1. 2012
DIBUJOTECNICO - MODULO II
ING.LUZ E. ALVAREZASTO- DIBUJO
TÉCNICO
UNIVERSIDAD NACIONALDELSANTA
FACULTAD DEINGENIERIA
ESCUELA DEINGENIERIACIVIL
01/06/2012

2. TANGENCIAS
La tangencia, generalmente se establece entre rectas, circunferencias, elipses,
parábolasohipérbolas,consusdistintasposiciones,tamañosycombinacionesdeunas
respecto deotras
CONSIDERACIONESFUNDAMENTALES
Elcentrode unacircunferencia tangentea dos
rectasque secortan,seencuentrasobre la
bisectriz delánguloque forman.
Siuna rectaes tangenteauna circunferencia,el
radioenelpuntodetangenciaesperpendiculara
larecta
Si doscircunferencias sontangentes
exteriores, suscentrosestánalineadosconel
puntodetangenciay distanlasumadesus radios.
Sidoscircunferenciasson tangentesinteriores,sus
centrosestán alineadosconelpuntode tangenciay distan
ladiferenciadesusradios.
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3. Lamediatrizdecualquiercuerdadeunacircunferencia,
pasaporelcentrode lamisma.
CIRCUNFERENCIAS INTERIORES
Siunacircunferenciaesinterioraotra (todoslospuntosdelacircunferenciapequeña
estánsituadosenel interiordela circunferenciagrande),ambascircunferenciasno
poseenninguna recta tangentecomún,niinteriorniexterior. Todaslasrectas
tangentesalacircunferenciainteriorserán secantesala circunferenciaquela contiene.
CIRCUNFERENCIASSECANTES
Sidoscircunferenciasson secantesentonces únicamente poseendosrectastangentes
comunes.Dichastangentescomunesse correspondenconlastangentesexteriores,no
existiendotangentesinteriorescomunesalascircunferenciassecantes.Enefecto,si CyC'son
loscentrosdedoscircunferenciassecantes,todoslospuntosdelsegmento
soninterioresaambas circunferenciasy,enconsecuencia,nosepuedetrazarninguna
tangente comúnalascircunferenciasCy C'que pase porellos.
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES
Doscircunferencias tangentesexteriormente
tendrán dos rectas tangentes exteriores
comunesperounaúnicarectatangenteinterior
común. Latangenteinteriorcomún será
perpendicularala rectaqueuneloscentrosde
ambascircunferenciasypasaráporelpuntode
tangenciadelasdoscircunferencias,siendo éste
precisamenteelpuntodetangenciaconunay
otracircunferencia.
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4. Doscircunferenciastangentesinteriormentenotendrán ninguna rectatangente
interiorcomún(porlamisma razónquelascircunferenciasinterioresnotienen
tangentescomunes) pero sí unaúnicarectatangente exteriorcomún.
Latangenteexteriorcomún será
perpendicular a la recta que une los
centrosdeambascircunferenciasy pasará
porelpunto de tangenciade lasdos
circunferencias, siendo éste precisamente
elpuntode tangenciaconunayotra
circunferencia.
CIRCUNFERENCIAS DEL MISMO RADIO
Doscircunferenciasdelmismo radiopresentanlaparticularidadde quelastangentes
exteriorescomunesaambascircunferenciassonparalelasentre síyparalelasala recta que
une los centros de ambas circunferencias. Para trazar estas rectas
tangentesnohaymásquedibujarsendasrectasperpendicularesalarectaqueune los
centrosdelascircunferenciasquepasenporloscentrosde unayotracircunferencia. Estas
rectas perpendiculares cortarán a las circunferencias en los puntos de tangenciade
lastangentesexteriores comunesaambas circunferencias.
Silascircunferenciasnosonsecantestendránademás dostangentesinteriores comunes.
Ambas tangentes interiores se cortarán justo en el punto medio del segmento cuyos
extremos son los
centrosde lasdoscircunferencias.El
problemade trazar lastangentes
interiorescomunesa dos
circunferenciasconel mismo radiose
reduceportantoatrazarlas rectas
tangentesa una uotra circunferencia
desdeelpunto central delsegmento
cuyos extremos son los centros de
ambas circunferencias.
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5. LugaresGeométricos
Ellugargeométricodeloscentrosdetodas
lascircunferenciastangentesauna rectar
dadaenunpuntoP de lamismaesla recta
perpendiculararque pasaporelpunto P.
Ellugargeométricodeloscentrosdetodaslas
circunferencias tangentes a una
circunferencia C dada en un punto P de la
mismaeslarectaCPqueuneelcentrodela
circunferenciadada conelpunto de tangencia.
Los puntos de la recta CP situados en el
exterior de la circunferencia C y a mayor
distanciadeCquedePcorrespondenalos centros
de lascircunferencias tangentes
exterioresaC,mientrasquelospuntosdela
rectaCPsituadosenelinteriordeCoensu
exteriorperoamayordistanciadePquedeC
corresponden a los centros de las
circunferencias tangentesinteriores aC.
ENLACES
Losenlacessonaplicaciones delastangencias, quenospermitenunirlíneas
rectasocurvasdeformaqueparezcanunasolalíneacontinua.Porejemplo,en eldibujo
vemoselenlacede dosrectasconuna circunferenciaderadior.
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6. TANGENTEAUNARCODECENTRODESCONOCIDODADOUNPUNTOTDE
TANGENCIA
 ConcentroenTyradio arbitrariosetrazaun
arcoauxiliarhasta cortaral arcodatoen un
punto 1
 Con centro en 1 y el mismo radio
anteriormenteelegido,setrazaotro arco
auxiliar que cortaráal arco datoen2
 ConcentroenTyradioT2setrazaunarco que
cortaráalarco auxiliar 1-2enunpunto 3.
 Seuneelpunto3conelpuntoTdetangencia
medianteunarectaqueserála tangente pedida
RECTASTANGENTESAUNACIRCUNFERENCIA
DESDEUNPUNTO EXTERIOR.
 UnirelpuntoPconelcentroO
delacircunferenciay hallarla
mediatriz delsegmentoPOque
cortaráenMa dichosegmento.
 Con centro en M y radio MO
trazarun arcoauxiliarque
cortaráala circunferenciadada
enlospuntosT1 yT2.
 Lasrectasdeterminadasalunir
lospuntos T1-PyT2-Psonlas
tangentespedidas
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7. TRAZADODELATANGENTEAUNARCODESDEUNPUNTOEXTERIOR, SIENDO
ELCENTRODEL ARCO INACCESIBLE
Desde el punto dado P,trazasunarectaquecortealarco
SehaceunasemicircunferenciaquepaseporPyBconcentroenlamediatrizP-B.
SiendoBelpuntomásalejadodecortecon
elarco,ylarectatrazadadesdeP
Porelpuntode corte máscercano, A, se
levantaunaperpendicularalarectahasta
cortaralasemicircunferenciaanterioren
elpunto C.
ConcentroenPyradiohastaelpuntoCse
trazaunarcohastacortar al dado,T.
Uniendo T (punto de tangencia)conelpunto
dado Pse obtiene latangente al arco
CIRCUNFERENCIASTANGENTESAUNARECTAQUEPASEPORUNPUNTO DADO P Y
TENGAN UN RADIOR DADO.
Trazamosunaparalelaalarectadadaraunadistancia R.
ConcentroenPtrazamosunacircunferenciaderadioRquecortaalaparalelaen lospuntos O
yO1 queson loscentrosde lascircunferencias quebuscamos.
 Por O y O1 trazamos las
perpendicularesalarectaR para
determinar los puntos de tangencia
(loscentros delas circunferencias
tangentesaunarectaseencuentran en
la perpendicular a la recta
trazadaporelpuntode tangencia).
ConcentroenO yO1trazamos
lascircunferenciasquepasanporPy
son tangentesalarectar enTyT1
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8. CIRCUNFERENCIASTANGENTESADOSRECTASRYSQUESECORTA, CONOCIDO EL
RADIO R DELASSOLUCIONES
TrazamosparalelasalarectadadaraunadistanciaR.
TrazamosparalelasalarectadadasaunadistanciaR.
Las paralelas se cortan O,O1,O2,y O3que son los centros de las circunferencias
buscadas.
PorloscentrosO,O1,O2,yO3 trazamosperpendicularesalasrectasrys,que
nosdeterminalospuntosdetangencia T, T1,…
ConcentroenO, O1,O2, yO3 trazamoslascircunferenciasquesontangentesa
las rectasrysenT, T1,…
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9. CIRCUNFERENCIASTANGENTESADOSRECTASRYSQUESECORTA, CONOCIDO
ELPUNTO DE TANGENCIA TDE LAS SOLUCIONES
 Trazamoslaperpendicularalarectadadar porelpuntode tangenciaT dado.
 Trazamosla bisectriz de lasrectasrysporlosángulosqueseencuentraelpunto
detangencia(todacircunferenciatangenteadosrectasquesecortantieneel centro
sobre la bisectriz).
 Elpuntodecortadelasbisectrices
conlaperpendicularpuntosO,yO1 son
loscentrosde lascircunferencias
buscadas.
 Por los centros O, O1 trazamos
perpendiculares a las rectas ry s, que
nosdeterminalospuntosde
tangenciaT1,T2.
 ConcentroenO,yO1trazamoslas
circunferenciasquesontangentesa las
rectasrysenT, T1 y T2
CIRCUNFERENCIASTANGENTESATRESRECTASR,SYTQUESECORTAN DOS A
DOS.
El problema tiene cuatro soluciones
Lassolucionespedidasson la
circunferenciainscrita ylasexinscritos
altriánguloqueformanlastres rectas.
Sus centros son los puntos de
cortedelasbisectricesde losángulos
interiorese exterioresdeltriángulo.
Una vez determinados los
centros se hallan los puntos de
tangencia como ya vimos en los
ejerciciosanteriores.
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10. CIRCUNFERENCIAS DE RADIO CONOCIDO TANGENTESEXTERIORES A
OTRAS DOS
 SituamoslascircunferenciasO1yO2.
 Dibujamosuna circunferenciade centroO2, yradiolasuma de „r2‟ (radiode la
circunferenciadada)+„Radio‟ (radiodelacircunferenciasolución).
 Dibujamos una circunferenciade centroO1, yradiola suma de „r1‟ (radiode la
circunferenciadada)+„Radio‟ (radiodelacircunferenciasolución).
 Lasinterseccionesdelosdosarcostrazadosanteriormenteseránloscentrosde
lascircunferenciasbuscadas.UnimosestospuntosconO2parasituarlospuntos de
tangencia T´3yT´4.
 Unimoslos centrosO3yO4conO1 parasituarlospuntosdetangenciaT3yT4.
 Trazamoslas circunferenciasdecentros O3y O4, yradioeldado.
CIRCUNFERENCIAS DE RADIO CONOCIDO TANGENTES INTERIORES A
OTRAS DOS
 SituamoslascircunferenciasO1yO2.
 Dibujamosunacircunferenciade centroO2, yradioladiferenciade „Radio‟ (radio
delacircunferenciasolución),menos „r2‟ (radiodelacircunferenciadada).
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11.  Dibujamosunacircunferenciade centroO1,yradioladiferenciade „Radio‟ (radio de la
circunferencia solución),menos „r1‟ (radiode la circunferencia dada).Las
intersecciones de los dos
arcostrazados
anteriormenteserán los
centros de las
circunferencias buscadas.
 UnimosestospuntosconO2
para situarlospuntosde
tangencia T´3yT´4.
 UnimosloscentrosO3yO4
conO1parasituarlos puntos de
tangencia T3yT4.
 Trazamoslascircunferencias
decentrosO3yO4,yradio
eldado.

