Ii.1. analisis dimensional 0809

II.1. Análisis Dimensional
_________________________________________________________________________________________________________________
Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08
1
UNIVERSIDAD DE OVIEDO
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Gijón
Ingenieros Industriales
Curso 2008-2009
Apuntes de Mecánica de Fluidos: 2ª parte
1. ANÁLISIS DIMENSIONAL.
Túnel de viento de “Renault F1 Team” en ENSTONE (UK). Modelo a escala 1:2
Julián Martínez de la Calle
Área de Mecánica de Fluidos
Gijón diciembre 2008

_________________________________________________________________________________________________________________
2
1. ANÁLISIS DIMENSIONAL.
1.1. Homogeneidad dimensional.
1.2. Teorema de BUCKINGHAM.
1.3. Grupos adimensionales.
1.4. Números de Reynolds, Euler, Mach y Froude.
1.5. Teoría de modelos.
1.6. Problemas resueltos.
El análisis dimensional es un método para verificar ecuaciones y planificar experimentos sistemáticos. A
partir del análisis dimensional se obtienen una serie de grupos adimensionales, que van a permitir utilizar los
resultados experimentales obtenidos en condiciones limitadas, a situaciones en que se tengan diferentes
dimensiones geométricas, cinemáticas y dinámicas; y muchas veces en casos en que las propiedades del fluido y
del flujo son distintas de las que se tuvieron durante los experimentos.
La importancia del análisis dimensional viene dada por la dificultad del establecimiento de ecuaciones en
determinados flujos, además de la dificultad de su resolución, siendo imposible obtener relaciones empíricas...
Es importante considerar que si en un experimento en un modelo (a escala geométrica del prototipo), se
pueden obtener las escalas cinemáticas (relaciones de velocidades) y las escalas dinámicas (relaciones de
fuerzas), los resultados adimensionales que se obtienen para el modelo son también válidos para el prototipo.
1.1. HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL.
En toda ecuación física, cada término deberá tener las mismas dimensiones: la ecuación debe ser
dimensionalmente homogénea; además la división de todos los términos por uno cualquiera de ellos, haría la
ecuación adimensional, y cada cociente sería un grupo adimensional.
Las dimensiones de las magnitudes empleadas normalmente en Mecánica de Fluidos, incluyen sólo una o
más de las siguientes 4 dimensiones: M (masa), L (longitud), T(tiempo) y θ (temperatura):
magnitud dimensiones magnitud dimensiones
Longitud (l) [l] = L Gravedad (g) [g] = L T-2
Superficie (A) [A] = L2
Fuerza (F) [F] = M L T-2
Volumen (V) [V] = L3
Presión (p), tensión (τ) [p], [τ] = M L-1
T-2
Momento de inercia (I) [I] = L4
Energía (E), Entalpía (H) [E] = M L2
T-2
Velocidad (v) [v] = L T-1
Entropía (S) [S] = M L2
T-2
θ-1
Aceleración (a) [a] = L T-2
Calor específico (c) [c] = L2 T-2 -1
Velocidad angular (ω) [ω] = T-1
Conductividad térmica (κ) [κ] = M L T-3
θ-1
Aceleración angular (α) [α] = T-2
Viscosidad absoluta (μ) [μ] = M L-1
T-1
Densidad (ρ) [ρ] = M L-3
Viscosidad dinámica (ν) [ν] = L2
T-1
Caudal volumétrico (Q) [Q] = L3
T-1
Tensión superficial (s) [σ] = M T-2
Caudal másico ( m& ) [ m& ] = M T-1
Compresibilidad (K) [K] = M L-1
T2
3.2. TEOREMA “Π” DE BUCKINGHAM.
El teorema Π de BUCKINGHAM establece que en un problema físico en que se tengan “n” variables que
incluyan “m” dimensiones distintas; las variables se pueden agrupar en “n-m” grupos adimensionales
independientes.
Siendo V1, V2, ..., Vn las variables que intervienen en el problema, se debe tener una función que las
relacione: f(V1, V2, ..., Vn) = 0; si G1,G2,...,Gn-m, representan los grupos adimensionales que representan a las
variables V1, V2, ..., Vn; el teorema de BUCKINGHAM también establece que existe una función de la forma:
g(G1,G2,...,Gn-m) = 0.

_________________________________________________________________________________________________________________
3
El método para determinar, los grupos adimensionales (Gi, i=1,...,n-m); consiste en la selección de “m” de
las “n” variables, con diferentes dimensiones, de manera que contengan entre todas las “m” dimensiones, y
emplearlas como variables repetitivas, formando cada uno de los “n-m” grupos adimensionales a partir de la
siguiente expresión genérica:
nm,...,1iVVG
nj
1nmj
a
jii
ij
−=⋅= ∏
=
+−= (1.)
A los grupos adimensionales , se les suele denominar parámetros adimensionales Pi de BUCKINGHAM, al
ser su expresión un productorio adimensional (símbolo de productorio = Π). Los exponentes “aij” se determinan por la
condición de que cada grupo resulte adimensional; se sustituyen las dimensiones de las variables por ellas
mismas y los exponentes de M,L,T,ϑ,..., se igualan a cero (adimensionalidad del parámetro).
Consideremos como ejemplo, la fuerza de arrastre en flujo externo, de un fluido sobre un determinado
objeto. Se tiene que la fuerza de arrastre (FD) depende de: la viscosidad absoluta del fluido (μ), la densidad del
fluido (ρ), la velocidad relativa entre fluido y objeto (v) y de una longitud característica del objeto (L):
FD = FD(μ,ρ,v,L)
Las cinco variables: FD, μ, ρ,v, y L, aportan 3 dimensiones distintas: M,L y T; con lo que por el teorema
de BUCKINGAM se tendrán 5-3=2 grupos adimensionales. Siguiendo las siguientes reglas:
- Las variables repetitivas (exponentes iníciales distintos de 1) deben aportar todas las dimensiones.
- Las variables no repetitivas (exponentes iguales a 1), son las inherentes al problema1
.
Las variables inherentes son la fuerza de arrastre (FD) y la viscosidad (m), y el resto (longitud, velocidad y
densidad) son las repetitivas. Con lo que se tienen los siguientes grupos adimensionales:
G1 = FD La
vb
ρc
G2 = μ Ld
ve
ρf
Los exponentes de cada grupo se determinan a partir de sus ecuaciones dimensiónales:
[G1] = [FD] [La
] [Vb
] [ρc
] M0
L0
T0
= (MLT-2
)(L)a
(LT-1
)b
(ML-3
)c
= M1+c
L1+a+b-3c
T-2-b
Exponentes de masa (M) : 0 = 1 + c
Exponentes de longitud (L) : 0 = 1+a+b-3c
Exponentes de tiempo (T) : 0 = -2-b
Resultados: a = -2; b = -2; c = -1
Con lo que el grupo adimensional G1 es: G1 = FD L-2
v-2
ρ-1
=
ρ22
D
vL
F
; que da lugar al denominado
coeficiente de arrastre CD; en donde se introduce el factor (1/2) para tener la presión dinámica, y en vez del
término L2
, se tiene una superficie característica2
(A)
Av
F
C 2
2
1
D
D
ρ
=
(2.)
De forma análoga se obtiene el segundo parámetro adimensional: G2=μL-1
v-1
ρ-1
; que da lugar al número
de REYNOLDS Re:
μ
ρ
=
Lv
Re
(3.)
Con lo que se puede pasar de la ecuación dimensional de la fuerza de arraste dependiendo de 4 variables:
FD = FD(μ,ρ,v,L); a la ecuación adimensional del coeficiente de arrastre dependiente dependiendo de una sola
variable adimensional: CD = CD(Re).
1
En el caso del problema del arrastre, lo que se debe determinar en la fuerza de arrastre (primera variable inherente), que
depende fundamentalmente de la viscosidad del fluido (segunda variable inherente).
2
Normalmente, es el máximo área frontal que expone el objeto al flujo; no obstante, en determinados casos, se utilizan
distintas áreas: así en el caso de perfiles aerodinámicos, la superficie característica es la cuerda por la envergadura; y en el
caso de carenas de buques es el área mojada.

