Semana 02 analisis vectorial unac 2010 a plus

ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)

ANÁLISIS VECTORIAL
Semana 01
1. VECTOR. Se representa mediante un segmento de recta
orientado. En física sirve para representar a las magnitudes
físicas vectoriales. Se representa por cualquier letra del Z
alfabeto con una pequeña flecha en la parte superior. Todo
vector tiene dos elementos fundamentales: el modulo y la
dirección. El módulo representa el tamaño o valor de la
cantidad vectorial. La dirección representa la orientación del
vector respecto del sistema coordenado cartesiano u otro
sistema coordenado.
a
2. VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS EN EL ESPACIO. Y
El vector unitario es aquel que tiene como módulo o tamaño la
unidad de medida. Los vectores cartesianos son:
ˆ
i : tiene dirección del eje X positivo. X
−i : tiene dirección del eje X negativo.
ˆ VECTOR EN EL ESPACIO
ˆ : tiene dirección del eje Y positivo
j
− ˆ : tiene dirección del eje Y negativo
j
ˆ
k : tiene dirección del eje Z positivo.
− k : tiene dirección del eje Z negativo.
ˆ
El módulo de cada vector unitario es igual a la unidad de Z
medida:
i = ˆ = k =1
ˆ j ˆ
k
Los tres vectores unitarios son mutuamente perpendiculares:
i ⊥ ˆ⊥k
ˆ j ˆ
En el espacio tridimensional el vector a tiene tres
componentes: j Y
a = ( ax ; a y ; az ) = ax i + a y ˆ + az k
ˆ j ˆ i

X
EJEMPLO 01: Se tiene un vector a = 3i + 12 ˆ + 4k .
ˆ j ˆ
VECTORES UNITARIOS
Determine el módulo del vector.
Resolución
Si graficamos el vector obtenemos un paralelepípedo, entonces el módulo del vector es igual al tamaño de la
diagonal.

a = 32 + (12 ) + 42 = 9 + 144 + 16
2

a = 13
Respuesta: el módulo del vector es 13.

3. VECTOR UNITARIO DIRECCIONAL. Cada vector tiene su respectivo vector unitario. El vector unitario es
paralelo a su respetivo vector de origen.
a
u=
ˆ ⇒ a = a .u
ˆ
a
En general se puede obtener un vector unitario en una dirección determinada, relacionado dos o más

Lic., WALTER PEREZ TERREL/ walter_perez_terrel@hotmail.com/997089931 Página 1

vectores.

EJEMPLO 02: Determine el vector unitario del vector: A = 3 i + 4 j + 12 k
Resolución
A 3 i + 4 j + 12 k
El vector unitario se define como: u=
ˆ =
A 13

3 4 12
El vector unitario es: u=
ˆ i+ j+ k
13 13 13
4. COSENOS DIRECTORES. Son las componentes del vector unitario en el sistema coordenado cartesiano.
En el sistema cartesiano tridimensional vector a tiene tres
componentes rectangulares: Z

a = ( ax ; a y ; az ) = ax i + a y ˆ + az k
ˆ j ˆ
az

Designamos con α , β y θ los ángulos que el vector a hace
con los ejes cartesianos X, Y y Z, respectivamente.
Tenemos tres componentes: ay Y
a x = a.Cosα , a y = a.Cos β , a z = a.Cosθ …(1)
ax

Cálculo del módulo del vector:
X
COMPONENTES DEL VECTOR
a 2 = ax + a y + ax
2 2 2
…(2)

reemplazando (1) en (2) tenemos: (Cosα )2 + (Cosβ )2 + (Cosθ )2 = 1
Entonces el vector unitario de a es: u = (Cosα ; Cosβ ; Cosθ )
ˆ
EJEMPLO 03: Calcular los cosenos directores del vector A =12 i − 15 j − 16 k .

RESOLUCIÓN

a = (12 ) + ( −15 ) + ( −16 ) = 144 + 225 + 256 = 25
2 2 2
Cálculo del módulo del vector:

u=
ˆ
A
=
12 i − 15 j − 16 k
= 0, 48 i − 0,6 j − 0,64 k y u = (Cosα ; Cosβ ; Cosθ )
ˆ
A 25
Comparando tenemos que: Cosα = 0,48 , Cosβ = −0,6 , Cosθ = −0,64

5. PRODUCTO ESCALAR. Dado los vectores A y B , su producto escalar o interno se representa por A • B ,
y se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo θ que forman, esto es:

A • B = A . B .Cosθ = B . A .Cosθ ,
donde 0 ≤θ ≤π
Debemos enfatizar que A • B es un número real, (positivo, negativo o nulo), y no un vector.
Dado los vectores: A = a1.i + a 2 .j + a 3 .k y B = b1 .i + b 2 .j + b3 .k



A • B = a1.b1 + a 2 .b 2 + a 3 .b3
PROPIEDADES
Se cumple la propiedad conmutativa: A• B = B• A
Propiedad Distributiva:

( )
A• B + C = A • B + A • C
Vectores paralelos: i • i = j• j = k • k = 1 A
Vectores ortogonales: i • j = j • k = i • k = 0

A • A = ( a1 ) + ( a 2 ) + ( a 3 )
2
2 2
y θ
B
B • B = ( b1 ) + ( b 2 ) + ( b3 )
2 2 2
O
2
Cuadrado del módulo: A•A = A PRODUCTO ESCALAR

Si A• B = 0 y ninguno de los vectores es nulo, ambos son mutuamente perpendiculares.

EJEMPLO 04: Los vectores a y b forman entre si un ángulo de 120°. Sabiendo que a = 3 y b = 4 . Calcular:
a •b
RESOLUCIÓN
De la definición: a • b = a . b .Cosθ = 3 ⋅ 4 ⋅ Cos1200 = −6

EJEMPLO 05: ¿Para qué valores de “m” los vectores a = m.i − 3j + 2k y b = 1i + 2 j − m.k son
perpendiculares entre sí?
RESOLUCIÓN
De la definición: a = a1 .i + a 2 .j + a 3 .k y b = b1 .i + b 2 .j + b3 .k
a • b = a1 .b1 + a 2 .b 2 + a 3 .b3
De la condición: Si a• b = 0 y ninguno de los vectores es nulo, ambos son mutuamente perpendiculares.