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES AUNA CIRCUNF. Y
EXTERIORES A OTRA.
 SituamoslascircunferenciasO1yO2.
 Dibujamosunacircunferenciade centroO2, yradioladiferenciade „Radio‟ (radio
delacircunferenciasolución),menos „r2‟ (radiodelacircunferenciadada).
 Dibujamosunacircunferenciade centroO1, yradiola suma de „r1‟ (radiode la
circunferenciadada)+„Radio‟ (radiodelacircunferenciasolución).
 Lasinterseccionesdelosdosarcostrazadosanteriormenteseránloscentrosde
lascircunferenciasbuscadas.UnimosestospuntosconO2parasituarlospuntos de
tangencia T´3yT´4.
 Unimoslos centrosO3yO4conO1 parasituarlospuntosdetangenciaT3yT4.
 Trazamoslas circunferenciasdecentros O3y O4, yradioeldado.
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12. CIRCUNFERENCIASTANGENTESAUNARECTAENUNPUNTOTDADOEL
RADIOR.
 PorelpuntodetangenciaTtrazamosuna
perpendicular.
 Sobrelaperpendicularllevamosladistancia
Rdada que nosdadospunto O y O1.
 HacemoscentroenOyO1ytrazamoslas
circunferenciasderadioRdado queson
tangentesalarectaen elpuntoT.
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13. ENLACE DE DOS RECTAS PERPENDICULARES POR MEDIO DE UN ARCO DE
CIRCUNFERENCIA.
SeconoceelradiodelarcoR.
TrazamosunarcodecircunferenciaderadiodadoR,
decentroelpuntode cortedelasdosrectasquenos
determinalospuntos detangencia T yT1.
DesdeTyT1trazamosdosarcosdecircunferencia
delmismoradioquesecortanenelpuntoO.queesel centro
delarcobuscado.
ConcentroenO,trazamoselarcodecircunferencia que es
tangente alasrectasr ysenT,T1.
SeconoceelpuntodetangenciaT.
PorT trazamoslaperpendicularalarecta r.
Trazamoslabisectrizdelángulodondesecortenla bisectriz
conla perpendiculareselcentrodelarco buscado.
ConcentroenO,trazamoselarcodecircunferenciaque
estangente alasrectasrys enT,T1.
ENLACEDEDOSRECTASQUESECORTAN(CONCURRENTES)PORMEDIODE UNARCO
DE CIRCUNFERENCIA
SeconoceelradiodelarcoR.
Trazamosparalelasalasrectasr ysaladistanciadadaR,quenosdeterminan las
rectasr’ys’.
Lasparalelasr’ s’ se cortan enelpunto O.queeselcentrodelarcobuscado.
Desde O,trazamos las perpendiculares a las rectas dadas ry sque nos
determinanlospuntosdetangenciaT, T1.
ConcentroenOyradioRdadotrazamosunarcodecircunferenciaquees tangente
alasrectasenlospuntosT,T1.
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14. ENLACE DE UNA RECTA Y UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA (O UNA
CIRCUNFERENCIA)PORMEDIODEUNARCODECIRCUNFERENCIADERADIO DADO
R.
TrazamosunaparalelaalarectaraladistanciadadaR.
Con centro en O trazamos una circunferencia de radio R1+ R. es decir le
aumentamosala circunferencia elradioRdado.
LacircunferenciaanteriorcortaalaparalelaenlospuntosOyO1quesonlos centrosdelas
circunferenciasbuscadas.
Trazamos las perpendiculares a la
rectadadarquenosdeterminanlos
puntosde tangencia T1, T2.
UnimosloscentrosO1yO2conel
centroOynosdeterminalosotros
puntosde tangencia.
ConcentroenO yO1yradioRdado
trazamoslosarcosde circunferencia
queson tangentesalarectayala
circunferencia.
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15. ENLACEDE UNARECTAYUNARCODECIRCUNFERENCIA(O
UNACIRCUNFERENCIA)PORMEDIODEUNARCODECIRCUNFERENCIADE RADIO
DADO R.QUE SEA EXTERIORA LACIRCUNFERENCIA (ENVOLVENTE)
Trazamosunaparalelaalarectarala distanciadadaR.
ConcentroenOtrazamosunacircunferenciaderadioR1-R.esdecirlerestamos alradiode la
circunferenciaR1elradiodado R.
LacircunferenciaanteriorcortaalaparalelaenelpuntosO1queeselcentrodela
circunferenciabuscada,Trazamoslaperpendicularala rectadadarquenos
determinanelpunto detangencia T1.
Unimoselcentro O1conelcentroO ynosdetermina elotropunto detangencia T.
Con centro en O1 yradio R dado trazamos el arcode circunferencia quees tangente
alarectayalacircunferencia.
ENLACE DEDOS CIRCUNFERENCIAS PORMEDIO DEUNARCODE
CIRCUNFERENCIA DE RADIO DADO R.
 Concentro enO1trazamosunacircunferenciade radioR+R1 esdecirle sumamos
alradiode la circunferenciaR1 elradiodado R.
 ConcentroenO2trazamosunacircunferenciaderadioR+resdecirlesumamos alradiode
la circunferencia relradiodadoR.
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16.  Las circunferencias anteriores se
cortanenlospuntosO yO‟ que son
loscentrosde la
 Circunferencias buscadas,
 UnimoselcentroO1conelcentroO
ynosdetermina elotropunto de
tangenciaT1yT2.Unimoselcentro
O2conelcentroO‟ ynos determina
elotropunto detangenciaT‟ 1yT‟ 2
 Con centroen O y O‟ radioRdado
trazamoslosarcosde circunferencia
que sontangentesalas circunferencias.
ENLACE DE DOS CIRCUNFERENCIAS POR MEDIO DE UN ARCO DE
CIRCUNFERENCIA DE RADIO DADO R. QUE SEA EXTERIOR
(ENVOLVENTE)
 Concentro enO1trazamosunacircunferenciade radioR - r1 es decir le restamos
alradiodadoRelradiode la circunferencia r1.
 Con centro en O2 trazamos una circunferencia deradio R – r2es decir le
restamosalradiodadoRel radiodela circunferenciar2
 LascircunferenciasanterioressecortanenlospuntosOyO‟ quesonloscentros
de la
 Circunferencias buscadas,
 UnimoselcentroO1conelcentroOynosdeterminaelotropuntodetangencia
T1yT2.UnimoselcentroO2 con elcentroO‟ ynos determinaelotropunto de
tangenciaT‟ 1yT‟ 2.
 Concentroen OyO‟ radioRdado trazamoslos arcosde circunferenciaqueson
tangentesalascircunferencias.
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17. ENLACEDEDOS RECTASPARALELASPOR DOSARCOSDE CIRCUNFERENCIAS
IGUALES
 Dibujamosdosrectassyt,sobrelasquefijamoslospuntosdeenlaceQyP
respectivamente(puntosdetangencia).
 Trazamossesegmento queune lospuntosdeenlacePQ, ysituamoselpuntomedio
M,puntodetangenciadelosdosarcosde circunferencia.ElcentroO1de la
circunferencia que pasaporP-M estarásituadosobrela mediatriz.
 LacircunferenciaO1estangentealarectatenelpuntoP,porloqueO1estará sobrela
intersección dela perpendicularenP, conla mediatriztrazada anteriormente.
Dibujamosla circunferenciadecentro O1 yradioO1-P.
 Repetimoslospasos3y4sobrelarectas.Dibujamoslamediatrizdelsegmento M-
Qytrazamosla perpendicularasporQ, dondesecortenestasdoslíneas
colocamoselcentro O2.
 Dibujamosla circunferenciade centro O2yradioO2-Q.
 Elenlacederectasycircunferenciasmediantesupuntodetangencia,permitela
transiciónsuavedeunasa otras sinbrusquedades.
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18. ENLACE DE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS MEDIANTE UN ARCO DE
CIRCUNFERENCIA
 SituamoslarectatylacircunferenciaO.
 Trazamosuna perpendicularalarectat,delongitudigualalradiodelarco solución.
 Dibujamosunaparalelaalarectat,distantede esta la medidadelradio.
 Prolongamos el radio de la circunferencia O sobre la que añadimos el radio
solución.
 TrazamosunacircunferenciaconcéntricaaOyradioelsegmentodibujadoenel
pasoanterior.Lainterseccióndeestacon laparaleladibujadaenelpaso2,
determinalaposición delcentro O1 dela circunferenciasolución.
 UnimosO1conelcentroOparahallarelpuntodetangenciaT´1,ydibujamosla
perpendiculardesdeO1 alarectaparasituarelpunto detangenciaT1.
 Trazamoslacircunferenciaque enlazalacircunferenciadadaconlarectat.
 Enrojopuedesverelefectodelenlace.Esimportantehacerlostrazadoshasta
lospuntosde tangenciaparaqueelenlace seacontinuo.
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19. ENLACE MEDIANTE CIRCUNFERENCIA INTERIOR DE RECTA Y
CIRCUNFERENCIA
 SituamoslarectatylacircunferenciaO.
 Trazamosunaperpendicular alarectat, delongitudr,igualalradiosolución.
 Dibujamosunaparalelaalarectat,distantede esta la medidadelradio r.
 Restamoselradiosoluciónr,al dela circunferenciadadar0.
 TrazamosunarcodecircunferenciaconcéntricaaOyradior0-r,obtenidoenel
pasoanterior. Lainterseccióndeesteconlaparaleladibujadaenelpaso2,
determinalaposición delcentro O1 dela circunferenciasolución.
 UnimosO1conelcentroOparahallarelpuntodetangenciaT1,ydibujamosla
perpendiculardesdeO1 alarectaparasituarelpunto detangenciaT´1.
 Trazamoslacircunferenciaque enlazalacircunferenciadadaconlarectat.
 Enrojopuedesverelefectodelenlace.Esimportantehacerlostrazadoshasta
lospuntosde tangenciaparaqueelenlace seacontinuo.
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20. ENLAZARPUNTOS NO A LINEADOS MEDIANTE ARCOS DE CIRCUNFERENCIA
 Situamoslospuntosporlos quevanapasarlosarcosde circunferencia.
 Debemosfijarelradiodelprimerarco,elcualdeterminaráelrestodeltrazado.
Elcentro deeste arcoestarásobrela mediatriz delsegmentoAB.
 Trazamoselarcode centro O1yradioO1-A.
 Enelcuadroinferiorpuedesdecidirquepartedelarcodelacircunferenciaserá visible:
superior,inferioro completa.
 ElsiguientearcodebesertangentealprimeroenelpuntoB,porloqueelcentro
O2estarásituadosobre la líneaqueune O1conB.
 LainterseccióndelamediatrizdeltramosiguienteB-Cconlalíneatrazadaenel
pasoanterior, serála posición delsegundocentro O2.
 Trazamoselarcode centro O2yradio O2-B.
 Enelcuadroinferiorpuedesdecidirquepartedelarcodelacircunferenciaserá visible:
superior,inferioro completa.
 CalculamoslaposicióndelcentroO3,queestaráenlainterseccióndelamediatriz
C-D ylarectaqueuneO2conC.
 Trazamoselarcocorrespondienteycontinuamosesteprocesohastacompletarel
circuito.
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21. ENLACE DE DOS RECTAS PARALELASPORDOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA
 Dibujamos las rectas t y s paralelas, sobre las que situamos los puntos de
tangenciaPyQ.
 Trazamosla mediatriz delsegmentoP-Q, puntosdetangenciasobrelasrectasty
s respectivamente.
 PorelpuntoM trazamosunarectaparalelaalasdosdadas.
 Con centro en M y radio MP obtenemos el punto de tangencia de las dos
circunferencias T1.
 SituamoselcentroO1enlainterseccióndelaperpendicularalasrectasporel punto P,
ylaperpendicularal segmento PQ por T1.
 Dibujamos elarcode centro O1que pasaporT1 yP.
 ParaobtenerelcentroO2,trazamosunaperpendicularalarectasporelpuntoQ
hasta cortarelsegmento T1-O1.
 TrazamoselsegundoarcodecentroO2,tangentealarectasenelpuntoQyal
primerarcoenT1.
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22. RECTAS TANGENTESA DOS CIRCUNFERENCIAS
DoscircunferenciasCyC'poseen,engeneral,cuatrorectastangentescomunes.
Dichastangentes,así comolosrespectivos puntosdetangencia,sonsimétricasdos a
dosrespectodela rectaCC'queuneloscentrosdelascircunferencias.Cadaparde
tangentessimétricassecortanenunpuntodelarectaCC'.Enfunción delaubicación
deestepunto sedistingueentretangentesinteriores(cuandoelpuntodecorte está
situadoentrelosdoscentrosCyC')ytangentesexteriores(enelcasocontrario)a
lasdoscircunferencias.Estospuntosdecortedelastangentessimétricasnoson otros que los
centrosdehomoteciapositivaynegativade las circunferencias
Si reselradio de la circunferenciaC yr'eselradio de la circunferenciaC', entonces
lasrectastangentesdebensertalesqueesténaunadistancia rdelpuntoCyauna
distanciar'delpuntoC',justificandolarelacióndesimetría.Porotraparte,sir'<ry
setrazaunaparalelaaunarectatangenteaunadistanciar'delamismadeformaque
paseporelcentroC',sudistanciaalpuntoCseráahorar+r'o r-r',segúnquela
paralelasealejeoseacerquealcentroC.Larectaparalelaaunatangentecomúna
doscircunferenciasC yC'quepasaporelcentroC'estarámáspróximaaCquela rectatangente
silatangenteesexterior,yestarámásalejadadeC silatangentees interior.
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23. TRAZADO DE DOSRECTAS TANGENTES EXTERIORES COMUNES A DOS
CIRCUNFERENCIASC Y C'
Comosediscutióanteriormente,sires el radiodelacircunferencia Cy r'esel radio
delacircunferenciaC'yesr> r',entonceslasrectasparalelasalastangentes
exterioresquepasanporC'estaránaunadistanciadelcentroCigualar-r'o,loque
eslomismo,seránasuveztangentesaunacircunferenciadecentroCyradior-r'.
LospasosparatrazarlasrectastangentesexterioresadoscircunferenciasC yC'de radios
respectivos ryr', conrmayorquer',son:
 Trácese un radio de lacircunferencia de centro C, que cortaráa la propia
circunferenciaenunpunto A de lamisma.
 ConcentroenelpuntoA,dibújeseunarcoderadior',quecortaráalradioantes trazado
enunpunto Binteriorala circunferenciade centro C.
 TráceselacircunferenciaconcentroenC quepasaporelpuntoB,cuyoradio será r-r'.
 HállenselasrectastangentesalacircunferenciadecentroCyradior-r'antes dibujada,
trazadasdesde elpunto exteriorC'.
 EnlasdoscircunferenciasCyC'trácensesendosradiosperpendicularesacada unade
lastangentesobtenidas.Estosradioscortaránalacircunferencia correspondiente
enlospuntosde tangenciadelastangentesexteriorescomunesa lasdos circunferencias.
Únanselasparejasdepuntosdetangenciahalladasparaobtenerlasdosrectas
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24. tangentesexteriorescomunesalascircunferenciasCy C'.
TRAZADODEDOSRECTASTANGENTESINTERIORESCOMUNESA DOS
CIRCUNFERENCIAS CY C'
Enestecaso,las rectasparalelasalastangentesinterioresquepasan porC'van aser
asuveztangentesalacircunferenciaconcentroenCyradio r+r'.Porlotanto,los
pasosparatrazarlasdos rectas tangentesinteriorescomunes adoscircunferencias C
yC'deradiosrespectivos r yr'(rmayorquer')seránlos siguientes:
 DibújeseunradiocualquieradelacircunferenciadecentroCyseaelpuntoAel extremo de
esteradiosituadosobrela circunferencia.
 Con centro en el punto A trácese un arco de radio igual al radio r' de la
circunferenciaC';estearcocortaráalaprolongacióndelradioantesdibujadoen elpunto
B, exterioralacircunferenciade centro C.
 DibújeselacircunferenciaconcentroenCquepasaporelpuntoB,quetendráun radio igual
ar+r'.Trácenselas rectastangentesalacircunferenciade centro C y radior+r'antes
dibujadaquepasanporelpunto exteriorC'.
 Trácenseradiosperpendicularesacadaunadelasdostangentesanterioresen
ambascircunferencias.Losextremosde estosradiossituadossobrelas
circunferenciasserán lospuntosdetangenciadelas rectastangentesinteriores
comunesconlascorrespondientescircunferencias.Únanselospuntosdeantes
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25. halladosparaobtenerlascorrespondientesrectastangentesinteriorescomunesa
lascircunferencias C yC'.
CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA OUNACIRCUNFERENCIA EN
UNPUNTODADO DE LA MISMAY QUE PASA POR OTROPUNTO DADO
SeaunarectarounacircunferenciaCyseaTunpuntopertenecientealamisma.Sea
slarectalugargeométrico de loscentrosde todaslascircunferenciastangentesaro C
enelpuntoT, conforme alo especificadoen elpárrafoanterior.
SedeseantrazarlascircunferenciastangentesaroCenelpunto Tyquepasanpor
otropuntoP.Elcentrodela
circunferenciasolución debe
estarsobre la recta s y
ademásdebeestara la misma
distanciade Tque de P.Porlo
tanto,elcentro dela
circunferenciasolución estará
enlainterseccióndela rectas
conlamediatriz del segmento
PT.
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 24

26. CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA OUNACIRCUNFERENCIA EN
UNPUNTODADO DE LA MISMAY TANGENTE ADEMÁS AUNARECTA DADA
SeconoceelpuntoT,queperteneceauna rectaroaunacircunferenciaCdada. Se
quieretrazarla circunferenciaque siendotangentearo Cenel puntoTesasimismo
tangenteaotra rectat dada. Nótesequesiunacircunferenciaha de sertangentea
otracircunferenciaC enelpuntoTdelamisma,tambiénserátangentealarecta
perpendicularaCTquepasaporelpunto T.Sidenotamospor r'aesta recta perpendicular,
setienequelosdosproblemasplanteadoseneste apartado sonel
mismo:trazarlacircunferenciatangentealarectar(or'enelcasodequeeldato
seaunacircunferencia)enelpuntoTdelamisma,y queesademástangentesaotra rectatdada.
Elcentrodelacircunferenciasoluciónbuscadatendráqueestaralamismadistancia
delarectar(or')quedelarectat(porsertangenteaambas),esdecir,debeestar
enlabisectrizdelánguloformadoporlasrectasr(o r')yt.Porotraparte,elcentro
delacircunferenciasolucióndebeestartambiénsobrela rectas,perpendicularar(o
r')enelpuntoT,tal ycomo se justificóenelapartadoLugares geométricos.
Elcentrodelacircunferenciabuscada,solucióndelproblema,serálaintersecciónde la
rectaperpendicularar(o r')enelpuntoTconlabisectrizdelánguloformadopor las rectasry
t.
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 25