_________________________________________________________________________________________________________________
4
1.3. PARÁMETROS ADIMENSIONALES.
Las magnitudes que intervienen en el movimiento de un fluido, se pueden agrupar en tres tipos:
- magnitudes mecánicas del fluido
- magnitudes térmicas del fluido
- magnitudes del flujo
magnitud dimensiones unidades SI
magnitudes
mecánicas del fluido
μ viscosidad absoluta o dinámica M L-1
T-1
kg/ms=Pa.s
ρ densidad (m/V) M L-3
kg/m3
ν viscosidad cinemática (μ/ρ) L2
T-1
m2
/s
σ tensión superficial (F/l) M T-2
kg/s2
K módulo de compresibilidad (ρΔp/Δρ) M L-1
T-2
N/m2
= Pa
p, τ presión, tensión (F/A) M L-1
T-2
N/m2
= Pa
magnitudes térmicas
del fluido
κ conductividad térmica M L T-3
ϑ-1
W/mK
cp calor específico a presión constante ( T/h ∂∂ )p L2
T-2
ϑ-1
J/kg K
cv calor especifico a volumen constante ( T/û ∂∂ )v L2
T-2
ϑ-1
J/kg K
β coeficiente de dilatación térmica (-(dρ/ρ) /dT) ϑ-1
K-1
magnitudes del flujo
v velocidad L T-1
m/s
L longitud característica L m
g aceleración gravitacional L T-2
m/s2
ε rugosidad L m
Los parámetros adimensionales asociados a las magnitudes anteriores, vienen determinados por
relaciones entre los diversos efectos que se pueden considerar:
parámetro definición relación cualitativa de efectos importancia
número de REYNOLDS
vL
Re
ρ
=
μ ascosvistensionesfuerza
inerciadefuerza
siempre
número de MACH
a
v
/K
v
Ma =
ρ
=
lidadcompresibi
inercia
flujo compresible
número de FROUDE
gL
v
Fr =
gravedad
inercia flujo con superficie
libre
número de WEBER
σ
ρ
=
Lv
We
2
erficialsuptensión
inercia flujo con interfase
L-L, L-G
número de EULER 2
2
1
v
p
Eu
ρ
=
inercia
presión
siempre
número de STROUHAL
T
v/L
v
Lf
St == ticocaracterísºt
residenciaºt
velocidad
esoscilacion
∨ Flujos oscilatorio
transitorio
número de PRANDTL
κ
μ
=
pc
Pr
calorconducción
energíadisipación
(prop. fluido)
transmisión de
calor
número de BRINKHAM
T
v
Br
2
κ
μ
=
calorconducción
energíadisipación
(prop. flujo)
transmisión de
calor
número de GRASHOF
2
23
gLT
Gr
μ
ρΔβ
=
idadcosvis
adflotabilid
Convección natural

_________________________________________________________________________________________________________________
5
1.4. NÚMEROS DE REYNOLDS, EULER, MACH Y FROUDE.
De todos los parámetros adimensionales, 4 de ellos son de gran importancia, siendo controlante alguno de ellos
en función de las magnitudes que intervengan en el flujo.
NÚMERO DE REYNOLDS (Re): controla el transporte de cantidad de movimiento, es decir los efectos de la
viscosidad; si el Re es pequeño, se tiene flujo con viscosidad dominante; en el movimiento de las partículas, las
altas interacciones por viscosidad las ordenan en la dirección del flujo, con lo que sus trayectorias no se cruzan,
se tiene régimen laminar. Si el Re es elevado, en principio los efectos viscosos son despreciables frente a los de
inercia, excepto en las zonas del flujo donde se tengan altos gradientes de velocidad; las partículas se mueven
desordenadamente, entrecruzándose continuamente las trayectorias, se tiene régimen turbulento.
NUMERO DE EULER (Eu): controla los efectos de la presión termodinámica con respecto a la presión
dinámica. Por la variedad de flujos, se tienen distintos parámetros derivados del número de Euler:
En el flujo en turbomáquinas hidráulicas (fluido operante líquido) es importante para evaluar los
efectos de la cavitación, el denominado número de cavitación (en donde pvapor es la presión de vapor del líquido
a la temperatura de operación):
2
2
1
vapor
v
pp
Ca
ρ
−
= número de cavitación
En flujo externo, se evalúa la resultante de las fuerzas de superficie sobre un determinado objeto, con
los coeficientes de sustentación y de arrastre, que derivan del número de Euler:
Av
F
C 2
2
1
D
D
ρ
= coeficiente de arrastre (D = “Drag”)
Av
F
C 2
2
1
L
L
ρ
= coeficiente de sustentación (L = “Lift”)
NUMERO DE MACH (Ma): controla la relación entre las fuerzas de inercia por velocidad y las fuerzas elásticas
por compresibilidad; además es la relación entre la velocidad del flujo y la velocidad de pequeñas perturbaciones
en el seno del fluido, que se denomina velocidad del sonido. Las perturbaciones provocan compresiones-
expansiones (variaciones de densidad) en el fluido, y la rapidez de transmitirlas, es decir la velocidad del sonido
(con perturbaciones de poca intensidad), depende de la “facilidad” del fluido a experimentar variaciones de
densidad: así en un fluido de alto módulo de compresibilidad, las perturbaciones se transmiten rápidamente con
lo que la velocidad del sonido es alta3
. Pudiendo tener tres tipos de flujos:
Ma<1 régimen subsónico las perturbaciones se mueven más rápidas que el flujo
Ma=1 régimen sónico las perturbaciones se mueven a igual velocidad que el flujo
Ma>1 régimen supersónico las perturbaciones se mueven más lentas que el flujo
NUMERO DE FROUDE (Fr): controla los efectos del campo central de fuerzas en donde pueda estar el fluido, y
que normalmente es exclusivamente el campo gravitacional. Cuanto mayor ser el Fr menor será la importancia
de la fuerza gravitacional respecto a la de inercia.
En flujo confinado (limitado por una superficie rígida), el orden de magnitud de las fuerzas de inercia
es mayor que el de las fuerzas gravitacionales, con lo que se tiene Fr altos, y por lo tanto son poco importantes
los efectos gravitacionales.
En flujo con superficie libre, se tiene Fr bajos del orden de la unidad; y su valor determina el diverso
comportamiento del flujo ante perturbaciones superficiales. El número de Froude es la relación entre la
velocidad del flujo y la velocidad de las perturbaciones en la superficie libre. Pudiendo tener tres tipos de flujos:
- v < vp y Fr < 1: flujo subcrítico
- v = vp y Fr = 1: flujo crítico
- v > vp y Fr > 1: flujo supercrítico
3
En condiciones de 1 atm y 20ºC, el agua tiene un módulo de compresibilidad de 2185,7 MPa y la velocidad sónica es de
1480 m/s; en las mismas condiciones el aire tiene un módulo de compresibilidad de 0,14 MPa y la velocidad sónica es de
341 m/s.

_________________________________________________________________________________________________________________
6
1.5. TEORÍA DE MODELOS.
En los ensayos experimentales del flujo en un determinado prototipo, a veces no es posible realizar los
ensayos con el propio prototipo, por su tamaño o por la dificultad de reproducir las condiciones reales de flujo,
con lo que se realizan los ensayos con modelos a escala (geométricamente semejantes).
Por ejemplo, en el diseño de las geometrías de perfiles aerodinámicos, se disponen modelos a escala
reducida (o a escala real) en un túnel de viento, en donde se hace incidir un flujo de aire sobre el perfil estático.
En el estudio experimental de hélices marinas, se realizan dos tipos fundamentales de ensayos con hélices
modelo a escala reducida: los de autopropulsión en un canal de agua dulce y los de cavitación en un túnel de
cavitación cerrado con agua caliente y a depresión. En la evaluación del comportamiento de una carena, se
realizan ensayos de arrastre con modelos a escala reducida en agua dulce, tanto en canales de aguas tranquilas
como en piscinas con generadores de olas
La teoría de modelos permite obtener las condiciones de ensayo del modelo, a partir de las condiciones
de flujo del prototipo; y las magnitudes del prototipo, a partir de las medidas experimentales del modelo.
1.5.1. SEMEJANZA: Prototipo, modelo y sus respectivos flujos considerados, están relacionados entre si por
tres tipos de semejanza: geométrica, cinemática y dinámica.
Semejanza geométrica, con un factor de escala de longitudes constante4
entre modelo y prototipo (NL):
NL =
prototipodelicacaracterísLongitud
elomoddelticacaracterísLongitud
( )
prototipodelticacaracterísÁrea
elomoddelticacaracterísÁrea
N 2
L =
( )
prototipodelticocaracterísVolumen
elomoddelticocaracterísVolumen
N 3
L =
Semejanza cinemática del campo de velocidades, con un factor de escala de velocidades entre modelo y
prototipo:
prototipodelticacaracterísVelocidad
elomoddelticacaracterísVelocidad
NV =
La relación entre los dos factores de escala: de longitudes y de velocidades, viene determinada por el factor de
escala de tiempos:
prototipoelenflujodelticocaracterísTiempo
elomodelenflujodelticocaracterísTiempo
N
N
N
V
L
T ==
Semejanza dinámica de los campos de las distintas fuerza que puedan intervenir en el flujo, con un factor de
escala de fuerzas, que debe ser constante, entre modelo y prototipo:
prototipodelticacaracterísFuerza
elomoddelticacaracterísFuerza
NF =
El factor de escala de fuerzas, es el que va a permitir establecer las condiciones del flujo en el ensayo
del modelo a partir de las condiciones del flujo en el prototipo, y obtener “fuerzas, potencias y rendimientos” del
prototipo a partir de sus correspondientes valores experimentales en el modelo.
Los campos de fuerzas que pueden aparecer en la interacción de un fluido y un objeto, pueden ser:
4
En determinados modelos, el factor de escala de longitudes se hace variar de una dirección a otra: por ejemplo en un modelo de una playa,
para estudiar las variaciones batimétricas por acumulación de arena por efecto de determinadas corrientes, se pueden tener un factor de escala
para las longitudes horizontales (NLH=1:1000) y otro para las longitudes verticales (NLV=1:100)

