CRITERIO DE ESTABILIDAD POR EL METODO DIRECTO DE LIAPUNOV

1. 8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV 309
8.4. CRITERIO DE ESTABILIDAD POR EL
METODO DIRECTO DE LIAPUNOV
Consideremos el sistema aut´onomo
dx
dt
= F(x, y)
dy
dt
= G(x, y),
(8.32)
y supongamos que tiene un punto cr´ıtico aislado; sea (0, 0) dicho punto cr´ıtico
(un punto cr´ıtico (x0, y0) se puede llevar al or´ıgen mediante la traslaci´on de
coordenadas x = u − x0, y = v − y0).
Sea Γ(x(t), y(t)) una trayectoria de (8.32) y consideremos la funci´on
E(x, y) continua y con primeras derivadas parciales continuas en una re-
gi´on que contiene a la trayectoria. Si un punto (x, y) se mueve a lo largo de
las trayectorias de acuerdo a las ecuaciones x = x(t) y y = y(t), entonces
E(x, y) = E(x(t), y(t)) = E(t)
es una funci´on de t sobre Γ , su raz´on de cambio es
E (x, y) =
dE
dt
=
∂E
∂x
dx
dt
+
∂E
∂y
dy
dt
=
∂E
∂x
F +
∂E
∂y
G (8.33)
Esta f´ormula es la idea principal de Liapunov.
Definici´on 8.5. Supongamos que E(x, y) es continua y tiene primeras derivadas
parciales continuas en una regi´on que contiene al origen.
Si E(0, 0) = 0 y
i. Si E(x, y) > 0 para todo (x, y) = (0, 0), decimos que E es definida
positiva.
ii. Si E(x, y) < 0 para todo (x, y) = (0, 0), decimos que E es definida
negativa.
iii. Si E(x, y) ≥ 0 para todo (x, y) = (0, 0), decimos que E es semidefinida
positiva.

2. 310 CAP´ITULO 8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL.
iv. Si E(x, y) ≤ 0 para todo (x, y) = (0, 0), decimos que E es semidefinida
negativa.
Nota:
E(x, y) = ax2m
+ by2n
con a > 0, b > 0 y m, n enteros positivos, es
definida positiva.
E(x, y) es definida negativa si y solo si −E(x, y) es definida positiva.
E(x, y) = ax2m
+ by2n
con a < 0 y b < 0 y m, n enteros positivos, es
definida negativa.
x2m
es semidefinida positiva, ya que x2m
= 0 para todo (0, y) y x2m
> 0
para todo (x, y) = (0, 0).
Similarmente se demuestra que y2n
, (x − y)2m
son semidefinidas posi-
tivas.
Si E(x, y) es definida positiva, entonces z = E(x, y) es la ecuaci´on
de una superficie que podr´ıa parecerse a un parabolo´ıde abierto hacia
arriba y tangente al plano XY en el or´ıgen (ver figura 8.18).
Definici´on 8.6 (funci´on de Liapunov). Decimos que E(x, y) es una fun-
ci´on de Liapunov para el sistema (8.32), si
E(x, y) es continua, con primeras derivadas parciales continuas en una
regi´on que contiene al or´ıgen.
E(x, y) es definida positiva.
Existe la derivada de E a lo largo de las trayectorias u ´orbitas del
sistema (8.32) y sea menor o igual que cero sobre la trayectoria, es
decir, que exista la siguiente derivada,
dE
dt
=
∂E
∂x
F +
∂E
∂y
G =
dE
dt
(x, y) = E (x(t), y(t)) ≤ 0 (8.34)
cuando dE
dt
= ∂E
∂x
F + ∂E
∂y
G = dE
dt
(x, y) = E (x(t), y(t)) < 0, decimos que
E(x, y) es una funci´on de Liapunov estricta.

3. 8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV 311
x
y
z
Figura 8.18
Nota:
Si (8.34) fuera semidefinida negativa impl´ıca que
E (x, y) =
dE
dt
=
∂E
∂x
F +
∂E
∂y
G ≤ 0
y esto impl´ıca que E es no creciente a lo largo de las trayectorias de
(8.32) pr´oximas al or´ıgen.
Por lo anterior las funciones E generalizan el concepto de energ´ıa total
de un sistema f´ısico.