27. CIRCUNFERENCIASTANGENTESA UNARECTAOUNA CIRCUNFERENCIA EN
UNPUNTODADODELAMISMA YTANGENTESADEMÁSAUNA CIRCUNFERENCIA
DADA
Lasoluciónaesteproblemaseencuentrade formasencillaaplicandoconceptosde homotecia,
potencia o inversión. No obstante, también es posible encontrar una
soluciónalproblema(conunprocedimientoalgomáslaboriosopero conceptualmente
máselemental)sin
recurriraestosconceptosmásavanzados.Elprocedimientoqueseexplicaeneste epígrafe
eslaresolucióndenominadahabitualmente por"dilatación".
UnadilatacióndedistanciaRdeuna rectaodeunacircunferenciasedefinecomoel
lugargeométricodelospuntosqueestán situadosa unadistanciaRdedicha recta
ocircunferencia.Dadaladefinición anterior, estoslugaresgeométricoscoincidiráncon
loslugaresgeométricosdeloscentrosde unacircunferenciade radioRtangenteala
rectaocircunferenciaparala cualse quierecalcularsudilatación. Estoslugares
geométricosserándos rectasparalelasala rectadilatadaodoscircunferencias
concéntricasconlacircunferenciadada,respectivamente.Enparticular,siseaplica
unadilatacióndevalorRaunacircunferenciade radioR,obtendremosuna
circunferenciaderadio2Ryotraderadiocero,esdecir,unadilatacióndevalorigual al
radiodeunacircunferenciatransformadichacircunferenciaensucentro. La dilatación
espues unmecanismo quepermitetransformar circunferenciasenpuntos.
Cuandodosomáselementostangentesson dilatadosconlamismadistanciaR,los
elementosdilatadossiguensiendotangentesentre sí,esdecir,la dilataciónconserva las
relacionesdetangencia. Deestaforma,yteniendo encuentalo expuesto
anteriormente,todoproblemadetangenciasenelqueintervengaunacircunferencia
deradioRpuedereducirsepordilataciónaunproblemadetangenciasequivalenteen
elquesólointervengaelcentrodelacircunferencia(pordilatación,transformamos
unacircunferenciaen unpunto). Asípues,parahallarlascircunferenciasqueson
tangentesauna rectarenunpuntoTdelamismayaunacircunferenciaCde radioR,
seobtendránlasdosrectasr'yr",paralelasa r,que resultandedilatarrenla
cantidadR.Comoelcentrodelacircunferenciatangentea renelpuntoTdebeestar sobrela
rectas,perpendiculararenelpunto T,entonces,altransformarelproblema pordilatación,la
circunferenciasolucióndilatadadeberá sertangentear'enT'o ar"
enT",siendoT'yT"lospuntosdeinterseccióndelarectasconlasrectasr'yr",
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 26

28. respectivamente.
Elproblemaconsisteahoraentrazardoscircunferencias:lacircunferenciatangente
ar'enelpuntoT'quepasaporCylacircunferenciatangentear"enT"quepasapor C. Se sabe
que los centros O1 y O2 de estas circunferencias estarán en la intersecciónde
larectasconlasmediatricesdelossegmentosCT'yCT", respectivamente. Estos centros
O1 y O2, además de ser centros de las circunferencias solución dilatada, serán
también centros de las circunferencias soluciónsindilatar,
yaquetodacircunferenciaysusdilatacionessonconcéntricas.
Resumiendo,lospasosparatrazarlascircunferenciastangentesauna rectardadaen
unpuntoTdelamismayquesonasuveztangentesaunacircunferenciadadade centro
CyradioRsonlossiguientes:
Trácenselasdosrectasr'yr"paralelasarysituadasaunadistanciaRdela
misma(dilatación der de valor R).
Trácesela rectasperpendiculararenelpuntoT,quecortaráalarectar'enel
punto T'yalarectar" enelpuntoT".
Hállese la mediatriz delsegmento CT', que cortaráasenelpuntoO1.
Hállese asimismo lamediatrizdelsegmento CT", que cortaráasenelpunto O2.
LassolucionesalproblemaseránlascircunferenciasconcentrosenO1yO2que
pasanporelpuntoT.
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29. CIRCUNFRENCIASTANGENTESADOSRECTASQUESECORTANPASANDO POR T
 Situamoslas rectasrys, yelpuntoT sobrelarectar.
 Loscentrosdelascircunferenciassoluciónestaránsobrelasbisectricesdelos ángulos
formadosporlas rectasrys.
 Almismotiempo,loscentrosestaránsobrelaperpendicularalarectarenel punto T,
porsertangentesaellaendichopunto.
 Antesdedibujarlascircunferencias,calculamoslospuntosdetangenciaT1yT2, sobre
larectas.
 TrazamoslascircunferenciasdecentrosO1yO2,abriendoelcompáshastael
punto de tangenciaT
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTASQUE SECORTAN
 Dibujamostresrectasquesecortanynombramoslosvérticesdeltriánguloque generan.
 Las bisectricesdelosángulosdeltriángulo se cortanenelIncentroO1,centrode
lacircunferenciainscritaalmismo.Enesteejercicionoemulamoseltrazadode las
bisectricesparaevitarconfusiones.
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30.  TrazamoslasbisectricesenlosángulosAyB,paracalcularlaposicióndelcentro
O2.
 TrazamoslasbisectricesenlosángulosByC,paracalcularlaposicióndelcentro
O2.
 DibujamoslacircunferenciaquepasaporMyO2.Trazamoslasbisectricesenlos ángulos A
y C, para calcular la posicióndelcentro O2.
 Desdecadaunodeloscuatrocentrostrazamosperpendicularesalasrectaspara
conocerlospuntosdetangencia.
 Dibujamoslas cuatro circunferencias solución.
CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA EN TPASANDO POR UN PUNTO
EXTERIOR P
 Situamos elpuntoT sobre lacircunferenciay elpunto P exteriora ella.
 SilacircunferenciahadepasarporTyP,elcentroestarásobrelamediatrizdel segmento
que losune.
 ElcentrodelacircunferenciasoluciónestarásobrelarectaqueuneelcentroO
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31. con T,yaqueserá tangente aellaenesepunto.
Dibujamosla circunferenciade centro O1abriendo elcompáshasta elpunto T.
RECTATANGENTEYNORMAL EN
UNPUNTODE LA ELIPSE
Latangentealaelipseenunpunto de ella P,
es la bisectriz del ángulo exterior
que forman los radios vectores en
dicho punto. Lanormal enP, esla
perpendicularala tangente endicho
punto
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32. RECTA TANGENTE A LA ELIPSE ENUN PUNTO POR CIRCUNFERENCIA
PRINCIPAL
SiendoPelpuntodelaelipse,comenzaremostrazandolascircunferenciasdecentro
C1yC2,puntosmediosdelosradiosvectoresdelpuntoP,ydiámetrodichosradios vectores.
Lascircunferenciasanterioresresultansertangentesinterioresalacircunferencia
principal, en los puntos T1y T2,
determinados al unir el
centroOdelaelipseconlos
centros C1yC2.
SecumplequelospuntosT1, Py
T2, están alineados, y
determinan la recta t
tangente alaelipsebuscada.
También se verifica que las
rectasF-PyO-T2,yF'-Py O-
T1 son respectivamente
paralelas
RECTAS TANGENTESA LA ELIPSE
DESDEUNPUNTO EXTERIORPOR
CINCUNFERENCIA FOCAL
Estaconstrucción sebasaenladefinición
decircunferenciafocal,comoel lugar
geométricode lospuntossimétricosdel
otrofoco,respectoa lastangentesala elipse.
DadoelpuntoP exterioralaelipse,
comenzaremostrazandola circunferencia
focaldecentroenF,yacontinuaciónla
circunferenciadecentroenP,yradioP-
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33. F',lacualcortaalafocalenlospuntosF'1yF'2.Dichospuntossonlossimétricos delF'respecto
alastangentesalaelipsedesde elpuntoP.
SolorestatrazarlasmediatricesdelossegmentosF'-F'1yF'-F'2,obteniendoasí
las rectast1yt2que serán lastangentesalaelipse buscadas.
Paradeterminarlospuntosdetangencia,trazaremoslasrectasF-F'1yF-F'2,que
determinaránsobrelastangentes t1yt2,lospuntosT1yT2,puntosdetangencia buscados.
RECTASTANGENTESALAELIPSEDESDEUNPUNTO EXTERIORPOR
CINCUNFERENCIA PRINCIPAL
Dado el punto Pexterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia
principal,yacontinuaciónlacircunferenciadecentroenC,ydiámetroP-F.Ambas
circunferencias se interceptan en los puntos 1 y 2.
LasrectasP-1yP-2, serán lastangentest1yt2buscadas.
Paradeterminarlospuntosdetangencia,trazaremoslasrectasO1yO2,yporF'las
correspondientesparalelas, que determinaránsobre las tangentes, lospuntosT1yT2,
puntosde tangencia buscados.
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34. RECTASTANGENTESALAELIPSE,PARALELASAUNADIRECCIÓNDADA POR
CIRCUNFERENCIA FOCAL
Estaconstrucciónessimilaraladeltrazadodetangentesdesdeunpuntoexterior, solo que en
este caso el punto es un punto impropio situado en el infinito.
Dadaladirecciónd,comenzaremostrazandola
circunferenciafocaldecentroenF, ya
continuaciónla rectaperpendicularala dirección
d,yquepaseporel focoF'.Dicha recta
determina sobre la circunferencia focal,
los puntos F'1 y F'2.
LasmediatricesdelossegmentosF'-F'1y F'-
F'2,seránlastangentesalaelipset1y
t2buscadas.
Para determinarlos puntosdetangencia,
trazaremos lasrectas F-F'1yF-F'2,que
determinaránsobrelastangentest1yt2,los
puntos T1y T2,puntos detangencia buscados.
RECTASTANGENTESALAELIPSE,PARALELASAUNADIRECCIÓNDADA POR
CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL
Dadaladirecciónd,comenzaremostrazando
lacircunferenciaprincipal,yseguidamentela
rectaperpendicularaladirecciónd,yque
paseporelfocoF'.Dicharectainterceptaa
lacircunferenciaprincipalenlospuntosRy S,
pertenecientesalastangentesbuscadas.
SolorestarátrazarporRySlas rectast1y t2,
paralelas a la dirección dada, siendo estaslas
tangentes buscadas.
Para determinar los puntos de tangencia,
trazaremos lasrectas ORyOS,yporel
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 33