_________________________________________________________________________________________________________________
7
Fuerzas de inercia, determinadas por la variación temporal de la cantidad de movimiento, y cualitativamente
podemos expresarlas por:
2222
3
i vL)T/L(L
T
T/LL
dt
)mv(d
F ρ=ρ=
ρ
==
Fuerzas de rozamiento por viscosidad, determinadas por el campo de tensiones, que a su vez viene
determinado por la viscosidad y el campo de velocidades, y podemos expresarlas cualitativamente por:
vLL
L
v
F 2
μ=μ=μ
Fuerzas gravitatorias, determinadas por la posición en el campo gravitatorio, expresadas por:
3
g gLmgF ρ==
Fuerzas de presión, determinadas por el campo de presiones:
2
p pLF =
Fuerzas de elasticidad, determinadas por la compresibilidad del fluido, o bien por la velocidad de pequeñas
perturbaciones en el seno del fluido:
Fe = KL2
=ρa2
L2
Fuerzas de tensión superficial, determinadas por: Fσ = σL
Para la semejanza dinámica total, el factor de escala de fuerzas debe ser constante, independientemente
del campo de fuerzas considerado:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )prototipo
elomod
prototipop
elomodp
prototipog
elomodg
prototipo
elomod
prototipoi
elomodi
F
¡F
F
¡F
F
¡F
F
¡F
F
¡F
F
N
σ
σ
μ
μ
=====
De la relación anterior se obtienen los siguientes resultados:
(1) relación entre fuerzas de inercia y fuerzas viscosas
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
pm
prototipo
prototipoprototipo
22
prototipo
prototipoi
elomod
elomodelomod
22
elomod
elomodi
prototipo
prototipoi
elomod
elomodi
ReRe
Re
vL
vL
vL
F
F
Re
vL
vL
vL
F
F
F
F
F
F
=⇒
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
μ
ρ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
μ
ρ
=
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
μ
ρ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
μ
ρ
=
⇒=
μ
μ
μμ
Es decir, para la semejanza de los campos de fuerzas de inercia y de esfuerzos viscosos, entre modelo y
prototipo, el número de REYNOLDS del modelo debe ser el mismo que el del prototipo.
(2) relación entre fuerzas de inercia y fuerzas gravitatorias
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
pm
proto
proto
2
proto
3
22
protog
protoi
elomod
elomod
2
elomod
3
22
elomodg
elomodi
prototipog
prototipoi
elomod
elomodi
FrFr
Fr
gL
v
gL
vL
F
F
Fr
gL
v
gL
vL
F
F
F
F
Fg
F
=⇒
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ρ
ρ
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ρ
ρ
=
⇒=
Es decir, para la semejanza de los campos de fuerzas de inercia y fuerzas gravitatorias, entre modelo y prototipo,
el número de FROUDE del modelo debe ser el mismo que el del prototipo.

_________________________________________________________________________________________________________________
8
(3) relación entre fuerzas de inercia y fuerzas elásticas.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
pm
2
proto2
2
proto
2
proto
2
22
protoe
protoi
2
elomod2
2
elomod
2
elomod
2
22
elomode
elomodi
prototipoe
prototipoi
elomode
elomodi
MaMa
Ma
a
v
/K
v
KL
vL
F
F
Ma
a
v
/K
v
KL
vL
F
F
F
F
F
F
=⇒
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ρ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ρ
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ρ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ρ
=
⇒=
Es decir, para la semejanza de los campos de fuerzas de inercia y de compresibilidad, entre modelo y prototipo,
el número de MACH del modelo debe ser el mismo que el del prototipo.
(4) relación entre fuerzas de inercia y fuerzas de tensión superficial:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
pm
proto
proto
2
proto
22
proto
protoi
elomod
elomod
2
elomod
22
elomod
elomodi
prototipo
prototipoi
elomod
elomodi
WeWe
We
Lv
L
vL
F
F
We
Lv
L
vL
F
F
F
F
F
F
=⇒
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
ρ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
ρ
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
ρ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
ρ
=
⇒
σ
=
σ
σ
σ
Es decir, para la semejanza de los campos de fuerzas de inercia y de fuerzas de tensión superficial, entre modelo
y prototipo, el número de WEBER del modelo debe ser el mismo que el del prototipo.
(5) relación entre fuerzas de inercia y fuerzas de presión
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
pm
p
p
2
2
1
p
2
p
2
22
protop
protoi
m
m
2
2
1
m
2
m
2
22
elomodp
elomodi
prototipop
prototipoi
elomodp
elomodi
EuEu
Eu/2
v/p
2
p
v
pL
vL
F
F
Eu/2
v/p
2
p
v
pL
vL
F
F
F
F
F
F
=⇒
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
ρ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ρ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ρ
=
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
ρ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ρ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ρ
=
⇒=
Es decir, para la semejanza de los campos de fuerzas de inercia y de fuerzas de presión, entre modelo y
prototipo, el número de EULER del modelo debe ser el mismo que el del prototipo.
Para la semejanza dinámica total entre modelo y prototipo, el factor de escala de fuerzas debe ser constante, y
con ello se tiene las siguientes igualdades entre los parámetros adimensionales de modelo y prototipo:
Rem=Rep Frm=Frp Mam=Map Wem=Wep Eum=Eup ...
El cumplimiento simultaneo de todas las igualdades anteriores, lleva al absurdo de que el factor de escala de
longitudes sea 1, es decir que el modelo es el propio prototipo; lo que quiere decir que es imposible ensayar un
modelo a escala, y que se conserve la semejanza en todos los campos de fuerza entre modelo y prototipo; no
obstante, en los ensayos con modelos lo que se hace es considerar cual es el parámetro adimensional controlante,
es decir el campo de fuerzas más importante (a parte del inercial).
Por ejemplo, el ensayo de arrastre de un modelo de carena en un canal de experiencias hidrodinámicas, se realiza
de tal forma que el número de FROUDE del modelo sea el del prototipo, pues en el movimiento de un buque, las
fuerzas gravitacionales del campo de olas generado predominan sobre los esfuerzos viscosos sobre la propia
carena. Así si la velocidad del buque es de 15 nudos, y el modelo se construye a escala 1:100, la velocidad con la
que se debe mover el modelo en el canal es5
de 15 100/1 =1,5 nudos = 0,772 m/s
5
Frm=Frp pmpm L/Lvv =⇒

