UACH Kinesiologia Fisica 1.1 Modelamiento

Física en la Kinesiología
1.1 Modelamiento
Teoría

Dr. Willy H. Gerber

Instituto de Física,
Universidad Austral, Valdivia, Chile

14.08.2009

W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.1 Modelamiento - Teoría 14.08.2009 1 / 53

El Método Científico

La Ciencia trabaja hoy mediante el
llamado "Método Científico"que se
debe en gran medida a John
Stuart Mill.

El Método se basa en caracterizar
el Problema, establecer una
Hipótesis de Trabajo, realizar
Predicciones y Verificar estas
experimentalmente [1].
J.S. Mill
(1806-1873)


Los Pasos a seguir

En detalle:
▶ Caracterización del Problema- Se le debe estudiar
realizando las mediciones necesarias que permitan
conocer las Variables que participan y como estas se
relacionan.
▶ La Hipótesis de Trabajo - Se establecen mecanismos y
sus Leyes asociadas que pretenden describir como
funciona el Sistema en Estudio.
▶ Teoría y Predicciones - De los Mecanismos descritos y
de las Leyes enunciadas se pronostican comportamientos
que puedan ser observados y medidos.
▶ La Verificación Experimental - Se procede a verificar
que el pronostico obtenido de la Teoría concuerda con la
Medición obtenida de los Experimentos de verificación.

Caracterización del Problema
Bajo Caracterización del Problema
se entiende
▶ La identiﬁcación de las
Constantes y Variables que lo
describen.
▶ La especiﬁcación de la forma
en que se pueden medir
dichas Constantes y
Variables.
▶ Su medición, mostrando
posibles interrelaciones entre
distintas Variables y
Constantes.
Medición


Ejemplo de Problema

Max Kleiber descubrió en 1932
que en Organismos, desde la
escala celular hasta le de los
grandes Mamíferos, el Fluo de
Calor ΔQ/Δt y la Masa M corporal
se relacionaban según la relación

ΔQ
∝ M 3/4 = M 0,75 (Ley de Kleiber)
Δt
La pregunta es porque se da esta
relación y porque es
Max Kleiber independiente de la especie y del
(1893-1976) tamaño característico de esta.


La Hipótesis de Trabajo
Las Hipótesis son por lo general:
▶ Aﬁrmaciones no triviales que
explican lo observado en
función de un Mecanismo o
Causa.
▶ Inferidas (=adivinadas) y no
deducibles de las
Observaciones del Problema.
Hipótesis de Copernico: ▶ Extensibles a otros Problemas
el Sol esta en el centro pronosticando
del Sistema Solar comportamientos aun no
observados/medidos.


Ejemplo de Hipótesis

Si continuamos con el Ejemplo de la Ley de Kleiber, podemos
establecer un Mecanismo como Hipótesis de Trabajo. Esta
podría ser que:
▶ todo Organismo genera Calor
▶ el Calor debe ser disipado para mantener una
temperatura constante
▶ la disipación ocurre por la Superﬁcie
▶ la limitación en Superﬁcie se relaciona al Volumen
▶ el Volumen se asocia a la Masa
Por ello la Limitación en la Disipación de Calor lleva a una
Relación entre Calor Disipado y Masa del Organismo.


Teoría y Predicciones

La Hipótesis permite establecer
relaciones matemáticas entre las
Variables y Constantes. En base a
estas, y otras leyes antes
aceptadas, es posible pronosticar
el Comportamiento de los
Sistemas modelados.

Se aplican inicialmente al
Problema para el cual se formulo
la Hipotiposis y se extiende luego
La Teoría se expresa a otros Problemas.
mediante matemática


Ejemplo de Predicciones I

Las Hipótesis del Ejemplo de la Ley de Kleiber nos llevan a las
siguientes Teoría:
▶ todo Organismo genera Calor:
Calor ΔQ
=
Tiempo Δt
▶ la disipación ocurre por la Superﬁcie:
ΔQ
∝S
Δt
▶ el Volumen se asocia a la Masa:

V∝M

Ejemplo de Predicciones II

▶ la limitación en Superﬁcie se relaciona al Volumen. Si se
introduce un largo característico del Organismo L, la
Superﬁcie sera:
S ∝ L2
mientras que el Volumen sera:

V ∝ L3

En otras palabras sera:

