2_1_ExpresionesAlgebraicas_final-1.pdf

2. FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
“Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para
penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber". Albert Einstein
Noviembre, 2020
DOCENTES DE MATEMÁTICAS (FCTA) 2.1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS 10/09/2020 1 / 70

Contenido
1 INTRODUCCIÓN
2 EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Polinomios, términos semejantes, valor numérico, lenguaje algebraico
3 SUMA Y RESTA
Suma y resta de expresiones algebraicas
4 MULTIPLICACIÓN
Producto: monomio por monomio, polinomio por monomio y polinomio por
polinomio
5 DIVISIÓN
División: monomio para monomio, polinomio para monomio y polinomio para
polinomio
6 EJERCICIOS DE REFUERZO
7 TALLER Y TAREA

OBJETIVOS
Al finalizar este tema, el estudiante será capaz de:
Diferenciar entre expresiones aritméticas y algebraicas.
Identificar los componentes de los términos algebraicos y expresiones
algebraicas.
Resolver el valor numérico de expresiones algebraicas.
Transformar de lenguaje común a lenguaje algebraico.
Reconocer al polinomio como una expresión algebraica; y determina grado y
coeficientes.
Reconocer a las ecuaciones de la recta y la parábola como polinomios de grado
uno y dos respectivamente.
Reducir expresiones algebraicas aplicando propiedades.

REPASO 1: Propiedades de los reales
Detalle, Propiedad Ejemplo
Commutativa: Suma a + b = b + a 11 + 5 = 5 + 11
Commutativa: Producto a · b = b · a 7 · 5 = 5 · 7
Asociativa: Suma a + (b + c) = (a + b) + c 11+ (5+3) = (11+5) +3
Asociativa: Producto a · (b · c) = (a · b) · c 7 · (5 · 3) = (7 · 5) · 3
Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c 11· (5+3) = 11·5+11·3
(b + c) · a = a · b + a · c (5+3) ·11 = 11·5+11·3
Neutro: Suma a + 0 = a 5 + 0 = 5
Neutro: Producto a · 1 = a 7 · 1 = 7
Inverso: Suma a + (−a) = (−a) + a = 0 4 + (−4) = (−4) + 4 = 0
Inverso: Producto a ·
1
a
=
1
a
· a = 1 5 ·
1
5
=
1
5
· 5 = 1

REPASO 2: Propiedades de los negativos
Propiedad Ejemplo
1. (−1)a = −a (−1)5 = −5
2. −(−a) = a −(−6) = 6
3. (−a)b = a(−b) = −ab (−11) · 5 = 5 · (−11) = −11 · 5
4. (−a)(−b) = ab (−5)(−7) = 5 · 7
5. −(a + b) = −a − b −(3 + 8) = −3 − 8
6. −(a − b) = b − a −(6 − 8) = 8 − 6

REPASO 3: Propiedades de los fraccionarios
Propiedad Ejemplo
1.
a
b
·
c
d
=
ac
bd
3
4
·
5
6
=
3 · 5
4 · 6
2.
a
b
÷
c
d
=
a
b
·
d
c
=
ad
bc
3
4
÷
5
6
=
3
4
6
5
=
3 · 6
4 · 5
3.
a
c
+
b
c
=
a + b
c
3
2
+
4
2
=
3 + 4
2
=
7
2
4.
a
b
+
c
d
=
ad + bc
bd
3
2
+
5
7
=
3 · 7 + 5 · 2
2 · 7
=
21 + 10
14
=
31
14
5.
a · c
b · c
=
a
b
4 · 3
11 · 3
=
4
11
6. Si
a
b
=
c
d
⇒ ad = bc Si
4
3
=
12
9
⇒ 4 · 9 = 3 · 12

REPASO 4: Leyes de exponentes
Ley Ejemplo
1. am
an
= am+n
34
· 38
= 34+8
= 312
2.
am
an
= am−n 73
75
= 73−5
= 7−2
3. (am
)n
= am·n
56
7
= 56·7
= 542
4. (a · b)m
= am
· bm
(3 · 5)2
= 32
· 52
= 9 · 25 = 225
5.
a
b
m
=
am
bm

2
5
4
=
24
54
=
16
625
6.
a
b
−m
=

b
a
m
=
bm
am

2
5
−4
=

5
2
4
=
54
24
=
625
16
7.
a−m
b−n
=
bn
am
3−2
4−3
=
43
32
=
64
9

REPASO 5: Propiedades de las raíces
Para cualquier exponente racional m/n, donde m y n son enteros y n 0, definimos
am/n
= n
√
am
Si n es par, entonces se requiere que a ≥ 0
Propiedad Ejemplo
1.
n
√
ab = n
√
a ·
n
√
b
3
√
27 · 64 =
3
√
27 ·
3
√
64 = 3 · 4 = 12
2. n
r
a
b
=
n
√
a
n
√
b
4
r
16
81
=
4
√
16
4
√
81
=
2
3
3.
m
p
n
√
a = m·n
√
a
4
p
3
√
18 =
4·3
√
18 =
12
√
18
4.1 n
√
an = a, si n es impar 3
p
(−5)3 = −5,
5
√
45 = 4
4.2 n
√
an = |a|, si n es par
4
p
(−5)4 = |−5| = 5,
2
√
92 = |9| =
9

Contenido
1 INTRODUCCIÓN
3 SUMA Y RESTA
4 MULTIPLICACIÓN
polinomio
5 DIVISIÓN
polinomio
7 TALLER Y TAREA

IDEA INTRODUCTORIA
Reflexión
Para operar se requiere agrupar los elemen-
tos o términos semejantes.
En este ejemplo se observa como las fru-
tas se agrupan para facilitar la venta. Es-
te mismo procedimiento de agrupación se
utilizará en esta sección. Peras con peras,
naranjas con naranjas.