_________________________________________________________________________________________________________________
9
1.5.2. NUMEROS ADIMENSIONALES CONTROLANTES EN SEMEJANZA: A continuación se establecen
una pautas cualitativas en el análisis dimensional de diversos flujos, para establecer que números adimensionales
tienen mayor importancia y cuales se pueden no considerar (sus efectos).
(1) En flujo incompresible, estacionario y sin superficie libre, el número adimensional controlante es el Re. Es
decir se podrá considerar semejanza si el número de Reynolds del modelo es el mismo que el del prototipo.
(2) En flujo incompresible, estacionario y con superficie libre, los números controlantes son el Re y el Fr.
Pero normalmente no es posible mantener los dos números simultáneamente6
iguales; con lo que en este caso se
considera controlante el número de Froude.
(3) En flujo compresible, estacionario y sin superficie libre, los números controlantes son el Re y el Ma; por
no poder mantener simultáneamente las igualdades, se considera el más controlante el número de Mach.
(4) En general si el Re es muy grande, se puede no considerar sus efectos, siendo controlantes el Ma o el Fr. No
obstante el Re marca en qué tipo de flujo se está, pero si el flujo es turbulento completamente desarrollado, la
influencia del Re es prácticamente constante.
(5) Si el flujo es no estacionario se debe considerar además el número de Strouhal. Es importante destacar que
se pueden tener dos tipos de procesos no estacionarios:
- flujo no estacionario con condiciones de contorno estacionarias.
- flujo no estacionario con condiciones de contorno no estacionarias.
El primer caso de condición de contorno estacionaria, se tiene en la formación de la estela de torbellinos
de Von Karman, en el flujo externo de la interacción de un flujo con un objeto. Aguas arriba del objeto, el flujo
puede ser bastante uniforme, pero aguas abajo se origina una estela que integra una serie de vórtices
contrarrotantes, que van creciendo en el sentido del flujo, hasta alcanzar un tamaño crítico, y son arrastrados por
la propia corriente: el crecimiento y desprendimiento de vórtices es alternativo y no estacionario. La frecuencia
de desprendimiento de vórtices es función de Re, y viene determinada por el número de Strouhal:
c
rr
ticocaracterís
residencia
f/1
U/L
t
t
St == = f(Re)
El segundo caso de condición de contorno no estacionaria, se tiene cuando algunos de los contornos
geométricos con los que interacciona el flujo, tiene posiciones no estacionarias (dependen del tiempo).
Un ejemplo clásico es la destrucción del puente de TACOMA por la interacción del viento. En
condiciones normales, la estructura esta estacionario (no se mueve), pero para determinadas condiciones del
viento, la frecuencia de los torbellinos coincidió con una frecuencia natural de la estructura, que empezó a vibrar
(contorno no estacionario), generando nuevas frecuencias y amplitudes de los torbellinos de Von Karman, que
resonaron con las frecuencias naturales de la estructura, dando lugar a un proceso de auto excitación, que llevo a
la destrucción del puente.
6
Simultáneamente quiere decir que Frm=Frp y Rem=Rep, lo que puede traer problemas experimentales. Si el modelo se
ensaya en el mismo fluido que el prototipo, la igualdad de los números de Reynolds, lleva a que la velocidad del ensayo sea:
vm=vp(Lp/Lm); y la igualdad de los números de Froude, lleva a que la velocidad del ensayo sea: Lp/Lmvpvm = ; es decir
dos velocidades distintas. Por ejemplo en el ensayo de una carena de un buque, si la escala del modelo es de 1:100, si se
considerase la igualdad de números de Reynolds, el modelo debería moverse a 100 veces la velocidad del prototipo, y se
considerase la igualdad de números de Froude, el modelo debería moverse a 0,1 veces la velocidad del prototipo.

II.1. An
______
Apunte
1.1.
al ava
geom
superf
fluido
DETE
DATO
RESO
Las va
Es de
adime
(1) PA
π1 = F
π2 = μ
π3 = ε
Obten
parám
1 =π
nálisis Dimension
_______________
es de Mecánica de
Aplicación d
ance de una e
etría y del
ficial, y los p
o. A partir de e
ERMINE: 1
2
li
OS:
OLUCIÓN:
ariables que in
ecir hay 6 var
ensionales π1,
f(FD,D,
ARAMETRO
FD ρa
Ub
Dc
μ ρd
Ue
Df
ε ρg
Uh
Di
niéndose los
metros adimen
22
D
DU
F
ρ
nal
______________
e Fluidos
del teorema de
esfera en mov
flujo. La geo
arámetros del
estas consider
. Parámetros a
. A partir del
sa de 45 mm
Esfera: lisa, d
Aire: densida
Coeficiente d
ntervienen son
riables y 3 d
π2 y π3 de tal
,ε,U,ρ,μ) = 0
S ADIMENSI
M0
L0
T
M0
L0
T
M0
L0
T
siguientes va
nsionales son:
2 =π
CD
______________
e Buckingham
imiento unifo
ometría viene
l flujo más im
raciones:
adimensionale
dato de la grá
de diámetro, c
diámetro = 45
ad = 1,204 kg/
de arrastre par
n: Fu
D
R
V
D
V
dimensiones, c
l forma que:
⇒
IONALES: P
T0
=(MLT-2
) (M
T0
=(ML-1
T-1
)
T0
=(L) (ML-3
)
alores: a=-1;
UDρ
μ
_______________
m: Fuerza de
orme en un de
e determinada
mportantes son
es que intervie
áfica CD=CD(R
cuando se mu
mm
/m3
; viscosida
ra esferas lisas
uerza de arras
Diámetro de la
Rugosidad de la
Velocidad de la
Densidad del fl
Viscosidad del
con lo que po
∃ φ(π
Por el método
ML-3
)a
(LT-1
)b
(ML-3
)d
(LT-1
)
)g
(LT-1
)h
(L)i
b=-2; c=-2;
3 =π
______________
arrastre de un
eterminado flu
a por el diám
n: velocidad d
enen en el fluj
Re), los valore
eve en aire a v
ad = 18,1 10-6
s:
stre: FD
esfera: D
a esfera: ε
a esfera: U
luido: ρ
fluido: μ
or el Teorem
π1,π2,π3) =0
de Buckingha
(L)c
0=
)e
(L)f
0=
0=
d=-1, e=-1;
D
ε
_______________
na esfera: En
uido, la fuerza
metro de la e
de la esfera, y
jo. Identifíque
es de la fuerza
velocidades d
6
kg/ms
[FD] =M
[D] = L
[ε] = L
[U] = L
[ρ] = M
[μ] = M
ma de Bucking
am:
=1+a; 0=1-3a
=1+d; 0=-1-3d
=g; 0=1-3g+h
f=-1; g=0;
______________
n el estudio de
a de arrastre d
esfera y por
y densidad y v
elos.
a de arrastre pa
e 0,001, 1, 10
MLT-2
L
L
LT-1
ML-3
ML-1
T-1
gham, hay tre
a+b+c; 0=-2-b
d+e+f; 0=-1-e
h+i; 0=-h
h=0; i=-1; co
______________
JMC 08
10
la resistencia
depende de la
la rugosidad
viscosidad del
ara una esfera
y 100 m/s.
es parámetros
e
on lo que los
0
a
a
d
l
a
s
s

_________________________________________________________________________________________________________________
11
El parámetro adimensional π1; puede rescribirse como:
8
4
D
U
F
2
2
2
1
D π
⋅
π
ρ
; obteniendo el número adimensional,
que determina la fuerza de arrastre en cualquier geometría: el coeficiente de arrastre: CD:
AU
F
C
2
2
1
D
D
ρ
= en donde A es el área de la mayor sección perpendicular al flujo7
.
La inversa del parámetro adimensional π2, es también adimensional, y es el número de Reynolds:
ν
=
ρμ
=
μ
ρ
=
DU
/
DUDU
Re en donde μ es la viscosidad absoluta o dinámica (kg/ms)
y ν es la viscosidad cinemática (m2
/s)
El parámetro adimensional π3, es la rugosidad relativa:
D
r
ε
=ε
Con todo, se obtiene, que existe una función que relaciona los tres números adimensionales: f(CD, Re, εr) =0; es
decir que el coeficiente de arrastre, depende del número de Reynolds, y de la rugosidad relativa8
:
CD=CD(Re, εr)
(2) FUERZA DE ARRASTRE: En el caso de esferas lisas, se tiene que el coeficiente de arrastre solo depende
del Reynolds: CD=CD(Re), que es gráfica que se suministra en los datos. A Re muy bajos (Re<1), se puede
obtener analíticamente9
que CD=24/Re.
Con los datos numéricos: D=45mm; ν=(18,1 10-6
kg/ms) / (1,204 kg/m3
) = 15,033 10-6
m2
/s; la fuerza de
arrastre de la esfera lisa de 45 mm de diámetro, para distintas velocidades es: AUCF 2
2
1
DD ρ=
U=0,001m/s 993,2
10033,15
045,0001,0
Re
6
=
⋅
⋅
=
−
; CD=10 N1057,9
4
045,0
001,0204,110F 9
2
2
2
1
D
−
⋅=
π
⋅⋅=
U=1 m/s 2993
10033,15
045,01
Re
6
=
⋅
⋅
=
−
; CD=0,4 N10383,0
4
045,0
1204,14,0F 3
2
2
2
1
D
−
⋅=
π
⋅⋅=
U=10m/s 29934
10033,15
045,010
Re
6
=
⋅
⋅
=
−
; CD=0,4 N103,38
4
045,0
10204,14,0F 3
2
2
2
1
D
−
⋅=
π
⋅⋅=
U=100m/s 299341
10033,15
045,0100
Re
6
=
⋅
⋅
=
−
; CD=0,1 N957,0
4
045,0
100204,11,0F
2
2
2
1
D =
π
⋅⋅=
7
En el caso del flujo sobre un perfil aerodinámico, el área es el producto de la cuerda por la envergadura. En el caso de
flujo sobre una carena de un barco, el área es la superficie mojada de la carena.
8
En el problema no hemos considerado los efectos de la compresibilidad, si el flujo se desarrolla a Ma>0,3; el coeficiente
de arrastre, también depende del número de Mach.
9
Es la ecuación de STOKES, que se obtiene resolviendo, en coordenadas esféricas, las ecuaciones de continuidad y de
Navier-Stokes, en donde la velocidad tangencial es nula, no asi la radial y la meridional. La ecuación coincide con los
resultados experimentales a Re<0,1; a Re =1, se obtiene un error del 10% (CD=26,4)

