibran el peso (mg) de la aguja y
ésta "flota" sobre la superficie. Similarmente la tensión superficial soporta el
peso de un andador en agua (figura c).
El efecto neto de la tensión superficial es hacer que el área de la superficie
de un líquido sea tan pequeña como sea posible. Esto es, un volumen dado
de líquido tiende a adoptar la forma que tiene el área superficial menor.
Como resultado, las gotas de agua y las burbujas de jabón tienen formas
esféricas, porque la esfera es la forma con el área superficial menor para un
volumen dado (figura d). Al formarse una gota o una burbuja, la tensión
superficial tira de las moléculas a reunirías para minimizar el área superficial.
Cuantitativamente, la tensión superficial (γ) en una película líquida se define
como la fuerza por unidad de longitud que actúa a lo largo de una línea (por
ejemplo, a lo largo de un alambre) cuando se estira la superficie:
F
γ= (Tensión superficial)
L
En el cuadro se dan las tensiones superficiales de algunos líquidos. Como se
puede esperar, la tensión superficial es dependiente en grado elevado de la
temperatura.

En la figura se muestra un aparato que se utiliza para medir la tensión
superficial. Básicamente, el dispositivo mide la fuerza que se requiere para superar la
tensión superficial. Para un aro circular de alambre, L es la longitud de la
circunferencia y γ = F/2L, debido a que hay dos superficies de película (una de cada
lado del alambre).



Otra forma de estudiar la tensión superficial es en términos del trabajo o la
energía necesarios para estirar el área superficial. Si se utiliza un pedazo
recto de alambre de longitud L para estirar una superficie una distancia
paralela Ax, el trabajo hecho contra la tensión superficial es:

∆W = F∆X = γL∆X = γ∆A
Dado que
F = γL y ∆A = L∆X ( el cambio en el área superficial). Así tenemos que:
∆W
γ=
∆A
La tensión superficial, o fuerza por unidad de longitud, es equivalente al
trabajo por unidad de cambio en el área de la superficie, con unidades de
J/m2.

Cuadro. Tensiones superficiales de algunos líquidos (N /m)
Tensión
Líquido Temperatura
γ
superficial (γ)
Alcohol etílico
(20 ºC) 0.022
Sangre entera
(37 ºC) 0.058
Plasma
(37 ºC) 0.072
sanguíneo
(20 ºC) 0.45
Mercurio
(20 ºC) 0.025
Agua jabonosa
(0 ºC) 0.076
Agua
(20 ºC) 0.073
Agua
(100 ºC) 0.059
Agua

Ejemplos

1) Las densidades del aire, helio o hidrógeno (en condiciones normales) son
respectivamente 0.00129 gr/ cm3, 0.000178 gr/cm3 y 0.0000899 gr/cm3.
a) ¿Cuál es el volumen en metros cúbicos desplazado por un dirigible lleno de
hidrógeno que tiene una fuerza ascensional total de 10 toneladas?
b) ¿Cuál sería la fuerza ascensional si se utilizara el helio en vez de
hidrógeno?
Solución:
F = Fuerza ascensional resultante = Empuje hidrostático – Peso dirigible

W
a. Fh = E – W
= ρ a gV - ρH g V = 107 gr f
(10 toneladas: 104 kg : 107 gr)
E



7
Además V = 10 x 980 dinas
3 2
(0.00129 – 0.0000899) gr/cm 980 cm/s
7 3 9 3
= 10 cm = 8.33 x 10 cm
-3
1.2x10
3
= 8330 m

b. FHe = ρa g V - ρHe g V
3 2 3
= (0.00129 – 0.000178) gr/cm x 980 cm/sg x 109 cm
6
= 9.0776 x 109 dinas = 9.26 x 10 gr-f

= 9.26 tonelada

2) En un tubo hay capa de aceite de oliva de 2m de espesor, que flota sobre una
capa de agua de 1.5 m de espesor. La cual a su vez esta sobre una capa de
mercurio de 0.5 m. La superficie libre del aceite esta sujeto a la presión
atmosférica. ¿Cuál será el valor de la presión absoluta en la superficie interior
del mercurio?. La densidad relativa del aceite de oliva es 0.92 y la del mercurio
13.6
Solución:

P0

2m ρac

P1 = P0 + ρac g hac

1.5 m ρH20
P2 = P1 + ρH2o g hH2o
P2 = P0 + ρac g hac + ρH2o hH2o
0.5m ρHg
P3 = P2 + ρg g hHg

P3 = P0 + ρac g hac + ρH2o g hH2o + ρHg g hHg

P3 = Po + g( ρac hac + ρH20 h H20 + ρHg hHg)
5 2 2 3 3
= 1.01 x 10 N/m + 9.8 m/sg (0.92 x 2 x 1 x 1,5 + 13.6 x 0.5) x 10 Kg/m
5 2
P3 = 2 x 10 N/m