ÁLGEBRA: Conceptos
Álgebra
Rama de las matemáticas que trata a las cantidades de manera general.
Constante
Números reales (tienen un valor asignado único).
Ejemplo 1: −3, 𝜋, 1,5,
√
2,
−2
3
, G(constante gravitacional universal)
Variable
Una variable es una letra que puede representar cualquier número tomado de un
conjunto de números dado.
Ejemplo 2:
1 x/x es número par
2 a/a estudiantes infectados de gripe
3 t/t tiempo transcurrido
4 m/m es la masa de las células.

ÁLGEBRA: Conceptos
Monomio o término algebraico
Es una expresión de la forma a · xk
, donde a es un número real denominado coeficiente,
x es una variable o base y k es un entero no negativo denominado exponente.
Ejemplo 3:
1 12x
2 5x2
3 10
√
x
4
3x11
2
5 −3
√
x
6
3x22
y
11
7 x2a+1
y3−a
8
−20m6
n3
3
9
−9r3
s2
t2
5
10
√
m3
11 a3
12 11z5
13 −xy
14
s3
t7
−3
15
√
11t4

ÁLGEBRA: Conceptos
Expresión algebraica
Es la combinación de constantes y variables que representan cantidades, mediante
operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación, etcétera.
Ejemplo 4:
1 −2x
2 n + 1
3 5x −
√
2
4
1 − 3x
x + 2
5 x + 2 −
√
x
6
x2
− 3x + 2
x − 2
7 a2
− 3
8
m6
− m3
− 20
m3 − 5
9
−9x3
− 23x2
+ 12
x2 − 4
10
√
m2 − 2m + 1
11 a3
+ 8
12 z5
− z3
+ z2
+ 1
13 −x + y
14
s3
− s2
− 13s + 2
s2 − 2s + 1
15
√
t2 − 6t + 9

ÁLGEBRA: Polinomios
Una expresión algebraica con un solo término se denomina monomio, con dos
términos binomio, con tres términos trinomio. En general, una expresión con ”n”
términos algebraicos se denomina polinomio.
Polinomio
Un polinomio en la variable x es una expresión de la forma
anxn
+ an−1xn−1
+ ... + a1x1
+ a0x0
donde a0, a1, ..., an−1, an son números reales; n es un entero no negativo; y an−1xn−1
es
un monomio. Si an ≠ 0 entonces el polinomio tiene grado n.
Ejemplo 5:
Polinomio Tipo Términos Grado
−
√
6x2
y5
zm
tn
Monomio −
√
6x2
y5
zm
tn
2 respecto a x
2x2
+ 3x − 1 Trinomio 2x2
, 3x, −1 2
1
3
xn
− 2 Binomio
1
3
xn
, −2 n

ÁLGEBRA: Polinomios fundamentales
Polinomio de grado 1:
Ecuación de la recta
El polinomio de grado 1
representa una figura geométrica
llamada recta y tiene la forma:
p(x) = a1x1
+ a0x0
A este polinomio se le denomina
‘ecuación lineal‘ o ‘ecuación de
la recta‘. Donde a1 y a0 son
números reales; y a1 es el
coeficiente principal.
Ejemplo 6: las siguientes ecuaciones lineales,
tienen las siguientes características:
x − 1, el grado es 1, a1 = 1, a0 = −1
−2x + 5, el grado es 1, a1 = −2, a0 = 5
−4 −2 2 4
−5
5
10
15
x
f (x)
y = x − 1 y = −2x + 5

ÁLGEBRA: Polinomios fundamentales
Polinomio de grado 2:
Ecuación de la parábola
El polinomio de grado 2
representa una figura geométrica
llamada parábola y tiene la
forma:
p(x) = a2x2
+ a1x1
+ a0x0
A este polinomio se le denomina
‘ecuación cuadrática‘ o
‘ecuación de la parábola‘.
Donde a2, a1 y a0 son números
reales; y a2 ≠ 0 es el coeficiente
principal.
Ejemplo 7: las siguientes ecuaciones cuadráticas,
tienen las siguientes características:
x2
− 2x − 8,
el grado es 2, a2 = 1, a1 = −2, a0 = −8
−x2
+ 2x − 1,
el grado es 2, a2 = −1, a1 = 2, a0 = −1
−2 2 4
−10
x
f (x)
y = x2
− 2x − 8 y = −x2
+ 2x − 1

ÁLGEBRA: términos semejantes
Términos semejantes
Son aquellos que tienen los mismos valores de exponentes afectando a las mismas
bases; los coeficientes pueden ser diferentes.
Para reducir términos semejantes se aplica la Propiedad Distributiva
a(b + c) = ac + bc y se obtiene un solo término.
Ejemplo 8 (términos semejantes):
5x2
, 17x2
, −3x2
cada x está elevado al cuadrado.
−2x3
, 7x3
, −13x3
cada x está elevado al cubo.
11a3
b4
, 50a3
b4
cada a está elevado al cubo y cada b está elevado a la cuarta
potencia.
Ejemplo 9 (Reducción de términos semejantes):
Aplicando la propiedad distributiva a los términos de los ejemplos arriba indicados,
tendremos:
5x2
+ 17x2
− 3x2
= x2
(5 + 17 − 3) = 19x2
−2x3
+ 7x3
− 13x3
= x3
(−2 + 7 − 13) = −8x3
11a3
b4
+ 50a3
b4
= a3
b4
(11 + 50) = 61a3
b4

ÁLGEBRA:valor numérico
El valor numérico de expresiones algebraicas
Se obtiene al sustituir a las literales o letras con sus respectivos valores numéricos y
entonces se realizan las operaciones indicadas.
Ejemplo 10: Encuentra el valor numérico para la siguiente expresión algebraica, si:
m = −2, n = 3, p =
1
4
, x =
1
3
.
Expresión inicial
m − p
n
−
n + x
m
Reemplazar valores
numéricos
=
−2 −
1
4
3
−
3 +
1
3
−2
continua
−
−
−
−
−
−
→
Operar aplicando las
propiedades de números
=
−8 − 1
4
3
+
9 + 1
3
2
=
−9
4
3
+
10
3
2
continua
−
−
−
−
−
−
→
=
−9
12
+
10
6
=
−3
4
+
5
3
=
−9 + 20
12
=
11
12