4. 312 CAP´ITULO 8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL.
Teorema 8.4 ( Criterio de Liapunov).
a. Si existe una funci´on de Liapunov para el sistema (8.32) entonces el
punto cr´ıtico (0, 0) es estable.
b. Si existe una funci´on de Liapunov estricta para el sistema (8.32) en-
tonces el punto cr´ıtico (0, 0) es asint´oticamente estable.
c. Si E (x, y) es definida positiva entonces (0, 0) es un punto cr´ıtico in-
estable.
Demostraci´on: sea C1 un circunferencia de radio R > 0 centrado en el
or´ıgen de tal manera que C1 se halla dentro del dominio de definici´on de la
funci´on E. Como E(x, y) es continua y definida positiva, tiene un m´ınimo
positivo m en C1. Adem´as, E(x, y) es continua en el or´ıgen y se anula en ´el,
luego podemos hallar un n´umero positivo r < R tal que 0 ≤ E(x, y) < m si
(x, y) est´a dentro de la circunferencia C2 de radio r (Ver figura 8.19).
Sea Γ(x(t), y(t)) cualquier trayectoria que est´e dentro de C2 para t = t0,
entonces E(t0) < m y como (8.34) es semidefinida negativa, entonces dE
dt
=
∂E
∂x
F + ∂E
∂y
G ≤ 0 lo cual impl´ıca que E(t) ≤ E(t0) < m para todo t > t0,
luego la trayectoria Γ nunca puede alcanzar la cirdunferencia C1 en un t > t0
lo cual impl´ıca que hay estabilidad.
Probemos la segunda parte del teorema.
Probemos que, bajo la hip´otesis adicional (dE
dt
< 0), E(t) → 0, porque al ser
E(x, y) definida positiva, impl´ıca que Γ se aproxima al punto cr´ıtico (0, 0).
Como dE
dt
< 0, entonces E(t) es decreciente y como E(t) est´a acotada
inferiormente por 0, entonces E(t) tiene un l´ımite L ≥ 0 cuando t → ∞.
Supongamos que L > 0. Sea r < r (ver figura 8.19) tal que E(x, y) <
L para (x, y) dentro de la circunferencia C3 de radio r, como la funci´on
(8.34) es continua y definida negativa, tiene un m´aximo negativo −k en el
anillo limitado por las circunferencias C1 y C3. Este anillo contiene a toda
trayectoria Γ para t ≥ t0, luego de la ecuaci´on
E(t) = E(t0) +
t
t0
dE
dt
dt y
dE
dt
≤ −k

5. 8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV 313
r
r
t = t0
Γ
c3
c2
c1
R
x
y
••
•
Figura 8.19
se obtiene la desigualdad:
E(t) ≤ E(t0) − k(t − t0) ∀t ≥ t0
Pero el lado derecho de la desigualdad tiende a −∞ cuando t → ∞, es decir,
l´ım
t→∞
E(t) = −∞, pero E(x, y) ≥ 0 (Absurdo!), luego L = 0.
Ejemplo 4. La E.D. de una masa m sujeta a un resorte de constante k,
en un medio que ofrece un amortiguamiento de coeficiente C es
m
d2
x
dt2
+ C
dx
dt
+ kx = 0
donde C ≥ 0, k > 0. Analizar la estabilidad de su punto cr´ıtico.
Soluci´on:
El sistema aut´onomo equivalente es:
dx
dt
= y;
dy
dt
= −
k
m
x −
C
m
y
Su ´unico punto cr´ıtico es (0, 0). La energ´ıa cin´etica es my2
2
y la energ´ıa po-
tencial (o energ´ıa almacenada en el muelle) es
x
0
kx dx = 1
2
kx2