35. focoF,lascorrespondientesparalelas.Dichasparalelasdeterminarán sobrelas
tangenteslospuntosT1yT2de tangenciabuscados.
PUNTOS DE INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UNA ELIPSE
Estaconstrucción sebasaenla definiciónde la elipse,comoellugargeométricodelos
centrosde circunferenciasquepasanporunfoco,ysontangentesalacircunferencia focal
delotro foco.
ComenzaremostrazandolacircunferenciafocaldecentroenF yradio2a. seguidamente
trazaremosunacircunferenciacualquieraconcentro enla rectar, yque paseporel focoF'.
EnnuestrocasohemostrazadolacircunferenciadecentroC1. sobre
dichacircunferenciadeterminaremos elpuntoP, simétrico delfocoF',respecto alarectar.
Lospuntosde intersección buscados, seránlos centrosde lascircunferencias situados
enlarectar,quepasandoporPyF',seantangentesalacircunferenciafocal.Porlo
tantoelproblemase reducealtrazadodecircunferenciasquepasandopordospuntos
seantangentes aotradada, Loqueresolveremosporpotencia.
Enlainterseccióndelasrectas1-2yP-F',
obtendremoselpuntoCr,centro radicalde
todaslascircunferenciasdecentroenryque pasen
porPyF'.
TranzandolacircunferenciadediámetroF-Cr
ycentroen pm,determinaremos enla
circunferencia focal, los puntos T1y T2,
puntosdetangencia delascircunferencias
buscadas.
Determinaremosel centro de dichas
circunferencias,uniendolospuntosT1yT2
conelfocoF, rectasque determinarán sobre la
rectardada,lospuntosI1yI2,centrodelas
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 34

36. circunferenciassolución,yportanto,puntosdeinterseccióndelarectarconla elipse.
RECTATANGENTEYNORMALENUNPUNTO DE
LA PARÁBOLA
Latangentealaparábolaenunpuntode ellaP, es la
bisectrizdelánguloque formanlos radios vectores
en dicho punto.
LanormalenP,eslaperpendicularalatangente endicho
punto.
RECTASTANGENTESALAPARÁBOLADESDEUNPUNTOEXTERIORPOR
CINCUNFERENCIA FOCAL
Estaconstrucciónse basaenladefinición
decircunferenciafocal(directriz),como el
lugar geométrico de los puntos
simétricosdelotro foco, respectoalas
tangentesalaparábola.
Dado el punto Pexterior a laparábola,
comenzaremostrazando la circunferencia
decentroenP,yradioP-F,lacual corta a
lafocal(directriz),enlospuntosF1yF2.
Dichospuntos sonlossimétricosdelF
respecto alastangentesalaparábola desde el
puntoP.
Solorestatrazarlasmediatricesdelos
segmentos F-F1y F-F2, obteniendo así las
rectast1yt2que seránlastangentesa
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 35

37. la parábolabuscadas.
Paradeterminarlospuntosdetangencia,trazaremoslasrectasporF1yF2,rectas
paralelasalejedelacurva,quedeterminaránsobrelastangentest1yt2,lospuntos T1yT2,
puntosdetangencia buscados.
RECTASTANGENTESALAPARÁBOLADESDEUNPUNTOEXTERIORPOR
CINCUNFERENCIA PRINCIPAL
Dado el punto Pexterior a la parábola,
comenzaremos trazando la circunferencia
principal (tangenteenelvértice), yacontinuación
lacircunferenciade centro enC, ydiámetroP-F.
Ambascircunferenciasse interceptanenlos
puntos1y2.LasrectasP-1yP-2,seránlas
tangentest1yt2buscadas.
Para determinar los puntos de tangencia,
haremos1-F1=1-Fy2-F2=2-F,yporF1yF2,
trazaremosrectasparalelasalejedelacurva,
quedeterminaránsobrelastangentest1yt2,los
puntosT1yT2, puntosde tangencia buscados.
RECTASTANGENTESALAPARÁBOLA,PARALELASAUNADIRECCIÓNDADA POR
CIRCUNFERENCIA FOCAL
Estaconstrucciónes similaraladeltrazadode
tangentesdesdeunpuntoexterior, soloqueeneste
casoelpuntoesunpuntoimpropiosituado enel infinito.
Dada la dirección d, comenzaremos
trazandolarectaperpendicularaladirecciónd,y
quepaseporelfocoF.Dicha rectadetermina sobre
lacircunferenciafocal (directriz),elpuntoF1.La
mediatrizdelsegmentoF-F1,serálatangenteala
parábola tbuscada. Paradeterminar el punto de
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 36

38. tangencia,trazaremosproF1,la rectaparalelaalejedelacurva, quedeterminarán sobre
latangentet, elpuntoT1, puntode tangencia buscado.
RECTASTANGENTESALA PARÁBOLA, PARALELASA UNA DIRECCIÓNDADA POR
CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL
Dadaladirecciónd,comenzaremostrazandolacircunferenciaprincipal(tangenteen el
vértice), y seguidamente la recta
perpendicularala direcciónd,yquepaseporel foco
F. Dicha recta intercepta a la
circunferenciaprincipalenelpunto 1,
perteneciente a la tangente buscada.
Solorestarátrazarpor1larectat,paralelaa
ladireccióndada, siendoestalatangente buscada.
Para determinarlospuntosdetangencia,
haremos1-F1=1-F,yporF1trazaremosuna
rectaparalelaalejede lacurva,queterminará
sobrelatangentet elpuntoT1,puntode tangencia
buscado.
PUNTOS DE INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UNA PARÁBOLA
Estaconstrucciónse basaenla definicióndela parábola,comoellugargeométricode
loscentrosdecircunferenciasquepasanporel foco,ysontangentesala circunferencia focal
delotrofoco (directriz).
Comenzaremostrazandounacircunferenciacualquieraconcentroenla rectar,y que
paseporelfocoF.EnnuestrocasohemostrazadolacircunferenciadecentroO. Sobre dicha
circunferencia determinaremos el punto F1, simétrico del foco F, respectoala
rectar.Lospuntosdeintersecciónbuscados,seránloscentrosdelas
circunferenciassituadosenlarectar,quepasandoporF1 yF,seantangentesala
circunferenciafocal (directriz).Porlotantoelproblemase reduce altrazadode
circunferencias que pasando pordos puntos sean tangentes a una recta dada
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 37

39. (directriz), Loqueresolveremosporpotencia.
Prolongandola rectaF-F1,determinaremos
sobre la directriz el puntoCr, centro radical
detodaslascircunferenciasdecentroenry
quepasen porFyF1.Concentro enpm,punto
mediodelsegmentoF-Cr, trazaremosla
circunferenciadediámetroF-Cr,yporF1la
perpendicular a dicho diámetro,
determinando sobre la circunferencia
anterior el punto 1.
ConcentroenCr trazaremoselarcode
circunferenciade radioCr-1,quenos
determinará sobre la directriz, los puntos
T1yT2.Lasperpendicularesaladirectriz en
dichos puntos, determinarán sobre la
rectarlospuntosI1eI2,deintersección de
larectaconla parábola
CONSTRUCCIÓN DE LA PARÁBOLA POR ARCOS DE CIRCUNFERENCIA.
RADIOS DE CURVATURA
Para determinarelcentrodecurvaturaen un
puntoPdelaparábola,trazaremoslanormalen dicho
punto, bisectriz de los dos radios vectores
de dichopunto.
Lanormaltrazada,cortaráalejeenelpunto1.
Pordicho puntotrazaremoslaperpendicularala
normal,quedeterminarásobrela rectatrazada
porPyparalelaaleje,elpunto2.Pordicho
puntotrazaremosla perpendicularal eje,que
interceptaráalanormalenelpuntoCp,centro de
curvaturabuscado.
ElcentrodecurvaenelvérticedelacurvaCv, lo
determinaremoshaciendoF-Cv=F-V
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 38

40. EJERCICIOS
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 39

41. ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 40

42. ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 41

43. ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 42

44. ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 43

45. ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 44

46. ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 45

47. ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 46

48. CURVASCÓNICAS
Sedenominasuperficiecónicaderevolución,a
la superficie generada por una recta
denominadageneratriz,algirarentorno aotra
rectadenominadaeje. Elpuntodonde la
generatrizcortaalejesedenominavérticeV
delasuperficiecónica. Las curvascónicas son
curvasplanas desegundogrado. Tambiénseles
llama Secciones Cónicas, porque son el
resultadodeintersectarconunplanouncono de
revolución.
Siun plano a,interceptaauna superficiecónica
derevolución, lasecciónproducidasedenomina
superficiecónica, ysucontornoesunacurva
planadesegundo grado.Lascurvascónicas
propiamentedichassontres:Elipse,Parábola
eHipérbola, aunque alterando el cono o la
posición del plano pueden buscarse otras
figuras, entre ellasla circunferencia.
LaElipsesegeneracuandoelplanoaesoblicuo respecto
aleje, ycortaatodaslasgeneratrices.
LaParábolasegeneracuandoelplanoaesparalelo
aunageneratriz.
La Hipérbolasegeneracuando elplanoaesparaleloados
generatrices.Porcuestionesdidácticasydemejorcomprensión,
sesuelerepresentarutilizandounplano aparaleloalejedela
superficiecónica derevolución.
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 47

49. CÓNICASSINGULARES O DEGENERADAS
Enfuncióndelaposicióndelplanodecorteylaspropiedadesdelcono,sepueden obtenerotras
curvas cónicasquese denominansingularesodegenerada.
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 48

50. ELIPSE
Esellugargeométricodelospuntosdelos
que lasumade distanciasaotrosdosfijoses
constante (lospuntos fijossonlos focos,yla
suma de distancias es igual al diámetro mayor)
También es el lugar geométrico de los
centrosde lascircunferenciastangentesa
otradada quepasanporunpuntointeriora
esta,odelospuntosqueequidistande una
circunferencia ydeunpunto interior.
Laelipseesunacurva cerradayplana,quesedefinecomoellugargeométricodelos
puntosdelplanocuyasumadedistancias r+r', adospuntosfijosFyF',denominados focos,
esconstante eiguala2a, siendo 2ala longituddeleje mayorA-Bde laelipse.
Laelipsetienedosejes,elejemayor A-B,tambiénllamado real,yel ejemenorC-D, ambos se
cruzanperpendicularmente enelcentro Ode laelipse.
Lalongituddelejemayores2a, la del
ejemenor2byladistanciafocal2c,y se
cumple que .
Laelipseessimétricarespectoalos
dosejes.
Las rectas que unen un punto
cualquieradelaelipse P,conlosfocos,
sedenominan radiosvectoresryr',y
pordefinición se cumple quer+r'=2ª
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 49