S ∝ V 2/3

En otras palabras

ΔQ
∝ S ∝ V 2/3 ∝ M 2/3
Δt

La Veriﬁcación Experimental

La Veriﬁcación de que el
Pronostico calculado concuerde
con los Valores medidos es un
requisito básico para que la
Hipótesis pueda sostenerse. No
constituye prueba de la validez de
la Hipótesis. De hecho no existe la
posibilidad de probar una
Hipótesis. Esta es considerada
valida mientras no exista un Caso
en que el Pronostico discrepe con
la Situación medida.
Comparación de
Pronostico con Medición

Ejemplo de Veriﬁcación

En el Ejemplo de la Ley de Kleiber la relación empírica es
ΔQ
∝ M 3/4 = M 0,75 (Ley de Kleiber)
Δt
mientras que la teoría nos esta dando
ΔQ
∝ M 2/3 = M 0,66
Δt
que es similar pero no idéntico. Concluimos que la Hipótesis
nos da un comportamiento similar pero no idéntico por lo que
aun debe contener errores. Por ello se empelara pero equipos
de cientíﬁcos continuaran buscando una mejor explicación que
entregue una Ecuación mas similar a los valores medidos.


Nuevo Ejemplo de Hipótesis I

En 1997 un grupo de Biólogos y
Físicos propusieron una nueva
Hipótesis que generaliza la
anterior. Ellos indicaron que no
solo existía el problema del calor,
también había que considerar un
tema mas general que es el
Transporte. Nuestro cuerpo, al
igual que en otras criaturas,
regulamos nuestra temperatura
mediante la Sangre. En forma
similar distribuimos Nutrientes y
Oxígenos y eliminamos desechos.
Comparación de
Pronostico con Medición

Nuevo Ejemplo de Hipótesis II

La nueva Hipótesis se puede resumir en los siguientes puntos:
▶ todo Organismo emplea redes para Transportar
elementos que necesita para vivir
▶ el calor Disipado va a ser proporcional al numero de
canales
▶ las redes tienen estructura de fractales, van generando
copias de copias
▶ el numero de canales va creciendo tanto por efecto del
Volumen como por el Largo del canal en si
▶ el Volumen se asocia a la Masa
Por ello la Limitación en los mecanismos de Transporte
condicionan la Disipación de Calor y lleva a una Relación entre
Calor Disipado y Masa del Organismo.


Nuevo Ejemplo de Predicciones I

Las nuevas Hipótesis del Ejemplo de la Ley de Kleiber nos
llevan a las siguientes Teoría:
▶ todo Organismo genera Calor:

Calor ΔQ
=
Tiempo Δt
▶ la disipación ocurre en función de los Canales:
ΔQ
∝N
Δt


Nuevo Ejemplo de Predicciones II

▶ si se introduce un largo característico del Organismo L, el
Volumen sera:
V ∝ L3
▶ la limitación en Transporte se relaciona al numero de
Canales. El numero de Canales es proporcional al
Volumen y al largo de estos:

N ∝ L3 L

En otras palabras

ΔQ
∝ L3 ∝ V 3/4 ∝ M 3/4
Δt


Revoluciones Cientíﬁcas
El ejemplo recién descrito muestra
como las Hipótesis van surgiendo
y son reemplazadas por otras que
reﬂejan mejor lo observado. Según
Thomas Kuhn, cada nueva
Hipótesis forma un nuevo
Paradigma mas poderoso que
reemplaza el anterior cuando este
va perdiendo apoyo.
En este caso en particular, el
nuevo paradigma explica que es
aplicable a todo ser con mas de
Thomas Kuhn una capa de células pues requiere
(1922-1996) de Transporte (Nutrientes,
Oxigeno, Calor, etc.) para
sobrevivir.

Describiendo el Mundo 1D

▶ La Posición
▶ El Tiempo
▶ La Función


Posición, el Origen

Una Posición se deﬁne como una
distancia respecto de algún punto
de Referencia. Dicho Punto se
denomina Origen y se denota
muchas veces con una variable
con un subindice 0.

Un ejemplo podría ser x0 .


Posición, la Distancia

La Posición se indica como
Distancia respecto de un Punto
de Referencia o Origen.

La Distancia se mide en metros o
kilmetros y se indica mediante una
letra.

Un ejemplo podría ser x o s.


El Tiempo

La otra variable que necesitamos
es el tiempo que se denota por lo
general con la letra t.