ÁLGEBRA: lenguaje algebraico
Lenguaje algebraico
Lenguaje que utiliza letras en combinación con múmeros y signos que permiten expresar
operaciones y propiedades numéricas de forma general.
Es la traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico. Para ello se requiere
identificar los coeficientes, bases, exponentes y las operaciones en el lenguaje común y
reemplazarlos por símbolos matemáticos.
Ejemplo 11: Transforme el siguiente enunciado a lenguaje algebraico:
’El doble de un número excedido en cinco.’
2 x + 5
Respuesta: 2x + 5
’El cuadrado de un número disminuido en tres.’
2 x - 3
Respuesta: x2
− 3
’El cubo de un número más el triple del cuadrado de dicho número.’
3 x + 3 2 x
Respuesta: x3
+ 3x2

Contenido
1 INTRODUCCIÓN
3 SUMA Y RESTA
4 MULTIPLICACIÓN
polinomio
5 DIVISIÓN
polinomio
7 TALLER Y TAREA

SUMA Y RESTA: Definición
Suma y resta de polinomios
Para la suma y resta de polinomios se aplica las propiedades de los números; se
combinan los términos semejantes y finalmente se aplica la propiedad distributiva.
Para restar, además se requiere identificar el minuendo (del que se va a restar) y el
sustraendo (lo que se va a restar).

SUMA Y RESTA: Suma
Ejemplo 12: SUMA
Suma los siguientes polinomios:
5x3
− 3x2
− 6x − 4
−8x3
+ 2x2
− 3
7x3
− 9x2
+ x − 11
1 Escribir los polinomios en filas, de acuerdo al orden del exponente en forma
descendente.
5x3
−3x2
−6x −4
−8x3
+2x2
−3
7x3
−9x2
+x −11
2 Aplicar la propiedad distributiva a los términos semejantes.
= (5 − 8 + 7)x3
+(−3 + 2 − 9)x2
+(−6 + 1)x +(−4 − 3 − 11)
= 4x3
+(−10)x2
+(−5)x +(−18)
3 Obtener el polinomio resultante de la suma de polinomios.
= 4x3
− 10x2
− 5x − 18

SUMA Y RESTA: Resta
Ejemplo 13: RESTA
De: 12x3
− 3x2
− 7x − 8 restar −3x3
+ 6x + 6
1 Identificar el minuendo que es 12x3
− 3x2
− 7x − 8 y el sustraendo que es
−3x3
+ 6x + 6.
2 Aplicar las propiedades de los números negativos para el sustraendo; y,
escribimos los polinomios en filas, de acuerdo al orden del exponente en forma
descendente.
12x3
−3x2
−7x −8
−(−3x3
) −(+6x) −(+6)
3 Aplicar la propiedad distributiva a los términos semejantes.
= (12 + 3)x3
+(−3)x2
+(−7 − 6)x +(−8 − 6)
= 15x3
+(−3)x2
+(−13)x +(−14)
4 Obtener el polinomio resultante de la suma de polinomios.
= 15x3
− 3x2
− 13x − 14

SUMA Y RESTA: Signos de agrupación
Signos de Agrupación
Los signos de agrupación indican que las cantidades en su interior son uno solo y son
los siguientes:
Corchetes [] Paréntesis () Llaves {} Vínculo · · · · · ·
Si el signo 0+0 precede al signo agrupación, las cantidades internas se mantienen
igual.
Si el signo 0−0 precede al signo agrupación, las cantidades internas se alteran
aplicando las propiedades de los números negativos.
Al reducir una expresión algebraica se eliminan signos de agrupación desde fuera
hacia adentro o de forma contraria. Puede resultar más fácil iniciar desde dentro y
trabajar hacia afuera, uniendo términos y simplificando la expresión.

SUMA Y RESTA: Signos de agrupación
Ejemplo 14: Reducir la expresión algebraica:
2x + {−[5y + (3x − z) + 2 − (−x + y − z + 4)] − (−x + y)}.
2x + { − [5y + (3x − z) + 2 − (−x + y − z + 4)] − (−x + y)}
= 2x − [5y + (3x − z) + 2 − (−x + y − z + 4)] − ( − x + y)
= 2x − 5y − (3x − z) − 2 + ( − x + y − z + 4) + x − y
= 2x − 5y − 3x + z − 2 − x + y−z + 4 + x − y
= 2x − 5y − 3x + z − 2 − x + y − z − 4 + x − y
= (2 − 3 − 1 + 1)x + (−5 + 1 − 1)y + (1 − 1)z + (−4 − 2)
= −x − 5y − 6

Contenido
1 INTRODUCCIÓN
3 SUMA Y RESTA
4 MULTIPLICACIÓN
polinomio
5 DIVISIÓN
polinomio
7 TALLER Y TAREA

MULTIPLICACIÓN: Conceptos
Para hallar el producto de polinomios o de otras expresiones algebraicas, es necesario
usar repetidamente la Propiedad Distributiva.
Además se requiere:
1 Las reglas de signos en el producto:
(+)(+) = + (−)(−) = + (+)(−) = − (−)(+) = −
2 Cuando se multiplican términos con la misma base se suman los exponentes:
am
∗ an
= am+n

MULTIPLICACIÓN (1)
Monomio por Monomio
Se multiplican los coeficientes y luego las bases.
axm
∗ bxn
= (ab)(xm+n
).
Donde a y b son constantes, x es la base(variable), y; m y n son exponentes.
Ejemplo 15: Realice las siguientes multiplicaciones de monomios:
(−5abc3
)(3ac).
= (−5 ∗ 3)a1+1
b1+0
c3+1
= −15a2
bc4