51. PROPIEDADES Y ELEMENTOS
SedenominacircunferenciaprincipalCp,alacircunferenciadecentroO,ydiámetro
2a.Lacircunferenciaprincipal,sedefine comoellugargeométricodelospiesde las
perpendiculares (Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la elipse.
También sepuededefinircomoelpuntomedio delossegmentosqueunenunfoco,con
lacircunferenciafocaldelotrofoco,ylas mediatricesdedichossegmentos,son
tangentesalaelipse.
Sedenominacircunferenciafocal Cf,ala circunferenciade centroenunodelosfocos
delaelipse,yradio2a. Enunaelipsesepodrántrazardoscircunferenciasfocales.La
circunferenciafocal,sedefine comoellugargeométricodelospuntossimétricosdel otro
foco(F1),respecto alastangentes(t)delaelipse.
Observandola figura,tambiénpodemosdefinirlaelipse,comoellugargeométricode los
centros de circunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia
focal delotrofoco.
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 50

52. CONCEPTO DE DIÁMETROS CONJUGADOS
SitenemosundiámetrodelaelipseA'B',eldiámetroconjugadoconél,esellugar
geométricodeloscentrosdelascuerdasparalelasadichodiámetro (1,2,3,4,etc.), estos
centros determinan el diámetro conjugado D'C' del dado.
Losejesrealesdelaelipse,sonlosúnicosdiámetrosconjugadosperpendiculares entresí.
Mediantedosdiámetrosconjugados,podremosconstruirlaelipsedirectamente,o bien
obtenerlosejesrealesde lamisma.
OBTENCIÓN DELOS EJES REALES, APARTIR DE LOS EJES CONJUGADOS
DadoslosejesconjugadosdeunaelipseA'B'yC'D',podremosobtenerapartirde
elloslosejesrealesdela elipse, para ello seguiremoslossiguientespasos:
PorO,centrodela elipse,trazaremoslaperpendicularalejeconjugadoA'B', y sobre
elllevaremosla distanciaO-A',determinando elpunto 1.
Uniremoselpunto1conC',ydeterminaremoselpuntomedio2,dedicho
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 51

53. segmento.
Concentroen2,trazaremosunarcoderadio2-O,quedeterminarásobrela
prolongacióndelsegmento1-C',lospuntos 3y4.LasrectasO-3yO-4
determinanlasdireccionesperpendicularesdelosejes realesde laelipse.
Concentroen2trazaremoslacircunferenciadediámetro1-C'.Uniendoel
centroOcon2,determinaremossobredicha circunferencia,lospuntos5y6,
siendolasdistancias O-5 yO-6,lasdimensionesdelossemiejesrealesdela elipse.
Solorestallevar,medianteloscorrespondientesarcosdecircunferencias,las
dimensionesanterioressobrelasdireccionesdelosejes,obteniendoasílos ejes
realesdela elipseABy CD
MÉTODO PARA DIBUJAR UNAELIPSE DADOS SUS DOS EJES.
Setrazanel ejemayor AByeleje menorCD,perpendicularesentresíporel punto
mediodeambosejes.
Haciendocentro en el punto medio “M”, se trazan dos circunferencias
concéntricasconradiosigualesaMA yMC.
Luegosedividenambascircunferenciasenunnúmeropardepartesiguales.En
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 52

54. este casofueron12partesiguales.
Porlospuntosdelacircunferenciagrande,trazarlíneasparalelasalejeCD.
Porlospuntosdela circunferenciapequeñatrazarlíneasparalelasaleje AB.
Dondelaslíneas pertenecientesalmismopuntoenambas circunferenciasse
cortenestáunpuntoporelcualpasalacurvadelaelipse.Repetirestocon
todoslospuntosdeambascircunferencias.
Porúltimo conunaplantilla de curvasunirlospuntosde laelipse.
MÉTODO PARA DIBUJAR UNAELIPSE DADO EL EJEMAYOR AB Y
LOSFOCOSF YF’.
Setrazaelejemayor ABy sele buscaelpuntomedioMyporélsetrazauna
líneaperpendicularaAB.
Sobre elejemayor ABseubican lospuntosFyF‟ .
Se marcanvariospuntosarbitrarios entreMyF‟ .
HaciendocentroenFyF‟ sucesivamenteyconaberturaMAmarcamosunos
arcosquecortenlalíneaperpendicularaAB,consiguiéndoselospuntosCyD,
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55. puntosdelejemenor de la elipse.
Luego haciendo centroen FyF‟ sucesivamenteycon abertura A1marcamos unosarcos.
Luegohaciendo centroen F yF‟ sucesivamenteycon aberturaB1marcamos
unosarcos.
Donde se cortenlos arcosestán losprimerospuntospordondepasalaelipse.
HacerlomismoconlosrestantespuntosentreMyF‟ ,hastaconseguirtodos lospuntosde
laelipse.
Porúltimo conunaplantilla de curvasunirlospuntosde laelipse.
TRAZADO DE LA ELIPSEMEDIANTE RADIOS VECTORES
Teniendoencuentaladefinicióndelaelipse,comoellugargeométricodelos
puntosdelplano,cuyasumadedistanciasalosfocosesiguala2a,longitud
delejemayordela elipse,solonecesitaremos cogerparesde radiosvectores,
cuyasumasea2a,paraellodeterminaremosunaseriedepuntossobreel eje
mayor,1,2,3 etc.,ycogeremoscomoparejasderadiosvectores,los segmentosA1-
B1, A2-B2, A3-B3, y así sucesivamente, determinando los puntos1', 2', 3',
etc.de la elipse.
Concadaparejaderadiosvectores,sedeterminaráncuatropuntosdela
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 54

56. elipse, unoencadacuadrante dela misma.
Cuantomayorseaelnúmerodepuntos,mayorserálaprecisióndeltrazadode
laelipse,quedeberárealizarse,obien amanoalzadaomediante reglas
flexibles,oplantillas de curvasespeciales.
TRAZADO DE LA ELIPSEPORHACESPROYECTIVOS
Trazaremosel rectángulo AOCE,ydividiremosloslados AOy AEenunmismo
númerodepartes iguales.Seguidamenteiremostrazandolas rectas C1-D1,C2-
D2,etc.yen susinterseccionesiremosobteniendopuntosdela elipse.Estose
repetiráparalos cuatrocuadrantesde laelipse.
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57. TRAZADO DELA ELIPSE PORHACESPROYECTIVOS DADOS DOS EJES
CONJUGADOS
TrazaremoselromboideA'O'C'E',ydividiremoslosladosA'O'yA'E'enun mismo
númerode partesiguales.
Seguidamente iremostrazandolas rectasC'1-D'1,C'2-D'2,etc.yensus
interseccionesiremosobteniendopuntosdela elipse.Estoserepetiráparalos cuatro
cuadrantesde laelipse.
TRAZADO DE LA ELIPSEPOR ENVOLVENTES
Estaconstrucción sebasaenelhechode que la circunferenciaprincipalde una
elipse,esellugargeométrico delospiesde lasperpendicularestrazadasdesde
losfocosalastangentesala elipse.
Paraestetrazadopartiremosdepuntosdelacircunferenciaprincipal,comoel
P,indicadoenlafigura.UniremosdichopuntoconelfocoF,ytrazaremosporP
laperpendicularalsegmentoPF,obteniendolarectat, tangentealaelipse.
Repitiendoestaoperación,obtendremosunaseriede tangentesqueirán envolviendo
ala elipse.
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58. TRAZADO DE LA ELIPSEA PARTIR DECIRCUNFERENCIAS AFINES
 ComenzaremostrazandolascircunferenciasdecentroO,ydiámetrosABy
CD.
SeguidamentetrazaremosradioscomoelO1,quecortaalascircunferencias
anterioresenlospuntos1y2.PordichospuntostrazaremoslasparalelasaCD yAB
respectivamente.Dichasparalelassecortanenelpunto3,queesdela
elipse.Elnúmerode radiostrazados,seránlosnecesariosparadefinir
suficientemente la elipse.
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59. TRAZADODELAELIPSEAPARTIRDEDOSDIÁMETROSCONJUGADOSPOR
TRIÁNGULOS SEMEJANTES AFINES
Partiendo delosejesconjugadosA'B'yC'D',comenzaremostrazandola
circunferenciadecentro O ydiámetro A'B'.
Sobrelacircunferenciaanterior,trazaremoscuerdasperpendicularesa A'B',
comola1-2.Uniendo 2conC',y1conD',obtendremoslostriángulosO2C' y
O1D'.Solorestaráconstruirenelrestodecuerdastriángulossemejantesa
estoscomoelMPN, de ladosparalelosaltriánguloO2C',obteniendoasípuntos de la
elipse
TRAZADO DE LA ELIPSECON EL METODODE LOS ALFILERESY EL
HILO O LAS ESTACAS Y CORDEL
Setrazanelejemayoryporsucentroelejemenor,ubicando unaestacaen uno desus
extremosdeleje menorpunto C.
 HaciendocentroenC,conaberturaiguala lamitaddelejemayorsetrazaun
arcoqueubicaalosdosfocos,dosque debenquedarseñalados conestacas
Se amara elcordelenlaestacafse pasapordetrásde laestacaC ytemplando
se amaraenelotro foco
Sesueltaelcordelencyluegoconunaestacacolocadapordentroelcordel
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 58

60. templado se vadeslizando yrayando laelipse.
ELIPSECONOCIENDOSUSDOS EJES.MÉTODO DE LA TIRA DE
PAPEL
Ésteesunmétodosencilloy rápidoparatrazarelipses.Elprocedimientoestá
basadoenladefinición deelipse.Consiste,portanto,enmarcarsobre unatira
depapel,contrazospequeños,lalongituddelsemiejemayorAOyladel semieje
menorCO
Sehace coincidirelpuntoN sobre elsemiejemayor AO dela elipse quesevaa
dibujar,yelpunto F sobre elsemieje menorCO, siendo M unpunto de la elipse.
Repitiendoesteprocedimientoseconsiguen nuevospuntos,tantoscomose deseen.
NohayqueolvidarquelospuntosNyF delatiradepapelhandecoincidir
siempresobrelosejes delaelipsequesequieredibujar.Porúltimo,sóloresta
unirlospuntoshalladosde formamanual oconplantillasparadeterminarla curva
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 59