3) A un estudiante se le asigna la tarea de diseñar un globo esférico cuya
capacidad bruta de carga sea de 4 900 N, lo que corresponde a una masa de
500 kg que incluye la masa del propio aeróstato. El globo se llenará con
hidrógeno. Hallar el radio mínimo que deberá tener el globo para levantar esa
3 3
carga total. (ρaire = 1.293 kg/m ), (ρH = 0.090 kg/m )
Solución:

E aire

4 900 N
r

m Hg

F = 4 900 N
Eaire – mHg = 4 900 N
Ρaire g A V - ρH g V = 4 900 N

Vg (ρaire - ρH) = 4 900 N ; V = 4 πr3
3

3 x 4900
r=3 = 4.63m
4πg ( ρ aire − ρ Hg )



2.13. DINÁMICA DE FLUÍDOS
2.13.1. Fluidos: es cualquier sustancia que pueda fluir, puede ser líquido o gases.
El flujo de los fluidos puede ser de régimen estacionario o de régimen variado

r
1.1. Flujo estacionario: Cuando la velocidad del fluido v en cualquier punto
dado se conserva constante en el transcurso del tiempo.
Cuando el movimiento es de tipo estacionario, cada partícula que pasa por
un punto tal como P; sigue exactamente la misma trayectoria que las
partículas precedentes que pasaron por dicho punto.

a

A

b
Líneas de flujo

Tubo de Flujo

Para hacer una descripción de la dinámica de fluido se trabaja con flujos
ideales, los cuales se toman cuatro características:

a) Flujo Uniforme: Todas las partículas del fluido tienen la misma velocidad al
pasar por un punto.
b) Flujo Irrotacional: Significa que un elemento de fluido (un volumen
pequeño del fluido) no tiene velocidad angular neta ( ω = 0) eliminando
corrientes remolinos (el flujo no es turbulento).
c) Flujo No viscoso: La viscosidad se desprecia. La viscosidad se refiere a
una fracción interna del fluido donde no existe fricción entre el fluido y
paredes internas del recipiente, donde la velocidad del centro del recipiente
es mayor y menor en las paredes del recipiente por fricción. (no se pierde
energía)
d) Flujo Incomprensible: La densidad del flujo es constante (líquidos). Los
gases son incomprensibles, se basa en el principio de conservación de la
masa y conservación de la energía.



2.13.2. Ecuación de Continuidad
Si no perdidas de fluido dentro de un tubo uniforme, entonces la masa del fluido
que fluye dentro del tubo en un momento dado debe ser igual a la masa que
fluye fuera del tubo en el mismo tiempo. (Conservación de la masa)

V2

F2 = P2A2
V1 ∆L2

F1 = P1A1 h2
∆L1
h1

Como ∆m = ρ ∆V ; pero ∆V = A.∆L y ∆L = v.t , entonces ∆m = ρ ( A, v, ∆t )
Entra : ∆m1 = ρ1 ( A1 , v1 , ∆t )
Sale : ∆m2 = ρ 2 ( A2 , v 2 , ∆t )

Por el Principio de conservación de la masa:
∆m1 = ∆m2

ρ1 A1v1 ∆t = ρ 2 A2 v2 ∆t

ρ1 A1v1 = ρ 2 A2 v 2

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
ρ Av = const.

Como el fluido es incomprensible, es decir: ρ = const.

A1v1 = A2 v2

ECUACIÓN DE GASTO: (m3/s) o (vol/seg)

La razón de flujo de volumen dV/dt. Es la rapidez con que el volumen cruza una
sección del tubo.



2.13.3. Ecuación de Bernoulli
Por el Principio de conservación de energía y del trabajo, tenemos:
V2

A2 F2
V1 dS2
c d
F1 A1 h2
dS1
a b h1

Tenemos: dS1 = v1 dt dS 2 = v2 dt
El fluido es incomprensible

A1v1 = A2 v 2
dV = A1 dS1 = A2 dS 2
Entonces: el trabajo P1 y P2

F1 = P1 A1 y F2 = P2 A2
dw = FdS
∆W = P1 A1 dS1 − P2 A2 dS 2 ∆W = ( P − P2 )dV
1 (1)

Por Conservación de la Energía Cinética.
a yb c yd

dV1 = A1dS1 dV2 = A2 dS 2
dm = ρ A1 ds1 dm = ρ A2 ds2
1 1
Ek1 = ρ ( A1 ds1 ) v12 Ek2 = ρ ( A2 ds2 ) v 2
2

2 2
1
∆Ek = ρ dV (v2 − v12 )
2
(2)
2
Por Conservación de la Energía Potencial
a yb c yd

dm g y1 = ρ dV g y1 dm g y 2 = ρ dV g y 2
∆E p = ρ dV g ( y 2 − y1 ) (3)

