Física de la Rotación

Física en la Kinesiología
1.3 Rotación
Teoría

Dr. Willy H. Gerber

Instituto de Física,
Universidad Austral, Valdivia, Chile

27.08.2009

W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 1 / 52

Describiendo una Rotación

Para describir una rotación debemos primero que todo estudiar

▶ Ejes
▶ Angulos
▶ Arcos
▶ Grados y Radianes


Ejes
Para poder describir una rotación
de un objeto en el espacio
debemos primero que todo
identiﬁcar un eje alrededor del
ˆ
z cual se rotara este.
El eje se describe mediante un
vector. Los ejes mas simples son
los ejes del sistema del sistema de
coordenada. En ese caso por
ˆ
x ˆ
y ejemplo rotamos en trono a un eje
ˆ, ˆ o ˆ, donde el techito indica de
x y z
que se trata de un vector normado
(su largo es uno).


Ángulos
Fuera del Eje debemos indicar el
Angulo en que se ha rotado el
Objeto.
Al igual que en el caso de la
Posición x, debemos indicar desde
donde se inicio el Movimiento. En
analogía al caso de la Posición
podemos designar el Angulo inicial
Δ como 0 .
0
En tal caso el Angulo total
recorrido sera:

Δ = − 0 (1)


Arcos
Uno de los movimientos que
podemos describir mediante la
rotación es el movimiento a lo
largo de un Arco. Si el Angulo se
mide en Radianes se puede
calcular la Distancia recorrida Δs
(el largo del Arco) simplemente
multiplicando el Angulo Δ
recorrido por el radio r mediante
r
Δ Δs = rΔ (2)

Δs De hecho la formula clásica del
calculo del Perímetro de un
Circulo (2 r) no es otra cosa que
un Arco de largo 2 .

Grados y Radianes
Es necesario trabajar radianes
pues solo con ellos se puede
calcular en forma directa la
distancia recorrida a lo largo de un
circulo. Por ello cada vez que
tengamos grados deberemos
convertirlos a radianes mediante

[rad] = [grad] = 0,17453⋅[grad]
180∘
(3)
En caso que se desee convertir
grados en radianes se puede
emplear

180∘
[grad] = [rad] = 57,296 ⋅ [rad]
W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.3 Rotación - Teoría
(4)
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Velocidad de Rotación

Al igual que en el caso de la traslación podemos describir la
forma como varia el Angulo que describe la posición (rotación)
del cuerpo. Por ello estudiaremos:

▶ Velocidad Tangencial
▶ Velocidad Angular Media
▶ Velocidad Angular Instantánea


Velocidad Tangencial
Si estudiamos la traslación a lo
largo del perímetro Δs veremos
que la velocidad deﬁnida
anteriormente como el camino Δs
recorrido en el tiempo Δt resulta
en este caso:
Δs
= (5)
Δt
r que con ayuda de (2) resulta
Δ
rΔ
Δs = (6)
Δt
El termino Δ /Δt corresponde a
una Velocidad de la Rotación.

Velocidad Angular Media
Podemos deﬁnir una Velocidad de
Rotación o Velocidad Angular
como
Δ
=
Δt
Si recordamos la discusión de la
velocidad de traslación para
tiempos ﬁnitos (Δt > 0)
concluimos que en el fondo se
trata en realidad de una Velocidad
Angular Promedio:

Δ
¯= (7)
Δt


Velocidad Angular Instantánea

Al igual que en la Velocidad de
Traslación existe el Concepto de
Velocidad Angular Instantánea
que es aquella Velocidad Angular
que existe en un tiempo
especiﬁco. Esta se calcula en la
aproximación de tiempos muy
pequeños (Δt → 0) o sea
Δ d
= limΔt→0 = (8)
Δt dt


Velocidad y Velocidad Angular

Con (6) y la deﬁnición de la
Velocidad Angular (7) se obtiene
que
¯ = r¯ (9)
que es el equivalente en velocidad
a lo que era la relación para el
arco
s=r


Ecuaciones de Movimiento

Sobre la base de lo que hemos visto, se puede inferir las
ecuaciones de Movimiento para lo que es una Rotación. Para
ello estudiaremos:

▶ Analogía con la Traslación
▶ Aceleración Angular
▶ Aceleración Angular Media
▶ Aceleración Angular Instantánea
▶ Caso Aceleración Angular Constante
▶ Ecuación de Velocidad Angular
▶ Ecuación de Angulo


Aceleración Angular Media
Al igual que en el caso de la
traslación, se puede deﬁnir una
medida de la variación de la
Velocidad Angular

Δ
¯= (10)
Δt
que denominaremos Aceleración
Angular. Al igual que en la
Aceleración de la Traslación se
trata de un valor promedio para el
caso de Tiempo Δt ﬁnito.


Aceleración Angular Instantánea

Al igual que en la Aceleración de
Traslación existe el Concepto de
Aceleración Angular Instantánea
que es aquella Aceleración
Angular que existe en un tiempo
especiﬁco. Esta se calcula en la
aproximación de tiempos muy
pequeños (Δt → 0) o sea
Δ d
= limΔt→0 = (11)
Δt dt


Analogía con la Traslación
Si observamos la Ecuación para el
arco (2) en el caso de condiciones
iniciales nulas (s0 = 0, 0 = 0) se
tiene la Ecuación simpliﬁcada del
Arco
s=r (12)
Para el caso de velocidad tenemos
(9)
=r (13)
Por ello se puede inferir que lo
mismo aplica a la Aceleración con
La Tierra rota a velocidad
angular constante. a=r (14)


Caso Aceleración Angular Constante

Como la aceleración gravitacional
es constante podemos imaginar
un sistema en que dicha
aceleración puede llevar a una
rotación de aceleración constante.
Esto se puede lograr si una masa
que cae se amarra vía una cuerda
a un disco. De esta forma la masa
arrastra el disco consigo
acelerándolo.