61. CONSTRUCCIÓNDELAELIPSEPORARCOSDECIRCUNFERENCIA. RADIOS
DE CURVATURA
ParadeterminarelcentrodecurvaturaenunpuntoPdelaelipse,trazaremos la
normalendicho punto, bisectriz delosdos radios vectoresde dicho punto.
La normaltrazada, cortará al eje mayor en el punto 1.Por dicho punto
trazaremoslaperpendicularalanormal,quedeterminarásobrelarectaP-O,
elpunto2.Pordichopuntotrazaremosla paralelaalejemenordelaelipse,que
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 60

62. interceptaráala normalenelpuntoCp, centrode curvaturabuscado.
Partiendo de lanormal,podríamoshaberllegado alamismasolución,
determinandoelpunto3sobreelejemenor.Pordichopuntotrazaremosla
perpendicularalanormal,quedeterminarásobrela rectaP-O,elpunto4.Por
dichopuntotrazaremoslaparalelaalejemayordelaelipse,queinterceptará a la
normalenelpuntoCp, centro decurvaturabuscado.
Paradeterminarloscentrosdecurvaturaenlosextremosdelosejesdela
elipse,trazaremosel rectánguloOBMC.SeguidamentetrazaremosporM,la
perpendicularalarectaC-B,quedeterminarálospuntosCB yCc,
respectivamentesobreelejemayorymenordelaelipse,yqueseránlos
centrosdecurvatura buscados.
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 61

63. ÓVALO
Esunacurvaplanaycerrada,simétricarespectoasusdosejesperpendicularesy
formadaporcuatroarcosdecircunferenciaigualesdosados.Acontinuaciónse
desarrollanalgunosdelostrazadosdeóvalosmásutilizadosendibujotécnico.
ÓVALO CONOCIENDOEL EJEMENOR
Se traza la mediatriz del eje menor CD, obteniéndose el punto O. En la
mediatrizestá situadoeleje mayordelóvalo.
ConcentroenOyradioOC sedibujaunacircunferenciaquecortaaleje
mayorenlospuntosO1yO2;seunenestospuntosconC yDprolongando dichas rectas.
ConradioCDycentro enC yD, respectivamente,setrazandosarcosque
determinanlospuntosP yP‟ ,QyQ‟ ,puntosdetangenciaentrelosarcosque forman
elóvalo.
Porúltimo,concentroenO1yenO2,yradioO1P,setrazanlosotrosdos arcos paraunirP
conQ,yP‟ conQ‟ ;deeste modo quedadeterminado elóvalo.
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 62

64. ÓVALO CONOCIENDOEL EJEMAYOR (PRIMER PROCEDIMIENTO)
Sedivideelejemayor ABentrespartesiguales,determinandoasílospuntos
OyO1.Concentroenestospuntosyradioiguala1/3deAB,porejemploOA, se trazan
dos circunferenciasque secortan enlospuntosO2yO3.
SeunenmedianterectaslospuntosOyO1 conO2 yO3,obteniendoasílos
cuatro puntos de tangencia: PyP‟ ,yQyQ‟ .
ConcentroenO2 yO3 respectivamenteyradioO3 P,serealizandosarcos
hastaunirlospuntosPconP‟ yQconQ‟ .Deestemodoquedaresueltoelóvalo pedido
3.-ÓVALO CONOCIENDO EL EJEMAYOR(SEGUNDO PROCEDIMIENTO)
Sedivide elejemayor ABencuatro partesiguales,obteniendo asílospuntosO
yO1quecorrespondenalospuntos1y 3enelejedividido.Setrazandos
circunferenciasconcentroenOyO1, respectivamente,yradioigual a1/4de AB,
esdecir, OA.
SetrazandosarcosconcentrotambiénenOyO1,respectivamente,yradio igualaOO1
DondelosarcossecortanseencuentranlospuntosO2 yO3,centrosdelos
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 63

65. arcosmayoresdelóvalo.Parahallarlospuntosdetangenciase unenloscentros O2 yO3
conlosotroscentrosOyO1 ,yapartirdeaquíseprocededeigual maneraquese
hizoenelejercicioanterior
ÓVALO ÓPTIMOCONOCIENDOLOS DOS EJES
Se trazaunarco decentro enO conradioOA que cortaala prolongaciónde
CD, eje menor, enelpunto P.Se uneA conC,ysedescribe unarcode radio
CPconcentroenC hastacortarelsegmento ACenV
Sedibujalamediatriz deAV, quecortalaprolongacióndeODenelpuntoMo
dentrodelpropiosegmento,yalsemiejemayorenelpuntoN.Sedeterminan
lospuntossimétricosde M y Nrespecto alos ejesdelóvalo,M‟ yN‟ .
Se unen los puntosMyM‟ conNyN‟ ,respectivamente,yse trazanlos arcos decentro
M‟ yMconradio M‟ DyMC, obteniéndoselospuntosyQ‟ yP yP‟
Porúltimo,sedibujanlosarcosdecentroNyN‟ conradioNAyN‟ Bhastalos
puntosdetangenciaanteriormentetrazados:Q yQ‟ ,yPyP‟ ;de estamanera
se consigue construirelóvalo
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 64

66. ÓVALO INSCRITOEN UN ROMBO.
SepartedeunrombocualquieraABCD.Desdelosvérticesdelosángulosde
mayorvalordelrombo, setrazanrectasperpendicularesalosladosopuestosa
ellos,quecortanalejemayordeterminandolospuntosO1yO2,yaloslados delrombo
enP yP‟ ,yQ y Q‟
LospuntosC,D,O1yO2sonloscentrosdeloscuatroarcosqueformanel óvalo pedido.
ConcentroenC yDrespectivamenteyradioCP,setrazan dosarcoshastaunir
PconP‟ ,yQconQ‟ .Del mismo modo, con centroen O1yO2,setrazandos arcos
hastaunirP conQ yP‟ conQ‟ ,terminando así de construirelóvalo
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 65

67. ÓVALO ISOMÉTRICO
Enelcasodequelosángulosmayoresdelrombodondesehadeinscribirel
óvalovalgan120º, yportantolos menores 60º,elóvalo inscritoenélsellama
isométrico.
Su construcción se realiza de igual manera que en el caso descrito
anteriormente.Larazóndeadoptareste nombrevienedadaporqueestafigura
seutilizaendibujoisométricoparasustituir,demaneraaproximada, alaelipse
que tengaelmismovalorde ejesqueelóvalo
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 66

68. OVOIDE
Elovoideesunacurvaplanaycerrada,simétricasólorespectoasuejemayor,y
formadaporcuatroarcosdecircunferencia,delosquedossonigualesylosotrosdos son
desiguales
CONSTRUCCIÓN DEOVOIDES
Acontinuaciónsedesarrollanalgunosdelostrazadosdeovoidesmásutilizadosen
dibujotécnico.
OVOIDE CONOCIENDO EL EJEMENOR
Se dibuja la mediatriz del eje conocido
AB, obteniendo el punto O. Concentro
enO yradioOA,setraza
unacircunferencia quecortaala
mediatriz enelpuntoP
Seunenlospuntos Ay BconP,
obteniendolassemirrectasrys.Se trazan
dos arcos con radio AB y centro en los
puntos A y B,
obteniéndoseasílospuntosMyM‟
ConcentroenPyradioPMoPM‟ ,se
describeelúltimoarcoqueconfigura
elovoidepedido.
OVOIDE CONOCIENDO EL EJEMAYOR
Sedivideelejemayor ABen seispartesiguales,yporla segundadivisión se
trazaunaperpendicularaleje.Sehacecentro enesamisma di-visión,esdecir enla
2,yconradio 2-6,sedescribeunarco que determinalospuntos PyQ.
SeunenPyQconelpunto5,quintadivisióndeAB.Sehacecentroenelpunto
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 67

69. 2yconradio2P o2Qsedibujaunasemicircunferencia,obteniendosobreel segmento
PQ lospuntos H eI. ConcentroenPyQ,respectiva-mente, yradio
PI, se trazan losarcosque determinanlospuntosMyN
Porúltimo,concentroenelpunto5,yconradio5M,setrazaunarcopara
terminardeconstruirelovoide pedido
OVOIDE CONOCIENDOLOS DOS EJES
Setomael ejemenorCDysetraza sumediatriz,obteniéndoseel puntoO.Con centro
enélyradioOC, se dibujaunacircunferenciaquecortaalamediatriz en
lospuntosAyJ.DesdeAysobredichamediatriz,sellevaelvalordeleje
mayorAB,quedandode estamanerasituadoslosejesdelovoide.Concentroen J
yradioJB,sedibujaunacircunferencia.ApartirdeCysobreCDsellevala
magnitudJBobteniendoelpunto M.Sedeterminalamediatrizde MJ, obteniéndose
el punto N sobre el segmento OD. Se halla el simétrico de Nsobre CO,
obteniéndoseel punto N‟ .Se unen los puntos Ny N‟ con J,
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 68

70. determinándoselospuntosdetangenciaQyQ‟ .Porúltimo,concentroenNy
N‟ respectivamente,yradioNC,setrazanlosarcoshastaunirC conQyDcon
Q‟ ,conloqueseobtiene elovoide buscado
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71. HIPÉRBOLA
Lahipérbolaesunacurvaplanayabierta,lugargeométricodetodoslospuntosdel
planocuyadiferenciadedistanciasadospuntosfijos,llamadosfocosFy F‟ ,es
constante e igualalejereal A,es decir, aladistanciaentrelosvérticesVyV‟ .
PF –PF‟ =AB
ELEMENTOS DE LAHIPÉRBOLA
Los elementos más significativos que
configuran la hipérbola sonlos
siguientes
Ejes:tienedosejes:AB,ejereal,y CD,
eje imaginario; son
perpendicularesentresíysecortan
enelpuntoO.Elejerealcontienea
losvértices AyBdecadaramadela curva.
La hipérbola consta de dos
ramassimétricasrespectodelosdos
ejes
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 70