−
4
5
x5
y3
z2

−
2
6
x2
y8
z3

= +
4 ∗ 2
5 ∗ 6
x5+2
y3+8
z2+3
=
4
15
x7
y11
z5
8x2a+b
y3a−1
zb+3

−4xb−2a
y4b+3
z1−2a

= −(8 ∗ 4)x2a+b+b−2a
y3a−1+4b+3
zb+3+1−2a
= −32x2b
y3a+4b+2
z−2a+b+4

−
7
3
x2a−3b
y2b−3

−
5
4
x1−a
y2c+3

−
3
7
x−a−b−c
yc−b

= −
7 ∗ 5 ∗ 3
3 ∗ 4 ∗ 7
x2a−3b+1−a−a−b−c
y2b−3+2c+3+c−b
= −
5
4
x−4b−c+1
yb+3c

MULTIPLICACIÓN (2)
Polinomio por Monomio
Se aplica la propiedad distributiva y resulta en la multiplicación cada uno de los
términos del polinomio por el monomio o viceversa.
(axm
+ bxn
)cxp
= cxp
(axm
+ bxn
) = (axm
)(cxp
) + (bxn
)(cxp
) = acxm+p
+ bcxn+p
Donde a, b y c son constantes, x es la base(variable), y; m, n y p son exponentes.
Ejemplo 16: Realice las siguientes multiplicaciones de polinomios por monomios:
(−5a + bc3
)(3ac).
= (−5a)(3ac) + (bc3
)(3ac)
= −15a2
c + 3abc4

2
3
x5
y3
z2
+ 5xy2
z3

−
1
2
x3
y2
z4

=

2
3
x5
y3
z2

−
1
2
x3
y2
z4

+
(5xy2
z3
)

−
1
2
x3
y2
z4

continua
−
−
−
−
−
−
→
−
2 ∗ 1
3 ∗ 2
x5+3
y3+2
z2+4
−
5 ∗ 1
1 ∗ 2
x1+3
y2+2
z3+4
−
1
3
x8
y5
z6
−
5
2
x4
y4
z7
(3x2a+1
y3a−1
−
2xa−3
y2−3a
)(−x1−2a
y4a+3
)
= (3x2a+1
y3a−1
)(−x1−2a
y4a+3
) +
(−2xa−3
y2−3a
)(−x1−2a
y4a+3
)
= −3x2
y7a+2
+ 2x−a−2
ya+5

MULTIPLICACIÓN (3)
Polinomio por Polinomio
Si a, b, c y d son términos algebraicos, el producto del polinomios se resuelve
aplicando la propiedad distributiva repetidamente.
(a + b)(c + d)
Multiplica cada término del primer polino-
mio por el segundo polinomio.
= a(c + d) + b(c + d)
Aplica la propiedad distributiva (producto
de polinomio por monomio).
= ac + ad + bc + bd
Si se requiere, simplificar los términos se-
mejantes.
(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd
Ejemplo 17: Realice la siguiente multiplicación de polinomios:
(2x + 3y)(−x + 2y).
= (2x)(−x + 2y) + 3y(−x + 2y)
= (2x)(−x) + (2x)(2y) + (3y)(−x) + (3y)(2y)
= −2x2
+ 4xy − 3xy + 6y2
= −2x2
+ xy + 6y2

MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Ejemplo 18: Realice las siguiente multiplicación de polinomios:

3
2
x5
y3
+ 5xy2

2
5
x3
y2
− x2
y

=
3
2
x5
y3

2
5
x3
y2
− x2
y

+ 5xy2

2
5
x3
y2
− x2
y

=
3
2
x5
y3
·
2
5
x3
y2
+
3
2
x5
y3
· (−x2
y) + 5xy2
·
2
5
x3
y2
+ 5xy2
· (−x2
y)
=
3 · 2
2 · 5
x5+3
y3+2
+
−3 · 1
1 · 2
x5+2
y3+1
+
5 · 2
5
x3+1
y2+2
− 5x2+1
y2+1
=
3
5
x8
y5
+
−3
2
x7
y4
+ 2x4
y4
− 5x3
y3

Contenido
1 INTRODUCCIÓN
3 SUMA Y RESTA
4 MULTIPLICACIÓN
polinomio
5 DIVISIÓN
polinomio
7 TALLER Y TAREA

DIVISIÓN: conceptos
La operación de división de polinomios requiere de un dividendo (numerador) y un
divisor (denominador) y resulta en un cociente y un residuo.
dividendo
divisor
= cociente +
residuo
divisor
Además se requiere:
1 Las reglas de signos en la división:
(+)
(+)
= +
(−)
(−)
= +
(+)
(−)
= −
(−)
(+)
= −
2 Cuando se dividen términos con la misma base, al exponente del numerador se
resta el exponente del denominador:
am
an
= am−n
3 La división existe solamente si el divisor es diferente a cero.
Ejemplo 18: Realice la división
7
2
= 3 +
1
2
∴ cociente +
residuo
divisor

DIVISIÓN (1)
Monomio dividido para un monomio
Se dividen los coeficientes y luego las bases:
axm
bxn
=
a
b
xm−n
.
Donde a y b son constantes, x es la base(variable), y; m y n son exponentes.
Ejemplo 19: Realice la siguiente división:
9a6
b10
3a2b5
=
9
3
a6−2
b10−5
= 3a4
b5
12x10a−4
y5b−2
−6x3a+2y2b+1
=
12
−6
x10a−4−3a−2
y5b−2−2b−1
= −2x7a−6
y3b−3
3
2
am−2
bn−5
3
4
am−5bn−7
=
3
2
3
4
am−2−m+5
bn−5−n+7
= 2a3
b2