Por el Principio de Conservación de la Energía,
De las ecuaciones (1), (2) y (3), tenemos: dW = dEk + dE p

( P1 − P2 )dV =
1
ρ dV (v2 − v12 ) + ρ dV g ( y 2 − y1 )
2

2
1 1
P−P =
1 2 ρ v 2 − ρ v12 + ρ g y 2 − ρ gy1
2

2 2

1 1 2
P1 + ρ v12 + ρ g h1 = P2 + ρ v2 + ρ g h2 ECUACIÓN DE BERNOULLI
2 2



2.13.4. Viscosidad
Todos los fluidos reales tienen resistencia interna al flujo, que se describen
como viscosidad, se puede considerar que la viscosidad es una fricción
entre las moléculas de un fluido.
• En los líquidos es ocasionada por las fuerzas cohesivas de corto
alcance.
• En los gases, por las colisiones entre las moléculas. Por lo tanto el
arrastre viscoso o de líquidos y gases depende de la velocidad y
puede ser directamente proporcional a ella en algunos casos. La fricción
interna causa que las capas de fluido se muevan unas con respecto a
otras en respuesta a una tensión corte.

Fig. Flujo laminar (a)Una tensión al corte causa que las capas de fluido se muevan una sobre otra
en flujo laminar. La fuerza de cizalla y la velocidad de flujo dependen de la viscosidad del fluido.
(b)Para el flujo laminar a través de un tubo, la velocidad del flujo es menor cerca de las paredes
debido al arrastre friccionar entre las paredes y el fluido.

• Este movimiento en capas, llamado fluido laminar es característico del
flujo uniforme a velocidades bajas de los líquidos viscosos. A
velocidades mayores el flujo se convierte en rotacional, o turbulento.
La magnitud de la tensión cortante por un coeficiente de viscosidad, η.
Se define como relación entre el esfuerzo cortante, F/A, y la razón de
deformación:

Esfuerzo cor tan te F/A
η= =
Razón de deformación v /1

FLUJO DE LOS FLUIDOS VISCOSOS

La viscosidad en los fluidos se debe a atracciones entre las moléculas del
líquido y la de los sólidos que están en contacto con el.

El efecto de la viscosidad es hacer más lento el flujo y producir resistencias al
movimiento de objetos a través del fluido.

La fricción de un fluido aumenta conforme la velocidad aumenta y depende de
las formas de los objetos en contacto con el fluido y del fluido mismo (su



densidad). El coeficiente de viscosidad (η) aumenta con el aumento de
temperatura para gases y en líquidos la relación es inversa con la temperatura.

La ley fundamental de la viscosidad es que el valor de la fuerza de viscosidad

es proporcional al área y al gradiente de velocidad ( V/ y), que existe en

lugar donde esta situada el área de contacto (A) según la figura
 − ∂v 
F = η A
 ∂y  
 

[η ] = g
= Poise
cm.seg

v
F =η A
l

OBSERVACIONES
1. Los fluidos fluyen con facilidad, como el agua y la gasolina, tienen menor
viscosidad que los líquidos “espesos” como la miel o el aceite de motor.
2. Las viscosidades de todos los fluidos dependen mucho de la
temperatura, aumentando para los gases y disminuyendo para los
líquidos a medida que aumenta la temperatura.
3. Un objetivo importante del diseño de aceites para lubricar motores es
reducir la variación de la viscosidad con la temperatura lo mas posible.
4. Unidades:
• La unidad de viscosidad es la fuerza por distancia, dividida entre la
rapidez.
• La unidad en el S.I. es: 1 N.m / [ m/s] = 1N.s/m2 = 1 Pa.s
• La unidad en cgs, es: 1 din.s/cm2, es la unidad de viscosidad. Llamado
Poise
1 Poise = 1 din . s/ cm2 = 10-1 N. s/m2
• También se usan el centipoises y el micropoise. La viscosidad del agua
es de 1.79 centipoise a 0º C y de 0.28 centipoise a 100 ºC
• Los aceites lubricantes suelen tener viscosidades de 1 a 10 Poise, y la
del aire a 20 ºC es de 181 micropoise.



ECUACIÓN DE POISEUILLE Y LEY DE STOKES
L

R

Fig. Perfil de velocidad para un fluido viscoso en un tubo de cilindro.

La figura muestra el perfil de rapidez de flujo para el flujo laminar de un fluido
viscoso en un tubo cilíndrico largo. La rapidez es máxima a lo largo del eje y
cero en las paredes.

El movimiento es como muchos tubos concéntricos deslizándose entre si,
donde el tubo central se mueve más rápidamente y el más exterior esta en
reposo.