6. 314 CAP´ITULO 8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL.
Luego la energ´ıa total: E(x, y) = 1
2
my2
+ 1
2
kx2
la cual es definida positiva,
como
∂E
∂x
F +
∂E
∂y
G = kxy + my −
k
m
x −
C
m
y = −Cy2
≤ 0
Luego, E(x, y) es una funci´on Liapunov para el sistema y por tanto (0, 0) es
estable.
Se sabe que si C > 0 el punto cr´ıtico (0, 0) es asint´oticamente estable, pero
la funci´on Liapunov no detecta este hecho.
Ejemplo 5. (Resorte no lineal). Este es un ejemplo de una masa m = 1
sujeta a un resorte no lineal, en el cual la fuerza restauradora es una funci´on
de la distancia de la masa al origen, sea −f(x) una funci´on no lineal que
representa la fuerza restauradora tal que f(0) = 0 y xf(x) > 0 si x = 0; no
hay fricci´on. La E.D. de su movimiento es
d2
x
dt2
+ f(x) = 0
Analizar la estabilidad de su punto cr´ıtico.
Soluci´on: el sistema aut´onomo equivalente es
x = y
y = −f(x)
Su ´unico punto cr´ıtico es (0, 0). La energ´ıa cin´etica es 1
2
x 2
= 1
2
y2
y la energ´ıa
potencial es
F(x) =
x
0
f(x) dx
y la energ´ıa total es
E(x, y) = F(x) +
y2
2
Como x, f(x) tienen el mismo signo entonces F(x) ≥ 0 y por tanto E(x, y)
es definida positiva. Adem´as
E (x, y) = F (x)x + yy = f(x)y + y(−f(x)) = 0
es decir, es semidefinida negativa y por el teorema el punto cr´ıtico (0, 0) es
estable. Igual que sucede con un resorte lineal, se puede demostrar que este

7. 8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV 315
punto cr´ıtico es un centro.
Ejemplo 6. Analicemos la estabilidad del punto cr´ıtico del siguiente
sistema
x = −x −
x3
3
− x sen y,
y = −y −
y3
3
Soluci´on:
(0, 0) es el ´unico punto cr´tico. Sea E(x, y) = 1
2
(x2
+ y2
), luego
E (x, y) = x(−x−
x3
3
−x sen y)+y(−y −
y3
3
) = −x2
−
x4
3
−y2
−
y4
3
−x2
sen y
pero |x2
sen y| ≤ x2
y por tanto x2
+ x2
sen y ≥ 0. Entonces
E (x, y) = −
x4
3
− y2
−
y4
3
− (x2
+ x2
sen y) ≤ −
x4
3
− y2
−
y4
3
< 0
para (x, y) = (0, 0), es decir E es definida negativa y por el teorema anterior,
parte b., (0, 0) es asint´oticamente estable.
Ejemplo 7. Analizar la estabilidad del punto cr´ıtico del siguiente sistema
dx
dt
= −2xy;
dy
dt
= x2
− y3
Soluci´on:
(0, 0) es punto cr´ıtico aislado
E(x, y) = ax2m
+ by2n
∂E
∂x
F +
∂E
∂y
G = 2max2m−1
(−2xy) + 2nby2n−1
(x2
− y3
)
∂E
∂x
F +
∂E
∂y
G = (−4max2m
y + 2nbx2
y2n−1
) − 2nby2n+2
Para que el par´entesis se anule, necesitamos que m = 1, n = 1, a = 1,
b = 2, ⇒ E(x, y) = x2
+ 2y2
la cual es definida positiva y
∂E
∂x
F +
∂E
∂y
G = −4y4

8. 316 CAP´ITULO 8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL.
que es semidefinida negativa, luego (0, 0) es estable.
Teorema 8.5.
La funci´on E(x, y) = ax2
+ bxy + cy2
es:
Definida positiva si y solo si a > 0 y b2
− 4ac < 0.
Semidefinida positiva si y solo si a > 0 y b2
− 4ac ≤ 0
Definida negativa si y solo si a < 0 y b2
− 4ac < 0
Semidefinida negativa si y solo si a < 0 y b2
− 4ac ≤ 0
Demostraci´on. Veamos la primera parte.
Si y = 0 entonces E(x, 0) = ax2
> 0 si x = 0 y a > 0
Si
y = 0 : E(x, y) = y2
a
x
y
2
+ b
x
y
+ c
y si a > 0, el polinomio cuadr´atico en x
y
es positivo para todo x
y
⇔ b2
− 4ac < 0.
Ejercicio 1. Determinar si cada una de las siguientes funciones estan
definidas positivas, negativas o semidefinidas positivas o negativas o ninguna
de las anteriores.
a) x2
− xy − y2
, b) 2x2
− 3xy + 3y2
, c)−2x2
+ 3xy − y2
, d) −x2
− 4xy − 5y2
.
(Rta.: a) Ninguna de las anteriores, b) Definida positiva, c) Ninguna de las
anteriores, d) Definida negativa)
Ejercicio 2.Dado el sistema dx
dt
= xy2
− x3
2
, dy
dt
= −y3
2
+ yx2
5
Mostrar que (0, 0) es asint´oticamente estable (Ayuda: tomar V (x, y) = ax2
+
by2
).
Ejercicio 3. Dado el sistema dx
dt
= −6x2
y, dy
dt
= −3y3
+ 6x3
Mostrar que (0, 0) es estable.
Ejercicio 4. Dado el sistema dx
dt
= −3x3
− y, dy
dt
= x5
− 2y3
Mostrar que (0, 0) es asint´oticamente estable.