DIVISIÓN (2)
Polinomio dividido para un monomio
Se divide cada término del polinomio (numerador) entre el monomio (denominador):
axm
+ bxn
cxp
=
axm
cxp
+
bxn
cxp
=
a
c
xm−p
+
b
c
xn−p
.
Donde a, b y c son constantes, x es la base(variable), y; m, n y p son exponentes.
2x4
+ 6x3
− 8x2
2x2
=
2x4
2x2
+
6x3
2x2
−
−8x2
2x2
=
2
2
x4−2
+
6
2
x3−2
−
8
2
x2−2
= x2
+ 3x − 4
20a6m−4
b3n+10
− 50a7m−2
b3n−1
+ 8a5m+6
b−5n+2
−10a2m+2b2n−1
=
20a6m−4
b3n+10
−10a2m+2b2n−1
+
−50a7m−2
b3n−1
−10a2m+2b2n−1
+
8a5m+6
b−5n+2
−10a2m+2b2n−1
=
20
−10
a6m−4−2m−2
b3n+10−2n+1
+
−50
−10
a7m−2−2m−2
b3n−1−2n+1
+
8
−10
a5m+6−2m−2
b−5n+2−2n+1
= −2a4m−6
bn+11
+ 5a5m−4
bn
−
4
5
a3m+4
b−7n+3

DIVISIÓN (3)
Polinomio dividido para un polinomio
La división entre dos polinomios,es:
p(x)
q(x)
=
anxn
+ an−1xn−1
+ ... + a1x1
+ a0x0
bmxm + bm−1xm−1 + ... + b1x1 + b0x0
, con q(x) ≠ 0.
Si n ≥ m, el procedimiento para operar es el siguiente:
1 Ordenar los términos de acuerdo al exponente de forma descendente, tanto en el
numerador como en el denominador.
2 Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor.
3 Se multiplica el resultado de la división por cada uno de los términos del divisor;
a cada resultado se le cambia el signo y se acomoda debajo del dividendo con su
término semejante.
4 Con el nuevo dividendo resultante, se repite el primer paso, es decir, se divide el
primer término del dividendo sobre el primer término del divisor.
5 Repetir los pasos 1, 2 y 3 hasta que el residuo sea 0(cero) o un polinomio de
grado menor al del divisor (n m).

DIVISIÓN (4)
x2
− 2x + 1
x − 1
x2
− 2x + 1 x − 1
x − 1
− x2
+ x
− x + 1
x − 1
0
x2
− 2x + 1
x − 1
= x − 1
x2
+ 3x − 18
x − 3
x2
+ 3x − 18 x − 3
x + 6
− x2
+ 3x
6x − 18
− 6x + 18
0
= x + 6

DIVISIÓN (5)
x3
− 5x2
− 8x + 11
x − 1
x3
− 5x2
− 8x + 11 x − 1
x2
− 4x − 12
− x3
+ x2
− 4x2
− 8x
4x2
− 4x
− 12x + 11
12x − 12
− 1
= x2
− 4x − 12 −
1
x − 1
x4
+ 2x2
− 48
x2 + x − 8
x4
+ 2x2
− 48 x2
+ x − 8
x2
− x + 11
− x4
− x3
+ 8x2
− x3
+ 10x2
x3
+ x2
− 8x
11x2
− 8x − 48
− 11x2
− 11x + 88
− 19x + 40
= x2
− x + 11 +
−19x + 40
x2 + x − 8

Contenido
1 INTRODUCCIÓN
3 SUMA Y RESTA
4 MULTIPLICACIÓN
polinomio
5 DIVISIÓN
polinomio
7 TALLER Y TAREA

EJERCICIOS: Términos algebraicos
Ejercicio 1. Para cada término, identifique el coeficiente, la bases(s) y el
exponente(s):
Término Coeficiente(s) Base(s) Exponente(s)
-8y3
−8 y 3
11
8
m2
x3
11
8
m, x 2, 3
2(3x-2)m
2 3x − 2 m
-ym
xn
−1 y, x m, n
-2(3t-2)s
−2 3t − 2 s

EJERCICIOS: Constantes y variables
Ejercicio 2. Enliste 6 constantes y 6 variables.
Constantes Variables
3 x/x es número primo.
C= 300.000 km.s−1
, velocidad de la
luz en el vacío
t/t tiempo que transcurre al cruzar
un lago.
NA = 6, 022141991023
mol−1
,
Constante de Avogadro
v/v es la población de venados en
una pradera en el tiempo.
R=8,31451 J.K−1
.mol−1
Constante
de los gases ideales
d/d es el diámetro del tallo de un
árbol en el tiempo.
me = 9, 1093818810−31
kg, Masa
del electrón en reposo
s/s es la superficie contaminada por
el derrame de aceites en el tiempo.
g=9,7805 m.s−2
, Aceleración de la
gravedad a nivel del mar
v/v es el número de virus en un or-
ganismo en el tiempo.

EJERCICIOS: Polinomios
Ejercicio 3. Complete la siguiente tabla escribiendo: el polinomio, el
tipo de polinomio, los términos del polinomio o el grado del polinomio,
según corresponda.
−
√
56x3
t2 Monomio −
√
56x3
t2 x: 3, t: 2
m3
− 2m + 4
Trinomio m3
,−2m,4 3
−8
5
t5
− 2t4
− 6t + 4 Cuatrinomio −8
5
t5
, −2t4
, −6t, 4 5
m2
− 2m + 3 Trinomio m2
,−2m,3 2
f10
− f
Binomio f10
,−f 10
4p3
− 7p2
+ 4
Trinomio 4p3
, −7p2
, 4 3

EJERCICIOS: Polinomios fundamentales
Ejercicio 4. Complete la tabla escribiendo: el tipo de polinomio (lineal
o cuadrática), los coeficientes del polinomio (a2, a1 o a0) y la gráfica
(recta o parábola) para el polinomio según corresponda.
Polinomio Tipo Coeficientes Gráfica
x2
− 2x + 3 Cuadrática a2 = 1, a1 = −2, a0 = 3 Parábola
−x + 8 Lineal a1 = −1, a0 = 8 Recta
2x2
+ 6x − 9 Cuadrática a2 = 2, a1 = 6, a0 = −9 Parábola
−x2
+ bx + c Cuadrática a2 = −1, a1 = b, a0 = c Parábola
ax + b Lineal a1 = a, a0 = b Recta
mx2
− nx + p Cuadrática a2 = m, a1 = −n, a0 = p Parábola