Entonces: ( m ) . (1) + ( −3) .( 2 ) + ( 2 ) . ( − m ) = 0
Resolviendo: m = −6

6. PRODUCTO VECTORIAL. Dado los vectores A y B , su producto
vectorial o externo se representa por otro vector C , que se denota C
como C = A × B . Su módulo se define como el producto de sus
módulos por el seno del ángulo θ que forman entre sí, esto es:

B
A × B = A . B .Senθ , donde 0 ≤ θ ≤ π
A θ

Debemos enfatizar que C es perpendicular al plano formado por los
PRODUCTO VECTORIAL
vectores A y B.



Regla de la mano Derecha: los dedos giran desde la dirección del vector A hacia la dirección del vector B y el
dedo pulgar coincide con el vector C. El la figura el ángulo θ gira en el sentido desde A hacia B.

PROPIEDADES

I. Si A × B = 0 , entonces los vectores tienen la
misma dirección o son paralelos.
II. Anti conmutativo: A× B = −B × A A
III. Propiedad Distributiva:

( )
A× B + C = A × B + A × C
IV. Vectores paralelos:i × i = j× j = k × k = 0 θ
B
V. Vectores ortogonales: i × j = k , j × k = i ,
k×i = j ÁREA DEL PARALELOGRAMO
VI. Dado los vectores:
A = a1.i + a 2 .j + a 3 .k y

i j k
B = b1 .i + b 2 .j + b3 .k entonces se cumple que: A × B =  a1
 a2 a3 

 b1
 b2 b3 


El área del paralelogramo formado por los vectores concurrentes A y B es:
Area del parale log ramo = A × B

A× B
El área de la región triangular formado por los vectores A y B es: Area del triangulo =
2
EJEMPLO 06: Los vectores a y b forman entre si un ángulo de 30°. Sabiendo que a = 6 y b = 5 . Calcular:
a ×b
RESOLUCIÓN
De la definición: a × b = a . b .Senθ = 6 ⋅ 5 ⋅ Sen300 = 15

EJEMPLO 07: Dado los vectores A = 3 i − 1 j − 2 k y B = 1i + 2 j − 1 k determinar las componentes
vectoriales de: A×B

RESOLUCIÓN
De la definición del producto vectorial entre dos vectores:

i j k  i j k 
 −1 − 2  3 − 2 3 − 1
A × B =  a1 a2 a 3  =  3 −1 −2  = i  − j + k
     2 − 1  1 − 1
 1 2 

 b1
 b2 b3  1 2 −1
  



A ×B = 5 ˆ +1 ˆ + 7 k
i j ˆ

EJEMPLO 08: Se conocen los vértices de un triángulo: A (0; 0; 0), B (3; 0; 0) y C (0; 4; 0), calcular el área de la
región definida por el triángulo de vértices A, B y C.

RESOLUCIÓN
Sean los vectores AB y AC donde AB = ( 3;0;0 ) y AC = ( 0;4;0 )

i j k   i j k
0 0  ˆ 3 0  ˆ 3 0
AB × AC =  a1 a2 a 3  = 3 0 0  = ˆ 
i −j + k
    4 0 0
  0 0 4

 b1
 b2  0 4 0 
b3   

AB × AC = 12 k
ˆ

El valor o módulo es: AB × AC = 12

AB × AC 12
Area del triangulo = = =6
2 2
Respuesta: el área de la región triangular es 6 unidades cuadradas.

EJEMPLO 09: Se conocen los vértices de un triángulo: A (2; -1; 2), B (1; 2; -1) y C (3; 2; 1), determinar las
componentes vectoriales de: AB × BC
RESOLUCIÓN
Determinamos las componentes de cada vector: AB = ( −1;3; −3) y BC = ( 2;0;2 )
i j k
3 − 3 ˆ  − 1 − 3  ˆ  −1 3
AB × BC =  −1 3 −3 = ˆ 
i −j +k
  0 2  2
  2  2 0

2 0 2
 

AB × BC = 6 ˆ − 4 ˆ − 6 k
i j ˆ

7. TRIPLE PRODUCTO ESCALAR. Por medio del
productos escalar y vectorial de tres vectores
A,By C se forma: (
A • B× C ) C

A1 A2 A3
( )
A • B × C = B1 B2 B3
B
C1 C2 C3
A
PROPIEDADES:
I. El producto triple escalar es un número real:

( )
A • B × C = número real
VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO



II. ( ) (
A • B× C = B • C × A = C • A × B ) ( )
III. El valor del “triple producto escalar” representa el volumen de un paralelepípedo de aristas A , B y C.
EJEMPLO 09: Se conocen los vértices A (4; 0; 0), B (0; 5; 0), C (0; 0; 3) y D (0; 0; 0) calcular el volumen del
sólido de vértices A, B, C y D.

RESOLUCIÓN
Sean los vectores DA = ( 4;0;0 ) , DB = ( 0;5;0 ) , DC = ( 0;0;3)
El valor del “triple producto escalar” representa el volumen de un paralelepípedo de aristas
DA , DB y DC .

A1 A2 A3 4 0 0
( ) 5 0 0 0 0 5 
DA • DB × DC = B1 B2 B3 = 0 5 0 = 4   − 0 0  + 0  0 0  = 60
0 3  3  
C1 C2 C3 0 0 3

Respuesta: el volumen del solido es 60 unidades cúbicas.

EJEMPLO 10: Se dan los vectores a = 1i − 1j + 3k , b = −2i + 2 j + 1k y c = 3i − 2 j + 5k . Determinar:
( a × b) • c
RESOLUCIÓN
De la definición del producto vectorial entre dos vectores:

i j k  i j k
a × b =  a1 a2 a3  =  1 −1 3  = i  −1 3 − j 1 3 1 − 1
+ k
    2 1   −2 1 
 b1 b2 b 3   −2 2 1       −2 2 
   

a × b = −7 ˆ + 7 ˆ + 0 k
i j ˆ
Cálculo de: ( a × b) • c = ( −7; 7; 0 ) • ( 3; 2; 5 ) = −7

8. TRIPLE PRODUCTO. Por medio de productos vectoriales de tres vectores A,By C se pueden formar

productos como: (
A × B× C ) , ( A × B) × C o ( C × B) × A , en todos estos casos el resultado es otro
vector.

