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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA              FÍSICA I

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         UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
                     FACULTAD DE INGENIERÍA
      DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA




                           FÍSICA I:
                        CUADERNO Nº 02
                          SEGUNDA UNIDAD

                                            A
                           m1                   r
                                  r             v1 f
                                  v1
                                                 r
                                                 v2 f
                           m2          r
                                       v2
                                            B

      CICLO:
                 II CICLO
      E.A.P.:
                 INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL
      DOCENTE:
                 LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY

                          NUEVO CHIMBOTE - PERU

                                 DICIEMBRE - 2009



LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY              1           FÍSICA I
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA                                                                     FÍSICA I


                                             TRABAJO Y ENERGÍA

En este capítulo se desarrollan otros aspectos de la dinámica de una partícula. La
descripción matemática supone la presencia de una sola partícula reduciendo su
interacción con el resto del universo a una única fuerza. Bajo este criterio se definen los
conceptos de impulso, trabajo, energía y potencia.

2.1   IMPULSO
      De la 2da ley de Newton sabemos que:
                                    r
                                   dp r
                                      =F
                                   dt
      Si la fuerza varía con el tiempo, ejecutamos la siguiente integración
                                       p    r    t r
                                   ∫
                                   p0
                                           dp = ∫ Fdt
                                                0

                                   r r       t r
                                   p − p0 = ∫ Fdt                                     (1)
                                                   0

      La acción de una fuerza durante un intervalo de tiempo finito se conoce como
      impulso (I) y matemáticamente queda definido por la siguiente integral:
                                   r r       t r    r
                                   p − p0 = ∫ Fdt = I
                                                       0

                                                                                            (2)
                                           r    t r
                                           I = ∫ Fdt
                                               0



      Relacionando (2) y (1) podemos afirmar: que el impulso es causa de la variación de
      la cantidad de movimiento lineal de la partícula. El impulso se mide en N.s
      En muchos casos la fuerza es una función de la posición, como por ejemplo la
      fuerza gravitacional o la fuerza elástica de un resorte en tales casos es mucho más
      útil los conceptos de trabajo y energía

2.2   TRABAJO: W (Joules)
                                                                                                               r
      Consideremos una partícula de masa m que se mueve por la acción de la fuerza F en la

      trayectoria curvilínea C que en el tiempo dt efectúa el desplazamiento dr .
                                                                                                  r


         Y
                                             Decimos entonces que durante el desplazamiento la
                      r   r
             1
                     dr   FT                 fuerza ha producido trabajo infinitesimal dw definido

                     r         2             como          el   producto   escalar   de     la        fuerza   por   el
                 r   F
                 r                           desplazamiento:
                                                                r r
                                   X                       dw = F.dr                   (3)




LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY                              2                                                  FÍSICA I
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      Definimos el trabajo elemental, podemos expresar el trabajo realizado para llevar
      la partícula desde el punto (1) al punto (2) como:
                                   2 r r
                              w = ∫ Fdr                                 (4)
                                        1

      en componentes rectangulares tenemos:
                            r     r      r      r
                           F = Fx i + Fy j + Fz k
                                    r       r       r       r
                                   dr = d x i + d y j + d z k

      que sustituidos en (4) y desarrollando el producto escalar nos da:
                           2                  2                 2
                       w = ∫ Fx dx +         ∫ F dy
                                                  y       +   ∫ F dzz   (5)
                           1                 1                  1
                                                                                          r
      Si utilizamos la definición de producto escalar y asumiendo que el módulo de dr
      es dS, tenemos de (4):

                               2
                       w = ∫ FdS cosθ                                         (6)
                               1


      Según la figura anterior: FT = Fcosθ, por tanto:

                       w = ∫ FT dS                                      (7)



      Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento (θ=90º) el trabajo efectuado por
      la fuerza es cero.

2.3   POTENCIA (P): (Watts)
      Es la rapidez con que se realiza trabajo
      Un trabajo determinado que se efectúa en un tiempo muy largo está asociado a
      una potencia muy baja en tanto que el mismo trabajo realizado en un tiempo muy
      corto corresponde a una potencia grande. Si el trabajo se realiza a un ritmo
      constante la potencia media p se define como:
                                        W
                                   P=                                   (8)
                                        t
      Si el trabajo se realiza a un ritmo variable, la potencia instantánea queda definida
      por:
                                      dw
                                   P=                                         (9)
                                      dt
                                      r r
                                      F .dr
                                   P=
                                       dt
                                       rr
                                   P = F .v                                   (10)




LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY                        3                              FÍSICA I
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2.4   TRABAJO EN UN RESORTE
      a)
                                       r
                                       F´         r
                                                  F
                                         X
                     r              r
      Aplicamos F sin aceleración ( a = 0 )                        F = KX (Ley de Hooke)

      K = constante elasticidad resorte
      El resorte a su vez reacciona con una fuerza igual y opuesta:
                                                  F´ = KX (Ley de Hooke)

                  F = Fuerza deformadora
                  F´ = Fuerza restauradora

      b)


                                                               r
                                                               F
                                  X0=0       X1       X2
                                 r
      Al aplicar F´ lentamente ( a = 0 ), efectuando trabajo al llevar el punto X1 a X2 .
                         r r     x2      x2    1    x
                   w = ∫ Fdr = ∫ Fdx = ∫ Kxdx = Kx2 x12
                                x1      x1     2
                     1 2
                            (
                  W = K x2 − x12
                     2
                                         )
      LEY DE HOOKE
                                F(N)
                                                                             0A: zona Elástica
                                                                             AB: zona plástica
                                                                    B        B: punto de ruptura
                                             A

                           0                                             L (m)


                  Fig. 1: Diagrama de la fuerza en función de la deformación elástica para un resorte

           Cuando un cuerpo sufre una deformación, la fuerza deformadora es
           proporcional a la deformación del cuerpo siempre y cuando el estiramiento no
           supere el límite elástico.
           En el caso particular de la deformación longitudinal de un resorte, la fuerza
           deformadora es proporcional a la elongación, Al resorte; en tal caso se dice
           que la deformación es elástica:
                                       F = KL                      (1)

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       Donde K es la constante de proporcionalidad llamada constante de fuerza o
       constante elástica que depende de la naturaleza del material y de la forma del
       resorte, y L          es el desplazamiento medido desde la posición de equilibrio,
       llamado también elongación.

                             F(N)

                                                        K= pendiente

                                                                  ∆L(m)

                                    Fïg. 2. Comportamiento del Resorte


       La ecuación (1) se conoce como Ley de Hooke. Como la ecuación (1)
       representa la relación lineal entre la fuente F y el desplazamiento. La constante
       K resulta ser la pendiente de la recta representativa de F vs ∆L (Fig. 2).

2.5   TRABAJO DE LA FUERZA PESO O FUERZA DE GRAVEDAD
      Debido a la acción de la fuerza de la gravedad los cuerpos tienden a ocupar los
      niveles más bajos sobre la superficie terrestre, ubicándose en una determinada
      posición de equilibrio.
      Para sacar a un cuerpo de su posición de equilibrio y levantarlo a niveles más altos
      se necesita aplicar una fuerza exterior.

              r     r
              F    dr                               r       r
                                                    F = mg j
                  r                                                  r r
                                                    r         r
                                                    F´ = − mg j      F + F´= 0 Pero se mueve a velocidad
                  F´
                                    Y2                                           constante

                   Y1


                     r r             r       r       r       r
               W = ∫ F .dr          dr = d x i + d y j + d z k
                     r
               W = ∫ Fy .dy
                        y2
               W = ∫ mg.dy
                        y1


               W = mg ( y 2 − y1 )




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2.6   ENERGÍA CINÉTICA: Ek (Joules)

      Consideremos una partícula de masa m que se                                  FT           S2
                                                 r
      mueve por acción de la fuerza resultante ( F )                      m             F
                                                                              FN
      según una trayectoria C cualquiera. En la
                                                                 S1
      siguiente figura se muestra esta fuerza con sus
      respectivos componentes.


      De acuerdo con la 2da ley de Newton tenemos:
                                          dv
                       F = maT = m           , multiplicando a ambos lados por: dS
                                          dt
                                        dS
                       FT dS = mv          = mvdv
                                        dt
      Integrando entre S1 y S2 para hallar el trabajo total en ese tramo tenemos:
                                s2             v2    1 2 1
                       W=   ∫s1
                                     FT dS = ∫ mvdv = mv2 − mv12
                                              v1     2     2
                            1 2 1 2
                       W=     mv 2 − mv1
                            2       2
                                       1 2
      En general, la expresión           mv se llama energía cinética de la partícula y se
                                       2
      define por Ek:

                                                1 2
                                         Ek =     mv
                                                2

      Multiplicando y dividiendo el segundo miembro de esta ecuación por m se tiene
      una relación en función de la cantidad de movimiento:


                            mv 2   p2                                     p2
                       Ek =      =                                Ek =
                            2m 2m                                         2m

      “El trabajo efectuado por una fuerza resultante sobre una partícula, es igual al
      cambio producido en la energía cinética de la partícula”



                       W = E k 2 − E k1           ⇒            W = ∆E k




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2.7   ENERGÍA POTENCIAL (Ep: Joules)


      La energía potencial de un cuerpo o de un
      sistema es el resultado del trabajo de una                                    r     r
                                                                                    F    dr
      fuerza deformadora en equilibrio con las
                                                                                        r     Y2
      fuerzas internas del sistema y la designamos                                      F´
      como Ep y constituye la energía transferida al
      sistema por acción de una fuerza exterior. La                                     Y1

      energía potencial de un cuerpo con relación a la
      fuerza de gravedad es:

                       r r             r       r       r       r
                 W = ∫ F .dr          dr = d x i + d y j + d z k
                       r
                 W = ∫ Fy .dy
                         y2
                 E p = ∫ mg.dy
                         y1


                              E p ( y ) = mg ( y 2 − y1 )
      Así la energía potencial gravitacional puede medirse a partir del nivel del mar o a
      partir del 5to piso de un determinado edificio. Los cálculos del trabajo nos
      muestran que dicho trabajo no es sino la diferencia de los valores de la función
      potencial entre las posiciones inicial y final de la partícula dentro de un campo de
      fuerzas:
                              E p ( y ) = mgy 2 − mgy1
        Si h = y2 – y1

                                            E p ( y ) = mgh

                          ∆ E p = E p ( y 2 ) − E p ( y1 )

                                       ∆E p = W

         Donde W es el trabajo realizado por la fuerza exterior pero si el trabajo a sido
         realizado por las fuerzas internas o de recuperación tenemos:



                          − ∆E p = W ⇒                                  (
                                                                   W =− Ep2 − Ep1   )

      Tanto la energía cinética como la potencial se han definido como efectos de la
      realización del trabajo de una fuerza. Sin embargo sus características son

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      diferentes, mientras la energía cinética está relacionada con el movimiento del
      cuerpo y por lo mismo es una energía en el sentido dinámico. La energía
      potencial está relacionada con la posición y se encuentra latente o
      potencialmente almacenada en un estado de reposo, pero que puede hacerse
      manifiesta o activa, cuando el trabajo es realizado por la fuerza interior.


2.8   FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS
      Son las fuerzas que se encuentran en la naturaleza pueden dividirse en dos
      categorías: conservativas y no conservativas


 2.8.1.   Fuerzas Conservativas
          Una fuerza es conservativa si el trabajo que hace sobre una partícula que se
          mueve entre dos puntos cualesquiera es independiente de la trayectoria
          seguida por la partícula. Además, el trabajo hecho por una fuerza conservativa
          ejercida sobre una partícula que se mueve por una trayectoria cerrada es cero.
          Entonces, si la fuerza es conservativa. La fuerza de la gravedad es
          conservativa. El trabajo realizado por la fuerza gravitacional sobre un objeto
          que se mueve entre dos puntos cualesquiera cerca de la superficie de la tierra
          es:

                          ∫ F.dr = −(E                 )
                            r r
                                         p2   − E p1
                            r r
                          ∫ F .dr = −∆E   p

          Y recíprocamente, si el trabajo, realizado por una fuerza es igual a la diferencia
          de los valores de una función potencial en las posiciones inicial y final, la
          fuerza es conservativa.

                         F(conservativa)                   ⇔   W = − ∆E p

                          E p ( y ) = mgy 2 − mgy1
          A partir de esto vemos que Ep sólo depende de las coordenadas inicial y final
          del objeto y, en consecuencia es independiente de la trayectoria. Además, Ep
          es cero cuando el objeto se mueve por cualquier trayectoria cerrada (donde y1
          = y2 ).
          Es evidente que el concepto de energía potencial puede emplearse solo
          cuando se trata de las fuerzas conservativas, tales como la fuerza elástica del
          resorte, la fuerza gravitatoria o fuerza electrostática.




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 2.8.2.   Fuerzas No Conservativas
          Una fuerza es no conservativa si produce un cambio en la energía mecánica.
          Por ejemplo, si alguien mueve un objeto sobre una superficie horizontal y lo
          regresa a la misma posición y al mismo estado de movimiento, pero encuentra
          que fue necesario realizar una cantidad de trabajo neta sobre el objeto,
          entonces algo debe haber disipado esa energía transferida al objeto. Esa
          fuerza disipativa se conoce como fricción entre la superficie y el objeto. La
          fricción es una fuerza disipativa o “no conservativa”. Por contraste, si el
          objeto se levanta, se requiere trabajo, pero la energía se recupera cuando el
          objeto desciende.
 2.8.3.   Conservación de la Masa y Energía
          Otro principio importante la conservación de la masa, nos dice que en
          cualquier tipo de proceso, físico o químico, la masa no pude crearse ni
          destruirse. Es decir la masa antes del proceso es igual a la masa después del
          proceso.
          En 1905 Einstein hizo el increíble descubrimiento de que la masa, o inercia, de
          cualquier sistema es una medida de la energía total de este. Por consiguiente,
          la energía y la masa son conceptos relacionados. La relación entre los dos
          está dada por la más famosa formula de Einstein
                       2
                 E = mC
          donde: C es la velocidad de la luz y E es la energía equivalente de una masa
          m, la masa aumenta con la velocidad; sin embargo, esta dependencia es
          insignificante para v<< c. En consecuencia, las masas que utilizamos para
          describir situaciones en nuestras experiencias cotidianas siempre se
          consideran como masa en reposo.
          La energía asociada con incluso una pequeña cantidad de materia es enorme.
          Por ejemplo, la energía de 1kg de cualquier sustancia es:
                                   11    2       22
                 E = mc=(1kg) (3x10 m/s ) = 9x10 J.
          ! Esto es equivalente al contenido de energía de aproximadamente 15 millones
          de barriles de petróleo crudo (aprox. el consumo de un día en Estados
          Unidos)!.
          En realidad, solo una pequeña fracción de la energía contenida en una
          muestra de material puede liberarse a través de procesos químicos o
          nucleares. Los efectos son más grandes en las reacciones nucleares donde se
          observan de manera cotidiana cambios fraccionarios en la energía. La
          imponente naturaleza de la energía que se libera en dichas reacciones se
          demuestra claramente en la explosión de una arma nuclear.