El tiempo lo medimos en segundos,
minutos, horas o aos.


La Funcion
El problema es que no nos
interesa la Posición en un tiempo
en particular. Debemos poder
describir la Posición en todo
tiempo. Para ello se emplea un
instrumento matemático que se
denomina Función.
En nuestro caso x no es una
Posición, es la Función de
Posición que nos indica para
cualquier tiempo t la Posición en
ese instante. Esto se escribe de la
forma:
x = x(t)


Como opera una Función
Una Función es como una
maquina, uno le entrega un valor
de Tiempo t y ella nos entrega la
Posición x para dicho Tiempo x(t).
A modo de ejemplo podemos
preguntarle la Posición x(t)
después de t = 20 seg. Dicha
pregunta se escribe como x(20 s) y
nos entrega por ejemplo 1,2 m.
Esto seria:

x(20 s) = 1,2 m

Una Función se puede representar
en diversas formas.

Tabla de Valores
Una forma de representar la
Función es mediante Tablas de
Valores. En dicho caso uno debe
localizar el Tiempo t que busca y
entregar la Posición x
correspondiente. A modo de
ejemplo en la Tabla adjunta, si
t = 5 s la Posición sera de
x = 82,5 cm.

La principal diﬁcultad de este
método radica en que para
tiempos intermedios (ej. t = 5,25 s)
es necesario interpolar.


Curva
El problema principal de la Tabla
de Valores se puede obviar en
parte si los valores de la Posición
son graﬁcados para los Valores
posibles del Tiempo. Aun que en

este método es mas fácil
interpolar, de hecho cada lectura
es en si una estimación y los
valores determinados tienen una
exactitud limitada.


Ecuación
La forma mas elegante de
expresar una Función es mediante
una Ecuación. La Ecuación nos
permite calcular cualquier valor de
Tiempo que deseemos con el nivel
de presicion que se estime. Si la

Función por ejemplo fuera

x(t) = 5,0 + 0,125t2 en cm

se obtiene en forma directa que la
Posición en t = 1,2 s es
x(1,2 s) = 5,0 + 0,125 ⋅ (1,2 s)2
= 5,18cm


Describiendo el Mundo 3D

▶ La Posición en 3D
▶ Volúmenes en el Espacio
▶ La Orientación del Volumen


El Origen en 3D
Para deﬁnir el Origen debemos
introducir un Sistema de
Referencia.
ˆ
z
El Sistema de Referencia es un
Sistema de Coordenadas.
(x0 , y0 , z0 )
El Origen es expresando como un
ˆ
x ˆ
y Punto respecto de dicho Sistema
de Referencia.

El Origen puede o no estar en el
Origen del Sistema de Referencia.


Simetría de Traslación
Si considero un espacio vacío (sin
objetos) puedo realizar un
experimento en dos puntos
distintos de este y el resultado va
a ser el mismo.

En este caso hablamos de
invariancia traslación.

Dado esto podemos concluir que
las leyes que derivemos serán
validas aquí y en cualquier punto
del Universo. Ademas concluimos

que podemos elegir el Origen de
nuestro Sistema a voluntad.

La Posición en 3D
La Posición se describe por un
Vector que va del Origen (x0 , y0 , z0 )
al Punto (x, y, z), ambos
(x, y, z) expresados en las Coordenadas
del Sistema de Referencia.

Mientras el Origen es ﬁjo en el
(x0 , y0 , z0 ) tiempo, el Punto (x, y, z) puede
variar en el tiempo y con ello el
largo y Orientación del Vector.

Para recordar dicha dependencia
podemos escribir que el Punto es
(x(t), y(t), z(t))


Ejemplo de Sistema de Referencia
Si se observa el enrejado se
puede ver que forma un verdadero
Sistema de Referencia en que se
puede tomar como Origen una de
las esquinas en el suelo de la
Jaula. La Profundidad puede ser
tomada como el Eje x, el Largo
como el Eje y y el Alto como el Eje
z.

Uno de los implemento Con la ayuda de este Sistema de
usados en la practica del Referencia podemos describir
Kinesiologo es la Jaula cualquier Posición de una Parte
de Rocher. del Cuerpo del Paciente en
función de Coordenadas bien
deﬁnidas.

Volumen en el Espacio
Hasta ahora describíamos un
Punto en el Espacio. Cuando
queremos describir un Cuerpo en
el Espacio las tres Coordenadas
podrían no ser suficiente.