PROPIEDADES:
I. No se puede asociar: ( ) ( )A × B× C ≠ A × B × C
II. A × ( B × C ) = ( A • C ) B − ( A • B ) C

III. ( A × B ) × C = ( A • C ) B − ( B • C ) A



EJEMPLO 11: Sean los vectores ( )
A = ( 4; 0; 0 ) , B = ( 0; 5; 0 ) , C = ( 0; 1; 3) , determine A × B × C y

( A × B) × C ¿se obtiene el mismo resultado?
RESOLUCIÓN

Primer caso: A × B× C( )
 i j k
5 0 ˆ  0 0 ˆ  0 5
B× C = 0 5 0  = ˆ 
i −j + k  = 15 i + 0 j + 0 k
ˆ ˆ ˆ
  1 3  0
  3
 0 1
0 1 3 
 
Cálculo de ( )
A × B × C = ( 4;0;0 ) × (15;0;0 )
 i j k
(  )
A × B× C =  4 0 0  = 0 ˆ + 0 ˆ + 0 k = 0

i j ˆ
15 0 0 
 

Segundo caso: ( A × B) × C
 i j k
0 0 ˆ  4 0 ˆ  4 0
A × B = 4 0 0 = ˆ 
i −j + k  = 0 i + 0 j + 20 k
ˆ ˆ ˆ
  5 0  0
  0
 0 5
0 5 0
 
Cálculo de ( A × B) × C = ( 0;0;20) × ( 0;1;3)
i j k 
( )
A × B × C =  0 0 20  = −20 ˆ + 0 ˆ + 0 k = −20 ˆ
 
i j ˆ i
0 1 3 
 

Es importante hacer notar que: ( ) (
A × B× C ≠ A × B × C )
9. PROYECCIÓN DE UN VECTOR. La proyección del vector A sobre el vector B , es otro vector paralelo al
vector B que se denota del siguiente modo:

 A•B B A
Pr oyec B A =  .
 B  B
 
Al módulo de la proyección del vector A sobre el vector se le
denomina Componente del vector A sobre el vector B.
θ
A•B B
Comp B A =
O
B
Proyección de A sobre B



Pr oyec B A = Comp B A. ( )B
B
( )
Pr oyecB A = Comp B A. u B
ˆ

EJEMPLO 11: Determina las componentes rectangulares del vector m , sabiendo que es perpendicular a los
vectores F1 = 2i − 3j + 1k y F2 = 1 i − 2 j + 3k además satisface a la condición: m • (1 i + 2 j − 7 k ) = 10

RESOLUCIÓN
i j k
 
Sea (
m = q F1 × F2 ) pero F1 × F2 = 2 −3 1 = −7 ˆ − 5 ˆ − 1 k = ( −7; −5; −1)
 
i j ˆ
 1 −2 3 
 
la condición: m • (1 i + 2 j − 7 k ) = 10
la condición:q ( −7; −5; −1) • (1 ; 2; − 7 ) = 10
Resolviendo la ecuación tenemos que: q = − 1

(
Respuesta: m = ( −1) F × F = 7 ˆ + 5 ˆ + 1 k
1 i 2 j ) ˆ

Pr oyec x m = 7 ˆ ,
i Pr oyec y m = 5 ˆ ,
j Pr oyec z m = 1 k
ˆ

PROBLEMAS RESUELTOS DE VECTORES
1. En el sistema vectorial mostrado, determine el valor de la siguiente operación: ( a − b ) • ( c + d ) ¿Qué
ángulo forman ( a − b) y ( c + d) ?
b a

c d

1
RESOLUCIÓN
Los vectores son:a = 3 ˆ + 2 ˆ , b = −1 ˆ + 2 ˆ , c = −2 ˆ − 2 ˆ , d = 2 ˆ − 2 ˆ
i j i j i j i j
(
Cálculo de: a − b = 4 ˆ + 0 j
i ) y c+d = 0ˆ−4 j i ( )
( a − b ) • ( c + d ) = ( 4; 0) • ( 0; − 4) = 0
Piden:

Respuesta: ( a − b ) y ( c + d ) forman un ángulo recto.

2. En el sistema vectorial mostrado, determine el valor de la siguiente operación: ( a − b ) • ( a + c ) ¿Qué
ángulo forman ( a − b) y ( a + c) ?
b
c
a
1



RESOLUCIÓN
Los vectores son:a = −3 ˆ + 2 ˆ , b = 4 ˆ + 2 ˆ , c = 3 ˆ − 1 ˆ
i j i j i j
( )
Cálculo de: a − b = −7 ˆ + 0 ˆ
i j y (a + c) = 0 ˆ + 1 ˆ
i j

( a − b ) • ( a + c ) = ( −7; 0) • ( 0; 1) = 0
Piden:

Respuesta: ( a − b ) y ( a + c ) forman un ángulo recto.

3. Se muestra un conjunto de vectores. Sabiendo que A = m.B + n.C , donde m y n son números reales.
Determine (m + n)
A B
C

RESOLUCIÓN
Los vectores son: A = 2 ˆ + 1 ˆ , B = 0 ˆ + 1 ˆ , C = −1 ˆ + 1 ˆ
i j i j i j
Reemplazamos en la relación: A = m.B + n.C , entonces ( 2; 1) = m. ( 0; 1) + n.( −1; 1)
( 2; 1) = ( − n; m + n ) comparando las coordenadas cartesianas tenemos que: n = −2 y 1 = m + n
resolviendo m = 3 Respuesta: ( m + n ) = 1

4. Verificar que los cuatro puntos A ( 3; −1; 2 ) , B (1; 2; − 1) , C ( −1; 1; − 3) y D ( 3; − 5; 3) son los vértices
de un trapecio.

RESOLUCIÓN
( )
Para formar vectores a partir de dos puntos en el espacio: AB = x 2 − x1 ; y1 − y 2 ;z1 − z 2

entonces: AB = ( −2; 3; −3) , BC = ( −2; − 1; −2 ) , CD = ( 4; − 6; 6 ) , DA = ( 0; − 4; 1)

Comparando las coordenadas de los vectores AB = ( −2; 3; −3) y CD = ( 4; − 6; 6 )
1
K=− entonces AB = K.CD
2
Entonces AB y CD son paralelos, por consiguiente ABCD es un trapecio.