_________________________________________________________________________________________________________________
12
1.2. Fuerza de arrastre: números de Reynolds y de Euler. La fuerza de arrastre sobre un dirigible debe
determinarse mediante ensayos con un modelo a escala reducida. Los ensayos se realizan en un túnel de agua, en
donde el modelo de dirigible se fija a un soporte instrumentado con un sensor de fuerza; la velocidad del flujo a
agua que incide sobre el modelo, se controla con una bomba de velocidad variable que es la que origina el flujo
hacia el modelo.
DETERMINE: 1. Cualitativamente los números adimensionales controlantes.
2. Justifique porque se tiene que ensayar el modelo en un túnel de agua.
3. Velocidad a la que se debe ensayar el dirigible modelo en el túnel de agua.
4. Potencia de arrastre del dirigible prototipo.
DATOS: Dirigible: Lp=20m; Up=36 km/h;
aire a 25ºC y 1 bar: viscosidad = 15,58 10-6
m2
/s; densidad = 1,2 kg/m3
Modelo: Lm=1m; agua, viscosidad = 10-6
m2
/s; densidad = 1000 kg/m3
Fuerza de arrastre a la velocidad de ensayo = 1649 N
RESOLUCIÓN:
(1) PARÁMETROS ADIMENSIONALES CONTROLANTES.
Los números adimensionales más importantes en un proceso de flujo son: Re, Eu, Ma y Fr. Debido a la baja
velocidad del submarino con respecto a la velocidad del sonido, los efectos de compresibilidad no son
importantes, y en número de MACH no es controlante; por no haber superficies libre, el número de Froude
tampoco es controlante; con lo que los números adimensionales que se tienen en cuenta para la similitud
dinámica son exclusivamente el número de REYNOLDS y el número de EULER.
Se puede llegar analíticamente a esta conclusión, partiendo de que la fuerza de arrastre depende de las siguientes
variables: FD=f(U,L,ρ,μ), y aplicando el teorema de BUCKINGHAM, se obtienen dos parámetros adimensionales,
que están relacionados, respectivamente, con los números de REYNOLDS y de EULER.
(2) ENSAYO EN UN TUNEL DE AGUA.
Para la semejanza dinámica entre modelo y prototipo, sus números de Reynolds deben ser iguales:
p
pp
p
m
mm
m
LU
Re
LU
Re
υ
==
υ
= en un dirigible la longitud característica en su ESLORA.
Con lo que la velocidad a la que se debe mover el modelo es:
p
m
m
p
pm
L
L
UU
υ
υ
=
Numéricamente, con los datos: Up = 36(1000/3600)= 10 m/s
Lp = 20 m; Lm = 1 m
νp = 10-6
m2
/s; νmagua = 15,58 10-6
m2
/s
Si el ensayo se realiza en un túnel de viento, la velocidad del aire en el túnel debería ser de:
s/m200
1058,15
1058,15
1
20
10
L
L
UU
6
6
p
m
m
p
pm =
⋅
⋅
=
υ
υ
=
−
−
Esta velocidad tiene dos problemas: uno el experimental, porque se tiene que trabajar con grandes velocidades de
flujo de aire y sobre todo porque se tiene números de Mach relativamente altos (Ma>0,3), y se deberían
considerar los efectos de la compresibilidad. Para evitar estos dos problemas, se ensaya en un túnel de agua,
debido a la que la viscosidad cinemática del agua es unas 15 veces menor que la del aire, y con ello la
velocidad de ensayo en agua baja en la misma proporción.

_________________________________________________________________________________________________________________
13
(3) VELOCIDAD DEL FLUJO QUE INCIDE SOBRE EL MODELO:
La velocidad del flujo uniforme que se hace incidir sobre el modelo, viene determinada por la igualdad de
números de Reynolds entre modelo y prototipo:
s/m84,12
1058,15
10
1
20
10
L
L
UU
6
6
p
m
m
p
pm =
⋅
=
υ
υ
=
−
−
(4) POTENCIA DE ARRASTRE:
La potencia de arrastre, viene determinada por: PD = FD U.
El ensayo suministra el valor de la fuerza de arrastre sobre el modelo. La fuerza de arrastre sobre el prototipo se
determina por análisis dimensional, que establece que para la semejanza dinámica los números de EULER, deber
ser iguales:
2
2
1
2
U
L/F
Eu
ρ
= ;
2
p
2
pp2
1
Dp
p2
m
2
mm2
1
Dm
m
LU
F
Eu
LU
F
Eu
ρ
==
ρ
=
2
m
p
2
m
p
m
p
DmDp
L
L
U
U
FF
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ρ
ρ
=⇒
Numéricamente con los datos: FDm=1649 N; ρp = 1,2 kg/m3
ρm = 1000 kg/m3
Up = 10 m/s Um = 12,84 m/s
Lp = 20 m Lm = 1 m
N1,480
1
20
84,12
10
1000
2,1
N1649
L
L
U
U
FF
222
m
p
2
m
p
m
p
DmDp =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ρ
ρ
=
Con lo que la potencia de arrastre, estimada para el prototipo del dirigible es:
PDp= FDp Up = (480,1 N)(10m/s) = 4,8 kW
La potencia de arrastre involucrada en el modelo a escala reducida es:
PDm=FDmUm=(1649N)(12,84m/s) =21,17kW
No debe extrañar, que tanto la fuerza de arrastre, como la potencia de arrastre, sean mayores en el modelo a
escala reducida, que en el prototipo, debido a que el modelo se ensaya en agua y el prototipo se mueve en aire.

_________________________________________________________________________________________________________________
14
1.3. Fuerza de sustentación y arrastre en aviones. En el vuelo de un avión, la fuerza de sustentación sobre las
alas debe equilibrar el peso de la aeronave (equilibrio vertical), y la fuerza de empuje del chorro de gases debe
equilibrar la fuerza de arrastre del aire sobre el avión (equilibrio horizontal). La velocidad de despegue de un
avión, suele ser un 20% superior a la velocidad de entrada en perdida (velocidad mínima para que la sustentación
pueda equilibrar su peso, operando a coeficiente de sustentación máximo).
DETERMINE: 1. La velocidad de entrada en perdida a nivel de mar.
2. La distancia de despegue.
3. El empuje mínimo para poder despegar del aeropuerto de Asturias.
DATOS: Avión: Empuje máximo motores Pratt&Whitney JT8SD-217A/C: 178 kN
Peso máximo aeronave: 72600 kg;
Alas: área de sustentación: A = 182 m2; factor alargamiento: = 8
Coef. aerodinámicos: arrastre bidimensional: CD∞ = 0,02; sustentación máxima: CLmax=1,8
Aire atmosférico: ρ0 = 1,2 kg/m3
Aeropuerto de Asturias: longitud de la pista: 2200 m
Coeficiente de arrastre en función del factor de alargamiento:
Λπ
+= ∞
2
L
DD
C
CC
RESOLUCIÓN:
1). La velocidad de entrada en perdida a nivel de mar: (VS); es la velocidad mínima, para la que la
sustentación equilibra el peso, en la condiciones de sustentación máxima:
( ) p
2
SmáximaLL AV
2
1
CPesoF ρ== ⇒
( )
( ) ==
ρ
=
182·23,1·8,1
8,9·72600·2
AC
Peso·2
V
pmáximaL
S 59,43 m/s = 213,93 km/h
2) Carrera de despegue: La velocidad de despegue debe ser mayor que la de entrada en perdida; en este caso un
20% mayor: Vdespegue = 1,2·VS = 1,2·59,34 = 71,31 m/s = 256,72 km/h.
El balance de fuerzas es: Fuerza Empuje chorro – Fuerza Arrastre aerodinámico = M·dV/dt
dt
dV
·MAVCT p
2
2
1
Dmax =ρ−
En la ecuación diferencial, se puede sustituir el elemento de tiempo: dt = dx/V; con lo que se tiene una ecuación
diferencial, entre la velocidad (V) y el espacio recorrido (x):
( ) V/dx
dV
·MVACT 2
p2
1
Dmax =ρ− ; con p2
1
D ACK ρ= ; queda: 2
KVT
VdV
Mdx
−
= 2
KVT
T
ln
K2
M
x
−
=
La constante K se determina a partir del coeficiente de sustentación, en equilibrio vertical: peso = sustentación:
==
ρ
=
182·31,71·23,1
8,9·72600
AV
Peso
C 2
2
1
p
2
despegue2
1Ldespegue 1,25
Con lo que el coeficiente de arrastre correspondiente es: =
π
+=
Λπ
+= ∞
8·
25,1
02,0
C
CC
22
L
DD 0,082
La constante K será: ==ρ= 182·23,1082,0ACK 2
1
p2
1
D 9,197 kg/m
Con todo la distancia de despegue, será: =
−
=
−
= 22
31,71·197,9178000
178000
ln
197,9·2
72600
KVT
T
ln
K2
M
x 1203,09 m
3) El empuje mínimo para poder despegar del aeropuerto de Asturias. A partir de la Ec. 7.2, con la
condición de que la distancia de despegue debe ser menor que la longitud de la pista de despegue, L = 2200 m
2
KVT
T
ln
K2
M
L
−
= ⇒
e
M/KL2
2
1
KV
T −
−
=
=
−
=
−
= −−
ee
72600/2200·197,9·2
2
M/KL2
2
1
31,71·197,9
1
KV
T 109,45 kN