EJERCICIOS: Reducción de términos semejantes
Ejercicio 5. Reduzca las siguientes expresiones.
25xy − 17xy + 83xy
= xy(25 − 17 + 83)
= xy(91)
= 91xy
a2
b + 11a2
b
= a2
b(1 + 11)
= a2
b(12)
= 12a2
b
−xy3
− 7xy3
− 13xy3
= xy3
(−1 − 7 − 13)
= xy3
(−21)
= −21xy3
−
4
5
pm
q +
8
3
pm
q
= pm
q(−
4
5
+
8
3
)
= pm
q(
28
15
)
=
28
15
pm
q
xm−1
yz − 150xm−1
yz
= xm−1
yz(1 − 150)
= xm−1
yz(−149)
= −149xm−1
yz
4
m
√
st − 11
m
√
st + 17
m
√
st
= m
√
st(4 − 11 + 17)
= m
√
st(10)
= 10
m
√
st

EJERCICIOS: Valor numérico
Ejercicio 6. Encuentra el valor numérico para las siguientes expresiones
algebraicas, si: m = −2, n = 3, p =
1
4
, x =
1
3
, y = 10, z =
1
2
.
m − n + y
= −2 − 3 + 10
= 5
3x + 4z − 9
n
=
3 ∗
1
3
+ 4 ∗
1
2
− 9
3
=
1 + 2 − 9
3
=
−6
3
= −2
5
√
m2n2
2
+
3
√
6 + y
4
− 3
√
p
=
5
p
(−2)232
2
+
3
√
6 + 10
4
− 3
r
1
4
=
5
√
4 · 9
2
+
3
√
16
4
− 3 ·
1
2
=
5
√
36
2
+
3 · 4
4
−
3
2
=
5 · 6
2
+ 3 −
3
2
= 15 + 3 −
3
2
=
30 + 6 − 3
2
=
33
2

EJERCICIOS: Lenguaje algebraico
Ejercicio 7. Transforme el siguiente enunciado a lenguaje algebraico.
’El área de un rectángulo, si se sabe que su largo mide tres unidades menos que
el triple de su ancho.’
’El área de un rectángulo, si se sabe que su largo mide tres unidades menos que
el triple de su ancho.’
A = l 3 − 3 a
Aplicando la fórmula del área de un rectángulo A = l · a, y con las condiciones
dadas.
Respuesta: A = (3a − 3) ∗ a
’La edad de Alberto si tiene cuatro años más que el doble de la edad de Patricia.’
’La edad de Alberto si tiene cuatro años más que el doble de la edad de Patricia.’
A = 4 + 2 P
Respuesta: A = 4 + 2P
x2
− 2x
Respuesta: ’El cuadrado de un número menos el doble del mismo número’

EJERCICIOS: Suma de expresiones algebraicas(1)
Ejercicio 8. Suma los siguientes polinomios:
−5m − 3n + 6; 2m + 2n − 8
= (−5m − 3n + 6) + (2m + 2n − 8)
= (−5 + 2)m + (−3 + 2)n + (6 − 8)
= −3m − n − 2
y3
− y; 2y2
− 5y + 7; 4y3
− 5y2
+ 3y − 8
= (y3
− y) + (2y2
− 5y + 7) + (4y3
− 5y2
+ 3y − 8)
= (1 + 4)y3
+ (2 − 5)y2
+ (−1 − 5 + 3)y + (7 − 8) =
5y3
− 3y2
− 3y − 1
3x2a
− 5x2a−1
+ 4x2a−2
; x2a
+ 4x2a−1
+ x2a−2
; −3x2a
− 7x2a−2
; x2a−1
+ 3x2a−2
= (3x2a
−5x2a−1
+4x2a−2
) + (x2a
+4x2a−1
+x2a−2
) + (−3x2a
−7x2a−2
) + (x2a−1
+3x2a−2
)
= (3 + 1 − 3)x2a
+ (−5 + 4 + 1)x2a−1
+ (4 + 1 − 7 + 3)x2a−2
= x2a
+ x2a−2

EJERCICIOS: Suma de expresiones algebraicas(2)
Ejercicio 9. Suma los siguientes polinomios:
1
3
x1−y
−
5
4
x1−2y
− x1−3y
; −
1
6
x1−y
+
2
3
x1−3y
− x1−2y

1
3
x1−y
−
5
4
x1−2y
− x1−3y

+

−
1
6
x1−y
+
2
3
x1−3y
− x1−2y

1
3
−
1
6

x1−y
+

−
5
4
− 1

x1−2y
+

−1 +
2
3

x1−3y
=
1
3
x1−y
−
9
4
x1−2y
−
1
3
x1−3y

EJERCICIOS: Resta de expresiones algebraicas
Ejercicio 10. Resta los siguientes polinomios:
De 4a4
− 10a3
+ 2a2
− 3a − 4 resta 5a5
− 3a3
+ 6a − 3
= (4a4
− 10a3
+ 2a2
− 3a − 4) − (5a5
− 3a3
+ 6a − 3)
= (0 − 5)a5
+ (4 − 0)a4
+ (−10 − (−3))a3
+ (2 − 0)a2
+ (−3 − 6)a + (−4 − (−3))
= (−5)a5
+ (4)a4
+ (−7)a3
+ (2)a2
+ (−9)a + (−1)
= −5a5
+ 4a4
− 7a3
+ 2a2
− 9a − 1
Resta 15an+10
− 3an+1
− 8an−3
+ 10an
de 4an+9
− 5an+2
− 3an−3
+ 2an
= (15an+10
− 3an+1
− 8an−3
+ 10an
) − (4an+9
− 5an+2
− 3an−3
+ 2an
)
= (15−0)an+10
+(0−4)an+9
+(0−(−5))an+2
+(−3−0)an+1
+(10−2)an
+(−8−(−3))an−3
)
= (15)an+10
+ (−4)an+9
+ (+5)an+2
+ (−3)an+1
+ (8)an
+ (−5)an−3
)
= 15an+10
− 4an+9
+ 5an+2
− 3an+1
+ 8an
− 5an−3
)