5. ¿Para qué valores de α y β los vectores a = −2 ˆ + 3 ˆ + β k y b = α ˆ − 6 ˆ + 2 k son colineales?
i j ˆ i j ˆ

RESOLUCIÓN
x1 y1 z1
Si a y b sus componentes en los ejes cartesianos serán proporcionales: = = =K
x 2 y2 z 2
3 β
−2
Reemplazando tenemos que: = =K =
α −6 2
Resolviendo se tiene que: α = 4 y β = −1


PROBLEMAS PROPUESTOS DE VECTORES
1. Calcular el módulo del vector: A = 6 i + 3 j − 2 k
2. Calcular el módulo del vector: W = 4 i − 3 j + 12 k
3. Dado los puntos A = (3; − 1; 2) y B = (− 1; 2;1) determinar los vectores: AB y BA respectivamente.
4. Dado los puntos P = (− 3; 2;1) y Q = (1; − 2; − 1) determinar los vectores: PQ y QP respectivamente.
5. Determinar el punto N, con que coincide el extremo del vector A = − 4 i + 3 j + 2 k sabiendo que el origen
coincide con el punto M de coordenadas (1; 2; − 3) .
6. Determinar el punto P, con que coincide el extremo del vector C = 4 i − 3 j + 5 k sabiendo que el origen
coincide con el punto Q de coordenadas (2; − 1; 3) .
A+ B
7. Se dan los vectores A = 4 i − 2 j + 6 k y B = − 2 i + 4 j . Determinar la proyección del vector sobre
2
los ejes coordenados cartesianos.
8. Dado el módulo de vector A = 2 y los ángulos que forman con los ejes coordenados cartesianos x, y, z
respectivamente α = 45 , β = 60 y θ = 120 . Determinar la proyección del vector A sobre los ejes
coordenados.
9. Dado el módulo de vector A = 10 y los ángulos que forman con los ejes coordenados cartesianos x, y, z
respectivamente α = 90 , β = 150 y θ = 60 . Determinar la proyección del vector A sobre los ejes
coordenados.
10. Calcular los cosenos directores del vector A = 12 i − 15 j − 16 k .
11. Calcular los cosenos directores del vector P = 3i − 4 j − 12 k .
12. ¿Puede formar un vector con los ejes coordenados los ángulos siguientes α = 45 , β = 135 y θ = 60 ?
15. Un vector forma con los ejes OX, y OZ los ángulos α = 120 y θ = 45 respectivamente, ¿qué ángulo
forma el vector con el eje OY?
16. Un vector forma con los ejes OX, y OY los ángulos α = 45 y β = 135 respectivamente, ¿qué ángulo
forma el vector con el eje OZ?
17. Un vector forma con los ejes OY, y OZ los ángulos β = 150 y θ = 60 respectivamente, ¿qué ángulo
forma el vector con el eje OX?
18. Determinar las coordenadas del punto M, si su radio vector forma con los ejes coordenados ángulos
iguales y su módulo es igual a 3 unidades. ¿Qué ángulo forma el radio vector con los ejes coordenados
cartesianos?
19. Calcular el vector unitario del vector T = − 4 i + 3 j + 12 k
20. Calcular el vector unitario del vector a = 6 i − 2 j − 3 k
21. Calcular el vector unitario del vector G = − 4i + 3j
22. Determinar el vector unitario perpendicular al vector E = 6i + 8j
23. Se tiene un cuadrado de vértices A, B C y D; y área 25 unidades cuadradas. Si conocemos el vértice A
(10; 20) y el lado AB es paralelo al vector 3 i + 4 j . Determinar la posición de los vértices B, C y D.
24. Se tiene un cuadrado de vértices A, B C y D; y área 100 unidades cuadradas. Si conocemos el vértice A
(20; 10) y el lado AB es paralelo al vector 4 i + 3 j . Determinar la posición de los vértices B, C y D.
25. Si los módulos de los vectores P y Q son 18 y 14 unidades y sus cosenos directores con los ejes X, Y y Z
2 −1 2 6 3 2 P+Q
son ; ; y ; ; respectivamente. Determinar el resultado de:
3 3 3 7 7 7 2



26. Dado A = 13 , B = 19 y A + B = 24 Calcular: A − B
27. Sabiendo que los vectores A y B forman entre si un ángulo de 120° y además A = 3 , B = 5 Determinar:
A− B
28. ¿Para qué valores de “p” y “q” los vectores A = −2 i + 3 j + p k y B = q i − 6 j + 2 k son colineales?
29. ¿Para qué valores de “r” y “s” los vectores A = r i + 12 j + 3 k y B = 8 i + sj + 2 k son paralelos?
30. Los siguientes vectores W = 15i − 12 j + 9 k y P = 5i + 4 j + 3k ¿son colineales?
31. Los siguientes vectores E = 15i − 12 j + 9 k y T = 5i − 4 j + 3k ¿son paralelos?
32. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (4; 9), B (9; 9), C (9; 6) y D (2; 6). ¿Es un trapecio?
33. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (3;-1; 2), B (1; 2,-1), C (-1; 1:-3) y D (3;-5; 3). ¿Es un
trapecio?
34. Dado los puntos A (-15; -10), B (5; -7,8), C (2; 2:-7) y D (5;-4; 2). ¿ AB y CD son colineales?
35. El vector T de módulo 75 tiene dirección opuesta al vector a = 16 i − 15 j + 12 k . Determinar las
proyecciones del vector T en el sistema coordenado cartesiano.
36. Dado los vectores en el plano p = 2i − 3j y q = 1i + 2 j . Expresar el vector A = 9i + 4 j en función de los
vectores p y q.
37. Dado los vectores en el plano p = 3i − 2 j y q = − 2i + 1j . Expresar el vector A = 7i − 4 j en función de
los vectores p y q.
38. Dado los vectores en el plano p = 3i − 2 j y q = 7i − 4 j . Expresar el vector A = − 2i + 1j en función de
los vectores p y q.
39. Dado los vectores en el plano p = 7i − 4 j y q = − 2i + 1j . Expresar el vector A = 3i − 2 j en función de
los vectores p y q.
40. Se dan los vectores a = 3i − 1j , b = 1i − 2 j y c = − 1i + 7 j . Determinar la descomposición del vector
p = a + b + c en base de los vectores a y b .
41. Se dan los vectores a = 6i − 2 j , b = 1i − 5j y c = − 1i + 7 j . Determinar la descomposición del vector
a−b+c
p= en base de los vectores a y b .
2
42. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (1; -2), B (2; 1), C (3; 2) y D (-2; 3). Determinar la
descomposición del vector AD tomado como base los vectores AB y AC .
descomposición del vector BD tomado como base los vectores AB y AC .
descomposición del vector CD tomado como base los vectores AB y AC .
descomposición del vector AD + BC + CD tomado como base los vectores AB y AC .
46. Se dan los vectores p = 3i − 2 j , q = − 1i + 1j y r = 2i + 1j . Determinar la descomposición del vector
c = 11 i − 6 j en base de los vectores p;q y r .
47. Se dan los vectores p = 3i − 2 j + 1k , q = − 1i + 1j − 2k y r = 2i + 1j − 3k . Determinar la
descomposición del vector c = 11i − 6 j + 5k en base de los vectores p;q y r .
48. Los vectores a y b forman entre si un ángulo de 120°. Sabiendo que a = 3 y b = 4 . Calcular: a • b
a y b forman entre si un ángulo de 120°. Sabiendo que a = 3 y b = 4 . Calcular: (a )
2
49. Los vectores