_________________________________________________________________________________________________________________
15
1.4. Cavitación: número de Euler (número de cavitación) En el flujo de líquidos, si por aumento de
velocidad, la presión baja hasta valores próximos a la presión de vapor (a la temperatura del flujo), el líquido
cambia de fase, se generan burbujas de vapor, que son arrastradas por la corriente hacia zonas de alta presión, en
donde las implosiones generan pulsos de alta frecuencia y alta presión. A este fenómeno se denomina cavitación.
Consideremos el flujo entorno a un arpón de pesca submarina: conforme el disparo se realiza a menos
profundidad, la velocidad para condiciones de cavitación es menor. Se realizan un ensayo en donde se determina
que a una profundidad de 2 m, si la velocidad es menor de 44 m/s no hay cavitación.
DETERMINE: 1. Número de cavitación mínimo para no cavitación.
2. Velocidad máxima para no cavitación a una profundidad de10 m.
3. A que profundidad deja de cavitar, si el arpón se dispara verticalmente hacía abajo, desde un
profundidad de 2 m a la velocidad del apartado anterior
DATOS: agua de mar: densidad=1025 kg/m3
; presión de vapor = 23 mbar
Arpón: a 2 m de profundidad la velocidad de no cavitación es 44 m/s
CD=0,4 (suponerlo constante)
Peso = 0,250 kg; densidad = 2300 kg/m3
; Área recta máxima =2 cm2
Presión atmosférica: 990 mbar
RESOLUCIÓN:
Se define como número de cavitación, al número de Euler, derivado de considerar la diferencia, entre la presión
de vapor y la presión no perturbada por la interacción del objeto que se mueve en el seno del líquido. En nuestro
caso:
2
2
1
vaporatm
2
2
1
vapor
U
pghp
U
pp
Ca
ρ
−ρ+
=
ρ
−
=
∞
en donde “h” es la profundidad
(1) NÚMERO DE CAVITACIÓN MÍNIMO:
Con el resultado experimental, de que a 2 m de profundidad la cavitación se inicia a velocidades mayores de 12
m/s; el número de cavitación mínimo para no cavitación es:
atm vapor*
2 21 1
2 2
p gh p 99000 1025 9,8 2 2300
Ca 0,118
U 1025 44
+ ρ − + ⋅ ⋅ −
= = =
ρ ⋅
y se denomina número de cavitación crítico
(2) VELOCIDAD MÁXIMA PARA NO CAVITACIÓN A UNA PROFUNDIDAD DE 10 m:
la condición de no cavitación es que el número de cavitación sea mayor que el crítico:
*
2
2
1
vaporatm
Ca
U
pghp
Ca >
ρ
−ρ+
=
*
2
1
vaporatm
Ca
pghp
U
⋅ρ
−ρ+
<⇒
a 10 metros de profundidad, la velocidad debe ser:
atm vapor
* 11
22
p gh p 99000 1025 9,8 10 2300
U 57,1 m /s
1025 0,118Ca
+ ρ − + ⋅ ⋅ −
< = =
⋅ρ ⋅

_________________________________________________________________________________________________________________
16
(3) PROFUNDIDAD A LA QUE DEJA DE CAVITAR, CON UN DISPARO VERTICAL DESCENDENTE,
EN LAS CONDICIONES: h 0= 2m; U0 = 57,1 m/s.
La ecuación de equilibrio de fuerzas sobre el arpón es: D
dv
P F E m
dt
− − =
En donde: “P” es el peso: P=mg
“FD” es la fuerza de arrastre AvCF 2
2
1
DD ρ=
“E” es el empuje de flotación E = ρgV
“m” es la masa del arpón
“dv/dt” es su aceleración
con todo se tiene la ecuación diferencial: 21
D 2mg C v A gV mdv / dt− ρ − ρ = ; como lo que interesa obtener en
la ecuación h=h(v); en la ecuación se puede expresar el elemento de tiempo, en función de la velocidad y de la
variación de profundidad: dt=dh/v; con todo se tiene la ecuación diferencial:
2
vdv
dh
B C v
=
− ⋅
en donde las constantes son: agua arpónB g(1 / )= − ρ ρ ; 1
D2
C C A / m= ρ
cuya integración da la ecuación h=h(v):
2
0
0 2
B C v1
h h ln
2C B C v
⎛ ⎞− ⋅
= + ⎜ ⎟
− ⋅⎝ ⎠
obteniéndose también la función v=v(h)
02C(h h )
2
0B (B C v )
v
C
e
− −
− − ⋅ ⋅
=
Numericamente: ( )agua arpón
1025
B g 1 / 9,8 1 5,433
2300
⎛ ⎞
= − ρ ρ = − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
m/s2
41
D 2 0,4 1025 2·10C A
C 0,164
m 0,250
−
⋅ ⋅ρ
= = = m-1
2 2
0B C v 5,433 0,164 57,1 529,275− ⋅ = − ⋅ = − m/s2
Con lo que la velocidad en función de la profundidad es:
2·0,164(h 2)
0,328(h 2)5,433 529,275
v 33,128 3227,287·
0,164
e e
− −
− −+ ⋅
= = +
el número de cavitación en función de la profundidad es: 22
2
1 v
h6,19683,188
v1025
2300h8,9102599000
Ca
⋅+
=
⋅
−⋅⋅+
=
Con las dos últimas ecuaciones se construye la tabla : h – v –Ca:
profundidad velocidad Nº cavitación
m m/s -
2,00 57,10 0,070
2,50 52,65 0,086
3,00 48,56 0,105
3,10 47,78 0,109
3,20 47,01 0,114
3,30 46,26 0,118
3,50 44,79 0,128
La zona de cavitación esta en los puntos de número de cavitación menor de 0,118 (Ca<Ca*
); es decir, el arpón
sale en cavitación (Ca=0.070) y al alcanzar la profundidad de 3,3 m deja de cavitar.

