1. LÍMITES Y CONTINUIDAD

2. LÍMITES
•Ejemplo 1
•Ejemplo 2

3. CONTINUIDAD
•Ejemplo
x f(x) 10
-5 -19 5
-4 -16 0
-3 -13 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x)
-5
-2 -10 función
-10
-1 -7
0 -4
-15
1 -1
-20
2 2 -25
x
3 5
4 8

4. DISCONTINUIDAD
•Ejemplo
x f(x)
-5 0.75
2.5
-4 0.666
2
-3 0.5
f(x)
-2 0
1.5
-1 Discontinuo 1
Función
0 2 0.5
1 1.5 0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2 1.33 x
3 1.25
4 1.2

6. DIFERENCIACIÓN

7. DERIVADA
El límite mide la pendiente de la recta
tangente a la gráfica y la razón de cambio
de f en x recibe el nombre de la
Derivada, y la derivada de la función f con
respecto de x es la forma f’

8. • Notaciones que representan a la derivada de
f son: y’ o
Para hallar la pendiente de la recta tangente
a la gráfica tenemos el siguiente ejemplo:

9. Paso 1
Paso 2
Paso 3
Paso 4

10. APLICACIÓN DE LAS REGLAS BÁSICAS DE
DERIVACIÓN

11. 1. Derivada de una constante, es cero.
Ejemplo:

12. 2. Derivada de una potencia si n es cualquier
número real, es igual al exponente
multiplicado por la función elevado al
exponente menos uno como se indica a
continuación.

13. Ejemplo:

14. 3. Derivada de una constante por una función
diferenciable, es igual a la constante por la
derivada de la función.

15. Ejemplo:

16. 4. Derivada de una suma o resta de dos
funciones diferenciables, es igual a la suma
o resta de sus derivadas.

17. Ejemplo:

18. Para derivar la función propuesta tenemos
que identificar cada uno de los
términos, esto es; en el primer y segundo
término tenemos la derivada de una
constante por una potencia, en el tercer
término la derivada de una función y en el
cuarto término la derivada de una
constante, presentamos la aplicación la
regla de la suma que es igual a la suma o
resta de sus derivadas.

19. Aplicamos la regla correspondiente a cada
uno de los términos.
Por último la derivada de la función
propuesta es:

20. 5. Derivada del producto d dos funciones, es
la primera función por la derivada de la
segunda, más la segunda función por la
derivada de la primera.
Ejemplo:

21. En este ejercicio propuesto Tenemos el
producto de dos funciones, la primera
función representa una constante por una
función, en la segunda función tenemos una
suma cuyo primer término es una potencia y
el segundo término es una Constante
equivale a 3.1416=

22. Luego aplicamos la regla del
producto de dos funciones.

23. Procedemos a derivar los términos
correspondientes

24. 6. Derivada del cociente de dos funciones es
igual al denominador por la derivada del
numerador menos el numerador por la
derivada del denominador y todo esto
dividido para el cuadrado del
denominador, como se muestra.

25. Ejemplo:
Aquí tenemos un ejemplo del
cociente de dos funciones:

29. 7. Segunda derivada, se aplica para
determinar la concavidad, puntos de
inflexión.
Ejemplo:

30. Primera derivada.

31. Segunda derivada, partimos del resultado de
la primera derivada

33. TRAZADO DE CURVAS

34. La gráfica de una función nos permite
visualizar las propiedades de la función en
forma rápida.
Ejemplo:
x F(x)
=y
-5 -92 100
-4 -48
80
60
-3 -24 40
20
-2 -14 0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1 -12
-20
-40
0 -12 -60
-80
1 -8 -100
2 6 -120
3 36

35. La gráfica representa la función propuesta, en
la que podemos apreciar su comportamiento
de acuerdo a los valores dados.
Si procedemos a derivar la función tenemos:

36. Continuando con el desarrollo, ahora podemos
encontrar los puntos críticos en el intervalo
(-5,4). Si hacemos y=0 tenemos:

37. Para obtener los valores de x aplicamos la
ecuación general,
Reemplazando los respectivos valores de la
ecuación en la fórmula tenemos.

38. Esto nos indica los puntos críticos de la función
Si procedemos a desarrollar la segunda
derivada vamos a tener los siguientes
resultados:

39. Hacemos y = 0

40. Este resultado de -0.66 nos indica el punto de
inflexión, es decir el punto donde la gráfica
cambia de cóncava hacia arriba a cóncava
hacia abajo.