a y b forman entre si un ángulo de 120°. Sabiendo que a = 3 y b = 4 . Calcular: (a + b )
2
50. Los vectores

a y b forman entre si un ángulo de 120°. Sabiendo que a = 3 y b = 4 . Calcular: (a − b )
2
51. Los vectores

52. Los vectores a y b forman entre si un ángulo de 120°. Sabiendo que a = 3 y b = 4 . Calcular:

( 3a − 2b ) • ( a + 2b )
53. Los vectores a y b forman entre si un ángulo de 120°. Sabiendo que a = 3 y b = 4 . Calcular:
(3a + 2 b )2

a •b + a •c +b •c
54. Conociendo los vectores a = 1 j , b = 1i + 2 j y c = 3 i . Determinar: E =
a +b +c
55. Conociendo los vectores a = 3 i + 1 j , b = 1i + 2 j y c = −4 i + 2 j . Determinar:
a •b + a •c +b •c
K=
a+b +c
56. Los vectores a y b son perpendiculares entre si, además el vector c forma con cada uno de ellos un
ángulo de 60° Sabiendo que:
. ( ) (
a = 3 , b = 5 y c = 8 calcular: 3a − 2b • b + 3c )
57. Los vectores a y b son perpendiculares entre si, además el vector c forma con cada uno de ellos un
a = 3 , b = 5 y c = 8 calcular: (a + b + c )
2
ángulo de 60° Sabiendo que:
.

58. Cada par de vectores a , b y c forman entre si un ángulo de 60°. Sabiendo que a = 4 , b = 2 y
c = 6 Determina el módulo de (a + b + c ) .
59. Para que valores de “m” los vectores a = m.i − 3j + 2k y b = 1i + 2 j − m.k son perpendiculares entre sí.
60. Para que valores de “p” los vectores a = 12.i − p.j + 2 k y b = 1i + 2 j − p.k son perpendiculares entre sí.
61. Sabiendo que a = 3 y b = 5 determinar para que valor de “q” los vectores (a + q.b ) y (a − q.b ) son
perpendiculares entre sí.
62. Sabiendo que a = 4 y b = 2 determinar para que valor de “q” los vectores (a + q.b ) y (a − q.b ) son
perpendiculares entre sí.
63. ¿Qué condición deben satisfacer los vectores a y b para que (a + b ) y (a − b ) sean perpendiculares
entre sí?
( )
64. Demostrar que el vector p = b (a • c ) − c a • b es perpendicular con el vector a .
65. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (1; -2; 2), B (1; 4; 0), C (-4; 1; 1) y D (-5; -5; 3). Demostrar
que las diagonales AC y BD son perpendiculares entre sí.
66. Los vectores a y b forman 30° entre sí. Sabiendo que: a = 3 y b = 1 Determine la medida del
ángulo que forman entre si los vectores (a + b ) y (a − b )
67. Los vectores a y b forman 120° entre sí. Sabiendo que: a = 5 y b = 5 Determine la medida del ángulo
que forman entre si los vectores (a + b ) y (a − b )
68. Los vectores a y b forman 60° entre sí. Sabiendo que: a = 5 y b = 3 Determina la medida del ángulo
( ) (
que forman entre si los vectores a + b y a − b )
69. Calcular la medida del ángulo obtuso formado por las medianas trazadas desde los vértices de los ángulos
agudos de un triángulo rectángulo isósceles.
agudos de un triángulo rectángulo cuyos lados son directamente proporcionales a los números 3, 4 y 5.


agudos de un triángulo rectángulo cuyos lados son directamente proporcionales a los números 5, 12 y 13.
72. Calcular la componente del vector A = 5 i + 2 j + 5 k sobre el eje del vector B = 2 i − 1 j + 2 k
73. Calcularla proyección del vector A = 10 i + 5 j sobre el eje del vector B = 3 i + 4 j
74. Se conocen los vértices de un triángulo: A (-1; -2; 4), B (-4; -2; 0) y C (3; -2; 1). Calcular la medida del
ángulo interno del vértice C.
ángulo interno del vértice B.
ángulo interno del vértice A.
77. El vector de módulo a = 50 es colineal con el vector b = 6 i − 8 j − 7,5 k y forma un ángulo agudo con el
eje OZ. Determine las componentes cartesianas del vector a.
78. Determine las componentes cartesianas del vector a sabiendo que es colineal con el vector
b = 2 i + 1 j − 1 k y satisface la condición a • b = 3 .
79. Determinar el vector m , si se sabe que es perpendicular con los vectores: A = 2 i + 3 j − 1 k y
B = 1i − 2 j + 3 k además satisface a la condición: m • (1i − 1 j + 1 k ) = −6
80. Se dan los vectores A = 3 i − 1 j + 5 k y B = 1i + 2 j − 3 k . Determinar el vector X que es perpendicular
al eje OZ y satisface a las condiciones: X • A = 9 y X • B = −4
81. Se dan los vectores A = 2 i − 1 j + 3 k , B = 1i − 3 j + 2 k y C = 3 i + 2 j − 3 k . Determinar el vector