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2.9   CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA: FUERZAS CONSERVATIVAS
      Uno de los principios más generales de la física es el principio de la conservación
      de la energía, el cual define que la energía total (energía cinética + energía
      potencial gravitacional) de un sistema es constante.
      Cuando una fuerza conservativa actúa sobre una partícula, el trabajo que realiza

      esta fuerza reduce la energía potencial:             W = − ∆E p

                                  [
                       W = − Ep2 −Ep1      ]
      Por otra parte, si esta fuerza conservativa es la fuerza resultante el teorema del
      trabajo y energía establece que el trabajo respectivo representa un incremento de
      la energía cinética:

                       W = Ek 2 − Ek1
      Igualando las dos expresiones del trabajo y transponiendo términos tenemos:
                        Ek2 + E p2 = Ek1 + E p1
      o bien
                        (E   k   + E p )2 = (Ek + E p )1
      Como los estados (1) y (2) son arbitrarios, para cualquier posición de la partícula se
      tiene:

                        E = Ek + E p           constante



      Donde E es la energía mecánica de la partícula en un campo de fuerzas
      conservativas.
      Este resultado es el principio de la conservación de la energía para un sistema
      sobre el que actúa únicamente fuerzas conservativas y su enunciado es el
      siguiente:

         “Cuando una partícula se mueve por la acción de fuerzas conservativas, la
         suma de sus energía cinéticas y potencial permanecen constante”


      Es decir la energía mecánica no varía con el tiempo.
                                                                        ∆E = 0




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2.10 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA: FUERZAS NO CONSERVATIVAS
     Esto todo proceso en el cual intervienen las fuerzas no conservativas o disipativas,
     toda la energía mecánica o parte de ella se disipa en el medio ambiente en forma
     de calor, este es un proceso en el cual las fuerzas de fricción realizan trabajo de
     transformación o conversión de energía mecánica en calor. El calor producido es
     exactamente igual al trabajo de las fuerzas de fricción.
     Por tanto la energía se conserva dentro de un contexto más amplio en la que
     resultan incluidas la energía mecánica y energía térmica o calorífica.
     Desde que la fuerza de fricción se opone al movimiento, el trabajo realizado por
     esta fuerza es siempre negativo, esto es, el trabajo de la fuerza de fricción es
     equivalente a la pérdida de energía mecánica que experimenta el sistema:




                                  Sistema                     ∆
                                                             -∆E=Wf

                                                 Ambiente



     Si el sistema pasa de un estado inicial (1) en el cual su energía mecánica es

     E1 = Ek1 + E p1 a otro estado final (2) con una energía mecánica E2 = Ek + E p
                                                                                2        2
                                                                                             ,

     la pérdida de energía mecánica es:
                                   − ∆E = E2 − E1
                                   − ∆E = W f
     Donde Wf es el trabajo de las fuerzas de fricción; así tenemos

                                   − (E 2 − E1 ) = W f
     O también

                                   (E   k   + E p )2 − (Ek + E p )1 = − W f




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     Ejemplos:
                         r
     1. Una fuerza F actúa sobre una partícula P, que se mueve en el plano XY.
                              r                                                                          r
        Determinar si F es una fuerza conservativa y calcular el trabajo de F cuando
        la trayectoria de P es un cuadrado de la lado “a” y el movimiento es en un
                                                       r     r
        sentido antihorario, cuando F = ky i
        Solución:

             Y
                                                                        r r           r      r     r
        Y2               C
                                                                  W = ∫ F .dr = ∫ (ky i )(dx i + dyj )
                 D
                                                                               B C D A          
        Y1
                     A   B
                                                                  W = ∫ kydx =  ∫ + ∫ + ∫ + ∫
                                                                               
                                                                                                 kydx
                                                                                                 
                                                  X                            A B C D          

                 X1      X2
        Entre A y B es:
        Y = Y1 = cte;                                 X1 ≤ X ≤ X2
                     B

                 ∫ kydx = ky (x       1       2   − x1 ) = kay1 ;       (x2 − x1 ) = a
                     A

        Entre B y C, es “X” se mantiene cte                            ⇒        dx = 0
        en cambio “Y” varía entre los límites Y1 ≤ Y ≤ Y2 . De modo:
                 C

                 ∫ kydx = 0
                 B

        Entre C y D, Y = Y2 = cte;                               X1 ≤ X ≤ X2
                 D

                 ∫ kydx = ky (x
                 C
                                  2       1   − x2 ) = − kay 2

        Entre D y A, X = X1 = cte;                    ⇒      dx = 0
                     A

                 ∫ kydx = 0
                 D

        Sumando:

                 W = ∫ kydx = ∑ ∫ kydx = kay1 + 0 −kay 2 + 0 = − ka ( y 2 − y1 )

                 W = − ka( y 2 − y1 )
                 W = − ka 2 : Fuerza no conservativa




LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY                              12                                               FÍSICA I
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DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA                                   FÍSICA I

     2. Un bloque se encuentra inicialmente en la posición mostrada, cuando el
        resorte se encuentra comprimido ∆L2=0.2m. Se suelta el resorte y el bloque
        va a chocar contra el resorte B y este se comprime y otra vez el bloque se
        mueve pero en sentido contrario, se desea saber cuanto recorre el bloque
        desde que empezó su movimiento hasta que se detiene. (KA = KB = 300N/m ,
        µ = 0.2, m1 = 1kg, g = 10m/s2)

                                     Zona rugosa


                                2.2m 2.0m 1m

        Solución:
        Energía del bloque al abandonar el resorte A:

                         K A (∆L A ) = (300 )(0.2 ) = 6 J
                       1              1
                EA =
                                    2              2

                       2              2
        Energía disipada al pasar el bloque A sobre la superficie rugosa
                W f = F .d      Fr = µN = µmg

                W f = µmg.d = (0.2)(1)(10)(2) = 4 J

        Se observa que por cada pasada disipa 4J de energía; por tanto la energía
        que se convierte en energía potencial del resorte B es:

                   K B (∆L B ) = 6 J − 4 J = 2 J
                 1            2

                 2
        De donde

                             2E pB        4
                ∆L B =               =              ∆LB = 0.115m
                              KB         300

        Con la energía de 2J, el bloque sólo puede recorrer la mitad de la distancia
        con superficie rugosa. La distancia total recorrida es:
         Ida :            2.2m + 2m + 1m + 0.115m = 5.315m
        Vuelta:           0.115m + 1m + 1m = 2.115m
        Total            : 7.430m




LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY                     13                        FÍSICA I
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2.11. CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL
 2.11.1. Cantidad de Momento Lineal y Segunda Ley de Newton
                                                          r
        La cantidad de movimiento lineal ( p ) conocido por Newton como
        “movimiento”, se define por el producto:
                               r    r
                               p = mv                                   (1)

        Esta cantidad vectorial, relaciona dos conceptos muy importantes:
        La masa concepto dinámico y la velocidad concepto cinemática y por tanto
                   r
        el vector p describe la propiedad inercial de un cuerpo en movimiento.
           r
        Si p es la cantidad de movimiento de una partícula de masa m, la segunda ley
        de Newton expresa que:
                               r dpr
                               F=                                       (2)
                                  dt
                       r
        En la que F es la fuerza resultante o fuerza exterior a la partícula que
        actuando sobre ella, modifica su velocidad.
        La ecuación (2) constituye una definición general de fuerza, válida aún cuando
        la masa de la partícula sea variable con el tiempo. Sí la masa es constante,
        encontramos que:
                               r d r         r
                               F = (mv ) = m = ma
                                            dv  r
                                  dt        dt
                               r    r
                               F = ma                                   (3)

        Si no existe fuerza resultante, la ecuación (2) indica que:
                                           r
                                          dp
                                             =0                         (4)
                                          dt
                                            r
        Resultado que expresa que p se mantiene constante en el transcurso del
                   r
        tiempo o p no depende del tiempo, y por tanto la cantidad de movimiento de la
        partícula se conserva, esto es:
                                          r
                                          p = constante
        Si además la masa de la partícula es constante; la velocidad no cambia, como
        lo afirma la ley de la inercia.




LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY                  14                               FÍSICA I
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 2.11.2. Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal
        Todos los cuerpos del universo se encuentran en interacción mutua unos con
        otros, ésta interacción puede ser de tipo gravitatorio, electromagnética o alguno
        relacionado con las fuerzas del núcleo atómico.
        En consecuencia no existe cuerpo alguno que esté libre de la interacción con
        otros cuerpos es decir libre de fuerzas exteriores. Por tanto, consideremos una
        situación ideal en la cual solo existen 2 cuerpos en el universo formando un
        sistema aislado, sujetos únicamente a su interacción mutua. Como resultado de
        ésta interacción sus velocidades individuales varían con el tiempo y sus
        trayectorias serán curvilíneas.

                                             A

                          m1                                r
                                   r                        v1 f
                                   v1
                                                             r
                                                             v2 f
                          m2            r
                                        v2
                                             B

        En la figura se muestra una interacción por colisión; al lado izquierdo de AB los
        cuerpos se mueven antes del choque y al lado derecho después del choque.
        De acuerdo con la figura si las masas son independientes de su estado de
        movimiento, las cantidades de movimiento resultante en los instantes t0 y t,
        antes y después del choque respectivamente son:
                       r       r         r
                       p 0 = m1v1 + m 2 v 2                               (1)

                       r       r          r
                       p F = m1v1 f + m 2 v 2 f                           (2)

                 r r                                             r      r
        Donde    v1 y v 2 son las velocidades antes del choque y v1 f y v 2 f las
        velocidades después del choque.
        Desde que no existen fuerzas exteriores al sistema podemos escribir
                               r r r
                       r      ∆p p − p0
                       Fext =    =        =0
                              ∆t   t − t0
        O lo que es lo mismo:
                        r r r
                       ∆p = p − p 0 = 0
                        r
                       ∆p = 0                                             (3)
                         r       r       r          r
                       m1v1 + m2 v 2 = m1v1 f + m 2 v 2 f                 (4)


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        Este resultado se generaliza afirmando que:
        “La cantidad de movimiento lineal de un sistema aislado o libre de fuerzas
        exteriores se mantiene constante”

                                        r
                                       ∆p = 0

        Veamos ahora la relación entre las fuerzas internas. Consideremos la
        variación temporal de:
                       r       r        r
                       p 0 = m1v1 + m 2 v 2
                          r
                       r dp 0       r         r
                                   dv1      dv 2
                       F=     = m1     + m2      =0
                          dt       dt        dt
                                                 r         r     r         r
        Si en esta relación reemplazamos        dv1 / dt = a1 y dv2 / dt = a 2 , tenemos:
                        r         r
                     m1 a1 = − m2 a 2                                (5)
                           r        r
        Si definimos por F12 = m1 a1 como la fuerza que obra sobre m1 debido a su
                                          r        r
        interacción con la masa m2 y por F21 = m2 a 2 la fuerza que actúa sobre m2
        debido a su interacción con m1, encontramos que:
                       r       r
                       F21 = − F12                                   (6)

        Es decir las fuerzas constituyen acción y reacción o fuerzas interiores de
        interacción mutua.
        Estos resultados muestran que los principios de la mecánica pueden
        formularse también a partir de la ley de Conservación de la cantidad de
        movimiento lineal.

 2.11.3. Colisiones en una Dimensión
        Cuando la energía cinética se conserva o permanece constante (antes y
        después) se tiene un choque Elástico, en caso contrario inelástico
     1) Choque Elástico: Un choque es elástico cuando la energía cinética se conserva

              m1             m2                               m1             m2

                     r               r                               r               r
                                                                                     v2 f
                     v1              v2                              v1 f
                 Antes del choque                               Después del choque

        Por el principio de conservación de la energía:

                                  Eki = Ek f


LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY                 16                                       FÍSICA I
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                           1 r2 1 r2        1 r      1 r
                             m1v1 + m2 v 2 = m1v12f + m2 v22f                             (1)
                           2       2        2        2
          Por el principio de conservación de la cantidad de movimiento:
                                              r r
                                              pi = p f
                                   r        r        r          r
                                m1 v1 + m 2 v 2 = m1 v1 f + m 2 v 2 f                     (2)




          Donde v1 f      = ? y v2 f = ? son incógnitas
          Desarrollando (1) y (2)
                                    (m1 − m2 )            2m 2
                           v1 f =              v    +             v
                                    (m1 + m2 ) 1i       (m1 + m2 ) 2i
                                                                                 (α)



                           v2 f =
                                      2m1           (m − m1 ) v
                                               v1i + 2                           (β)
                                    (m1 + m2 )      (m1 + m2 ) 2i

          a) Si m1 = m2             →       v1f = v2i ∧        v2f = v1i no existe intercambio de velocidad.
          b) Si m2 >> m1            →       v1f ≈ -v1i ∧       v2f ≈ v2i
          c) Si m2 << m1            →       v1f ≈ v1i ∧        v2f ≈ v2i



     2)   Choque Inelástico: Cuando Ek inicial es mayor que la Ek final la diferencia se
          convierte en calor o en energía potencial de deformación (energía potencial
          de choque). No se conserva el principio de la conservación de la Ek.
          Pero si se cumple el Principio de conservación de la cantidad de movimiento:

              m1                    m2                                     m1                   m2

                          r                r                                      r                    r
                          v1i              v2i                                    v1 f                 v2 f

                 Antes del choque                                           Después del choque


                                       r         r         r          r
                                     m1v1i + m 2 v 2i = m1 v1 f + m 2 v 2 f




LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY                      17                                               FÍSICA I
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA                                                         FÍSICA I

        3)   Choque Completamente Inelástico: El choque de dos cuerpos se llama
        absolutamente inelástico si después de él ambos cuerpos se mueven
        como si fueran uno sólo
             La energía Ek no se conserva y las partículas quedan unidas después del choque:


                     m1                 m2                                     m2
                             r                  r                       m1           r
                             v1i                v 2i                                 vf
                        Antes del choque                                     Después del choque


                                    m1 v1i + m 2 v 2 i = (m1 + m 2 )v f
                                       r         r                  r


                                                           r         r
                                                   r    m1 v1i + m 2 v 2i
                                                   vf =
                                                           m1 + m 2


        Coeficiente de Restitución (e)
        Cuando el choque es inelástico, es necesario otra condición para hallar las
        velocidades de las partículas después del choque, por ello se define el
        coeficiente de restitución “e” que es un número adimensional


               m1            m2                                    m1                m2

                      r                  r                                   r              r
                      v1i                v2 i                                v1 f           v2 f

                 Antes del choque                                    Después del choque

                                v2 f − v1 f
                          e=−                          e: es la elasticidad de las partículas
                                   v2i − v1i
                          0≤ e≤1

                                                                v2 f − v1 f
        -    Choque Elástico:                          e= 1 −
                                                                v2i − v1i
                                                                                          v2 f − v1 f
             Choque Inelástico:                        0< e<1            ⇒          e=−
                                                                                          v2i − v1i
        -


        - Choque Completamente Inelástico                     e = 0, v2f = v1i = vf.




LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY                         18                                          FÍSICA I
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA                                                       FÍSICA I



     Ejemplos:
     1) Una pelota incide sobre un plano horizontal bajo un ángulo de 45º sobre el piso
        con una velocidad V0 y rebota con un ángulo de 30º. Hallar el coeficiente de
        restitución “e”.
        Solución:

                m                                                m
                        V0                                               V0

                45º                                                  α
                                        30º                                         θ


        c.c.m
        m1v1i = m1 v1f
                                         m1 v1i cos45 = m1 v1f cos30º
         v1 f       cos 45º
                =           = 0. 8
         v1i        cos 30º

                     v 2 f − v1 f                  0 − v1 f sen45º v1 f         sen 45º
         e= −                       = −                         =              
                      v 2i − v1i              0 −( −v1i sen30º )  v1i
                                                                  
                                                                                 sen30 º
                                                                                
         e = (0.8)(0.7 )                ⇒ e = 0.6


     2) Un bloque de masa M recibe el impacto de 3 balas cuyas masas son m1 = m2 = m y m3
        = 12m que quedan incrustadas en el bloque. Las velocidades de las masas m1 y m2
        son iguales a V e inciden sobre el bloque formando un ángulo θ entre ellas. Si al final
        del impacto de las tres balas, el bloque no se mueve, calcular la velocidad de la tercera
        bala.


