Breve introdución a límites e infinitésimos como preámbulo al cálculo diferencial

1. LIMITES E INFINITESIMOS Breve introducción a los infinitésimos y a los límites de una función, como preámbulo al cálculo diferencial MC VICENTE RAUL PULIDO BARRERA CORDOBA, VERACRUZ, MÉXICO 1 DE FEBRERO DE 2007

2. Límites e Infinitésimos Todos nos imaginamos un infinitésimo como algo muy pequeño, pero no es sólo eso, además debe ser algo que podamos hacer todo lo pequeño que queramos. Un infinitésimo no es un número El concepto de infinitésimo está íntimamente ligado al concepto de límite de una función. Se dice que una variable v tiende a una constante l como límite, cuando los valores sucesivos de v son tales que el valor numérico de la diferencia v – l puede llegar a ser, menor que cualquier numéro positivo predeterminado tan pequeño como se quiera. v = l ó v -> l

3. Una variable v que se aproxima indefinidamente a cero se llama infinitésimo. lim v = 0 Esto quiere decir que el valor numérico de v llega a ser, y permanece, menor que cualquier número positivo asignado de antemano, por pequeño que sea. Si lim v = l , entonces lim (v – l) = 0 ; es decir, la diferencia entre una variable y su límite es un infinitésimo. Por lo tanto, si la diferencia entre una variable y una constante es un infinitésimo, entonces la constante es el límite de la función

4. Consideremos ahora la siguiente gráfica, correspondiente a la función y = 2x² + x - 1 Sobre la gráfica de la ésta función (línea azul), se ha trazado una línea secante, que corta a la curva de la función en los puntos P (1, 2) y Q (x, 2x² + x – 1) Ahora, si hacemos que f (x) = pendiente de la recta PQ y = 2x² + x - 1 secante Q (x, 2x² + x -1) P (1,2)

5. Podemos calcular la pendiente mediante la fórmula: Pendiente = m = De lo cual, resulta que: La función no está definida cuando x = 1, esto es, f(1) no existe. De la gráfica, resulta evidente que x ≠ 1 , porque P y Q son puntos distintos

6. Consideremos las siguientes tabulaciones de: Observe que en las dos tablas, conforme x se aproxima cada vez más 1, f (x) se acerca más y más a 5 4.99998 0.99999 4.9998 0.99990 4.998 0.99900 4.98 0.99000 4.8 0.90000 4.5 0.75000 4 0.50000 3.5 0.25000 3 0.00000 f (x) x 5.00002 1.00001 5.0002 1.00010 5.002 1.00100 5.02 1.01000 5.2 1.10000 5.5 1.25000 6 1.50000 6.5 1.75000 7 2.00000 f (x) x

7. Es posible hacer que los valores de f (x) estén tan cercanos a 5 como se desee, si se toman los valores de x suficientemente cercanos a 1, esto es: |f (x) – 5| puede hacerse tan pequeño como se desee, haciendo: |x – 1| Lo suficientemente pequeño. Pero sin llegar nunca a tomar el valor de 1. Esta condición puede escribirse en forma más precisa, mediante las letras griegas ε y δ para representar estas pequeñas diferencias.

8. De modo que, para cada número positivo ε existe un número positivo δ , seleccionado adecuadamente, tal que: |x – 1| < δ y |x – 1| ≠ 0, esto es x ≠ 1 Entonces: |f (x) – 5| < ε Es importante decir que primero se elige ε y que el valor de δ depende del valor de ε Tomando |x – 1| lo suficientemente pequeño, es decir, si existe un número positivo δ , lo suficientemente pequeño, tal que:

9. Si 0 < | x – 1| < δ , entonces |f (x) – 5| < ε Para ε = 0.2, δ = 0.1 0 < | x – 1| < 0.1, entonces |f (x) – 5| < 0.2 Para ε = 0.02, δ = 0.01 0 < | x – 1| < 0.01, entonces |f (x) – 5| < 0.02 1 5 1 - δ 1 + δ 5 + ε 5 - ε Observamos que los valores de ε se eligen arbitrariamente y que los valores de δ dependen del valor elegido de ε

10. Como para cualquier valor de ε > 0 puede determinarse un δ > 0, tal que se cumpla que 0 < | x – 1| < δ , entonces |f (x) – 5| < ε Se establece que el límite de f (x) conforme x tiende o se aproxima a 1 es igual a 5 Es evidente que puede lograrse que f (x) esté tan cerca de 5 como se desee, tomando x suficientemente cerca de 1, por lo que esta propiedad de la función f no depende de que f esté definida en x = 1 Este hecho proporciona la diferencia entre el límite de una función y su valor: pero f (1) no existe

11. Se escribe: 0 < | x – 1| Debido a que nos interesan los valores de x cercanos a 1 pero no x = 1. Todo lo anteriormente expuesto, nos lleva a la siguiente DEFINICION: Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contiene a a , excepto posiblemente en el número mismo. El límite de f (x) conforme x se aproxima a a es L Si para cualquier ε > 0, existe un δ > 0, tal que si 0 < | x – a| < δ , entonces |f (x) – L| < ε