II.1. An
______
Apunte
1.5.
realiz
utiliza
la amp
DETE
DATO
RESO
(1) P
estaci
númer
En do
caract
El otr
obtien
TK =
T es
caract
(2) A
se obt
TdeK
Evide
El fac
=FN
Con la
s
d
L
L
=
Como
Ls = L
(3) FR
sSt =
La fre
segun
nálisis Dimension
_______________
es de Mecánica de
Frecuencias
ar un prototip
an los peces, s
plitud del cole
ERMINE: 1
2
di
3
OS:
OLUCIÓN:
PARAMETRO
ionarios, el p
ro de STROUH
onde “f” es u
terística, U un
ro parámetro c
ne por el teore
22
2
1
LU
T
ρ
= :
la fuerza de
terística, que e
AMPLITUD D
tiene el factor
2
d2
1
d
elfin
LU
T
ρ
=
entemente las
ctor de escala
(===
Ds
Dd
s
d
F
F
T
T
as ecuaciones
s
d
d
s
T
T
U
U
==
o la amplitud d
Ld/0,816 = 1/0
RECUENCIA
d
s
ss
St
U
Lf
==
ecuencia del m
ndos o bien 1/
nal
______________
e Fluidos
s característic
po, a partir de
se le denomina
eteo, de la vel
. Parámetros c
. Amplitud co
inámicamente
. Frecuencia d
Delfín:
Submarinista
Hidrodinámic
OS CONTRO
parámetro con
HAL:
U
f
St
⋅
=
una frecuencia
na velocidad c
controlante, v
ema de Buckin
empuje sumi
en este caso e
DE LAS OSC
de escala de l
Tsubma2
d
K
L
=
densidades so
de fuerzas Td/
(
( ⋅ρ⋅
⋅ρ⋅
2
2
1
D
2
2
1
D
UC
AUC
s [1] y [2], se o
Ds
Dd
d
s
U
U
C
C
U
U
de los coleteo
0,1816 = 1,225
A DE LOS AL
d
dd
U
Lf
⇒
movimiento de
/0,245 = 4 seg
______________
cas: número
e los datos ob
a propulsión p
locidad de ava
controlantes d
on la que debe
e semejante al
de aleteo del s
velocidad =
a: velocidad =
ca: CDsub = 3 C
OLANTES: E
ntrolante, es e
UT
L
U
L
=
⋅
=
⋅
a característic
característica y
viene determin
ngham, se den
nistrada por
s la amplitud
ILACIONES
longitudes:
2
1staarini
U
T
ρ
=
on iguales, por
/Ts, se obtiene
)
) ⎜⎜
⎝
⎛
=
D
D
sub
delfin
C
C
A
A
obtiene el fact
s
d
s
d
A
A
U
U
=
s del delfín es
5 m
ETEOS DEL
L
L
ff
s
d
ds =
e las aletas de
gundos /aleteo
_______________
de Strouhal.
btenidos de la
por estela de r
ance y de la de
de la propulsió
en moverse las
l coleteo del d
submarinista.
= 5 m/s; cole
= 1 m/s
CDdelfín; Asub =
En procesos
el factor de
T
U/L
ca, “T” su per
y L/U el tiemp
nado por la fu
nomina coefic
el sistema de
de los coleteo
: De la iguald
2
s
2
s
s
LU
T
rque tanto el d
e a partir de la
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
2
s
d
Ds
d
A
A
U
U
tor de escala d
s
d
Ds
Dd
A
A
C
C
;
s de 1m, la am
SUBMARIN
22,1
1
5,1
U
U
d
s
=
el submarinist
o, que es el per
______________
En el diseño
a propulsión d
remolinos, en
ensidad del ag
ón por estela d
s aletas del sub
delfín.
teo: amplitud
= 0,5 Adelfín
oscilatorios
escala de tie
riodo, L una
po de residenc
unción T=T(L
iente de empu
e propulsión (
os-aleteos.
dad de coefici
s
d
L
L
=
delfín como el
as fuerzas de a
⎟⎟
⎠
⎞
s
d
de longitudes:
mplitud de los
NISTA:Por la i
H245,0
5
1
25
=
ta debe ser de
riodo del mov
_______________
o de aletas de
de un delfín.
donde el emp
gua. A partir d
de remolinos.
bmarinista, pa
= 1m; frecuen
y/o no
empos, o
longitud
cia.
,U,ρ); se
uje KT, y deriv
(del inglés “th
ientes de emp
s
d
d
s
T
T
U
U
l submarinista
arrastre que se
C
C
L
L
s
d
=
aleteos del sub
igualdad de nú
Hz
0,245 Hz, es
vimiento de la
______________
e submarinism
Al tipo de pr
puje conseguid
de los datos:
ara tener un flu
ncia = 1,5 Hz
va del número
hrust”). L es
uje de modelo
a se mueven en
e oponen al mo
3
1
A
A
s
d
Ds
Dd
=
bmarinista, se
úmeros de Str
decir un alete
s aletas.
______________
JMC 08
17
mo, se intenta
ropulsión que
do depende de
ujo
o de EULER:
una longitud
o y prototipo,
[1]
n el mar.
ovimiento:
[2]
816,0
5,0
1
3
=
erá de:
rouhal:
eo cada 0,245
7
a
e
e
d
,
5

II.1. An
______
Apunte
1.6.
funda
fluido
(altura
entre
de ma
dimen
DETE
DATO
RESO
(1) PA
En el
Consi
parám
1 =π
2 =π
2 =π
3 =π
4 =π
nálisis Dimension
_______________
es de Mecánica de
Reglas d
amentalmente
o (viscosidad
a o carga en u
la potencia en
asa) que se tra
nsional en bom
ERMINE: 1
2
3
4
OS:
c
Ns =
OLUCIÓN:
ARÁMETRO
flujo de bomb
ideraremos co
metros adimen
ba
D)gH( ωρ
cba
DP ωρ
53
D
P
ρω
cba
DQ ωρ
cba
Dωρμ
nal
______________
e Fluidos
de semejan
del caudal, d
y densidad).
unidades de lo
ntregada al líq
ansfiere al líqu
mbas: A partir
. Parámetros a
. Parámetro ad
. Reglas de se
. Punto de fun
Bomba: D =
centrífuga o ra
= 0,2
S ADIMENSI
bas, la variabl
omo variables
nsionales que s
c
D 00
LM
00
LM
00
LM
00
LM
Clasif
______________
nza en bom
de la velocida
Los parámetr
ongitud: H =
quido y la con
uido es el térm
r de la informa
adimensionale
dimensional in
emejanza entre
ncionamiento
127 mm; Q =
adial
0,4 0
IONALES:
les son: En
C
Po
D
V
D
V
independiente
se tienen (7 va
2200
TL(T −
=
200
TML(T =
300
ML(T −
=
100
TML(T −
=
ficación de bom
_______________
mbas y ve
d de giro y d
ros de funcion
Δp/ρg), la po
nsumida: η=(Q
mino “gH”, y e
ación anterior
es, a partir del
ndependiente
e máquinas ge
cuando la vel
= 18 L/s; ρ =1
mixta
0,6 0,8 1,0
nergía específ
audal
otencia consu
Diámetro del ro
Velocidad de g
Densidad del lí
Viscosidad del
es: la densida
ariables – 3 di
a32
T()ML)( −
a33
)ML)(T −−
a3
T()ML)( −−
a31
()ML)(T −−
mbas en funci
______________
entiladores
del tamaño de
namiento de i
otencia consum
Q Δp)/P = ρQg
es el parámetr
r y de los dato
l teorema de B
del tamaño de
eométrica y di
ocidad de giro
1000 kg/m3
; N
2,0
fica gH
Q
umida P
odete D
iro ω
quido ρ
líquido μ
ad, la velocida
imensiones = 4
cb1
M)L()T−
=
cb1
)L()T( −
=
cb1
M)L()−
=
cb1
)L()T( −
=
ión de la velo
_______________
: El flujo
l rodete; adem
nterés son: el
mida “P” y el
gH/P). La ene
ro que normal
s:
Buckingham.
e la bomba: v
inámicamente
o aumenta un
N = 1450 rpm
axial
3,0 4,0
H [gH] =
[Q] = L
[P] = M
[D] = L
[ω] = T
[ρ] = M
[μ] = M
ad de giro y el
4 parámetros)
ca31a
TLM +−
ca31a
LM +−
=
ca31a
TLM −+−
ca31a
TLM +−
cidad específi
______________
en una bom
más de las pro
l aumento de
l rendimiento
ergía especific
lmente se utili
elocidad espe
e semejantes:
20%.
m; H = 6,8 m;
= L2
T-2
L3
T-1
M L2
T-3
L
T-1
M L-3
M L-1
T-1
l diámetro; con
) son:
b
T−
bc
T−
b−
b
T−
ica
______________
JMC 08
18
mba depende
opiedades del
presión “Δp”
“η” (relación
ca (por unidad
iza en análisis
cífica.
η = 63%
n lo que los 4
221
D
gH
ω
=π
33
D
Q
ω
=π
24
Dρω
μ
=π
8
e
l
”
n
d
s
4