                             r                r
                             v1               v2

                                    θ
                                                                          β               α

                                                                     P2       θ/2   θ/2     P1


        Solución:
                               r       r      r
        c.c.m.               m1v1 + m2 v2 + m3v3 = 0

                     r r             r
        0           (v1 + v2 )m + 12mv3 = 0

LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY                            19                                     FÍSICA I
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA                                             FÍSICA I


                 r r           r
                (v1 + v2 ) + 12v3 = 0          (1)

                        r           r         r
        Pero:           v1 = v cosα i − vsenα j
                        r                r       r
                        v2 = − v cos β i − vsenβ j
                        r           r        r
                        v3 = − v3 x i + v3 y j

        Reemplazando en (1)
                                      r                             r
         (v cos α − v cos β + 12v3 x )i + (vsenα − vsenβ + 12v3 y ) j = 0

         v cos α − v cos β + 12v3 x = 0

         − vsenα − vsenβ + 12v3 y = 0

        De la gráfica: α = β            y      cosα = sen(θ/2)

         v3 x = 0                       v3 y = (v / 6) senα   ;   sen α = cos(θ / 2)

         − 2senα + 12v3 y = 0                     v3 y = (v / 6) sen(θ / 2)




LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY                20                                       FÍSICA I
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA                                                          FÍSICA I


2.12. ESTÁTICA DE FLUIDOS
     La estática o mecánica de fluidos, estudia los fluidos en reposo en situaciones de
     equilibrio, basados en las condiciones de equilibrio de Newton (1ra y 3ra). Los fluidos
     controlan el clima.
     Fluido: es cualquier sustancia que pueda fluir, pueden ser líquidos o gases.
     La estática de fluidos consta de las siguientes partes:
       Hidrostática: Estudia a los líquidos en reposo relativo.
       Neumostática: Estudia a los gases en reposo relativo
     Los fluidos son substancias, idealizadamente un continuo de masa, donde su
     forma puede cambiar fácilmente por escurrimiento debido a la acción de fuerzas
     pequeñas. Son fluidos tanto los líquidos como los gases. Si se analizan las
     fuerzas que pueden actuar sobre una porción de fluido, ellas son de dos tipos:
     causada por agentes exteriores, típicamente el peso de él, y las causadas por el
     fluido que está en su exterior mediante contacto. Es conveniente distinguir la
     parte de esa última fuerza que actúa normal a la superficie, llamadas fuerzas
     debidas a la presión, de las fuerzas tangenciales o de viscosidad. Estas fuerzas
     tangenciales actuando sobre la superficie del elemento de fluido, no pueden ser
     equilibradas por fuerzas interiores, de modo que ellas causan escurrimiento del
     fluido. Si nos limitamos a fluidos en reposo, las fuerzas tangenciales no pueden
     existir.
 2.12.1. Densidad (ρ : kg/m3)
         Es la característica principal de cualquier material y está definido como: su masa por
                                        m.
         unidad de volumen:        ρ=
                                        V
         La densidad depende de los factores ambientales: la temperatura y la presión.


                                        SUSTANCIA         DENSIDA SUSTANCIA
        SUSTANCIA     DENSIDAD                                                         DENSIDAD
                                         LÍQUIDA               D       GASEOSA
          SÓLIDA       (kg/m3)                                                          (kg/m3)
                                                           (kg/m3)
       Aluminio       2.7 x 103    Alcohol etílico        0.79 x 103 Aire              1.29 x 103
       Latón          8.7 x 103    Alcohol metílico       0.82 x 103 Helio             0.18 x 103
       Cobre          8.9 x 103    Sangre                 1.05 x 103 Oxígeno           1.43 x 103
       Vidrio         2.6 x 103    Plasma sanguíneo       1.03 x 103 Vapor de          0.63 x 103
       Oro            19.3 x 103   Gasolina               0.68 x 103   agua (100 ºC)
       Hielo          0.92 x 103   Mercurio               13.6 x 103
       Hierro         7.9 x 103    Agua de mar (4 ºC)     1.03 x 103
       Plomo          11.4 x 103   Agua dulce (4 ºC)      1.00 x 103
       Acero          7.8 x 103
       Madera roble   0.81 x 103


LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY                       21                                             FÍSICA I
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                            ρ
 2.12.2. Densidad relativa (ρr): Es un número adimensional, y es igual a la densidad de
        cualquier sustancia entre la densidad del agua a 4ºC.
                       ρs
               ρr =
                      ρH 0
                        2



 2.12.3. Peso específico
        El peso específico denotado por γ se define como el peso por unidad de
        volumen del fluido, es decir:
                       γ = ρ g ; donde la unidad S.I. será Nm−3

 2.12.4. Presión (N/m2 = Pascal = Pa)
        Si una superficie se coloca en contacto con un fluido en equilibrio (en reposo)
        el fluido, gas o líquido, ejerce fuerzas normales sobre la superficie.
        Las fuerzas tangenciales que un fluido puede ejercer sobre una superficie se
        originan cuando hay movimiento del fluido respecto a la superficie. Si sobre
        una superficie actúan fuerzas normales distribuidas en forma continua, como
        se indica en la figura, se define la presión actuando sobre algún punto de ella
        como la fuerza por unidad de área que actúa sobre la superficie. Esta puede
        ser variable o constante de punto en punto de la superficie. Por esa razón su
        definición involucra un elemento infinitésimo de área dA.




                                         Fuerza de Presión
        O sea la presión en el punto donde se ubica el elemento de área (infinitésimo) dA se define por

                                     dF
                                P=
                                     dA
        Como se verá más adelante, la presión en un fluido en equilibrio aumenta
        con la profundidad, de modo que las presiones serán uniformes sólo en
        superficies planas horizontales en el fluido. Si la fuerza total F está distribuida
        en forma uniforme sobre el total de un área horizontal A como se indica en la
        figura, la presión en cualquier punto de esa área será:

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                                  F
                            P=
                                  A
                                              F




                                          A
                                 Fuerza distribuida uniformemente

        Unidades: P0 = presión atmosférica = 1 atm. = 1.013 x 105 Pa
                     Bar = 1,0 × 105 Pa
                     1 mmHg = 133. 322Pa

        Propiedades de la presión
        La presión en un punto de un fluido en reposo es igual en todas direcciones,
        esto es que la fuerza que experimenta un elemento de área dentro de un
        fluido, no depende de la orientación de ese elemento de área. Además la
        presión en un mismo plano horizontal en el interior de un fluido en reposo, es
        la misma. Estas propiedades fueron enunciadas como “principios” por Pascal,
        pero ahora pueden ser demostradas de modo muy simple usando las leyes
        de la estática
                                                    F
                                          F


                                          F                   F

                                                         F

                                                    F

 2.12.5. Presión atmosférica
        La atmósfera está constituida por aire, una mezcla en ciertas proporciones de
        Nitrógeno y Oxígeno principalmente, que como toda substancia es atraída
        por el campo gravitacional terrestre, es decir la atmósfera tiene peso. La
        atmósfera es un fluido de varios kilómetros de altura, que producto de su
        peso, ejerce presión sobre todos los objetos sumergidos en ella. Esta presión
        se denomina presión atmosférica y como veremos, ella disminuye con la
        altura.
        El famoso experimento de Torricelli, determinó por primera vez su valor.
        Considere un tubo de vidrio de alrededor de 1m de longitud, cerrado en un


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        extremo, lleno de mercurio, un fluido el cual tiene una densidad de alrededor
        13,6 g/cm−3. Tapando el extremo abierto del tubo se invierte el tubo y se
        sumerge el extremo abierto en un recipiente que también contiene mercurio.
        Si este experimento es realizado al nivel del mar, se logra una situación de
        equilibrio como se indica en la figura, donde una altura de h = 76 cm de
        mercurio (760mm) permanece equilibrada con vacío en su parte superior.




                                       Barómetro de cubeta
        Un pequeño análisis de las fuerzas involucradas en el equilibrio de la
        columna suspendida de mercurio, nos da el valor de la presión atmosférica
        Pa. Si A denota el área basal de esa columna, la fuerza que actúa por abajo
        es PaA la cual equilibra el peso de la columna de mercurio el cual es ρHg ghA
        de modo que Pa = ρHg gh = 760mmHg, puesto que la altura suspendida es
        precisamente 760mmHg. Este experimento da origen al aparato llamado
        barómetro de mercurio y también a la unidad de presión llamada mmHg. Si la
        presión atmosférica varía por cualquier razón, también lo hará la altura de la
        columna de mercurio, constituyendo entonces este dispositivo, un aparato
        para medir la presión atmosférica, directamente en mmHg.


 2.12.6. Presión de un Fluido
                     F
                P=
                     A



                                     ∑F   y   =0
                                     PA − (P + dp ) A − mg = 0     ; m = ρV = ρ Ah
                                     PA − (P + dp )A − ρ ghA = 0 ; h = dy
                         (P + dp)A   PA − PA − Adp − ρ gAdy = 0
                                     − dp − ρ gdy = 0
           dy
                                     dp
                                        = ρg        o       dp = − ρ gdy
                         w   PA      dy



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      Vemos que la presión aumenta con la profundidad y disminuye con la altura.


                                                 h = y 2 − y1 ; P1 = P ; P2 = P0
                                                 De:   dp = − ρ gdy
                                                 p2         y2

                      P2 = P0                    ∫ dp = − ∫ ρ gdy
                                                 p1         y1

                 h                               P0 − P = − ρ g ( y 2 − y1 )
                     P1    Y2
                                                 P = P0 + ρ g ( y 2 − y1 )
                Y1
                                                 P = P0 + ρ gh
                                                                               5
                                                  P0 = 1 atm. = 1.013 x 10 Pa

        Los aparatos para medir la presión atmosférica se llaman barómetros, y
        los que miden presión en general, se llaman manómetros.

 2.12.7. Manómetros
        Son aparatos que sirven para medir la presión de los gases y de los líquidos. El tipo
        más sencillo es el manómetro de tubo abierto, que es un tubo en forma de U.




                                     Manómetro de mercurio
 2.12.8. Barómetros
        Son aparatos destinados a medir la presión atmosférica. El tipo más usual es el
        de mercurio. Consiste esencialmente de un tubo cerrado en uno de sus
        extremos que después de llenarse de Hg por el otro se invierte en una cubeta
        que contiene Hg.




                                           Barómetro en U



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 2.12.9. Principio de Pascal
        Cuando se aplica una presión en un punto de un líquido, ésta se transmite a
        todo el líquido con rapidez y prácticamente sin disminuir su intensidad en
        todas las direcciones.




        La prensa hidráulica se fundamenta en este principio: Tenemos dos
        recipientes comunicados llenos de líquido, y tapados por sendos émbolos. En
        equilibrio, la presión en el fondo de ambos recipientes debe ser la misma. Al

        ejercer una fuerza sobre el primer émbolo, la presión añadida P1 = F1 , se
                                                                              A1

        transmite, según el principio de Pascal, al resto del líquido, incluida la
        superficie del émbolo 2:

                     P1 = P2   →    F1 F2
                                      =            →     F2 =
                                                                A2
                                                                   F1
                                    A1 A2                       A1

        Como lo superficie del émbolo 2 es mayor que la del 1, conseguimos ejercer
        una fuerza sobre 2 mayor que la que hemos hecho sobre 1. Así, ejerciendo
        poca fuerza, podemos multiplicarla con este dispositivo.




                                   Prensa Hidráulica




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 2.12.10. Vasos Comunicantes
        Se denomina así, a los conocidos tubos en “U”, cuando dos recipientes que
        contienen líquido, se comunican por su parte inferior.
        Cuando los dos recipientes comunicados, tienen una sola clase de líquido, en
        ambas ramas se alcanza la misma altura, independientemente de la forma de
        cada recipiente, dado que la presión hidrostática en cualquier punto del fondo
        debe dar el mismo resultado, cualquiera sea la rama por la que se calcule.
        La paradoja hidrostática de la figura ilustra ésta situación:
                              P0 P0        P0      P0    P0        P0




                      H1
                           H2


        De acuerdo al Principio de vasos comunicantes se tiene que: todos los
        puntos de color rojo tienen la misma presión porque se encuentran a la
        misma altura H1. Los puntos de color azul tienen la misma presión porque se
        encuentran a la misma altura H2.
        La figura siguiente muestra un tubo con forma de “U”, conteniendo dos
        líquidos de distinta densidad.




        La diferente altura que los mismos alcanzan en cada rama del tubo por
        encima del nivel de la interfase, está en relación inversamente proporcional a
        sus pesos específicos.
        Estas alturas, las podemos relacionar entre sí, igualando la presión
        hidrostática en la interfase:

                                ρ r hr = ρ a ha
        O bien como relación de alturas:

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                                 ha ρ r
                                   =
                                 hr ρ a

 2.12.11. Principio de Arquímedes

        Cuando un cuerpo sólido está en equilibrio en el interior de un fluido, él estará
        sometido a fuerzas exteriores de dos tipos: su peso u otras fuerzas aplicadas, y
        además las fuerzas distribuidas sobre su superficie causada por la presión dentro del
        fluido. Esas últimas actúan normalmente a la superficie del cuerpo y su resultante
        vertical puede ser fácilmente calculada. En efecto, si se considera la segunda de las
        figuras donde el cuerpo no está presente, pero se ha marcado la región donde el
        cuerpo estaba, las fuerzas sobre esa superficie imaginaria son naturalmente las
        mismas que actuaban sobre el cuerpo. Pero ahora, ellas equilibran verticalmente al
        fluido encerrado por esa superficie, de modo que la resultante vertical hacia arriba,
        debe igualar al peso del fluido encerrado por dicha superficie. Se tiene entonces el
        llamado principio de Arquímedes.




        Cuando un cuerpo se sumerge en un fluido, él experimenta una fuerza
        ascendente, llamada fuerza de empuje, que es igual al peso del fluido
        desplazado por el cuerpo.

        En términos matemáticos, si V denota el volumen sumergido, ρL la densidad del
        líquido y E la magnitud del empuje, entonces:
                       E = ρ LV g

        CALCULO DEL EMPUJE:
        Hay dos maneras de expresar el empuje (E), según los datos que se suministren:
        a) En función del peso del cuerpo en el aire (W C) y de lo que aparenta pesar al

        sumergirlo (W A); y b) En función del peso específico del líquido   ρL   y del volumen del
        cuerpo (VC).

             a)   E = Wc − W A
             b)   E = ρ LVC
        Se presentan tres situaciones, según los valores relativos de peso y empuje referidas
        a un cuerpo que se sumerge en un líquido:
        1) E < WC El cuerpo se hunde.


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        2) E = WC El cuerpo permanece en equilibrio en el seno del líquido.
        3) E > WC El cuerpo emerge parcialmente hasta que se equilibra: E = WC
        En el caso en que el cuerpo sea macizo, podemos establecer para cada una de las
        situaciones antes enunciadas, las siguientes relaciones:
        1)   ρL   <   ρ c (Peso específico del líquido menor que el del cuerpo).
        2)   ρL   =   ρc   (Peso específico del líquido igual que el del cuerpo).

        3)   ρL   >   ρc   (Peso específico del líquido mayor que el del cuerpo).


 2.12.12. Tensión Superficial (N/m)
        Las moléculas de un líquido ejercen pequeñas fuerzas de atracción, unas sobre
        las otras. Aún cuando las moléculas son eléctricamente neutras. Dentro de un
        líquido, en el que cada molécula está complemente rodeada de otras
        moléculas, la fuerza neta es cero.
        A pesar de ello, para las moléculas de las superficies del líquido, no existen
        fuerzas de atracción que actúen de arriba de la superficie hacia el interior del
        líquido (el efecto de las moléculas de aire es pequeño y se considera
        despreciable). Como consecuencia las moléculas de la capa superficial
        experimentan fuerzas netas debidas a las moléculas vecinas, que están justo
        debajo de la superficie. Este impulso hacia abajo sobre las moléculas de la
        superficie causa que el líquido se contraiga y resista ser                                  estirado o roto,
        propiedad que se llama tensión superficial.


                                                       F                      F
                                   Gota de
                                   agua


                                                                  mg
                                                                  (b)                                    (c)
                       (a)




                                                                (d)

             (a) La fuerza neta sobre una molécula en el interior de un líquido es cero, debido a que está rodeada por otras
                moléculas. No obstante, una molécula en la superficie experimenta una fuerza neta que no vale cero, y que
                se debe a las fuerzas de atracción de las moléculas vecinas que están justo debajo de la superficie.
             (b) Para formar una depresión superficial, se debe realizar un trabajo, ya que las moléculas que están más
                hacia el interior deben traerse a la superficie para incrementar el área. Como resultado, el área superficial
                actúa como una membrana elástica estirada, y la fuerza del peso de un objeto, como una aguja, es
                soportada por los componentes de la tensión superficial hacia arriba.
             (c) Las patas del insecto hacen una depresión similar, y los componentes de la fuerza resultante hacia arriba
                permiten que el insecto camine sobre el agua.
             (d) Debido a la tensión superficial, las gotitas de agua tienden a asumir la forma que haga mínima su área
                superficial; es decir, una esfera.


LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY                             29                                                     FÍSICA I
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        Si una aguja para coser se coloca cuidadosamente sobre la superficie de un
        cuenco de agua, la superficie actúa como una membrana elástica bajo
        tensión. Hay una ligera depresión en la superficie, y las fuerzas moleculares
        a lo largo de la depresión forman un ángulo con la superficie (figura b). Los
        componentes verticales de estas fuerzas equilibran el peso (mg) de la aguja y
        ésta "flota" sobre la superficie. Similarmente la tensión superficial soporta el
        peso de un andador en agua (figura c).
        El efecto neto de la tensión superficial es hacer que el área de la superficie
        de un líquido sea tan pequeña como sea posible. Esto es, un volumen dado
        de líquido tiende a adoptar la forma que tiene el área superficial menor.
        Como resultado, las gotas de agua y las burbujas de jabón tienen formas
        esféricas, porque la esfera es la forma con el área superficial menor para un
        volumen dado (figura d). Al formarse una gota o una burbuja, la tensión
        superficial tira de las moléculas a reunirías para minimizar el área superficial.
        Cuantitativamente, la tensión superficial (γ) en una película líquida se define
        como la fuerza por unidad de longitud que actúa a lo largo de una línea (por
        ejemplo, a lo largo de un alambre) cuando se estira la superficie:
                                   F
                              γ=              (Tensión superficial)
                                   L
        En el cuadro se dan las tensiones superficiales de algunos líquidos. Como se
        puede esperar, la tensión superficial es dependiente en grado elevado de la
        temperatura.




        En la figura se muestra un aparato que se utiliza para medir la tensión
        superficial. Básicamente, el dispositivo mide la fuerza que se requiere para superar la
        tensión superficial. Para un aro circular de alambre, L es la longitud de la
        circunferencia y γ = F/2L, debido a que hay dos superficies de película (una de cada
        lado del alambre).


LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY              30                                         FÍSICA I
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        Otra forma de estudiar la tensión superficial es en términos del trabajo o la
        energía necesarios para estirar el área superficial. Si se utiliza un pedazo
        recto de alambre de longitud L para estirar una superficie una distancia
        paralela Ax, el trabajo hecho contra la tensión superficial es:

                ∆W = F∆X = γL∆X = γ∆A
        Dado que
                F = γL y ∆A = L∆X ( el cambio en el área superficial). Así tenemos que:
                                     ∆W
                                γ=
                                     ∆A
        La tensión superficial, o fuerza por unidad de longitud, es equivalente al
        trabajo por unidad de cambio en el área de la superficie, con unidades de
        J/m2.

                Cuadro. Tensiones superficiales de algunos líquidos (N /m)
                                                      Tensión
                     Líquido         Temperatura
                                                                 γ
                                                    superficial (γ)
                Alcohol etílico
                                       (20 ºC)            0.022
                Sangre entera
                                       (37 ºC)            0.058
                Plasma
                                       (37 ºC)            0.072
                sanguíneo
                                       (20 ºC)             0.45
                Mercurio
                                       (20 ºC)            0.025
                Agua jabonosa
                                        (0 ºC)            0.076
                Agua
                                       (20 ºC)            0.073
                Agua
                                      (100 ºC)            0.059
                Agua




        Ejemplos

        1) Las densidades del aire, helio o hidrógeno (en condiciones normales) son
            respectivamente 0.00129 gr/ cm3, 0.000178 gr/cm3 y 0.0000899 gr/cm3.
          a) ¿Cuál es el volumen en metros cúbicos desplazado por un dirigible lleno de
                hidrógeno que tiene una fuerza ascensional total de 10 toneladas?
          b) ¿Cuál       sería la fuerza    ascensional    si se   utilizara el helio   en vez de
                hidrógeno?
          Solución:
          F = Fuerza ascensional resultante = Empuje hidrostático – Peso dirigible




                     W
                                          a. Fh = E – W
                                                = ρ a gV - ρH g V = 107 gr f
                                                 (10 toneladas: 104 kg : 107 gr)
                     E



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                                                     7
             Además               V =          10          x           980 dinas
                                                                       3         2
                                            (0.00129 – 0.0000899) gr/cm 980 cm/s
                                                 7       3                          9    3
                                        = 10 cm                   =       8.33 x 10 cm
                                                -3
                                          1.2x10
                                                         3
                                        =       8330 m

             b.        FHe    =       ρa g V - ρHe g V
                                                                          3             2         3
                   =    (0.00129 – 0.000178) gr/cm x 980 cm/sg x 109 cm
                                                                                6
                   =     9.0776 x 109 dinas = 9.26 x 10 gr-f

                                                                  = 9.26 tonelada

        2) En un tubo hay capa de aceite de oliva de 2m de espesor, que flota sobre una
            capa de agua de 1.5 m de espesor. La cual a su vez esta sobre una capa de
            mercurio de 0.5 m. La superficie                              libre del aceite   esta sujeto   a la presión
            atmosférica. ¿Cuál será el valor de la presión absoluta en la superficie interior
            del mercurio?. La densidad relativa del aceite de oliva es 0.92 y la del mercurio
            13.6
            Solución:



                                                             P0

                        2m ρac

                                                         P1 = P0 + ρac g hac

                       1.5 m ρH20
                                                         P2 = P1 + ρH2o g hH2o
                                                         P2 = P0 + ρac g hac + ρH2o hH2o
                       0.5m       ρHg
                                                             P3 = P2 + ρg g hHg


              P3 = P0 + ρac g hac + ρH2o g hH2o + ρHg g hHg

              P3 = Po + g( ρac hac + ρH20 h H20 + ρHg hHg)
                                  5         2                         2                                       3        3
                  = 1.01 x 10 N/m               + 9.8 m/sg (0.92 x 2 x 1 x 1,5 + 13.6 x 0.5) x 10 Kg/m
                                  5         2
             P3 =        2 x 10 N/m




LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY                                32                                                  FÍSICA I
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        3) A un estudiante se le asigna la tarea de diseñar un globo esférico cuya
            capacidad bruta de carga sea de 4 900 N, lo que corresponde a una masa de
            500 kg que incluye la masa del propio aeróstato. El globo se llenará con
            hidrógeno. Hallar el radio mínimo que deberá tener el globo para levantar esa
                                           3                    3
            carga total. (ρaire = 1.293 kg/m ), (ρH = 0.090 kg/m )
            Solución:




                                         E aire

                    4 900 N
                                               r




                                                   m Hg




             F = 4 900 N
             Eaire – mHg = 4 900 N
             Ρaire g A V - ρH g V = 4 900 N


             Vg (ρaire - ρH) = 4 900 N ; V = 4 πr3
                                             3

                              3 x 4900
              r=3                             = 4.63m
                        4πg ( ρ aire − ρ Hg )




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2.13. DINÁMICA DE FLUÍDOS
 2.13.1. Fluidos: es cualquier sustancia que pueda fluir, puede ser líquido o gases.
        El flujo de los fluidos puede ser de régimen estacionario o de régimen variado

                                                                     r
      1.1.   Flujo estacionario: Cuando la velocidad del fluido v en cualquier punto
             dado se conserva constante en el transcurso del tiempo.
             Cuando el movimiento es de tipo estacionario, cada partícula que pasa por
             un punto tal como P; sigue exactamente la misma trayectoria que las
             partículas precedentes que pasaron por dicho punto.



                                  a

                A

                            b
                                                Líneas de flujo

                             Tubo de Flujo


        Para hacer una descripción de la dinámica de fluido se trabaja con flujos
        ideales, los cuales se toman cuatro características:


        a) Flujo Uniforme: Todas las partículas del fluido tienen la misma velocidad al
              pasar por un punto.
        b) Flujo Irrotacional: Significa que un elemento de fluido (un volumen
              pequeño del fluido) no tiene velocidad angular neta ( ω = 0) eliminando
              corrientes remolinos (el flujo no es turbulento).
        c) Flujo No viscoso: La viscosidad se desprecia. La viscosidad se refiere a
              una fracción interna del fluido donde no existe fricción entre el fluido y
              paredes internas del recipiente, donde la velocidad del centro del recipiente
              es mayor y menor en las paredes del recipiente por fricción. (no se pierde
              energía)
        d) Flujo Incomprensible: La densidad del flujo es constante (líquidos). Los
              gases son incomprensibles, se basa en el principio de conservación de la
              masa y conservación de la energía.




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 2.13.2. Ecuación de Continuidad
        Si no perdidas de fluido dentro de un tubo uniforme, entonces la masa del fluido
        que fluye dentro del tubo en un momento dado debe ser igual a la masa que
        fluye fuera del tubo en el mismo tiempo. (Conservación de la masa)

                                                                  V2

                                                                        F2 = P2A2
                      V1                                          ∆L2

         F1 = P1A1                                           h2
                     ∆L1
                                 h1




      Como ∆m = ρ ∆V ; pero ∆V = A.∆L y ∆L = v.t , entonces              ∆m = ρ ( A, v, ∆t )
      Entra :         ∆m1 = ρ1 ( A1 , v1 , ∆t )
      Sale    :       ∆m2 = ρ 2 ( A2 , v 2 , ∆t )


      Por el Principio de conservación de la masa:
                                ∆m1 = ∆m2

                           ρ1 A1v1 ∆t = ρ 2 A2 v2 ∆t

                                      ρ1 A1v1 = ρ 2 A2 v 2

                                 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
                                           ρ Av = const.

      Como el fluido es incomprensible, es decir: ρ = const.


                                       A1v1 = A2 v2

                                ECUACIÓN DE GASTO: (m3/s) o (vol/seg)


      La razón de flujo de volumen dV/dt. Es la rapidez con que el volumen cruza una
      sección del tubo.




LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY                      35                                     FÍSICA I
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DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA                                                                  FÍSICA I

 2.13.3. Ecuación de Bernoulli
        Por el Principio de conservación de energía y del trabajo, tenemos:
                                                                            V2

                                                                                       A2     F2
                            V1                                              dS2
                                                                        c          d
        F1     A1                                                      h2
                         dS1
                    a              b   h1



      Tenemos:              dS1 = v1 dt                                     dS 2 = v2 dt
      El fluido es incomprensible

               A1v1 = A2 v 2
               dV = A1 dS1 = A2 dS 2
      Entonces: el trabajo P1 y P2

         F1 = P1 A1     y   F2 = P2 A2
         dw = FdS
         ∆W = P1 A1 dS1 − P2 A2 dS 2                     ∆W = ( P − P2 )dV
                                                                 1                      (1)

      Por Conservación de la Energía Cinética.
               a yb                                                         c yd

               dV1 = A1dS1                                                  dV2 = A2 dS 2
               dm = ρ A1 ds1                                                dm = ρ A2 ds2
                         1                                                             1
               Ek1 =       ρ ( A1 ds1 ) v12                                 Ek2 =        ρ ( A2 ds2 ) v 2
                                                                                                        2

                         2                                                             2
                                               1
                                       ∆Ek =     ρ dV (v2 − v12 )
                                                        2
                                                                                        (2)
                                               2
      Por Conservación de la Energía Potencial
               a yb                                                         c yd

               dm g y1 = ρ dV g y1                                          dm g y 2 = ρ dV g y 2
                                       ∆E p = ρ dV g ( y 2 − y1 )                       (3)

      Por el Principio de Conservación de la Energía,
        De las ecuaciones (1), (2) y (3), tenemos:                  dW = dEk + dE p

         ( P1 − P2 )dV      =
                                 1
                                   ρ dV (v2 − v12 ) + ρ dV g ( y 2 − y1 )
                                          2

                                 2
                        1        1
         P−P =
         1  2             ρ v 2 − ρ v12 + ρ g y 2 − ρ gy1
                              2

                        2        2

                  1                     1 2
              P1 + ρ v12 + ρ g h1 = P2 + ρ v2 + ρ g h2               ECUACIÓN DE BERNOULLI
                  2                     2

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 2.13.4. Viscosidad
        Todos los fluidos reales tienen resistencia interna al flujo, que se describen
        como viscosidad, se puede considerar que la viscosidad es una fricción
        entre las moléculas de un fluido.
        • En los líquidos          es    ocasionada         por las fuerzas          cohesivas        de corto
          alcance.
        • En los gases, por las colisiones entre las moléculas. Por lo tanto el
          arrastre viscoso o de líquidos y gases depende de la velocidad y
          puede ser directamente proporcional a ella en algunos casos. La fricción
          interna causa que las capas de fluido se muevan unas con respecto a
          otras en respuesta a una tensión corte.




          Fig. Flujo laminar (a)Una tensión al corte causa que las capas de fluido se muevan una sobre otra
               en flujo laminar. La fuerza de cizalla y la velocidad de flujo dependen de la viscosidad del fluido.
               (b)Para el flujo laminar a través de un tubo, la velocidad del flujo es menor cerca de las paredes
               debido al arrastre friccionar entre las paredes y el fluido.

        • Este movimiento en capas, llamado fluido laminar es característico del
          flujo    uniforme        a    velocidades          bajas      de los líquidos viscosos.               A
          velocidades mayores el flujo se convierte en rotacional, o turbulento.
          La magnitud de la tensión cortante por un coeficiente de viscosidad, η.
          Se define como relación entre el esfuerzo cortante, F/A, y la razón de
          deformación:

                               Esfuerzo cor tan te   F/A
                        η=                         =
                              Razón de deformación   v /1

      FLUJO DE LOS FLUIDOS VISCOSOS

      La viscosidad en los fluidos se debe a atracciones entre las moléculas del
      líquido y la de los sólidos que están en contacto con el.

      El efecto de la viscosidad es hacer más lento el flujo y producir resistencias al
      movimiento de objetos a través del fluido.

      La fricción de un fluido aumenta conforme la velocidad aumenta y depende de
      las formas de los objetos en contacto con el fluido y del fluido mismo (su



LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY                       37                                                  FÍSICA I
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      densidad). El coeficiente de viscosidad (η) aumenta con el aumento de
      temperatura para gases y en líquidos la relación es inversa con la temperatura.

      La ley fundamental de la viscosidad es que el valor de la fuerza de viscosidad
                                                                             
      es proporcional al área y al gradiente de velocidad (            V/    y), que existe en

      lugar donde esta situada el área de contacto (A) según la figura
                               − ∂v 
                       F = η A
                               ∂y  
                                    

                       [η ] =     g
                                       = Poise
                                cm.seg

                                   v
                       F =η A
                                   l


       OBSERVACIONES
      1. Los fluidos fluyen con facilidad, como el agua y la gasolina, tienen menor
          viscosidad que los líquidos “espesos” como la miel o el aceite de motor.
      2. Las viscosidades              de todos los fluidos       dependen      mucho    de la
          temperatura, aumentando                para los gases    y disminuyendo para los
          líquidos a medida que aumenta la temperatura.
      3. Un objetivo importante del diseño de aceites para lubricar motores es
          reducir la variación de la viscosidad con la temperatura lo mas posible.
      4. Unidades:
          • La unidad de viscosidad es la fuerza por distancia, dividida entre la
            rapidez.
          • La unidad en el S.I. es: 1 N.m / [ m/s] = 1N.s/m2 = 1 Pa.s
          • La unidad en cgs, es: 1 din.s/cm2, es la unidad de viscosidad. Llamado
            Poise
            1 Poise = 1 din . s/ cm2 = 10-1 N. s/m2
          • También se usan el centipoises y el micropoise. La viscosidad del agua
            es de 1.79 centipoise a 0º C y de 0.28 centipoise a 100 ºC
          • Los aceites lubricantes suelen tener viscosidades de 1 a 10 Poise, y la
            del aire a 20 ºC es de 181 micropoise.




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      ECUACIÓN DE POISEUILLE Y LEY DE STOKES
                                         L


            R




                Fig. Perfil de velocidad para un fluido viscoso en un tubo de cilindro.

      La figura muestra el perfil de rapidez de flujo para el flujo laminar de un fluido
      viscoso en un tubo cilíndrico largo. La rapidez es máxima a lo largo del eje y
      cero en las paredes.

      El movimiento es como muchos tubos concéntricos deslizándose entre si,
      donde el tubo central se mueve más rápidamente y el más exterior esta en
      reposo.

       •   Si aplicamos la ecuación:
                     F / A Fl  F  l 
                H=        =   =
                     v/l    Av  A   v 
                                  
                     F l (P − P2 ) 2 2
                v=
                     ηA
                        = 1
                           4η l
                                    (
                                  R −v       )
      Donde P1 y P2, son las presiones en los dos extremos de un tubo de longitud
      L. La rapidez en cualquier punto es proporcional al cambio de presión por
      unidad de longitud, (P2 – P1)/L o dP/dX , llamado gradiente de presión.

      Para calcular la razón            de flujo    total de volumen a través             de un tubo,
      consideramos un anillo con radio interior r, radio exterior r + dr y área
      transversal dA = 2π r.