72. Enestacurva,ladistanciadesdeelcentrodesimetríaOacadafocoesigualala
distanciaAC,siendoAunextremodeleje real yCunextremodelejeimaginario.Esta
propiedadpermite, siseconoceuno de losejesylosfocos,determinarelotro eje y,
lógicamente, siseconocenlosdos ejes,se puedenobtenerlos focos.
Focos:denominadoscomoF yF‟ ,estánsituadosen el ejereal,ysehallanhaciendo centro
enOyradioigual aladistanciaAC.
Distanciafocal:esla distancia que existe entre losdosfocos.
Radiosvectores: sonlasrectasqueunenunpuntocualquieradelahipérbolaconlos focos.
Circunferenciaprincipal:eslaquesedeterminahaciendocentroeno,centrodela
hipérbola, yradioigualala distanciaAO delsemieje real.
Circunferenciafocal:lahipérbolatienedoscircunferenciasfocales.Paradibujarlas se
tomacomoradioeleje realAB,y centroFyF‟ ,respectivamente.
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 71

73. Asíntotas:sonrectasquepasan
porelcentrodelahipérbola,y
sontangentesaellaen elinfinito;
además,sonsimétricas respecto de
los ejes AB y CD. Se
determinan trazando la
circunferencia principal con
centroeno.sedibujan rectas
tangentesdesde elfocof a la
circunferencia,determinando así
lospuntos detangencia my n. se une
estospuntoscono yse
obtienenlasdosasíntotas.
CONSTRUCCIÓNDELAHIPÉRBOLA
Lanomenclaturamásutilizadaengeometríaparadenominaralosejesyladistancia
focal esla siguiente:
Eje real=AB=2a; semieje mayororeala
Eje imaginario= CD=2b; semieje menoro virtual =b
Distanciafocal=FF‟ =2c
HIPÉRBOLACONOCIENDOLOS DOS EJES.POR PUNTOS
UnavezsituadoslosejesAByCD,seprocedeadeterminarlosfocos;con
centroenO,yradioACsetrazaunarco,yallídondeéstecortaalejereal están los focos
FyF‟ .
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 72

74.  Se sitúanpuntosarbitrarios: 1y1‟ ,2y2‟ ,etc.,sobreelejerealaunoyotro
ladodelosfocos,FyF‟ ,respectivamente.Conradio1A,ycentroenFyF‟ se
realizandosarcos;conradio1B,ycentroenF yF‟ sedescribenotrosdos
arcos,quecortanalosanterioresde-terminandolos puntosMyM‟ ,yNyN‟ , de la
curvade ambasramas.
Repitiendoestaoperacióntantasvecescomopuntossehayanmarcadosobreel
eje,seobtieneelrestodelospuntosdelahipérbola.Porúltimo,seunencon plantillasde
curvasoa mano alzadahastaterminarlasdosramasde lacurva
HIPÉRBOLACONOCIENDOLASASÍNTOTAS Y LOSVÉRTICES
SetrazanrectasparalelasalasasíntotasporlosvérticesAyB,obteniendo
sobreéstaslospuntos1y1‟ .Se lleva sobrelas asíntotasladistanciaO1=O1‟ ,
determinandolospuntos2,3,etc.,porlosquesetrazanparalelasalaasín- tota.
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 73

75.  Se divide elsegmentoO1‟ enpartes,que estána1/2dela distanciaO1‟ (punto
P),a1/3(puntoI),a1/4(puntoJ),etc.,deformaquelasparalelastrazadas
porlospuntosP,I,J,etc.,cortanalastrazadaspor2enC,por3enD,yasí sucesivamente.
Lospuntosdelaotramitaddelaramaenlaquesehatrabajadopueden
obtenersehallandolossimétricos,respectoalosejesdelacurva,delosya
determinados, aligualque lospuntosdela otrarama
TRAZADO DE LAHIPÉRBOLA PORHACESPROYECTIVOS
Comenzaremos obteniendo un punto Pde la curva por radios vectores, y
trazaremoselrectánguloARPS,ydividiremoslosladosRPyPSenunmismo
númerodepartesiguales.SobrelaprolongacióndePRyPSllevaremosesas
mismasdivisiones.
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 74

76. SeguidamentetrazaremosrectasqueunanelvérticeA,conlasdivisionesde
PR,yelvérticeBrcon lasdivisionesdePS,obteniendoensusintersecciones,
puntos,pertenecientesalahipérbolabuscada. Estose repetiráparalaotra ramade
lahipérbola.
TRAZADO DE LAHIPÉRBOLA POR ENVOLVENTES
Estaconstrucciónsebasaenelhechodequelacircunferenciaprincipal,esel
lugargeométricodelospiesdelasperpendicularestrazadasdesdeelfocoa
lastangentesalahipérbola.
Para este trazado partiremos de puntos, de la circunferencia principal.
UniremosdichospuntosconelfocoF',ytrazaremosporellos,perpendiculares
alasrectastrazadas,obteniendolasrectastangentesalaparábola.Lacurva se
determinará mediante tangentesadichas rectas.
Lasasíntotasserán lastangentesala hipérbola enel infinito,yque determinaremos
trazando el arco de centro en Oy radio O-F. En la
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 75

77. interseccióndedicho arcoconlaperpendicularalejereal,trazadaporel vérticeA,
determinaremoselpunto1,pertenecientealaasíntota,solorestará unirdicho
puntoconelcentroOdela hipérbola.
TRAZADO DE LAHIPÉRBOLA MEDIANTE RADIOS VECTORES
Teniendo encuentaladefiniciónde lahipérbola, solo necesitaremoscoger
paresderadiosvectores, cuyadiferenciasea2a, para ello determinaremos
unaseriede puntos sobre elejereal,1, 2, 3etc., ycogeremoscomoparejasde radios
vectores, lossegmentosA1-B1, A2-B2,A3-B3,yasí sucesivamente, determinando
lossuficientespuntosdela parábola, como paraser definida.
Concadaparejaderadiosvectores, sedeterminaráncuatro puntosdela
hipérbola, uno encadacuadrante de lamisma.
Cuanto mayorseaelnúmero de puntos, mayor serála precisióndeltrazado de
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 76

78. la hipérbola,que deberárealizarse, obienamano alzadao mediantereglas
flexibles, oplantillas de curvasespeciales.
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 77

79. PARÁBOLA
Laparábolaesunacurvaplanayabierta,lugargeométricodetodoslospuntosdel
planoequidistantesdeunofijollamadofocoF ydeunarectaddenominadadirectriz. PF=FD
ELEMENTOS DE LAPARÁBOLA
Loselementosmássignificativosque configuranla parábolason lossiguientes:
Eje:tienesólounejedesimetría,
perpendicularala directriz,yque contiene
alvérticeyalfoco.
Radiosvectores:sonlasrectasqueunen
unpuntocualquieradelaparábolaconel foco.
Circunferenciaprincipal:tiene un radio
infinitoyestangentealaparábolaensu vértice.
Circunferenciafocal:también tiene un
radioinfinitoyseconvierteenunarecta que
coincideconladirectriz.
Parámetro:eslalongituddelacuerdade
laparábola,perpendicularaleje,quepasa
porelfoco.
Semiparámetro:esladistanciadesdeel
foco hastala directriz.
Construcciónde laparábola
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 78

80. CONSTRUCCIÓNDELAPARÁBOLA
PARÁBOLA CONOCIENDOLA DIRECTRIZY EL FOCO. POR PUNTOS
SedibujaladirectrizdyelfocoF,ysehallaelpuntomediodelsegmentoOF,
siendoésteelvértice Adelacurva.ApartirdelfocoF sesitúanpuntos arbitrarios:1,
2,3, etc.,yporellos se trazanparalelasaladirectriz d.
TomandocomoradioslasdistanciasO1,O2,etc.,yhaciendosiemprecentroen
elpuntoF,setrazanarcosquecortan, respectivamente,alas rectasquepasan por1,
2,3,etc., obteniéndose lospuntosMyM‟ ,NyN‟ ,yasí sucesivamente.
Alunirestospuntoscontrazocontinuoresultala parábolabuscada.
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 79

81. PARÁBOLA CONOCIENDO EL VÉRTICE,EL EJEY UNPUNTO PDE
LA CURVA
Sesitúanlosdatosconlosquecontamos,ysedeterminaelpuntoP‟ ,simétrico deP
respectodeleje.Porelvértice Adelacurvasetrazaunaperpendicular aleje,yporP y
P‟ setrazanlas paralelas aleje;dondeéstascortana la perpendicularse
obtienenlospuntosMyN
SedividenMPyAMenunnúmerodepartesiguales,porejemploseis.Porlas
divisionesobtenidassobre AMsetrazanparalelasaleje.Seunenconel vértice
Alospuntosdeladivisión MP,ydondeestasrectascortanalas
paralelasseobtienenlospuntos1,2,3,etc.Lospuntos1‟ ,2‟ ,3‟ ,etc.,sehallan por
simetría.
Uniendolospuntosasídeterminados conunalíneacontinua,seobtienela
parábolapedida.
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 80

82. TRAZADO DE LA PARÁBOLA POR ENVOLVENTES
Estaconstrucciónse basaenelhechode quelacircunferenciaprincipal,enestecaso,
latangentealacurvaenelvértice,esellugargeométricode lospiesdelas perpendiculares
trazadas desde el foco a las tangentes a la parábola.
Paraestetrazadopartiremosdepuntos1,2, 3,etc,delacircunferenciaprincipal.
UniremosdichospuntosconelfocoF,y trazaremosporlospuntosanteriores
perpendicularesalossegmentosF1, F2, F3,etc.,obteniendolasrectastangentesa la
parábola.La curvasedeterminarámediantetangentesadichasrectas
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 81

83. TRAZADO DE LA PARÁBOLA EN BASE A LA DEFINICIÓN DELA CURVA
Estaconstrucciónse basaenla definicióndela parábola,comoellugargeométricode
loscentrosdecircunferenciaque pasanporelfocoF,ysontangentesala circunferencia focal.
ComenzaremostrazandolasrectasF1,F2, F3,etc.,queunenelfocodelacurvaF,
conpuntosdela directrizd.
Seguidamentetrazaremoslasperpendicularesa lossegmentosanteriores,en supunto
deintersecciónconlacircunferenciaprincipal, enelcaso delsegmentoF1,enelpunto
s.EstaperpendicularresultaserlamediatrizdelsegmentoF1,ytangentealala curva.
Trazandoporelpunto1,unaparalelaalejedelacurva,dichaparalelainterceptaráa la
tangente anteriormente trazada en el punto T1, punto de la parábola.
Repitiendoconelrestodepuntos,obtendremoslossuficientespuntosdelacurva
parapodersertrazada
ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 82

84. ING.LUZ E. ALVAREZASTO - DIBUJOTÉCNICO 83