Si el Cuerpo es una Esfera la
Posición sera suficiente pues el
Cuerpo es simétrico bajo
rotaciones.

Distinta es la Situación con un
Cubo. Si lo rotamos obtenemos
distintas situaciones. En este caso
la Posición no es suficiente.


Modelando el Cuerpo
En este caso debemos deﬁnir un
Eje del Cuerpo.

Un Eje es un Vector de
Referencia que esta ﬁjo al
Cuerpo. Para efecto de describir la
Posición es un Vector unitario o
sea su Largo es igual a la Unidad.


Modelando el Cuerpo
El Cuerpo Humano tiene dos tipos
de Complejidades:
Forma: El Cuerpo no se puede
describir por un Cuerpo
geométrico simple (ej. una Esfera).
Es necesario segmentarlo en un
gran numero de Elementos
menores.
Movimientos: El Cuerpo no es un
elemento rígido, muestra una serie
de Puntos en torno de los que
pude rotar. Dicha Rotación puede
ser en un Plano o en dos. Ademas
existen Puntos de Apoyo que
sirven como Ejes de Rotación.

Modelando la Forma

El Modelamiento de la Forma se
centra en la Identiﬁcación de
Cuerpos tales como:
▶ Cono
▶ Elipsoide
▶ Paralelepípedo Recto
En cada ocasión tenemos que
deﬁnir la Posición del Centro, las
Dimensiones y la Orientación de
un Eje en particular.


Modelando las Articulaciones

Para poder estudiar la Movilidad
del Cuerpo es necesario describir
correctamente las Articulaciones
de Este. Modelar una Pierna como
un Cilindro único no entregaría el
comportamiento correcto al
caminar. Por ello es necesario
buscar la geometría mas simple
posible que respete las principales
Articulaciones.


Ejemplo Pierna

En el caso de la Pierna, los
Puntos claves son:
▶ M1: Base parrilla costal.
▶ M2: Trocanter Mayor.
▶ M3: Epicondilo lateral.
▶ M4: Cabeza de la Fibula.
▶ M5: Maleolo Lateral.
▶ M6: Heel
▶ M7: Cabeza 5th Metatarsiano.
▶ M8: Toe


El Cono
Por comodidad se puede asumir
que la Posición del Cilindro se
describe mediante la Posición del
ˆ
z Centro Geométrico.
a
El Volumen del Cono esta dado
c por
1
b V= (a2 + ab + b2 )h (1)
3
ˆ
x ˆ
y
El Eje se supone siempre en la
Dirección ˆ.
z


El Elipsoide
La Posición del Elipsoide se
asume en el Centro Geométrico.
ˆ
z El Volumen del Elipsoide esta
dado por
2c
4
2a ˆ
y V= abc (2)
2b 3
ˆ
x
Dirección ˆ.
z


Paralelepípedo Recto
La Posición del Paralelepípedo
Recto se asume en el Centro
ˆ
z Geométrico.
El Volumen del Paralelepípedo
Recto esta dado por
c ˆ
y
ˆ
x V = abc (3)
b a
Dirección ˆ.
z


Delimitaciones I

Brazo:
Proximal: Centro de la articulación Glenohumeral. Punto medio
de la masa palpable de la cabeza y tuberosidades del humero.
Distal: Centro de la articulación de codo. Punto medio entre el
epicondilo medial del humero y un punto a 8mm por sobre el
radio (articulación radio-humeral)
Antebrazo:
Proximal: Centro de la articulación de codo. Punto medio entre
el epicondilo medial del humero y un punto a 8mm por sobre el
radio (articulación radio-humeral)
Distal: Centro de la articulación de muñeca. Pliegue distal de
muñeca sobre el tendón del Palmaris Longus. O bien punto
medio de la línea trazada entre el extremo distal de la
estiloides radial y el hueso pisiforme.


Delimitaciones II
Mano:
Proximal: Centro de la articulación de muñeca. Pliegue distal
de muñeca sobre el tendón del Palmaris Longus. O bien punto
medio de la línea trazada entre el extremo distal de la
estiloides radial y el hueso pisiforme
Distal: Centro de masa de la mano. Punto de intersección entre
pliegue palmar transverso proximal y pliegue radial longitud en
línea con el tercer dedo.
Muslo:
Proximal: Centro articular de cadera. Trocánter mayor, 1 cm
anterior a la porción más lateral y prominente del trocánter
mayor.