      •    La razón de flujo de volumen a través de este elemento es v dA; la razón
           de flujo total de volumen se obtiene integrando desde γ = 0 a r =R.

                 dv π  R 4  P − P2 
                   =   1            que es la llamada ecuación de Poiseuille .
                 dt 8  η  l 
                       
      •    Una esfera de radio r que se mueve con una rapidez v a través de un
           fluido con viscosidad η experimenta una fuerza de resistencia viscosa F
           dada por la ley de STOKES:
                         F=6πηv


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 2.13.5. Numero de Reynolds
        Cuando la velocidad de flujo de un fluido excede cierto valor, el flujo deja de ser
        laminar y se convierte en turbulento. En ese momento ya no tiene aplicación la
        Ley de Poiseuille. El análisis del flujo turbulento es una tarea difícil, pero existe
        un valor determinado experimentalmente que nos indica el umbral de la
        turbulencia. Este valor se expresa en términos de una cifra adicional que se
        denomina Número de Reynolds (R):
                             ρ vd
                       R=
                              η
        Donde ρ es la densidad del fluido, v la rapidez promedio de flujo, d el

        diámetro de un tubo o conducto cilíndrico y η la viscosidad.
        En un tubo con paredes lisas, el flujo laminar si Rn es inferior a 2000. La
        turbulencia se establece cuando Rn es de alrededor de 2000 o más (Rn ≥
        2000). Es posible que haya un flujo laminar si Rn es superior a 2000, pero será
        un flujo inestable. Cualquier trastorno ligero ocasionará que se convierta en
        turbulento. Es interesante que con frecuencia la velocidad de flujo es mayor
        que se aplicara la ley de Poiseuille.
        Matemáticamente, el Re es un parámetro adimensional que expresa la
        relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de viscosidad o de fricción
        en el interior de una corriente.
        Las fuerzas de inercia que actúan sobre un volumen L3 de corriente vienen
                                                                                    v
        dadas por la ecuación de Newton: F = ma               m = ρ .L3        a=
                                                                                    T
                                 v                    L
        Por lo tanto, F = ρ .L3 .      y como:   v=       ⇒   F = ρ .L2 .v 2
                                 T                    T
                                                                               v
                      La fuerza de viscosidad tiene por ecuación: Fv = µ . .S
                                                                               y
                                             v
                      Por lo tanto, Fv = µ. .L2 = µ.v.L
                                             L
                      El cociente entre las dos fuerzas es el Re:

                             ρ .L2 .v 2 ρ .L.v
                      Re =             =
                              µ .L.v      µ

        La importancia del número de Reynolds no sólo radica en el hecho de poder
        determinar la velocidad crítica que caracteriza el régimen de una corriente de
        líquido. También se utiliza, para el cálculo de pérdidas de carga en
        conducciones.


LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY                   40                                     FÍSICA I
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA                                                FÍSICA I

        Ejemplos:

      1) El cilindro y el tubo mostrado en la figura, contienen aceite de densidad
          relativa 0.902. Para una lectura manométrica de 2.2 Kg-f/cm2, ¿Cuál es el
          peso total del pistón y el peso de la placa?

                                               D

                        W
                                        1.8m
                       Pistón
                                    B          C
                       1.8m




          Presión en B = Presión en C

          WT
             = Pm + γ h
           A
          WT = Wm + W pistón
          Despejando WT y reemplazando los datos tenemos.
                                    WT = 61 000kg-f.


      2) Determinar la presión en el punto A para el manómetro inclinado mostrado en
          la figura.

                         A la cámara
                         de vacío
                                                     Abierto a la
                                                     atmósfera

                                A
        Recipiente
        de Hg
                                               C       12.5cm
                            B
                                               30º


          Presión en B = Presión en C

          PA + γ h = P0
          PA = P0 − γ h

          PA = 1.033x10 4 − 850
          PA = 0.948 kg − f / cm 2
          El nivel en el tubo está mas bajo que el recipiente porque en éste está hacia el vacío.




LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY                       41                                   FÍSICA I
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA                                 FÍSICA I




BIBLIOGRAFÍA


     ALONSO - FINN                  FISICA Vol I. Fondo Educativo Interamericano
                                    S.A. 1986.


     GOLDEMBERG                     FISICA GENERAL Y EXPERIMENTAL Vol I.
                                    2da Edic. Nueva Edt. Interamericana.

     TIPLER P.A.                    FISICA VOL. I Reverté S.A. Barcelona 1985.

     Mc. KELVEY y GROTCH            FISICA PARA CIENCIAS E INGENIERIA Vol I.
                                    Edt. Harla 2000.

     RESNICK - HALLIDAY:            FISICA PARTE I. Continental S.A. México
                                    1981.

     SERWAY-JEWET:                  FISICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA
                                    VOL. 1. 7ma Edic. Cengage Learning S.A.
                                    México 2008


     Apuntes del Docente.




LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY       42                                    FÍSICA I