• Si aplicamos la ecuación:
F / A Fl  F  l 
H= = =
v/l Av  A   v 
  
F l (P − P2 ) 2 2
v=
ηA
= 1
4η l
(
R −v )
Donde P1 y P2, son las presiones en los dos extremos de un tubo de longitud
L. La rapidez en cualquier punto es proporcional al cambio de presión por
unidad de longitud, (P2 – P1)/L o dP/dX , llamado gradiente de presión.

Para calcular la razón de flujo total de volumen a través de un tubo,
consideramos un anillo con radio interior r, radio exterior r + dr y área
transversal dA = 2π r.

• La razón de flujo de volumen a través de este elemento es v dA; la razón
de flujo total de volumen se obtiene integrando desde γ = 0 a r =R.

dv π  R 4  P − P2 
=   1  que es la llamada ecuación de Poiseuille .
dt 8  η  l 
 
• Una esfera de radio r que se mueve con una rapidez v a través de un
fluido con viscosidad η experimenta una fuerza de resistencia viscosa F
dada por la ley de STOKES:
F=6πηv



2.13.5. Numero de Reynolds
Cuando la velocidad de flujo de un fluido excede cierto valor, el flujo deja de ser
laminar y se convierte en turbulento. En ese momento ya no tiene aplicación la
Ley de Poiseuille. El análisis del flujo turbulento es una tarea difícil, pero existe
un valor determinado experimentalmente que nos indica el umbral de la
turbulencia. Este valor se expresa en términos de una cifra adicional que se
denomina Número de Reynolds (R):
ρ vd
R=
η
Donde ρ es la densidad del fluido, v la rapidez promedio de flujo, d el

diámetro de un tubo o conducto cilíndrico y η la viscosidad.
En un tubo con paredes lisas, el flujo laminar si Rn es inferior a 2000. La
turbulencia se establece cuando Rn es de alrededor de 2000 o más (Rn ≥
2000). Es posible que haya un flujo laminar si Rn es superior a 2000, pero será
un flujo inestable. Cualquier trastorno ligero ocasionará que se convierta en
turbulento. Es interesante que con frecuencia la velocidad de flujo es mayor
que se aplicara la ley de Poiseuille.
Matemáticamente, el Re es un parámetro adimensional que expresa la
relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de viscosidad o de fricción
en el interior de una corriente.
Las fuerzas de inercia que actúan sobre un volumen L3 de corriente vienen
v
dadas por la ecuación de Newton: F = ma m = ρ .L3 a=
T
v L
Por lo tanto, F = ρ .L3 . y como: v= ⇒ F = ρ .L2 .v 2
T T
v
La fuerza de viscosidad tiene por ecuación: Fv = µ . .S
y
v
Por lo tanto, Fv = µ. .L2 = µ.v.L
L
El cociente entre las dos fuerzas es el Re:

ρ .L2 .v 2 ρ .L.v
Re = =
µ .L.v µ

La importancia del número de Reynolds no sólo radica en el hecho de poder
determinar la velocidad crítica que caracteriza el régimen de una corriente de
líquido. También se utiliza, para el cálculo de pérdidas de carga en
conducciones.



Ejemplos:

1) El cilindro y el tubo mostrado en la figura, contienen aceite de densidad
relativa 0.902. Para una lectura manométrica de 2.2 Kg-f/cm2, ¿Cuál es el
peso total del pistón y el peso de la placa?

D

W
1.8m
Pistón
B C
1.8m

Presión en B = Presión en C

WT
= Pm + γ h
A
WT = Wm + W pistón
Despejando WT y reemplazando los datos tenemos.
WT = 61 000kg-f.

2) Determinar la presión en el punto A para el manómetro inclinado mostrado en
la figura.

A la cámara
de vacío
Abierto a la
atmósfera

A
Recipiente
de Hg
C 12.5cm
B
30º

Presión en B = Presión en C

PA + γ h = P0
PA = P0 − γ h

PA = 1.033x10 4 − 850
PA = 0.948 kg − f / cm 2
El nivel en el tubo está mas bajo que el recipiente porque en éste está hacia el vacío.



BIBLIOGRAFÍA

ALONSO - FINN FISICA Vol I. Fondo Educativo Interamericano
S.A. 1986.

GOLDEMBERG FISICA GENERAL Y EXPERIMENTAL Vol I.
2da Edic. Nueva Edt. Interamericana.

TIPLER P.A. FISICA VOL. I Reverté S.A. Barcelona 1985.

Mc. KELVEY y GROTCH FISICA PARA CIENCIAS E INGENIERIA Vol I.
Edt. Harla 2000.

RESNICK - HALLIDAY: FISICA PARTE I. Continental S.A. México
1981.

SERWAY-JEWET: FISICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA
VOL. 1. 7ma Edic. Cengage Learning S.A.
México 2008

Apuntes del Docente.


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