EJERCICIOS: Signos de agrupación
Ejercicio 11. Simplifique por reducción de signos de agrupación:
4m + {(6m − 3n) − (9n − 5m) + (8m − 2n)}
= 4m + {(6m − 3n) − (9n − 5m) + (8m − 2n)}
= 4m + {6m − 3n − 9n + 5m + 8m − 2n}
= 4m + 6m − 3n − 9n + 5m + 8m − 2n
= (4 + 6 + 5 + 8)m + (−3 − 9 − 2)n
= 23m − 14n
−{−6x + 3y − (8x − [2y − 4x − 2x − 6y + 10x] − 9y) + 12x}
= −{ − 6x + 3y − (8x − [2y − 4x − 2x − 6y + 10x] − 9y) + 12x}
= +6x − 3y + (8x − [2y − 4x − 2x − 6y + 10x] − 9y) − 12x
= 6x − 3y + 8x−[2y − 4x − 2x − 6y + 10x] − 9y − 12x
= 6x − 3y + 8x − 2y + 4x + 2x − 6y − 10x − 9y − 12x
= 6x − 3y + 8x − 2y + 4x + 2x − 6y − 10x − 9y − 12x
= (6 + 8 + 4 + 2 − 12)x + (−3 − 2 − 6 − 9)y
= 8x − 20y

EJERCICIOS: Multiplicación (1)
Ejercicio 12: Realice las siguientes multiplicaciones de monomios:
(4x3
y5
z)(6x5
y4
z).
= (4 ∗ 6)x3+5
y5+4
z1+1
= 24x8
y9
z2

−
9
4
m2
p2
q

2
3
mp3
q5

= −
9 ∗ 2
4 ∗ 3
m2+1
p2+3
q1+5
= −
3
2
m3
p5
q6
(0,5m6
p5
)(0,2m2
np).
= (0,5 ∗ 0,2)m6+2
n0+1
p5+1
= 0,1m8
np6

1
3
x3m
y3m−1

3
2
x5−m
ym+1

=
1 ∗ 3
3 ∗ 2
x3m+5−m
y3m−1+m+1
=
1
2
x2m+5
y4m

Ejercicio 13: Realice las siguientes multiplicaciones de monomios:
(2am−1
b2m−1
c3m+3
)(−3a1−3m
b2−3m
c3−4m
)(−5a−m
b−m
c−m
)
= (2 ∗ (−3) ∗ (−5))am−1+1−3m−m
b2m−1+2−3m−m
c3m+3+3−4m−m
= 30a−3m
b1−2m
c6−2m

1
4
x4a
y2a

2
3
x3a−1
ya+2

−
9
5
xa+1
y4a−7

= −
1 ∗ 2 ∗ 9
4 ∗ 3 ∗ 5
x4a+3a−1+a+1
y2a+a+2+4a−7
= −
3
10
x8a
y7a−5

Ejercicio 14: Realice las siguientes multiplicaciones de polinomio por
monomio
(4x + 2)(2x)
= (4x)(2x) + (2)(2x)
= 8x2
+ 4x
(2a2
− 7ab + 4b2
)(−3a4
b2
)
= (2a2
)(−3a4
b2
) + (−7ab)(−3a4
b2
) + (4b2
)(−3a4
b2
)
= −6a6
b2
+ 21a5
b3
− 12a4
b4

1
2
x2
y −
3
5
x3
y2
−
3
4
x4
y3

2
3
x3
y4

=
1
2
x2
y
2
3
x3
y4
−
3
5
x3
y2 2
3
x3
y4
−
3
4
x4
y3 2
3
x3
y4
=
1
3
x5
y5
−
2
5
x6
y6
−
1
2
x7
y7

Ejercicio 15: realice la siguiente multiplicación de polinomio por
polinomio.
(2x + 3y)(−x + 2y).
= (2x)(−x + 2y) + 3y(−x + 2y)
= (2x)(−x) + (2x)(2y) + (3y)(−x) + (3y)(2y)
= −2x2
+ 4xy − 3xy + 6y2
= −2x2
+ xy + 6y2

Ejemplo: Realice las siguiente multiplicación de polinomios:

3
2
x5
y3
+ 5xy2

2
5
x3
y2
− x2
y

=
3
2
x5
y3

2
5
x3
y2
− x2
y

+ 5xy2

2
5
x3
y2
− x2
y

=
3
2
x5
y3
∗
2
5
x3
y2
+
3
2
x5
y3
∗ (−x2
y) + 5xy2
∗
2
5
x3
y2
+ 5xy2
∗ (−x2
y)
=
3 ∗ 2
2 ∗ 5
x5+3
y3+2
+
−3 ∗ 1
1 ∗ 2
x5+2
y3+1
+
5 ∗ 2
5
x3+1
y2+2
− 5x2+1
y2+1
=
3
5
x8
y5
+
−3
2
x7
y4
+ 2x4
y4
− 5x3
y3

Contenido
1 INTRODUCCIÓN
3 SUMA Y RESTA
4 MULTIPLICACIÓN
polinomio
5 DIVISIÓN
polinomio
7 TALLER Y TAREA

TALLER: Términos algebraicos
1 Para cada término, identifique el coeficiente, la bases(s) y el exponente(s):
Término Coeficiente(s) Base(s) Exponente(s)
-4m2
−4
−5
a3
b5
7
3
(x2
− 2x + 1)m
5mx
ny
5(mp
− np
)2
2 Escriba 5 términos diferentes e identifique el coeficiente, la bases(s) y el
exponente(s) para cada uno de ellos.

TALLER: Variables y constantes
3 Enliste 5 constantes y 5 variables.
* Consulte algunas constantes en textos de matemáticas, física, química, biología y otros.