X que satisface a las condiciones: X • A = −5 , X • B = −11 y X • C = 20
82. Determinar las componentes del vector S = 4i − 3j + 2 k sobre el eje L que forma con los ejes
cartesianos ángulos agudos iguales.
83. Dado los vectores A, B; C y D se cumple que: A = 4 i + 3 j + 4 k y B = 2 i + 2 j − 1 k además se sabe
que C es paralelo a B y el vector D es ortogonal con B . Si A = C + D determinar las expresiones
vectoriales de C y D.
84. Los vectores a y b forman entre si un ángulo de 30°. Sabiendo que a = 6 y b = 5 . Calcular: a × b
85. Sabiendo que a = 10 y b = 2 , además a •b = 12 . Calcular: a × b
86. Sabiendo que a = 3 y b = 26 , además a ×b = 72 . Calcular: a • b
87. Sabiendo que ( ) ( )
a = 3 y b = 4 , además a •b = 0 . Calcular: a + b × a − b

88. Sabiendo que a = 3 y b = 4 , además a •b = 0 . Calcular: (3a − b )× (a − 2 b )
a y b forman 120° entre sí. Sabiendo que: a = 1 y b = 2 . Calcular: (a × b )
2
89. Los vectores

90. Los vectores a y b forman 120° entre sí. Sabiendo que: a = 1 y b = 2 . Calcular:

(2a + b )× (a + 2b ) 2

91. Los vectores a y b forman 120° entre sí. Sabiendo que: a = 1 y b = 2 . Calcular:

(a + 3b )× (3a − 2b ) 2

92. Dado los vectores A = 3 i − 1 j − 2 k y B = 1i + 2 j − 1 k determinar las componentes vectoriales de:
a ×b



(a + b ) × b
(2a − b ) × (2a + b )
(2a − 3b ) × (3a + 2b )
96. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (2; -1; 2), B (1; 2; -1) y C (3; 2; 1), determinar las
componentes vectoriales de: AB × BC
97. Se conocen los vértices de un triángulo: A (2; -1; 2), B (1; 2; -1) y C (3; 2; 1), determinar las componentes
vectoriales de: ( BC − 2.CA ) × CB
98. Se conocen los vértices de un triángulo: A (1; 2), B (7; 6) y C (9; 2), calcular la longitud de la altura bajada
desde el vértice B al lado AC.
99. Se conocen los vértices de un triángulo: A (1; -1; 2), B (5; -6; 2) y C (1; 3; -1), calcular la longitud de la
altura bajada desde el vértice B al lado AC.
100. La fuerza F = 3i + 2 j − 4 k está aplicada al punto A (2; -1; -2). Determinar el torque τ de esta fuerza
respecto del origen de coordenadas. Sabiendo que τ = r × F donde r = OA es el vector posición.
101. La fuerza F = 2i − 4 j + 5k está aplicada al punto A (4; -2; 3). Determinar el torque τ de esta fuerza
respecto del punto B (3; 2; -1). Sabiendo queτ = r × F donde r = BA es el vector posición.
102. La fuerza F = 3i + 2 j − 2 k está aplicada al punto A (2; -1; 1). Determinar el torque τ de esta fuerza
respecto del origen de coordenadas. Sabiendo que τ = r × F donde r = OA es el vector posición.
103. Dado los vectores A = 2 i − 1 j − 2 k y B = 3 i + 2 j − 2 k , determinar los cosenos directores de A × B
104. Se dan las fuerzas F1 = 2i + 1j − 3k , F2 = 3i + 2 j − 1k y F3 = −4i + 1j + 3k , determinar los cosenos
directores de (F + F
1 2 + F3 )
directores de (F + F ) × F
1 2 3

directores de (F + F ) ×(F − F )
1 2 3 2

107. Las fuerzas F1 = 2i + 1j − 3k , F2 = 3i + 2 j − 1k y F3 = −4i + 1j + 3k están aplicadas en el punto A
(2;-1;-2). Determinar el torque que produce la fuerza resultante respecto del origen de coordenadas.
108. Las fuerzas F1 = 2i + 1j − 3k , F2 = 3i + 2 j − 1k y F3 = −4i + 1j + 3k están aplicadas en el punto A (-
1; 4; -2). Determinar el torque que produce la fuerza resultante respecto del punto B (2; 3; -1).
109. Se conocen los vértices de un triángulo: A (1; 2; 0), B (3; 0; -3) y C (5; 2; 6). Calcular el área de la región
triangular.
110. El vector F3 de módulo 26 es perpendicular a los vectores F1 = 4i − 2 j − 3k y F2 = 1j + 3k , además
forma con el eje OY un ángulo obtuso. Determinar las componentes rectangulares de F3 .
111. El vector F 3 de módulo 39 es perpendicular a los vectores F1 = 4i − 2 j − 3k y F2 = 1j + 3k , además
forma con el eje OY un ángulo agudo. Determinar las componentes rectangulares de F3 .
112. El vector m de módulo 51 es perpendicular al eje OZ y al vector Q = 8i − 15 j + 3k y, además forma con
el eje OX un ángulo agudo. Determinar las componentes rectangulares de m.



113. Determina las componentes rectangulares del vector m , sabiendo que es perpendicular a los vectores
F1 = 2i − 3j + 1k y F2 = 1 i − 2 j + 3k además satisface a la condición: m • (1 i + 2 j − 7 k ) = 10
114. Se dan los vectores (
a = 2i − 3j + 1k , b = −3i + 1j + 2 k y c = 1 i + 2 j + 3k , calcular: a × b × c)
115. Se dan los vectores ( )
a = 2i − 3j + 1k , b = −3i + 1j + 2 k y c = 1 i + 2 j + 3k , calcular: a × b × c

116. Se dan los vectores a = 2i − 3j + 1k , b = −3i + 1j + 2 k y c = 1 i + 2 j + 3k , calcular: b × ( a × c )
117. Se dan los vectores a = 2i + 2 j + 1k , b = 1i + 1k y c = 1 i + 1 j − 4 k . Determinar el vector unitario u
ˆ
contenido en el plano formado por los vectores a y b además que sea perpendicular al vector c .

a = 2i , b = 4 k y c = 3 j . Determinar: a × b • c

119. Se dan los vectores a = 3i , b = −4 j y c = 2 k . Determinar: ( c × b ) • a

120. Se dan los vectores a = − 5i , b = 3j y c = −4 k . Determinar: ( a × c ) • b

121. Los vectores a y b forman entre si un ángulo de 30° además a = 6 y b = 3 Sabiendo que el vector c

de módulo 3 es perpendicular a ( )
a y b , calcular: a × b • c

a = 1i − 1j + 3k , b = −2i + 2 j + 1k y c = 3i − 2 j + 5k . Determinar: a × b • c