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trabajo y energia

  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I - UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I: CUADERNO Nº 02 SEGUNDA UNIDAD A m1 r r v1 f v1 r v2 f m2 r v2 B CICLO: II CICLO E.A.P.: INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL DOCENTE: LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY NUEVO CHIMBOTE - PERU DICIEMBRE - 2009 LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 1 FÍSICA I
  • 2. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I TRABAJO Y ENERGÍA En este capítulo se desarrollan otros aspectos de la dinámica de una partícula. La descripción matemática supone la presencia de una sola partícula reduciendo su interacción con el resto del universo a una única fuerza. Bajo este criterio se definen los conceptos de impulso, trabajo, energía y potencia. 2.1 IMPULSO De la 2da ley de Newton sabemos que: r dp r =F dt Si la fuerza varía con el tiempo, ejecutamos la siguiente integración p r t r ∫ p0 dp = ∫ Fdt 0 r r t r p − p0 = ∫ Fdt (1) 0 La acción de una fuerza durante un intervalo de tiempo finito se conoce como impulso (I) y matemáticamente queda definido por la siguiente integral: r r t r r p − p0 = ∫ Fdt = I 0 (2) r t r I = ∫ Fdt 0 Relacionando (2) y (1) podemos afirmar: que el impulso es causa de la variación de la cantidad de movimiento lineal de la partícula. El impulso se mide en N.s En muchos casos la fuerza es una función de la posición, como por ejemplo la fuerza gravitacional o la fuerza elástica de un resorte en tales casos es mucho más útil los conceptos de trabajo y energía 2.2 TRABAJO: W (Joules) r Consideremos una partícula de masa m que se mueve por la acción de la fuerza F en la trayectoria curvilínea C que en el tiempo dt efectúa el desplazamiento dr . r Y Decimos entonces que durante el desplazamiento la r r 1 dr FT fuerza ha producido trabajo infinitesimal dw definido r 2 como el producto escalar de la fuerza por el r F r desplazamiento: r r X dw = F.dr (3) LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 2 FÍSICA I
  • 3. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I Definimos el trabajo elemental, podemos expresar el trabajo realizado para llevar la partícula desde el punto (1) al punto (2) como: 2 r r w = ∫ Fdr (4) 1 en componentes rectangulares tenemos: r r r r F = Fx i + Fy j + Fz k r r r r dr = d x i + d y j + d z k que sustituidos en (4) y desarrollando el producto escalar nos da: 2 2 2 w = ∫ Fx dx + ∫ F dy y + ∫ F dzz (5) 1 1 1 r Si utilizamos la definición de producto escalar y asumiendo que el módulo de dr es dS, tenemos de (4): 2 w = ∫ FdS cosθ (6) 1 Según la figura anterior: FT = Fcosθ, por tanto: w = ∫ FT dS (7) Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento (θ=90º) el trabajo efectuado por la fuerza es cero. 2.3 POTENCIA (P): (Watts) Es la rapidez con que se realiza trabajo Un trabajo determinado que se efectúa en un tiempo muy largo está asociado a una potencia muy baja en tanto que el mismo trabajo realizado en un tiempo muy corto corresponde a una potencia grande. Si el trabajo se realiza a un ritmo constante la potencia media p se define como: W P= (8) t Si el trabajo se realiza a un ritmo variable, la potencia instantánea queda definida por: dw P= (9) dt r r F .dr P= dt rr P = F .v (10) LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 3 FÍSICA I
  • 4. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I 2.4 TRABAJO EN UN RESORTE a) r F´ r F X r r Aplicamos F sin aceleración ( a = 0 ) F = KX (Ley de Hooke) K = constante elasticidad resorte El resorte a su vez reacciona con una fuerza igual y opuesta: F´ = KX (Ley de Hooke) F = Fuerza deformadora F´ = Fuerza restauradora b) r F X0=0 X1 X2 r Al aplicar F´ lentamente ( a = 0 ), efectuando trabajo al llevar el punto X1 a X2 . r r x2 x2 1 x w = ∫ Fdr = ∫ Fdx = ∫ Kxdx = Kx2 x12 x1 x1 2 1 2 ( W = K x2 − x12 2 ) LEY DE HOOKE F(N) 0A: zona Elástica AB: zona plástica B B: punto de ruptura A 0 L (m) Fig. 1: Diagrama de la fuerza en función de la deformación elástica para un resorte Cuando un cuerpo sufre una deformación, la fuerza deformadora es proporcional a la deformación del cuerpo siempre y cuando el estiramiento no supere el límite elástico. En el caso particular de la deformación longitudinal de un resorte, la fuerza deformadora es proporcional a la elongación, Al resorte; en tal caso se dice que la deformación es elástica: F = KL (1) LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 4 FÍSICA I
  • 5. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I Donde K es la constante de proporcionalidad llamada constante de fuerza o constante elástica que depende de la naturaleza del material y de la forma del resorte, y L es el desplazamiento medido desde la posición de equilibrio, llamado también elongación. F(N) K= pendiente ∆L(m) Fïg. 2. Comportamiento del Resorte La ecuación (1) se conoce como Ley de Hooke. Como la ecuación (1) representa la relación lineal entre la fuente F y el desplazamiento. La constante K resulta ser la pendiente de la recta representativa de F vs ∆L (Fig. 2). 2.5 TRABAJO DE LA FUERZA PESO O FUERZA DE GRAVEDAD Debido a la acción de la fuerza de la gravedad los cuerpos tienden a ocupar los niveles más bajos sobre la superficie terrestre, ubicándose en una determinada posición de equilibrio. Para sacar a un cuerpo de su posición de equilibrio y levantarlo a niveles más altos se necesita aplicar una fuerza exterior. r r F dr r r F = mg j r r r r r F´ = − mg j F + F´= 0 Pero se mueve a velocidad F´ Y2 constante Y1 r r r r r r W = ∫ F .dr dr = d x i + d y j + d z k r W = ∫ Fy .dy y2 W = ∫ mg.dy y1 W = mg ( y 2 − y1 ) LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 5 FÍSICA I
  • 6. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I 2.6 ENERGÍA CINÉTICA: Ek (Joules) Consideremos una partícula de masa m que se FT S2 r mueve por acción de la fuerza resultante ( F ) m F FN según una trayectoria C cualquiera. En la S1 siguiente figura se muestra esta fuerza con sus respectivos componentes. De acuerdo con la 2da ley de Newton tenemos: dv F = maT = m , multiplicando a ambos lados por: dS dt dS FT dS = mv = mvdv dt Integrando entre S1 y S2 para hallar el trabajo total en ese tramo tenemos: s2 v2 1 2 1 W= ∫s1 FT dS = ∫ mvdv = mv2 − mv12 v1 2 2 1 2 1 2 W= mv 2 − mv1 2 2 1 2 En general, la expresión mv se llama energía cinética de la partícula y se 2 define por Ek: 1 2 Ek = mv 2 Multiplicando y dividiendo el segundo miembro de esta ecuación por m se tiene una relación en función de la cantidad de movimiento: mv 2 p2 p2 Ek = = Ek = 2m 2m 2m “El trabajo efectuado por una fuerza resultante sobre una partícula, es igual al cambio producido en la energía cinética de la partícula” W = E k 2 − E k1 ⇒ W = ∆E k LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 6 FÍSICA I
  • 7. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I 2.7 ENERGÍA POTENCIAL (Ep: Joules) La energía potencial de un cuerpo o de un sistema es el resultado del trabajo de una r r F dr fuerza deformadora en equilibrio con las r Y2 fuerzas internas del sistema y la designamos F´ como Ep y constituye la energía transferida al sistema por acción de una fuerza exterior. La Y1 energía potencial de un cuerpo con relación a la fuerza de gravedad es: r r r r r r W = ∫ F .dr dr = d x i + d y j + d z k r W = ∫ Fy .dy y2 E p = ∫ mg.dy y1 E p ( y ) = mg ( y 2 − y1 ) Así la energía potencial gravitacional puede medirse a partir del nivel del mar o a partir del 5to piso de un determinado edificio. Los cálculos del trabajo nos muestran que dicho trabajo no es sino la diferencia de los valores de la función potencial entre las posiciones inicial y final de la partícula dentro de un campo de fuerzas: E p ( y ) = mgy 2 − mgy1 Si h = y2 – y1 E p ( y ) = mgh ∆ E p = E p ( y 2 ) − E p ( y1 ) ∆E p = W Donde W es el trabajo realizado por la fuerza exterior pero si el trabajo a sido realizado por las fuerzas internas o de recuperación tenemos: − ∆E p = W ⇒ ( W =− Ep2 − Ep1 ) Tanto la energía cinética como la potencial se han definido como efectos de la realización del trabajo de una fuerza. Sin embargo sus características son LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 7 FÍSICA I
  • 8. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I diferentes, mientras la energía cinética está relacionada con el movimiento del cuerpo y por lo mismo es una energía en el sentido dinámico. La energía potencial está relacionada con la posición y se encuentra latente o potencialmente almacenada en un estado de reposo, pero que puede hacerse manifiesta o activa, cuando el trabajo es realizado por la fuerza interior. 2.8 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS Son las fuerzas que se encuentran en la naturaleza pueden dividirse en dos categorías: conservativas y no conservativas 2.8.1. Fuerzas Conservativas Una fuerza es conservativa si el trabajo que hace sobre una partícula que se mueve entre dos puntos cualesquiera es independiente de la trayectoria seguida por la partícula. Además, el trabajo hecho por una fuerza conservativa ejercida sobre una partícula que se mueve por una trayectoria cerrada es cero. Entonces, si la fuerza es conservativa. La fuerza de la gravedad es conservativa. El trabajo realizado por la fuerza gravitacional sobre un objeto que se mueve entre dos puntos cualesquiera cerca de la superficie de la tierra es: ∫ F.dr = −(E ) r r p2 − E p1 r r ∫ F .dr = −∆E p Y recíprocamente, si el trabajo, realizado por una fuerza es igual a la diferencia de los valores de una función potencial en las posiciones inicial y final, la fuerza es conservativa. F(conservativa) ⇔ W = − ∆E p E p ( y ) = mgy 2 − mgy1 A partir de esto vemos que Ep sólo depende de las coordenadas inicial y final del objeto y, en consecuencia es independiente de la trayectoria. Además, Ep es cero cuando el objeto se mueve por cualquier trayectoria cerrada (donde y1 = y2 ). Es evidente que el concepto de energía potencial puede emplearse solo cuando se trata de las fuerzas conservativas, tales como la fuerza elástica del resorte, la fuerza gravitatoria o fuerza electrostática. LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 8 FÍSICA I
  • 9. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I 2.8.2. Fuerzas No Conservativas Una fuerza es no conservativa si produce un cambio en la energía mecánica. Por ejemplo, si alguien mueve un objeto sobre una superficie horizontal y lo regresa a la misma posición y al mismo estado de movimiento, pero encuentra que fue necesario realizar una cantidad de trabajo neta sobre el objeto, entonces algo debe haber disipado esa energía transferida al objeto. Esa fuerza disipativa se conoce como fricción entre la superficie y el objeto. La fricción es una fuerza disipativa o “no conservativa”. Por contraste, si el objeto se levanta, se requiere trabajo, pero la energía se recupera cuando el objeto desciende. 2.8.3. Conservación de la Masa y Energía Otro principio importante la conservación de la masa, nos dice que en cualquier tipo de proceso, físico o químico, la masa no pude crearse ni destruirse. Es decir la masa antes del proceso es igual a la masa después del proceso. En 1905 Einstein hizo el increíble descubrimiento de que la masa, o inercia, de cualquier sistema es una medida de la energía total de este. Por consiguiente, la energía y la masa son conceptos relacionados. La relación entre los dos está dada por la más famosa formula de Einstein 2 E = mC donde: C es la velocidad de la luz y E es la energía equivalente de una masa m, la masa aumenta con la velocidad; sin embargo, esta dependencia es insignificante para v<< c. En consecuencia, las masas que utilizamos para describir situaciones en nuestras experiencias cotidianas siempre se consideran como masa en reposo. La energía asociada con incluso una pequeña cantidad de materia es enorme. Por ejemplo, la energía de 1kg de cualquier sustancia es: 11 2 22 E = mc=(1kg) (3x10 m/s ) = 9x10 J. ! Esto es equivalente al contenido de energía de aproximadamente 15 millones de barriles de petróleo crudo (aprox. el consumo de un día en Estados Unidos)!. En realidad, solo una pequeña fracción de la energía contenida en una muestra de material puede liberarse a través de procesos químicos o nucleares. Los efectos son más grandes en las reacciones nucleares donde se observan de manera cotidiana cambios fraccionarios en la energía. La imponente naturaleza de la energía que se libera en dichas reacciones se demuestra claramente en la explosión de una arma nuclear. LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 9 FÍSICA I
  • 10. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I 2.9 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA: FUERZAS CONSERVATIVAS Uno de los principios más generales de la física es el principio de la conservación de la energía, el cual define que la energía total (energía cinética + energía potencial gravitacional) de un sistema es constante. Cuando una fuerza conservativa actúa sobre una partícula, el trabajo que realiza esta fuerza reduce la energía potencial: W = − ∆E p [ W = − Ep2 −Ep1 ] Por otra parte, si esta fuerza conservativa es la fuerza resultante el teorema del trabajo y energía establece que el trabajo respectivo representa un incremento de la energía cinética: W = Ek 2 − Ek1 Igualando las dos expresiones del trabajo y transponiendo términos tenemos: Ek2 + E p2 = Ek1 + E p1 o bien (E k + E p )2 = (Ek + E p )1 Como los estados (1) y (2) son arbitrarios, para cualquier posición de la partícula se tiene: E = Ek + E p constante Donde E es la energía mecánica de la partícula en un campo de fuerzas conservativas. Este resultado es el principio de la conservación de la energía para un sistema sobre el que actúa únicamente fuerzas conservativas y su enunciado es el siguiente: “Cuando una partícula se mueve por la acción de fuerzas conservativas, la suma de sus energía cinéticas y potencial permanecen constante” Es decir la energía mecánica no varía con el tiempo. ∆E = 0 LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 10 FÍSICA I
  • 11. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I 2.10 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA: FUERZAS NO CONSERVATIVAS Esto todo proceso en el cual intervienen las fuerzas no conservativas o disipativas, toda la energía mecánica o parte de ella se disipa en el medio ambiente en forma de calor, este es un proceso en el cual las fuerzas de fricción realizan trabajo de transformación o conversión de energía mecánica en calor. El calor producido es exactamente igual al trabajo de las fuerzas de fricción. Por tanto la energía se conserva dentro de un contexto más amplio en la que resultan incluidas la energía mecánica y energía térmica o calorífica. Desde que la fuerza de fricción se opone al movimiento, el trabajo realizado por esta fuerza es siempre negativo, esto es, el trabajo de la fuerza de fricción es equivalente a la pérdida de energía mecánica que experimenta el sistema: Sistema ∆ -∆E=Wf Ambiente Si el sistema pasa de un estado inicial (1) en el cual su energía mecánica es E1 = Ek1 + E p1 a otro estado final (2) con una energía mecánica E2 = Ek + E p 2 2 , la pérdida de energía mecánica es: − ∆E = E2 − E1 − ∆E = W f Donde Wf es el trabajo de las fuerzas de fricción; así tenemos − (E 2 − E1 ) = W f O también (E k + E p )2 − (Ek + E p )1 = − W f LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 11 FÍSICA I
  • 12. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I Ejemplos: r 1. Una fuerza F actúa sobre una partícula P, que se mueve en el plano XY. r r Determinar si F es una fuerza conservativa y calcular el trabajo de F cuando la trayectoria de P es un cuadrado de la lado “a” y el movimiento es en un r r sentido antihorario, cuando F = ky i Solución: Y r r r r r Y2 C W = ∫ F .dr = ∫ (ky i )(dx i + dyj ) D B C D A  Y1 A B W = ∫ kydx =  ∫ + ∫ + ∫ + ∫  kydx  X A B C D  X1 X2 Entre A y B es: Y = Y1 = cte; X1 ≤ X ≤ X2 B ∫ kydx = ky (x 1 2 − x1 ) = kay1 ; (x2 − x1 ) = a A Entre B y C, es “X” se mantiene cte ⇒ dx = 0 en cambio “Y” varía entre los límites Y1 ≤ Y ≤ Y2 . De modo: C ∫ kydx = 0 B Entre C y D, Y = Y2 = cte; X1 ≤ X ≤ X2 D ∫ kydx = ky (x C 2 1 − x2 ) = − kay 2 Entre D y A, X = X1 = cte; ⇒ dx = 0 A ∫ kydx = 0 D Sumando: W = ∫ kydx = ∑ ∫ kydx = kay1 + 0 −kay 2 + 0 = − ka ( y 2 − y1 ) W = − ka( y 2 − y1 ) W = − ka 2 : Fuerza no conservativa LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 12 FÍSICA I
  • 13. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I 2. Un bloque se encuentra inicialmente en la posición mostrada, cuando el resorte se encuentra comprimido ∆L2=0.2m. Se suelta el resorte y el bloque va a chocar contra el resorte B y este se comprime y otra vez el bloque se mueve pero en sentido contrario, se desea saber cuanto recorre el bloque desde que empezó su movimiento hasta que se detiene. (KA = KB = 300N/m , µ = 0.2, m1 = 1kg, g = 10m/s2) Zona rugosa 2.2m 2.0m 1m Solución: Energía del bloque al abandonar el resorte A: K A (∆L A ) = (300 )(0.2 ) = 6 J 1 1 EA = 2 2 2 2 Energía disipada al pasar el bloque A sobre la superficie rugosa W f = F .d Fr = µN = µmg W f = µmg.d = (0.2)(1)(10)(2) = 4 J Se observa que por cada pasada disipa 4J de energía; por tanto la energía que se convierte en energía potencial del resorte B es: K B (∆L B ) = 6 J − 4 J = 2 J 1 2 2 De donde 2E pB 4 ∆L B = = ∆LB = 0.115m KB 300 Con la energía de 2J, el bloque sólo puede recorrer la mitad de la distancia con superficie rugosa. La distancia total recorrida es: Ida : 2.2m + 2m + 1m + 0.115m = 5.315m Vuelta: 0.115m + 1m + 1m = 2.115m Total : 7.430m LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 13 FÍSICA I
  • 14. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I 2.11. CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL 2.11.1. Cantidad de Momento Lineal y Segunda Ley de Newton r La cantidad de movimiento lineal ( p ) conocido por Newton como “movimiento”, se define por el producto: r r p = mv (1) Esta cantidad vectorial, relaciona dos conceptos muy importantes: La masa concepto dinámico y la velocidad concepto cinemática y por tanto r el vector p describe la propiedad inercial de un cuerpo en movimiento. r Si p es la cantidad de movimiento de una partícula de masa m, la segunda ley de Newton expresa que: r dpr F= (2) dt r En la que F es la fuerza resultante o fuerza exterior a la partícula que actuando sobre ella, modifica su velocidad. La ecuación (2) constituye una definición general de fuerza, válida aún cuando la masa de la partícula sea variable con el tiempo. Sí la masa es constante, encontramos que: r d r r F = (mv ) = m = ma dv r dt dt r r F = ma (3) Si no existe fuerza resultante, la ecuación (2) indica que: r dp =0 (4) dt r Resultado que expresa que p se mantiene constante en el transcurso del r tiempo o p no depende del tiempo, y por tanto la cantidad de movimiento de la partícula se conserva, esto es: r p = constante Si además la masa de la partícula es constante; la velocidad no cambia, como lo afirma la ley de la inercia. LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 14 FÍSICA I