_________________________________________________________________________________________________________________
19
El parámetro adimensional del aumento de energía especifica del líquido, se denomina coeficiente de altura, y
determina que para una misma bomba, si la velocidad de giro se duplica, la altura de bombeo de cuadruplica; y
que la altura depende del cuadrado del tamaño del rodete.
22H
D
gH
C
ω
=
El parámetro adimensional de la potencia consumida, se denomina coeficiente de potencia, y determina que la
potencia depende del cubo de la velocidad de giro y de la quinta potencia del tamaño del rodete.
53P
D
P
C
ρω
=
El parámetro adimensional del caudal, se denomina coeficiente de caudal, y determina que el caudal aumenta
linealmente con la velocidad, y cúbicamente con el tamaño:
3Q
D
Q
C
ω
=
El cuarto parámetro adimensional es la inversa del número de Reynolds:
μ
ρω
=
2
D
Re
(2) PARÁMETRO ADIMENSIONAL INDEPENDIENTE DEL TAMAÑO: VELOCIDAD ESPECIFICA.
En bombas, hay un parámetro adimensional, que se obtiene de los anteriores, que no depende del tamaño de la
máquina, sino de su morfología: es la velocidad especifica Ns, que se obtiene por la relación entre los
parámetros adimensionales (π3)1/2
/ (π1)3/4
:
4/3
2/1
s
)gH(
Q
N
ω
=
El valor de la velocidad característica, permite clasificar las bombas:
Bombas centrífugas o radiales Ns bajos (0,2 a 0,5) bajos caudales y altas cargas
Bombas de flujo mixto Ns intermedio (0,5 a 3) caudales y alturas intermedias
Bombas axiales Ns alto (3 a 4) altos caudales y bajas cargas
En la ecuación de la velocidad característica, las variables se expresan en el S.I., es decir la velocidad de giro en
radianes / segundo, el caudal en m3
/s, la altura o carga en metros y la aceleración gravitatoria en m/s2
. No
obstante es habitual, utilizar dos tipos de sistemas técnicos, el europeo ( en donde la velocidad de giro se expresa
en Herzios (Hz=revoluciones/segundo); y el americano (en donde la velocidad de giro se expresa en rpm
(revoluciones/minuto), el caudal en gpm (galones / minuto), y en lugar de la energía especifica, se pone la carga
en pies; las relaciones entre las distintas velocidades características es:
NsUSA = 2732 NsSI
Ns UE = NsSI / 2π = 0,1592 Ns SI
NsUSA = 17166 NsUE

_________________________________________________________________________________________________________________
20
(3) REGLAS DE SEMEJANZA: si se disponen de dos bombas geométrica y dinámicamente semejantes, y los
viscosos son despreciables (por trabajas a Re altos), se tiene que el coeficiente de caudal es el mismo en las dos
bombas; y además como los coeficientes de altura y de potencia solo dependen (despreciando efectos viscosos)
del coeficiente de caudal, se tiene también las igualdades correspondientes de los coeficientes de altura y de
potencia:
por similitud geométrica y cinemática: CQ1=CQ2
( ) ( ) 3
12
2
2Q3
11
1
1Q
D
Q
C
D
Q
C
ω
==
ω
= ⇒
3
22
2
3
11
1
D
Q
D
Q
ω
=
ω
[1]
por trabajar a Re muy altos:
Cp = Cp(CQ); CH = CH(CQ) y CQ=cte ⇒ Cp1 = Cp2 y CH1 = CH2
( ) ( ) 5
2
3
22
2
2P5
1
3
11
1
1P
D
P
C
D
P
C
ωρ
==
ωρ
= ⇒
5
2
3
22
2
5
1
3
11
1
D
P
D
P
ωρ
=
ωρ
[2]
( ) ( ) 2
22
2
2H2
11
1
1H
D
gH
C
D
gH
C
ω
==
ω
= ⇒
2
22
2
2
11
1
D
H
D
H
ω
=
ω
[3]
Las expresiones [1], [2] y [3], se denomina leyes de semejanza de las bombas.
(4). PUNTO DE FUNCIONAMIENTO CON UN AUMENTO DEL 20% DE VELOCIDAD DE GIRO.
En este caso, se trata de la misma bomba y la semejanza geométrica es total: en este caso D1=D2.
Si lo que varia es la velocidad de giro, el nuevo punto de funcionamiento viene determinado por las leyes de
semejanza anteriores:
Punto de funcionamiento “1”: N1 = 1450 rpm
Q1=18 L/s; H1=6,8 m; =
⋅⋅⋅⋅
=
η
ρ
=
−
63,0
8,610188,91000gQH
P
3
1 1,904 kW
Punto de funcionamiento “2”: N2 = 1,2 (1450)=1740 rpm
=
ω
ω⋅
=
ω
ω
=
2
1
1
2
12
2,1
18QQ 21,6 L/s
=
ω
ω⋅
=
ω
ω
=
1
1
1
2
12
2,1
8,6HH 8,16 m
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ω
ω⋅
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ω
ω
=
3
1
3
2
12
1
2,1
904,1
1
PP 3,290 kW

_________________________________________________________________________________________________________________
21
1.7. Aerodinámica F1: En el nuevo reglamento de F1 para 2009, el alerón delantero podrá tener unas
dimensiones máximas de 1400 mm x 500 mm, y el piloto podrá variar su ángulo de ataque ±6º. Con esas
restricciones el ingeniero de Aerodinámica de Renault F1 Team, el español Pedro García, ha realizado ensayos
en el túnel de viento en Enstone (UK) con el nuevo alerón del R29. En el ensayo a bajos ángulos de ataque, se
obtuvieron los resultados que se adjuntan, de fuerzas de sustentación y arrastre en función del ángulo de ataque,
para el modelo a escala 1:2; los signos negativos de ángulo de ataque y sustentación, representan que el alerón es
una ala invertida: borde de ataque redondeado, borde de estela afilado, extradós (parte superior) cóncavo e
intradós (parte inferior) convexo.
DETERMINE: 1. Gráficas CL vs α y CD vs α.
2. Potencia de arrastre y fuerza de sustentación a 324 km/h, para el ángulo de ataque óptimo
(|CL/CD| máximo)
3. Disminución de la potencia de arrastre, que supone el cambio de ángulo de ataque de -21º a
– 15º, a una velocidad de 324 km/h.
DATOS: Modelo: escala 1:2, velocidad ensayo: 108 km/h; Aire ensayo: 1,23 kg/m3
.
α -6º -9º -12º -15º -18º -21º -24º -27º -30º
FL(N) -32,93 -83,30 -120,11 -178,23 -206,32 -226,66 -194,69 -188,88 -172,42
FD(N) 4,84 7,75 9,69 13,56 32,93 54,24 64,90 75,55 83,30
(1) GRÁFICAS COEFICIENTES AERODINÁMICOS:

El denominador es constante:
1,23 30 0,175 96,863
En donde, densidad: ρ = 1,23 kg/m3
velocidad: v = (108 km/h)(1000m/km)/(3600 s/h) = 30 m/s
área característica: cuerda modelo x envergadura modelo = (1,400/2)·(0,500/2) = 0,175 m2
A partir de la tabla de datos, añadiendo las filas de CL, CD y relación CL/CD se tiene:
α -6º -9º -12º -15º -18º -21º -24º -27º -30º
FL(N) -16,47 -41,65 -60,05 -178,23 -103,16 -113,33 -97,34 -94,44 -86,21
FD(N) 4,84 7,75 9,69 13,56 18,35 24,67 30,45 35,7 40,3
CL -0,170 -0,430 -0,620 -1,840 -1,065 -1,170 -1,005 -0,975 -0,890
CD 0,050 0,080 0,100 0,140 0,189 0,255 0,314 0,369 0,416
|CL/CD| 3,403 5,374 6,197 13,144 5,622 4,594 3,197 2,645 2,139
(2) ÁNGULO DE ATAQUE OPTIMO: para el ángulo de ataque, en donde se tiene simultáneamente mayor
sustentación y menor arrastre. En nuestro caso: α = -15º; CD = 0,140; CL = -1,840 (ver tabla).
Potencia arrastre a 324 km/h (=324/3,6 = 90 m/s):
90 0,140 1,23 90 1,4 0,5 43,94
Fuerza de sustentación a 324 km/h:
1,840 1,23 90 1,4 0,5 6416,17
(3) POTENCIA DE ARRASTRE: con una velocidad de 324 km/h, el cambio de ángulo de ataque de -21º a -15º,
supone el paso de un coeficiente de arrastre de 0,255 a 0,140; con lo que se tiene una potencia extra de:
∆ ∆ 90 0,255 0,140 1,23 90 1,4 0,5 36,09

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