123. Se dan los vectores a = 1i − 1j + 3k , b = −2i + 2 j + 1k y c = 3i − 2 j + 5k . Determinar: ( c × b ) • a
124. Se dan los vectores a = 2i + 3 j − 1k , b = 1i − 1 j + 3k y c = 1i + 9 j − 11k . ¿Son coplanares los
vectores a ,b y c ?
125. Se dan los vectores a = 3i − 2 j + 1k , b = 2i + 1 j + 2 k y c = 3i − 1 j − 2 k . ¿Son coplanares los
vectores a ,b y c ?
126. Se dan los vectores a = 2i − 1 j + 2 k , b = 1i + 2 j − 3k y c = 3i − 4 j + 7 k . ¿Son coplanares los
vectores a , b y c ?
127. Se conocen los cuatro puntos: A (1; -2; 2), B (1; 4; 0), C (-4; 1; 1) y D (-5; -5; 3). ¿Son coplanares estos
cuatro puntos?
128. Se conocen los cuatro puntos: A (1; 2; -1), B (0; 1; 5), C (-1; 2; 1) y D (2; 1; 3). ¿Son coplanares estos
cuatro puntos?
129. Determinar el volumen de un tetraedro cuyos vértices están en los puntos A (2; -1; 1), B (5; 5; 4), C (3; 2; -
1) y D (4; 1; 3).
130. Se tiene un tetraedro cuyos vértices son A (2; 3; 1), B (4; 1; -2), C (6; 3; 7) y D (-5; -4; 8). Calcular la
longitud de la altura bajad desde el vértice D al plano ABC.
131. El volumen de un tetraedro es 5 unidades cubicas, tres de sus vértices están en los puntos:
A (2; 1; -1), B (3; 0; 1), C (2; -1; 3). Determinar las coordenadas cartesianas del cuarto vértice, D, si se sabe
que está contenida en el eje OY.
132. Determinar el volumen en unidades cubicas del paralelepípedo construido sobre los vectores concurrentes
a = 8i , b = 2i + 8 j y c = 1i + 1 j + 8k
133. Determinar el volumen en unidades cubicas del paralelepípedo construido sobre los vectores concurrentes
a = 4i , b = 4 j y c = m. j + 4 k , donde “m” es un número real.
134. Se tiene un plano P cuya ecuación es: 2 x + 2y - 3 z – 20 = 0. Determine el vector unitario
perpendicular al plano.
135. Se tiene un plano P cuya ecuación es: 3x + 4y +12z – 20 = 0. Determine el vector unitario perpendicular al
plano.
136. Descomponer el vector a = 10i + 10 j + 4 k en dos componentes rectangulares en las direcciones
perpendicular y paralela al plano P cuya ecuación es: 6x +3y +2z – 11= 0.



137. Una fuerza F = 20i + 10 j − 30 k (en newtons) actúa sobre un bloque que logra desplazarlo desde la
posición A (2; 3; -4) hasta B (6; 4; -1). Determine la cantidad de trabajo que realiza la fuerza sobre el bloque
cuando se desplaza desde A hasta B. El trabajo se calcula multiplicado escalarmente la fuerza por el
desplazamiento: WA → B = F • d AB
F

Las coordenadas estas expresadas en metros y el trabajo se mide en joules (J).
138. Una fuerza F = 50i − 20 j + 30 k (en newtons) actúa sobre un bloque que logra desplazarlo desde la
posición A (2; 0; -4) hasta B (6; 4; 0). Determine la cantidad de trabajo que realiza la fuerza sobre el bloque
cuando se desplaza desde A hasta B. Las coordenadas estas expresadas en metros y el trabajo se mide en
joules (J).
139. Se muestra un cuadriculado de lados igual a la unidad. En el sistema vectorial mostrado, determine el
valor de la siguiente operación:

a) ( ) ( )
F= a−b • c+d b 1
b) I = ( a + b ) • ( c − d )

a•b+a•c+b•c
c
c) S=
a+b+c Para el problema 139 a
d) Y = a× b + c×d
a•b+a•c+a•d d
e) C =
b•c+ b•d+ c•d
f) ( ) (
A= a+b × c+d )
g) Sabiendo que a = m.b + n.c , donde m y n son números reales. Determine ( m + n )
h) Sabiendo que d = r.b + s.c , donde r y s son números reales. Determine ( r + s )
i) Sabiendo que c = p.b + q.d , donde p y q son números reales. Determine ( p + q )

140. Se muestra un cuadriculado de lados
igual a la unidad. En el sistema vectorial a
mostrado, determine el valor de la b
siguiente operación:

a) ( ) ( )
Θ= a−b • c−d
b) Φ = ( a − b ) • ( c + d )

a•b+a•c+b•c d
c) Ζ=
a+b+c
d) ( )
Ω = a×b •c + c×d •a( ) c Para el problema 140

a•b−a•c−a•d
e) ∆=
b•c− b•d− c•d
f) ( ) (
α = a−b × c−d )
g) Sabiendo que a = m.b + n.c , donde m y n son números reales. Determine ( m + n )
h) Sabiendo que d = r.b + s.c , donde r y s son números reales. Determine ( r + s )
i) Sabiendo que c = p.b + q.d , donde p y q son números reales. Determine ( p + q )


141. Se muestra un cubo de arista igual a la unidad de medida. En el sistema vectorial mostrado, determine
el valor de la siguiente operación:
Z
b
a) ( ) ( )
α = a−b • c+b
b) β = ( a + b ) • ( c − b )

a+b+c
c) δ=
a•b+a•c+b•c
d) Y = a × b + c × a

a Y
a•b+ a•c+ b•c
e) φ=
c a•a − b•b− c•c

X µ=
( )
a + b × (c − a)

( a + b) • c
f)
Para el problema 141

g) El resultado de (
a × b× c ) compara con ( a × b) × c ¿son iguales?