  • 15. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I 2.11.2. Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal Todos los cuerpos del universo se encuentran en interacción mutua unos con otros, ésta interacción puede ser de tipo gravitatorio, electromagnética o alguno relacionado con las fuerzas del núcleo atómico. En consecuencia no existe cuerpo alguno que esté libre de la interacción con otros cuerpos es decir libre de fuerzas exteriores. Por tanto, consideremos una situación ideal en la cual solo existen 2 cuerpos en el universo formando un sistema aislado, sujetos únicamente a su interacción mutua. Como resultado de ésta interacción sus velocidades individuales varían con el tiempo y sus trayectorias serán curvilíneas. A m1 r r v1 f v1 r v2 f m2 r v2 B En la figura se muestra una interacción por colisión; al lado izquierdo de AB los cuerpos se mueven antes del choque y al lado derecho después del choque. De acuerdo con la figura si las masas son independientes de su estado de movimiento, las cantidades de movimiento resultante en los instantes t0 y t, antes y después del choque respectivamente son: r r r p 0 = m1v1 + m 2 v 2 (1) r r r p F = m1v1 f + m 2 v 2 f (2) r r r r Donde v1 y v 2 son las velocidades antes del choque y v1 f y v 2 f las velocidades después del choque. Desde que no existen fuerzas exteriores al sistema podemos escribir r r r r ∆p p − p0 Fext = = =0 ∆t t − t0 O lo que es lo mismo: r r r ∆p = p − p 0 = 0 r ∆p = 0 (3) r r r r m1v1 + m2 v 2 = m1v1 f + m 2 v 2 f (4) LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 15 FÍSICA I
  • 16. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I Este resultado se generaliza afirmando que: “La cantidad de movimiento lineal de un sistema aislado o libre de fuerzas exteriores se mantiene constante” r ∆p = 0 Veamos ahora la relación entre las fuerzas internas. Consideremos la variación temporal de: r r r p 0 = m1v1 + m 2 v 2 r r dp 0 r r dv1 dv 2 F= = m1 + m2 =0 dt dt dt r r r r Si en esta relación reemplazamos dv1 / dt = a1 y dv2 / dt = a 2 , tenemos: r r m1 a1 = − m2 a 2 (5) r r Si definimos por F12 = m1 a1 como la fuerza que obra sobre m1 debido a su r r interacción con la masa m2 y por F21 = m2 a 2 la fuerza que actúa sobre m2 debido a su interacción con m1, encontramos que: r r F21 = − F12 (6) Es decir las fuerzas constituyen acción y reacción o fuerzas interiores de interacción mutua. Estos resultados muestran que los principios de la mecánica pueden formularse también a partir de la ley de Conservación de la cantidad de movimiento lineal. 2.11.3. Colisiones en una Dimensión Cuando la energía cinética se conserva o permanece constante (antes y después) se tiene un choque Elástico, en caso contrario inelástico 1) Choque Elástico: Un choque es elástico cuando la energía cinética se conserva m1 m2 m1 m2 r r r r v2 f v1 v2 v1 f Antes del choque Después del choque Por el principio de conservación de la energía: Eki = Ek f LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 16 FÍSICA I
  • 17. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I 1 r2 1 r2 1 r 1 r m1v1 + m2 v 2 = m1v12f + m2 v22f (1) 2 2 2 2 Por el principio de conservación de la cantidad de movimiento: r r pi = p f r r r r m1 v1 + m 2 v 2 = m1 v1 f + m 2 v 2 f (2) Donde v1 f = ? y v2 f = ? son incógnitas Desarrollando (1) y (2) (m1 − m2 ) 2m 2 v1 f = v + v (m1 + m2 ) 1i (m1 + m2 ) 2i (α) v2 f = 2m1 (m − m1 ) v v1i + 2 (β) (m1 + m2 ) (m1 + m2 ) 2i a) Si m1 = m2 → v1f = v2i ∧ v2f = v1i no existe intercambio de velocidad. b) Si m2 >> m1 → v1f ≈ -v1i ∧ v2f ≈ v2i c) Si m2 << m1 → v1f ≈ v1i ∧ v2f ≈ v2i 2) Choque Inelástico: Cuando Ek inicial es mayor que la Ek final la diferencia se convierte en calor o en energía potencial de deformación (energía potencial de choque). No se conserva el principio de la conservación de la Ek. Pero si se cumple el Principio de conservación de la cantidad de movimiento: m1 m2 m1 m2 r r r r v1i v2i v1 f v2 f Antes del choque Después del choque r r r r m1v1i + m 2 v 2i = m1 v1 f + m 2 v 2 f LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 17 FÍSICA I
  • 18. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I 3) Choque Completamente Inelástico: El choque de dos cuerpos se llama absolutamente inelástico si después de él ambos cuerpos se mueven como si fueran uno sólo La energía Ek no se conserva y las partículas quedan unidas después del choque: m1 m2 m2 r r m1 r v1i v 2i vf Antes del choque Después del choque m1 v1i + m 2 v 2 i = (m1 + m 2 )v f r r r r r r m1 v1i + m 2 v 2i vf = m1 + m 2 Coeficiente de Restitución (e) Cuando el choque es inelástico, es necesario otra condición para hallar las velocidades de las partículas después del choque, por ello se define el coeficiente de restitución “e” que es un número adimensional m1 m2 m1 m2 r r r r v1i v2 i v1 f v2 f Antes del choque Después del choque v2 f − v1 f e=− e: es la elasticidad de las partículas v2i − v1i 0≤ e≤1 v2 f − v1 f - Choque Elástico: e= 1 − v2i − v1i v2 f − v1 f Choque Inelástico: 0< e<1 ⇒ e=− v2i − v1i - - Choque Completamente Inelástico e = 0, v2f = v1i = vf. LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 18 FÍSICA I
  • 19. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I Ejemplos: 1) Una pelota incide sobre un plano horizontal bajo un ángulo de 45º sobre el piso con una velocidad V0 y rebota con un ángulo de 30º. Hallar el coeficiente de restitución “e”. Solución: m m V0 V0 45º α 30º θ c.c.m m1v1i = m1 v1f m1 v1i cos45 = m1 v1f cos30º v1 f cos 45º = = 0. 8 v1i cos 30º v 2 f − v1 f 0 − v1 f sen45º v1 f  sen 45º e= − = − =   v 2i − v1i 0 −( −v1i sen30º )  v1i   sen30 º  e = (0.8)(0.7 ) ⇒ e = 0.6 2) Un bloque de masa M recibe el impacto de 3 balas cuyas masas son m1 = m2 = m y m3 = 12m que quedan incrustadas en el bloque. Las velocidades de las masas m1 y m2 son iguales a V e inciden sobre el bloque formando un ángulo θ entre ellas. Si al final del impacto de las tres balas, el bloque no se mueve, calcular la velocidad de la tercera bala. r r v1 v2 θ β α P2 θ/2 θ/2 P1 Solución: r r r c.c.m. m1v1 + m2 v2 + m3v3 = 0 r r r 0 (v1 + v2 )m + 12mv3 = 0 LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 19 FÍSICA I
  • 20. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I r r r (v1 + v2 ) + 12v3 = 0 (1) r r r Pero: v1 = v cosα i − vsenα j r r r v2 = − v cos β i − vsenβ j r r r v3 = − v3 x i + v3 y j Reemplazando en (1) r r (v cos α − v cos β + 12v3 x )i + (vsenα − vsenβ + 12v3 y ) j = 0 v cos α − v cos β + 12v3 x = 0 − vsenα − vsenβ + 12v3 y = 0 De la gráfica: α = β y cosα = sen(θ/2) v3 x = 0 v3 y = (v / 6) senα ; sen α = cos(θ / 2) − 2senα + 12v3 y = 0 v3 y = (v / 6) sen(θ / 2) LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 20 FÍSICA I
  • 21. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I 2.12. ESTÁTICA DE FLUIDOS La estática o mecánica de fluidos, estudia los fluidos en reposo en situaciones de equilibrio, basados en las condiciones de equilibrio de Newton (1ra y 3ra). Los fluidos controlan el clima. Fluido: es cualquier sustancia que pueda fluir, pueden ser líquidos o gases. La estática de fluidos consta de las siguientes partes: Hidrostática: Estudia a los líquidos en reposo relativo. Neumostática: Estudia a los gases en reposo relativo Los fluidos son substancias, idealizadamente un continuo de masa, donde su forma puede cambiar fácilmente por escurrimiento debido a la acción de fuerzas pequeñas. Son fluidos tanto los líquidos como los gases. Si se analizan las fuerzas que pueden actuar sobre una porción de fluido, ellas son de dos tipos: causada por agentes exteriores, típicamente el peso de él, y las causadas por el fluido que está en su exterior mediante contacto. Es conveniente distinguir la parte de esa última fuerza que actúa normal a la superficie, llamadas fuerzas debidas a la presión, de las fuerzas tangenciales o de viscosidad. Estas fuerzas tangenciales actuando sobre la superficie del elemento de fluido, no pueden ser equilibradas por fuerzas interiores, de modo que ellas causan escurrimiento del fluido. Si nos limitamos a fluidos en reposo, las fuerzas tangenciales no pueden existir. 2.12.1. Densidad (ρ : kg/m3) Es la característica principal de cualquier material y está definido como: su masa por m. unidad de volumen: ρ= V La densidad depende de los factores ambientales: la temperatura y la presión. SUSTANCIA DENSIDA SUSTANCIA SUSTANCIA DENSIDAD DENSIDAD LÍQUIDA D GASEOSA SÓLIDA (kg/m3) (kg/m3) (kg/m3) Aluminio 2.7 x 103 Alcohol etílico 0.79 x 103 Aire 1.29 x 103 Latón 8.7 x 103 Alcohol metílico 0.82 x 103 Helio 0.18 x 103 Cobre 8.9 x 103 Sangre 1.05 x 103 Oxígeno 1.43 x 103 Vidrio 2.6 x 103 Plasma sanguíneo 1.03 x 103 Vapor de 0.63 x 103 Oro 19.3 x 103 Gasolina 0.68 x 103 agua (100 ºC) Hielo 0.92 x 103 Mercurio 13.6 x 103 Hierro 7.9 x 103 Agua de mar (4 ºC) 1.03 x 103 Plomo 11.4 x 103 Agua dulce (4 ºC) 1.00 x 103 Acero 7.8 x 103 Madera roble 0.81 x 103 LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 21 FÍSICA I
  • 22. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I ρ 2.12.2. Densidad relativa (ρr): Es un número adimensional, y es igual a la densidad de cualquier sustancia entre la densidad del agua a 4ºC. ρs ρr = ρH 0 2 2.12.3. Peso específico El peso específico denotado por γ se define como el peso por unidad de volumen del fluido, es decir: γ = ρ g ; donde la unidad S.I. será Nm−3 2.12.4. Presión (N/m2 = Pascal = Pa) Si una superficie se coloca en contacto con un fluido en equilibrio (en reposo) el fluido, gas o líquido, ejerce fuerzas normales sobre la superficie. Las fuerzas tangenciales que un fluido puede ejercer sobre una superficie se originan cuando hay movimiento del fluido respecto a la superficie. Si sobre una superficie actúan fuerzas normales distribuidas en forma continua, como se indica en la figura, se define la presión actuando sobre algún punto de ella como la fuerza por unidad de área que actúa sobre la superficie. Esta puede ser variable o constante de punto en punto de la superficie. Por esa razón su definición involucra un elemento infinitésimo de área dA. Fuerza de Presión O sea la presión en el punto donde se ubica el elemento de área (infinitésimo) dA se define por dF P= dA Como se verá más adelante, la presión en un fluido en equilibrio aumenta con la profundidad, de modo que las presiones serán uniformes sólo en superficies planas horizontales en el fluido. Si la fuerza total F está distribuida en forma uniforme sobre el total de un área horizontal A como se indica en la figura, la presión en cualquier punto de esa área será: LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 22 FÍSICA I
  • 23. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I F P= A F A Fuerza distribuida uniformemente Unidades: P0 = presión atmosférica = 1 atm. = 1.013 x 105 Pa Bar = 1,0 × 105 Pa 1 mmHg = 133. 322Pa Propiedades de la presión La presión en un punto de un fluido en reposo es igual en todas direcciones, esto es que la fuerza que experimenta un elemento de área dentro de un fluido, no depende de la orientación de ese elemento de área. Además la presión en un mismo plano horizontal en el interior de un fluido en reposo, es la misma. Estas propiedades fueron enunciadas como “principios” por Pascal, pero ahora pueden ser demostradas de modo muy simple usando las leyes de la estática F F F F F F 2.12.5. Presión atmosférica La atmósfera está constituida por aire, una mezcla en ciertas proporciones de Nitrógeno y Oxígeno principalmente, que como toda substancia es atraída por el campo gravitacional terrestre, es decir la atmósfera tiene peso. La atmósfera es un fluido de varios kilómetros de altura, que producto de su peso, ejerce presión sobre todos los objetos sumergidos en ella. Esta presión se denomina presión atmosférica y como veremos, ella disminuye con la altura. El famoso experimento de Torricelli, determinó por primera vez su valor. Considere un tubo de vidrio de alrededor de 1m de longitud, cerrado en un LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 23 FÍSICA I
  • 24. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I extremo, lleno de mercurio, un fluido el cual tiene una densidad de alrededor 13,6 g/cm−3. Tapando el extremo abierto del tubo se invierte el tubo y se sumerge el extremo abierto en un recipiente que también contiene mercurio. Si este experimento es realizado al nivel del mar, se logra una situación de equilibrio como se indica en la figura, donde una altura de h = 76 cm de mercurio (760mm) permanece equilibrada con vacío en su parte superior. Barómetro de cubeta Un pequeño análisis de las fuerzas involucradas en el equilibrio de la columna suspendida de mercurio, nos da el valor de la presión atmosférica Pa. Si A denota el área basal de esa columna, la fuerza que actúa por abajo es PaA la cual equilibra el peso de la columna de mercurio el cual es ρHg ghA de modo que Pa = ρHg gh = 760mmHg, puesto que la altura suspendida es precisamente 760mmHg. Este experimento da origen al aparato llamado barómetro de mercurio y también a la unidad de presión llamada mmHg. Si la presión atmosférica varía por cualquier razón, también lo hará la altura de la columna de mercurio, constituyendo entonces este dispositivo, un aparato para medir la presión atmosférica, directamente en mmHg. 2.12.6. Presión de un Fluido F P= A ∑F y =0 PA − (P + dp ) A − mg = 0 ; m = ρV = ρ Ah PA − (P + dp )A − ρ ghA = 0 ; h = dy (P + dp)A PA − PA − Adp − ρ gAdy = 0 − dp − ρ gdy = 0 dy dp = ρg o dp = − ρ gdy w PA dy LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 24 FÍSICA I
  • 25. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I Vemos que la presión aumenta con la profundidad y disminuye con la altura. h = y 2 − y1 ; P1 = P ; P2 = P0 De: dp = − ρ gdy p2 y2 P2 = P0 ∫ dp = − ∫ ρ gdy p1 y1 h P0 − P = − ρ g ( y 2 − y1 ) P1 Y2 P = P0 + ρ g ( y 2 − y1 ) Y1 P = P0 + ρ gh 5 P0 = 1 atm. = 1.013 x 10 Pa Los aparatos para medir la presión atmosférica se llaman barómetros, y los que miden presión en general, se llaman manómetros. 2.12.7. Manómetros Son aparatos que sirven para medir la presión de los gases y de los líquidos. El tipo más sencillo es el manómetro de tubo abierto, que es un tubo en forma de U. Manómetro de mercurio 2.12.8. Barómetros Son aparatos destinados a medir la presión atmosférica. El tipo más usual es el de mercurio. Consiste esencialmente de un tubo cerrado en uno de sus extremos que después de llenarse de Hg por el otro se invierte en una cubeta que contiene Hg. Barómetro en U LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 25 FÍSICA I
  • 26. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I 2.12.9. Principio de Pascal Cuando se aplica una presión en un punto de un líquido, ésta se transmite a todo el líquido con rapidez y prácticamente sin disminuir su intensidad en todas las direcciones. La prensa hidráulica se fundamenta en este principio: Tenemos dos recipientes comunicados llenos de líquido, y tapados por sendos émbolos. En equilibrio, la presión en el fondo de ambos recipientes debe ser la misma. Al ejercer una fuerza sobre el primer émbolo, la presión añadida P1 = F1 , se A1 transmite, según el principio de Pascal, al resto del líquido, incluida la superficie del émbolo 2: P1 = P2 → F1 F2 = → F2 = A2 F1 A1 A2 A1 Como lo superficie del émbolo 2 es mayor que la del 1, conseguimos ejercer una fuerza sobre 2 mayor que la que hemos hecho sobre 1. Así, ejerciendo poca fuerza, podemos multiplicarla con este dispositivo. Prensa Hidráulica LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 26 FÍSICA I
  • 27. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I 2.12.10. Vasos Comunicantes Se denomina así, a los conocidos tubos en “U”, cuando dos recipientes que contienen líquido, se comunican por su parte inferior. Cuando los dos recipientes comunicados, tienen una sola clase de líquido, en ambas ramas se alcanza la misma altura, independientemente de la forma de cada recipiente, dado que la presión hidrostática en cualquier punto del fondo debe dar el mismo resultado, cualquiera sea la rama por la que se calcule. La paradoja hidrostática de la figura ilustra ésta situación: P0 P0 P0 P0 P0 P0 H1 H2 De acuerdo al Principio de vasos comunicantes se tiene que: todos los puntos de color rojo tienen la misma presión porque se encuentran a la misma altura H1. Los puntos de color azul tienen la misma presión porque se encuentran a la misma altura H2. La figura siguiente muestra un tubo con forma de “U”, conteniendo dos líquidos de distinta densidad. La diferente altura que los mismos alcanzan en cada rama del tubo por encima del nivel de la interfase, está en relación inversamente proporcional a sus pesos específicos. Estas alturas, las podemos relacionar entre sí, igualando la presión hidrostática en la interfase: ρ r hr = ρ a ha O bien como relación de alturas: LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 27 FÍSICA I
  • 28. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I ha ρ r = hr ρ a 2.12.11. Principio de Arquímedes Cuando un cuerpo sólido está en equilibrio en el interior de un fluido, él estará sometido a fuerzas exteriores de dos tipos: su peso u otras fuerzas aplicadas, y además las fuerzas distribuidas sobre su superficie causada por la presión dentro del fluido. Esas últimas actúan normalmente a la superficie del cuerpo y su resultante vertical puede ser fácilmente calculada. En efecto, si se considera la segunda de las figuras donde el cuerpo no está presente, pero se ha marcado la región donde el cuerpo estaba, las fuerzas sobre esa superficie imaginaria son naturalmente las mismas que actuaban sobre el cuerpo. Pero ahora, ellas equilibran verticalmente al fluido encerrado por esa superficie, de modo que la resultante vertical hacia arriba, debe igualar al peso del fluido encerrado por dicha superficie. Se tiene entonces el llamado principio de Arquímedes. Cuando un cuerpo se sumerge en un fluido, él experimenta una fuerza ascendente, llamada fuerza de empuje, que es igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo. En términos matemáticos, si V denota el volumen sumergido, ρL la densidad del líquido y E la magnitud del empuje, entonces: E = ρ LV g CALCULO DEL EMPUJE: Hay dos maneras de expresar el empuje (E), según los datos que se suministren: a) En función del peso del cuerpo en el aire (W C) y de lo que aparenta pesar al sumergirlo (W A); y b) En función del peso específico del líquido ρL y del volumen del cuerpo (VC). a) E = Wc − W A b) E = ρ LVC Se presentan tres situaciones, según los valores relativos de peso y empuje referidas a un cuerpo que se sumerge en un líquido: 1) E < WC El cuerpo se hunde. LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 28 FÍSICA I