Delimitaciones III
Distal: Punto medio entre centros de las convexidades
posteriores de los condilos femorales. Tubérculo lateral del
condilo lateral de fémur.
Pierna:
Proximal: Punto medio entre centros de las convexidades
posteriores de los condilos femorales. Tubérculo lateral del
condilo lateral de fémur.
Distal: Centro articulación de tobillo: nivel de la línea trazada
entre el ápice del maleolo ﬁbular y 5mm distal del maleolo tibial.
Pie.
Distal: Centro articulación de tobillo: nivel de la línea trazada
entre el ápice del maleolo ﬁbular y 5mm distal del maleolo tibial


Delimitaciones IV
Proximal: Centro de masa del pie. En medio de la línea trazada
entre el centro articular de tobillo y la cabeza del segundo
metatarsiano.


Lista de Elementos I

Para modelar nuestro cuerpo se consideraran los Elementos
que se indican a Continuación.
Elementos Numero Forma
Cabeza 1 Elipsoide
Cuello 1 Cono
Torso 1 Cono
Brazo 2 Cono
Antebrazo 2 Cono
Mano 2 Paralelepípedo
Dedos 2 Paralelepípedo
Abdomen 1 Cono
Cadera 1 Cono


Lista de Elementos II
Elementos Numero Forma
Muslo 2 Cono
Pierna 2 Cono
Pies 2 Paralelepípedo
Dedos 2 Paralelepípedo

Este modelo es una simpliﬁcación que a lo menos se acerca a
la geometría real y permite estudiar los movimientos generales
del cuerpo. Para estudiar motricidad ﬁna se deberá desarrollar
un Modelo Geométrico similar con mayor detalle en la Zona a
estudiar.


La Masa Total
El Volumen Total esta dado por la
Suma de los Volumenes
indiviuales

Vt = Vk (4)
k

Si asumimos todos los Volumenes
tienen una Densidad pareja (por
ejemplo = 1,04 g/cm3 ) se puede
estimar la masa directamente
multiplicando el Volumen total con
la Densidad:

Mt = V t (5)


Anexos

▶ Unidades
▶ Conversiones
▶ Bibliograﬁa
▶ Contacto


Unidades

Simbolo Tipo Ejemplos
L Largo m, cm, mm, m
T Tiempo s, min, hrs
M Masa kg
% Porcentaje −

Simbolo Tipo Ejemplos
L2 Área, Superﬁcie m2 , cm2
L3 Volumen m3 , cm3
M/L3 Densidad kg/m3 , g/cm3


Conversiones I

1 m = 10−6 m 1 nm = 10−9 m 1 nm3 = 10−9 m3
1 mm = 10−3 m 1 nm2 = 10−18 m2 1 m3 = 10−18 m
1 cm = 10−2 m 1 m = 10−12 m 1 mm3 = 10−9 m3
1m = 10+2 cm 1 mm2 = 10−6 m2 1 cm3 = 10−6 m3
1m = 10+3 mm 1 cm2 = 10−4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10−3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt
1m2 = 10−4 ha


Conversiones II

1 g/cm3 = 10+3 kg/m3 1s = 1,67 × 10−2 min
1 kg/m3 = 10−3 g/cm3 1s = 2,78 × 10−4 hr
1s = 1,16 × 10−5 dias
1 m/s = 3,6 km/hr 1s = 3,17 × 10−8 aos
1 km/hr = 0,278 m/s 1 ao = 3,15 × 10+7 s
1 dia = 8,64 × 10+4 s
1 hr = 3600 s
1 min = 60 s


Bibliograﬁa I

Textos recomendados. En caso de links a Google Books se
trata de un acceso gratuito a una versión incompleta del libro.
Adicionalmente se indican libros disponibles en la Biblioteca
UACH y/o en la Interna
J.S. Mill, A system of logic, ratioclinative and inductive;
being a connected view of the principles of evidence and
the methods of scientiﬁc investigation. Harper Brothers,
New York, 1859
→ Bajar publicación (36.46 MB)
Kleiber M. Physiological Reviews 1947 27 511-541


Contacto

Dr. Willy H. Gerber
wgerber@gphysics.net

Instituto de Física
Universidad Austral de Chile
Campus Isla Teja
Valdivia, Chile
+(56) 63 221125


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