9. 8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV 317
Ejercicio 5. Dado el sistema dx
dt
= −2x + xy3
, dy
dt
= −x2
y2
− y3
Mostrar que (0, 0) es asint´oticamente estable.
Ejercicio 6. Mostrar que (0, 0) es un punto cr´ıtico inestable del sistema
x = F(x, y), y = G(x, y), si existe una funci´on E(x, y) con las siguientes
propiedades:
a) E(x, y) es continua, con primeras derivadas parciales continuas en una
regi´on del plano que contiene al origen.
b) E(0, 0) = 0.
c) Todo c´ırculo centrado en el origen, contiene al menos un punto para el
cual E(x, y) es positiva.
d) (∂E
∂x
)F + (∂E
∂y
G) es definida positiva.
Ejercicio 7. Utilizando el ejercicio anterior mostrar que (0, 0) es inestable
para el sistema dx
dt
= 2xy + x3
, dy
dt
= −x2
+ y5
Ejercicio 8. Sea f(x) una funci´on tal que f(0) = 0 y xf(x) > 0 para
x = 0 (es decir, f(x) > 0 si x > 0 y f(x) < 0 si x < 0)
a) Mostrar que E(x, y) = 1
2
y2
+
0
x
f(x) dx esta definida positiva.
b) Mostrar que (0, 0) es un punto cr´ıtico estable del la E.D. d2x
dt2 + f(x) = 0
c) Si g(x) ≥ 0 en un c´ırculo alrededor del origen, mostrar que (0, 0) es un
punto cr´ıtico estable del sistema
d2
x
dt2
+ g(x)
dx
dt
+ f(x) = 0
Ejercicio: 9. Dado el sistema x = y−xf(x, y), y = −x−yf(x, y), donde
f(0, 0) = 0 y f(x, y) tiene un desarrollo en serie de potencias convergente en
una regi´on R alrededor del origen. Demostrar que el punto cr´ıtico (0, 0) es
estable si f(x, y) ≥ 0 en alguna regi´on alrededor de (0, 0).
asint´oticamente estable si f(x, y) es definida positiva en alguna regi´on
alrededor de (0, 0).
inestable si en toda regi´on alrededor de (0, 0) hay puntos (x, y) tales
que f(x, y) < 0.
Ejercicio: 10. Mediante el ejercicio anterior determinar la estabilidad de
los siguientes sistemas
a) x = y − x(y3
sen 2
x), y = −x − y(y3
sen 2
x).

10. 318 CAP´ITULO 8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL.
b) x = y − x(x4
+ y6
), y = −x − y(x4
+ y6
).
a) x = y − x( sen 2
y), y = −x − y( sen 2
y).
(Rta.: a) Inestable, b) Asint´oticamente estable, c) Estable.)
Ejercicio: 11. Considere la ecuaci´on
x + f(x, x ) + g(x) = 0
y suponga que f y g tienen primeras derivadas continuas y f(0, 0) = g(0) = 0
y yf(x, y) > 0 cuando y = 0 y xg(x) > 0 cuando x = 0. Trasforme la anteri-
or E.D. en un sistema y luego demuestre que el punto cr´ıtico (0, 0) es estable.
Ejercicio: 12. Con el resultado del anterior ejercicio, demostrar la esta-
bilidad de la E.D.
x + (x )3
+ x5
= 0