TALLER: Polinomios
4 Complete la tabla escribiendo: el polinomio, el tipo de polinomio, los
términos del polinomio o el grado del polinomio, según corresponda.
−
√
56x3
t2 · · · · · · · · ·
· · ·
Trinomio · · · · · ·
· · ·
· · · −8
5
t5
, −2t4
, −6t, 4 · · ·
m2
− 2m + 3 · · · · · · · · ·
· · ·
Binomio · · · · · ·
· · ·
· · · 4p3
, −7p2
, 4 · · ·
· · ·
· · · · · · 2

TALLER: Polinomios fundamentales
5 Complete la tabla escribiendo: el tipo de polinomio (lineal o cuadrática), los
coeficientes del polinomio (a2, a1 o a0) y la gráfica (recta o parábola) para el
polinomio según corresponda.
Polinomio Tipo Coeficientes Gráfica
−
√
56x2
− x Cuadrática
a2 = −
√
56, a1 = −1,
a0 = š
Parábola
-𝜋x − 13 · · · · · · · · ·
18x2
+15x+67 · · · · · · · · ·
-3x+1 · · · · · · · · ·
17x+a · · · · · · · · ·
12x2
− 1 · · · · · · · · ·
-0.0004x · · · · · · · · ·

TALLER: Reducción de expresiones algebraicas
6 Utilice la propiedad distributiva y reduzca las siguientes expresiones
algebraicas
1 3x − 8x
2 6a3b + 7a3b
3 4xy2z3 − 43xy2z3
4 8ab − 4ab + 11ab
5 m − (−n + m) + 2m − 3n
6 4anx+1 − 3anx+1 − 11anx+1
7 m2 + n2 − 4mn + 5m2 − 3n2 + 8mn
8
5
4
x3 +
3
2
x3 −
3
8
x3
9 −
1
4
ab3 −
5
3
ab3 −
7
6
ab3
10 0,02x − 0,09y + 1,3x − 0,04y
11
x
4y
−
−11x
2y
−
x
8y
12
5x−1
4y−1
−
x−1
2y−1
+
3x−1
4y−1
13
11
√
x−1
4
+
17
√
x−1
2
14 0,02xy2 + 0,09x2y − 1,01xy2 + 0,013x2y

TALLER: Signos de agrupación
7 Aplique las propiedades de números para operar los signos de agrupación:
1 m + {−[5n − (3m − n) − (−n + 4)] −
(−3m + 5n)}
2 −3p − [−2(q − p) − 3(−q − p + 4)] + 3

TALLER: Lenguaje algebraico
8 Exprese las siguientes oraciones del lenguaje común en términos
algebraicos:
1 La mitad de un número más el cuadrado del mismo número.
2 Tres veces el cuadrado de un número disminuido en dos.
3 La raíz cúbica de la diferencia de dos números consecutivos.
4 La edad de Alberto si tiene cuatro años más que el triple de la edad de Elena.

TALLER: Suma
9 Utilice las propiedades de los números que convenga para sumar las
expresiones algebraicas:
1
18x2
+ 15x + 67
+(−2x3
+ 21x2
− 7)
+(4x3
− 81x)
2
2
3
x2
+
2
3
x −
5
3
+

4
6
x2
−
11
9
x + 7

3
1
3
x11−3y
−
5
4
xy−2
− x1−3y
+

2
3
xy−2
+
8
9
x11−3y
− x1−3y

+

−
5
3
x1−3y
+
11
6
xy−2
− x11−3y


TALLER: Resta
10 Utilice las propiedades de los números que convenga para restar las
expresiones algebraicas:
1
18x2
+ 15x + 67
−(4x3
− 12x2
+ 17)
−(−5x3
+ 15x2
− 3x + 2)
2
2
5
x2
+
3
5
x −
11
10
−

3
10
x2
+
7
5
x +
13
5

3
1
3
m11n−3p
−
5
6
mp−2n
− mp−3n
−

−
7
3
mp−2n
+
8
3
m11n−3p
− mp−3n

−

+
2
3
mp−3n
+
11
6
mp−2n
−
7
3
m11n−3p


TALLER: Multiplicación
1 Utilice las propiedades de los números que convenga para resolver las
siguientes multiplicaciones de expresiones algebraicas:
1 (12m−2n2p3)(4m4n2p−3)
2

−
7
6
a4x−3b2xc

7
12
a1−xb2x−3cx+1

3 2xy(5x − 3xy + 7x)
4 x2y−1z3

2
5
x2 − 5xy + 3yz − 5y2z2

5 (3x + 2)(2x − 17)
6 (x2 − 3)((x2 + 3))
7 (2m − 3n + 5p)(m − 2p − 3n)
8 (x2 − 3)(x4 + 3x2 + 9)
9

1
3
x2 −
1
4
xy +
2
5
y2

(x − y)

TALLER: División
2 Utilice las propiedades de los números que convenga para resolver las
siguientes divisiones de expresiones algebraicas:
1
36a10b−2c4
48a13b2c−3
2
44xm−1ym−2
77xm+3y12−m
3
4x3 − 5x2
2x
4
1
2
a2b3 −
3
2
a3b2 + 12a4b
2a2b
5
x2 − 3x + 2
x − 2
6
x2 − 3x + 2
x − 1
7
m6 − m3 − 20
m3 − 5
8
5x4 − 9x3 − 23x2 + 36x + 12
x2 − 4

TAREA: parte 1
Realice los siguientes ejercicios y carguela como archivo PDF en la sección de
tareas de la plataforma MOODLE.
Capítulo 2,
Páginas 265-279
1 Ejercicios 20: 1 al 27, múltiplos de 9

TAREA: parte 2
Realice los siguientes ejercicios y carguela como archivo PDF en la sección de
tareas de la plataforma MOODLE.
Capítulo 2,
Páginas 279-292

REFERENCIAS
Revise los textos de referencia para reforzar los temas revisados
Capítulo 2, páginas
265-292
Capítulo 1.3, páginas
24-26
Capítulo 2, páginas
129-136

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