142. Se muestra un cubo de arista igual a la unidad de medida.
a) Calcular: a+b+c
Z
b) Calcular: a + 2b − 3c

c) Determine el vector unitario de: ( a − b + c) a
d) Determine el vector unitario de: ( a + b − c )
b
e) Reducir: Θ =
( a − b) • ( c − b)
( a + b) • c Y

Φ=
( a − b) • ( c + b) c
a • ( b − c)
f) Reducir:
X
Para el problema 142

a−b+c
g) Reducir: Ζ=
a•b+a•c−b•c

h) Ω =
( ) (
a×b •c + c×b •a )
a•a + b•b+ c•c

i) ∆=
( a × b) • c − ( a × c) • b
b•b−a•a − c•c

α=
( a − b) × ( b − c)
a • ( b + c)
j)



( ) ( a × b) × c
A
k) El resultado de a × b× c compara con
¿son iguales?

143. Se muestra un sistema de vectores.
a) Expresar el vector AC en función de los vectores
AB y AD .
b) Expresar el vector AD en función de los vectores D C B
AB y AC . 2 3
c) Expresar el vector AB en función de los vectores Para el problema 143
AD y AC .

Taller Número 1
Pregunta Nº 1
Responde las siguientes preguntas, justificando su respuesta.
a) Se tienen dos vectores A y B. ¿Es posible que el módulo de la suma de dichos vectores sea
menor que el módulo de cualquiera de ellos? ¿Cómo?
b) El módulo de la suma de dos vectores siempre es menor o igual a la suma de los módulos de
dichos vectores. ¿Es esto correcto?
c) La casa de las pastas vende una pizza de 8 pulgadas de diámetro a 20 soles. Si escoges un
sector de ella que vale 5 soles, ¿cuánto mide la superficie del pedazo de pizza que escogiste (en
cm2)? (Dato: 1pulgada = 2,54 cm)
d) Un leopardo en carrera puede alcanzar una velocidad de 100 km/h. En contraste, un caracol
puede alcanzar una velocidad de 1,8 mm/s. ¿Cuántas veces más rápido es el leopardo con
respecto al caracol?

Pregunta N° 2
Se tienen los siguientes los vectores: a, b, x, y, z y u,
y se sabe que en el paralelogramo OPSV se cumple
que 2PQ = QR = 2RS y 2ST = TU = 2UV.
a) Hallar (x + y) y (z + u) en función de a y b.
b) Hallar (x − z + y − u) en función de a y b.
c) Hallar el módulo de (x + y + z + u), sabiendo
que los módulos de a y b son 10 y 6 unidades,
respectivamente, y que el ángulo obtuso del
paralelogramo mide el doble de su ángulo
agudo.

Pregunta Nº 3
El peso P de un cuerpo de masa m se puede calcular multiplicando la masa del cuerpo por el valor
de la aceleración de la gravedad g, esto es: P = mg. En el Sistema Inglés la masa se mide en slug, la
aceleración en pie/s2 y el peso en libras (lb). En el Sistema Internacional la masa se mide en kg, la
aceleración en m/s2 y el peso en newtons (N). Además se sabe que en el Sistema Inglés se cumple
que 1 lb = 1 slug x pie/s2, mientras que en el Sistema Internacional se tiene que 1 N = 1 kg x m/s2. La
equivalencia entre las unidades de peso de los dos sistemas es: 1 lb = 4,448 N, y la equivalencia
entre las unidades de longitud es: 1 pie = 0,3048 m. Considerando que la aceleración de la gravedad
en el Sistema Internacional es g = 9,81 m/s2, determinar:
a) La aceleración de la gravedad (en pie/s2).
b) La equivalencia entre las unidades de masa de los dos sistemas.
c) La masa (en slug) de un tractor (de transporte de cohetes) cuyo peso es de 4,9 x 106 libras.
d) ¿cuántos automóviles de 106 g de masa suman una masa total igual a la del tractor?



Pregunta Nº 4
Dos motociclistas parten desde un mismo punto, recorriendo las siguientes rutas: El primero se dirige 8 km
hacia el norte, luego gira 65° en sentido antihorario recorriendo 10 km, para finalmente girar 140° en sentido
horario y recorrer 12 km. El segundo se dirige 9 km hacia el este y luego gira 45° en sentido antihorario
recorriendo 7 km.
a) ¿A qué distancia se encuentra cada uno del punto de partida?
b) ¿A qué distancia se encuentran entre sí los dos motociclistas?
c) ¿Qué ángulo tendría que girar el segundo motociclista, y en qué sentido, para alcanzar al primer
motociclista en un tercer tramo recto de recorrido?

Pregunta Nº 5
El goleador del equipo del Manchester necesita sólo de 3 toques para marcar un gol. El primer toque
(desde el origen O) mueve la pelota 120 pies al norte, el segundo toque 60 pies al noreste (N 45º E)
y el tercer toque 30 pies al noroeste(N 45º O). Determina la distancia que recorrería la pelota y el
ángulo del lanzamiento con respecto a la horizontal para que el lanzamiento sea en un solo toque.
Asume que el jugador patea desde el origen O y la pelota llega exactamente al mismo punto de
ingreso al arco que en la jugada de 3 toques. Da tu respuesta en forma analítica y gráfica. Nota: 1 pie
= 12 pulg y 1 pulg = 2,54 cm

Pregunta Nº 6
A. Cuando una gota de aceite se esparce en una superficie de agua, la película de aceite que se forma es
aproximadamente de una molécula de espesor. Una gota de aceite de 9,0×10-7 kg de masa y de 918 kg/m3 de
densidad se esparce dentro de un círculo de 41,8 cm de radio sobre una superficie de agua. ¿Cuál es el
tamaño de una molécula de aceite? (La densidad se define como la masa total dividida por el volumen)

B. Una esfera sólida de 2,5 m de diámetro se encuentra sumergida a gran profundidad en el océano. Se sube a
la superficie y su radio aumenta en 10% debido al cambio en la presión del agua. Considerando que 1
pulgada equivale a 2,54 cm, se pide determinar el volumen de la esfera en la superficie (en pulgadas
cúbicas).

Pregunta Nº 7
Un niño está buscando un tesoro enterrado. Su mapa le indica empezar en A y moverse rumbo a B,
pero solo la mitad de la distancia entre los dos puntos. Después debe caminar hacia C, cubriendo
solo un tercio de la distancia entre B y C. Luego debe dirigirse a D, recorriendo un cuarto de la
distancia entre C y D. Por último debe moverse hacia E, cubriendo un quinto de la distancia entre D y
E, detenerse y cavar. Si el lado de un cuadrito de la cuadrícula del mapa representa 10 m, ¿a qué
distancia del punto A se encuentra enterrado el tesoro?

144.


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