  • 29. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I 2) E = WC El cuerpo permanece en equilibrio en el seno del líquido. 3) E > WC El cuerpo emerge parcialmente hasta que se equilibra: E = WC En el caso en que el cuerpo sea macizo, podemos establecer para cada una de las situaciones antes enunciadas, las siguientes relaciones: 1) ρL < ρ c (Peso específico del líquido menor que el del cuerpo). 2) ρL = ρc (Peso específico del líquido igual que el del cuerpo). 3) ρL > ρc (Peso específico del líquido mayor que el del cuerpo). 2.12.12. Tensión Superficial (N/m) Las moléculas de un líquido ejercen pequeñas fuerzas de atracción, unas sobre las otras. Aún cuando las moléculas son eléctricamente neutras. Dentro de un líquido, en el que cada molécula está complemente rodeada de otras moléculas, la fuerza neta es cero. A pesar de ello, para las moléculas de las superficies del líquido, no existen fuerzas de atracción que actúen de arriba de la superficie hacia el interior del líquido (el efecto de las moléculas de aire es pequeño y se considera despreciable). Como consecuencia las moléculas de la capa superficial experimentan fuerzas netas debidas a las moléculas vecinas, que están justo debajo de la superficie. Este impulso hacia abajo sobre las moléculas de la superficie causa que el líquido se contraiga y resista ser estirado o roto, propiedad que se llama tensión superficial. F F Gota de agua mg (b) (c) (a) (d) (a) La fuerza neta sobre una molécula en el interior de un líquido es cero, debido a que está rodeada por otras moléculas. No obstante, una molécula en la superficie experimenta una fuerza neta que no vale cero, y que se debe a las fuerzas de atracción de las moléculas vecinas que están justo debajo de la superficie. (b) Para formar una depresión superficial, se debe realizar un trabajo, ya que las moléculas que están más hacia el interior deben traerse a la superficie para incrementar el área. Como resultado, el área superficial actúa como una membrana elástica estirada, y la fuerza del peso de un objeto, como una aguja, es soportada por los componentes de la tensión superficial hacia arriba. (c) Las patas del insecto hacen una depresión similar, y los componentes de la fuerza resultante hacia arriba permiten que el insecto camine sobre el agua. (d) Debido a la tensión superficial, las gotitas de agua tienden a asumir la forma que haga mínima su área superficial; es decir, una esfera. LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 29 FÍSICA I
  • 30. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I Si una aguja para coser se coloca cuidadosamente sobre la superficie de un cuenco de agua, la superficie actúa como una membrana elástica bajo tensión. Hay una ligera depresión en la superficie, y las fuerzas moleculares a lo largo de la depresión forman un ángulo con la superficie (figura b). Los componentes verticales de estas fuerzas equilibran el peso (mg) de la aguja y ésta "flota" sobre la superficie. Similarmente la tensión superficial soporta el peso de un andador en agua (figura c). El efecto neto de la tensión superficial es hacer que el área de la superficie de un líquido sea tan pequeña como sea posible. Esto es, un volumen dado de líquido tiende a adoptar la forma que tiene el área superficial menor. Como resultado, las gotas de agua y las burbujas de jabón tienen formas esféricas, porque la esfera es la forma con el área superficial menor para un volumen dado (figura d). Al formarse una gota o una burbuja, la tensión superficial tira de las moléculas a reunirías para minimizar el área superficial. Cuantitativamente, la tensión superficial (γ) en una película líquida se define como la fuerza por unidad de longitud que actúa a lo largo de una línea (por ejemplo, a lo largo de un alambre) cuando se estira la superficie: F γ= (Tensión superficial) L En el cuadro se dan las tensiones superficiales de algunos líquidos. Como se puede esperar, la tensión superficial es dependiente en grado elevado de la temperatura. En la figura se muestra un aparato que se utiliza para medir la tensión superficial. Básicamente, el dispositivo mide la fuerza que se requiere para superar la tensión superficial. Para un aro circular de alambre, L es la longitud de la circunferencia y γ = F/2L, debido a que hay dos superficies de película (una de cada lado del alambre). LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 30 FÍSICA I
  • 31. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I Otra forma de estudiar la tensión superficial es en términos del trabajo o la energía necesarios para estirar el área superficial. Si se utiliza un pedazo recto de alambre de longitud L para estirar una superficie una distancia paralela Ax, el trabajo hecho contra la tensión superficial es: ∆W = F∆X = γL∆X = γ∆A Dado que F = γL y ∆A = L∆X ( el cambio en el área superficial). Así tenemos que: ∆W γ= ∆A La tensión superficial, o fuerza por unidad de longitud, es equivalente al trabajo por unidad de cambio en el área de la superficie, con unidades de J/m2. Cuadro. Tensiones superficiales de algunos líquidos (N /m) Tensión Líquido Temperatura γ superficial (γ) Alcohol etílico (20 ºC) 0.022 Sangre entera (37 ºC) 0.058 Plasma (37 ºC) 0.072 sanguíneo (20 ºC) 0.45 Mercurio (20 ºC) 0.025 Agua jabonosa (0 ºC) 0.076 Agua (20 ºC) 0.073 Agua (100 ºC) 0.059 Agua Ejemplos 1) Las densidades del aire, helio o hidrógeno (en condiciones normales) son respectivamente 0.00129 gr/ cm3, 0.000178 gr/cm3 y 0.0000899 gr/cm3. a) ¿Cuál es el volumen en metros cúbicos desplazado por un dirigible lleno de hidrógeno que tiene una fuerza ascensional total de 10 toneladas? b) ¿Cuál sería la fuerza ascensional si se utilizara el helio en vez de hidrógeno? Solución: F = Fuerza ascensional resultante = Empuje hidrostático – Peso dirigible W a. Fh = E – W = ρ a gV - ρH g V = 107 gr f (10 toneladas: 104 kg : 107 gr) E LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 31 FÍSICA I
  • 32. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I 7 Además V = 10 x 980 dinas 3 2 (0.00129 – 0.0000899) gr/cm 980 cm/s 7 3 9 3 = 10 cm = 8.33 x 10 cm -3 1.2x10 3 = 8330 m b. FHe = ρa g V - ρHe g V 3 2 3 = (0.00129 – 0.000178) gr/cm x 980 cm/sg x 109 cm 6 = 9.0776 x 109 dinas = 9.26 x 10 gr-f = 9.26 tonelada 2) En un tubo hay capa de aceite de oliva de 2m de espesor, que flota sobre una capa de agua de 1.5 m de espesor. La cual a su vez esta sobre una capa de mercurio de 0.5 m. La superficie libre del aceite esta sujeto a la presión atmosférica. ¿Cuál será el valor de la presión absoluta en la superficie interior del mercurio?. La densidad relativa del aceite de oliva es 0.92 y la del mercurio 13.6 Solución: P0 2m ρac P1 = P0 + ρac g hac 1.5 m ρH20 P2 = P1 + ρH2o g hH2o P2 = P0 + ρac g hac + ρH2o hH2o 0.5m ρHg P3 = P2 + ρg g hHg P3 = P0 + ρac g hac + ρH2o g hH2o + ρHg g hHg P3 = Po + g( ρac hac + ρH20 h H20 + ρHg hHg) 5 2 2 3 3 = 1.01 x 10 N/m + 9.8 m/sg (0.92 x 2 x 1 x 1,5 + 13.6 x 0.5) x 10 Kg/m 5 2 P3 = 2 x 10 N/m LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 32 FÍSICA I
  • 33. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I 3) A un estudiante se le asigna la tarea de diseñar un globo esférico cuya capacidad bruta de carga sea de 4 900 N, lo que corresponde a una masa de 500 kg que incluye la masa del propio aeróstato. El globo se llenará con hidrógeno. Hallar el radio mínimo que deberá tener el globo para levantar esa 3 3 carga total. (ρaire = 1.293 kg/m ), (ρH = 0.090 kg/m ) Solución: E aire 4 900 N r m Hg F = 4 900 N Eaire – mHg = 4 900 N Ρaire g A V - ρH g V = 4 900 N Vg (ρaire - ρH) = 4 900 N ; V = 4 πr3 3 3 x 4900 r=3 = 4.63m 4πg ( ρ aire − ρ Hg ) LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 33 FÍSICA I
  • 34. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I 2.13. DINÁMICA DE FLUÍDOS 2.13.1. Fluidos: es cualquier sustancia que pueda fluir, puede ser líquido o gases. El flujo de los fluidos puede ser de régimen estacionario o de régimen variado r 1.1. Flujo estacionario: Cuando la velocidad del fluido v en cualquier punto dado se conserva constante en el transcurso del tiempo. Cuando el movimiento es de tipo estacionario, cada partícula que pasa por un punto tal como P; sigue exactamente la misma trayectoria que las partículas precedentes que pasaron por dicho punto. a A b Líneas de flujo Tubo de Flujo Para hacer una descripción de la dinámica de fluido se trabaja con flujos ideales, los cuales se toman cuatro características: a) Flujo Uniforme: Todas las partículas del fluido tienen la misma velocidad al pasar por un punto. b) Flujo Irrotacional: Significa que un elemento de fluido (un volumen pequeño del fluido) no tiene velocidad angular neta ( ω = 0) eliminando corrientes remolinos (el flujo no es turbulento). c) Flujo No viscoso: La viscosidad se desprecia. La viscosidad se refiere a una fracción interna del fluido donde no existe fricción entre el fluido y paredes internas del recipiente, donde la velocidad del centro del recipiente es mayor y menor en las paredes del recipiente por fricción. (no se pierde energía) d) Flujo Incomprensible: La densidad del flujo es constante (líquidos). Los gases son incomprensibles, se basa en el principio de conservación de la masa y conservación de la energía. LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 34 FÍSICA I
  • 35. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I 2.13.2. Ecuación de Continuidad Si no perdidas de fluido dentro de un tubo uniforme, entonces la masa del fluido que fluye dentro del tubo en un momento dado debe ser igual a la masa que fluye fuera del tubo en el mismo tiempo. (Conservación de la masa) V2 F2 = P2A2 V1 ∆L2 F1 = P1A1 h2 ∆L1 h1 Como ∆m = ρ ∆V ; pero ∆V = A.∆L y ∆L = v.t , entonces ∆m = ρ ( A, v, ∆t ) Entra : ∆m1 = ρ1 ( A1 , v1 , ∆t ) Sale : ∆m2 = ρ 2 ( A2 , v 2 , ∆t ) Por el Principio de conservación de la masa: ∆m1 = ∆m2 ρ1 A1v1 ∆t = ρ 2 A2 v2 ∆t ρ1 A1v1 = ρ 2 A2 v 2 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD ρ Av = const. Como el fluido es incomprensible, es decir: ρ = const. A1v1 = A2 v2 ECUACIÓN DE GASTO: (m3/s) o (vol/seg) La razón de flujo de volumen dV/dt. Es la rapidez con que el volumen cruza una sección del tubo. LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 35 FÍSICA I
  • 36. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I 2.13.3. Ecuación de Bernoulli Por el Principio de conservación de energía y del trabajo, tenemos: V2 A2 F2 V1 dS2 c d F1 A1 h2 dS1 a b h1 Tenemos: dS1 = v1 dt dS 2 = v2 dt El fluido es incomprensible A1v1 = A2 v 2 dV = A1 dS1 = A2 dS 2 Entonces: el trabajo P1 y P2 F1 = P1 A1 y F2 = P2 A2 dw = FdS ∆W = P1 A1 dS1 − P2 A2 dS 2 ∆W = ( P − P2 )dV 1 (1) Por Conservación de la Energía Cinética. a yb c yd dV1 = A1dS1 dV2 = A2 dS 2 dm = ρ A1 ds1 dm = ρ A2 ds2 1 1 Ek1 = ρ ( A1 ds1 ) v12 Ek2 = ρ ( A2 ds2 ) v 2 2 2 2 1 ∆Ek = ρ dV (v2 − v12 ) 2 (2) 2 Por Conservación de la Energía Potencial a yb c yd dm g y1 = ρ dV g y1 dm g y 2 = ρ dV g y 2 ∆E p = ρ dV g ( y 2 − y1 ) (3) Por el Principio de Conservación de la Energía, De las ecuaciones (1), (2) y (3), tenemos: dW = dEk + dE p ( P1 − P2 )dV = 1 ρ dV (v2 − v12 ) + ρ dV g ( y 2 − y1 ) 2 2 1 1 P−P = 1 2 ρ v 2 − ρ v12 + ρ g y 2 − ρ gy1 2 2 2 1 1 2 P1 + ρ v12 + ρ g h1 = P2 + ρ v2 + ρ g h2 ECUACIÓN DE BERNOULLI 2 2 LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 36 FÍSICA I
  • 37. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I 2.13.4. Viscosidad Todos los fluidos reales tienen resistencia interna al flujo, que se describen como viscosidad, se puede considerar que la viscosidad es una fricción entre las moléculas de un fluido. • En los líquidos es ocasionada por las fuerzas cohesivas de corto alcance. • En los gases, por las colisiones entre las moléculas. Por lo tanto el arrastre viscoso o de líquidos y gases depende de la velocidad y puede ser directamente proporcional a ella en algunos casos. La fricción interna causa que las capas de fluido se muevan unas con respecto a otras en respuesta a una tensión corte. Fig. Flujo laminar (a)Una tensión al corte causa que las capas de fluido se muevan una sobre otra en flujo laminar. La fuerza de cizalla y la velocidad de flujo dependen de la viscosidad del fluido. (b)Para el flujo laminar a través de un tubo, la velocidad del flujo es menor cerca de las paredes debido al arrastre friccionar entre las paredes y el fluido. • Este movimiento en capas, llamado fluido laminar es característico del flujo uniforme a velocidades bajas de los líquidos viscosos. A velocidades mayores el flujo se convierte en rotacional, o turbulento. La magnitud de la tensión cortante por un coeficiente de viscosidad, η. Se define como relación entre el esfuerzo cortante, F/A, y la razón de deformación: Esfuerzo cor tan te F/A η= = Razón de deformación v /1 FLUJO DE LOS FLUIDOS VISCOSOS La viscosidad en los fluidos se debe a atracciones entre las moléculas del líquido y la de los sólidos que están en contacto con el. El efecto de la viscosidad es hacer más lento el flujo y producir resistencias al movimiento de objetos a través del fluido. La fricción de un fluido aumenta conforme la velocidad aumenta y depende de las formas de los objetos en contacto con el fluido y del fluido mismo (su LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 37 FÍSICA I
  • 38. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I densidad). El coeficiente de viscosidad (η) aumenta con el aumento de temperatura para gases y en líquidos la relación es inversa con la temperatura. La ley fundamental de la viscosidad es que el valor de la fuerza de viscosidad     es proporcional al área y al gradiente de velocidad ( V/ y), que existe en lugar donde esta situada el área de contacto (A) según la figura  − ∂v  F = η A  ∂y     [η ] = g = Poise cm.seg v F =η A l OBSERVACIONES 1. Los fluidos fluyen con facilidad, como el agua y la gasolina, tienen menor viscosidad que los líquidos “espesos” como la miel o el aceite de motor. 2. Las viscosidades de todos los fluidos dependen mucho de la temperatura, aumentando para los gases y disminuyendo para los líquidos a medida que aumenta la temperatura. 3. Un objetivo importante del diseño de aceites para lubricar motores es reducir la variación de la viscosidad con la temperatura lo mas posible. 4. Unidades: • La unidad de viscosidad es la fuerza por distancia, dividida entre la rapidez. • La unidad en el S.I. es: 1 N.m / [ m/s] = 1N.s/m2 = 1 Pa.s • La unidad en cgs, es: 1 din.s/cm2, es la unidad de viscosidad. Llamado Poise 1 Poise = 1 din . s/ cm2 = 10-1 N. s/m2 • También se usan el centipoises y el micropoise. La viscosidad del agua es de 1.79 centipoise a 0º C y de 0.28 centipoise a 100 ºC • Los aceites lubricantes suelen tener viscosidades de 1 a 10 Poise, y la del aire a 20 ºC es de 181 micropoise. LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 38 FÍSICA I
  • 39. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I ECUACIÓN DE POISEUILLE Y LEY DE STOKES L R Fig. Perfil de velocidad para un fluido viscoso en un tubo de cilindro. La figura muestra el perfil de rapidez de flujo para el flujo laminar de un fluido viscoso en un tubo cilíndrico largo. La rapidez es máxima a lo largo del eje y cero en las paredes. El movimiento es como muchos tubos concéntricos deslizándose entre si, donde el tubo central se mueve más rápidamente y el más exterior esta en reposo. • Si aplicamos la ecuación: F / A Fl  F  l  H= = = v/l Av  A   v     F l (P − P2 ) 2 2 v= ηA = 1 4η l ( R −v ) Donde P1 y P2, son las presiones en los dos extremos de un tubo de longitud L. La rapidez en cualquier punto es proporcional al cambio de presión por unidad de longitud, (P2 – P1)/L o dP/dX , llamado gradiente de presión. Para calcular la razón de flujo total de volumen a través de un tubo, consideramos un anillo con radio interior r, radio exterior r + dr y área transversal dA = 2π r. • La razón de flujo de volumen a través de este elemento es v dA; la razón de flujo total de volumen se obtiene integrando desde γ = 0 a r =R. dv π  R 4  P − P2  =   1  que es la llamada ecuación de Poiseuille . dt 8  η  l    • Una esfera de radio r que se mueve con una rapidez v a través de un fluido con viscosidad η experimenta una fuerza de resistencia viscosa F dada por la ley de STOKES: F=6πηv LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 39 FÍSICA I
  • 40. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I 2.13.5. Numero de Reynolds Cuando la velocidad de flujo de un fluido excede cierto valor, el flujo deja de ser laminar y se convierte en turbulento. En ese momento ya no tiene aplicación la Ley de Poiseuille. El análisis del flujo turbulento es una tarea difícil, pero existe un valor determinado experimentalmente que nos indica el umbral de la turbulencia. Este valor se expresa en términos de una cifra adicional que se denomina Número de Reynolds (R): ρ vd R= η Donde ρ es la densidad del fluido, v la rapidez promedio de flujo, d el diámetro de un tubo o conducto cilíndrico y η la viscosidad. En un tubo con paredes lisas, el flujo laminar si Rn es inferior a 2000. La turbulencia se establece cuando Rn es de alrededor de 2000 o más (Rn ≥ 2000). Es posible que haya un flujo laminar si Rn es superior a 2000, pero será un flujo inestable. Cualquier trastorno ligero ocasionará que se convierta en turbulento. Es interesante que con frecuencia la velocidad de flujo es mayor que se aplicara la ley de Poiseuille. Matemáticamente, el Re es un parámetro adimensional que expresa la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de viscosidad o de fricción en el interior de una corriente. Las fuerzas de inercia que actúan sobre un volumen L3 de corriente vienen v dadas por la ecuación de Newton: F = ma m = ρ .L3 a= T v L Por lo tanto, F = ρ .L3 . y como: v= ⇒ F = ρ .L2 .v 2 T T v La fuerza de viscosidad tiene por ecuación: Fv = µ . .S y v Por lo tanto, Fv = µ. .L2 = µ.v.L L El cociente entre las dos fuerzas es el Re: ρ .L2 .v 2 ρ .L.v Re = = µ .L.v µ La importancia del número de Reynolds no sólo radica en el hecho de poder determinar la velocidad crítica que caracteriza el régimen de una corriente de líquido. También se utiliza, para el cálculo de pérdidas de carga en conducciones. LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 40 FÍSICA I
  • 41. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I Ejemplos: 1) El cilindro y el tubo mostrado en la figura, contienen aceite de densidad relativa 0.902. Para una lectura manométrica de 2.2 Kg-f/cm2, ¿Cuál es el peso total del pistón y el peso de la placa? D W 1.8m Pistón B C 1.8m Presión en B = Presión en C WT = Pm + γ h A WT = Wm + W pistón Despejando WT y reemplazando los datos tenemos. WT = 61 000kg-f. 2) Determinar la presión en el punto A para el manómetro inclinado mostrado en la figura. A la cámara de vacío Abierto a la atmósfera A Recipiente de Hg C 12.5cm B 30º Presión en B = Presión en C PA + γ h = P0 PA = P0 − γ h PA = 1.033x10 4 − 850 PA = 0.948 kg − f / cm 2 El nivel en el tubo está mas bajo que el recipiente porque en éste está hacia el vacío. LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 41 FÍSICA I
  • 42. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I BIBLIOGRAFÍA ALONSO - FINN FISICA Vol I. Fondo Educativo Interamericano S.A. 1986. GOLDEMBERG FISICA GENERAL Y EXPERIMENTAL Vol I. 2da Edic. Nueva Edt. Interamericana. TIPLER P.A. FISICA VOL. I Reverté S.A. Barcelona 1985. Mc. KELVEY y GROTCH FISICA PARA CIENCIAS E INGENIERIA Vol I. Edt. Harla 2000. RESNICK - HALLIDAY: FISICA PARTE I. Continental S.A. México 1981. SERWAY-JEWET: FISICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA VOL. 1. 7ma Edic. Cengage Learning S.A. México 2008 Apuntes del Docente. LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY 42 FÍSICA I