Ecuación de Velocidad Angular
De la Ecuación de Velocidad en
función del Tiempo para
Aceleración constante

= 0 + at (15)

tenemos por analogía la Ecuación
de Velocidad Angular en función
del tiempo para Aceleración
Angular constante

= 0 + t (16)


Ecuación de Angulo

De igual forma de la Ecuación de
la Evolución de la Posición para
Aceleración constante
1
s = s0 + 0t + at2 (17)
2
se tiene por analogía la Ecuación
de la Evolución del Angulo para
Aceleración Angular constante
1 2
= 0 + 0t + t (18)
2


Caminar y Correr

Para comprender como la rotacion de la

▶ Movimiento circula
▶ Aceleración Centrifuga
▶ Aceleración Centripeta


Movimiento Circular

Si estudiamos una catapulta
notaremos que la bala primero se
mueve a lo largo de la curva que
describe la cuchara. Esto lo hace
porque la cuchara esta diseñada
para retener la bala. Una vez se
detiene el brazo la bala continua
en linea recta en forma tangencial
al circulo que recorría.


Aceleración Centrifuga I
Si un cuerpo no es retenido y viaja
con una velocidad tangencial
recorrerá en un tiempo Δt la
B Δt C distancia Δt viajando desde B a
C. Sin embargo, si continua
D Δr orbitando, llegara tras el tiempo Δt
r
r al punto D. Si el objeto llega a C
A para un Observador en la tierra
existira una aceleración por la cual
un objeto se aleja de la tierra
(aceleración centrifuga)
recorriendo en el tiempo Δt la
distancia Δr.


Aceleración Centrifuga II
Para un Observador en el espacio
un objeto que se mueve en la
orbita se encuentra en una
permanente caída: en vez de
terminar en C cae en Δt la
distancia Δr hasta llegar a D. En
ambos casos podemos graﬁcar la
situación y empleando Pitagóricas
podemos ver que se debe cumplir

(r + Δr)2 = r2 + ( Δt)2

Si desarrollamos el cuadrado la
ecuación se reduce a

2Δrr + Δr2 = 2
Δt2

Aceleración Centrifuga III
Como la Variación del Radio Δr es
mucho mas pequeña que el radio
mismo (r ≪ Δr) se puede concluir
que
2Δrr = 2 Δt2
o despejando Δr

1 2 2
Δr = Δt
2 r
Comparando esta Ecuación con
(17) se concluye que el cuerpo
acelera con
2
ac = (19)
r

Aceleración Centripeta
Si el cuerpo no esta atado al
sistema que gira y se aleja en
forma tangencial (como la bala de
la catapulta) para un Observador
en el Sistema que gira el cuerpo
acelera alejándose del Centro del
Sistema. Por ello el hablara de
Aceleración Centrifuga.
Para un Observador externo que
ve un Objeto que esta ﬁjo a un
Sistema Giratorio el Cuerpo
debiese continuar en linea recta
pero acelera en dirección del
Centro. Por ello el hablara de una
Aceleración Centripeta.

Caminar y Correr simpliﬁcado I

El Giro de la Pierna sobre su
Punto de Apoyo genera una
Aceleración Centrifuga

¯2
ac = (20)
l
donde l es el largo de la Pierna y ¯
la Velocidad promedio. Si esta
Aceleración es superior a la
Aceleración Gravitacional g el
Cuerpo de la Persona se elevara.


Caminar y Correr simpliﬁcado II
La Velocidad limite en que
pasamos del Caminar al Correr se
da cuando la Aceleración (20) es
igual a g o sea
2
c
g=
l
Despejando la Velocidad critica se
obtiene
c = gl (21)
que para una persona de largo de
Pierna l = 0,8 m es

c = 9,8 m/s2 0,8 m = 2,8 m/s


Caminar y Correr

Para comprender como la rotación de la

▶ Análisis del Caminar
▶ Levantamiento del Talón
▶ Levantamiento del Metatarso
▶ Movimiento Oscilante
▶ Limite Caminar y Correr
▶ Respuesta a la Carga


Análisis del Caminar

Cuando una Persona camina vemos que su Tobillo se eleva.
Esta elevación es una consecuencia directa de la aceleración
centrifuga que experimenta nuestro cuerpo por efecto de rotar
la Pierna en torno al Punto de apoyo.

Levantamiento del Talón I
Volviendo a revisar los datos del
Capitulo anterior vemos que el
Angulo Talón-Metatarso-Suelo
aumenta al comenzar a acelerar el
pie (tiempo 2,54 s) hasta llegar a
un máximo en 1,2 rad o 69∘ . Esto
ocurre a 0,29 s de haber
comenzado a acelerar que en si
dura 0,50 s.
El segundo Peak de la Gráﬁca
corresponde a la Fase de Reposo
Angulo
donde el Talón esta en el Suelo
Talón-Metatarso-Suelo
pero el Metatarso se eleva.


Levantamiento del Talón II
El camino que recorre el
inicialmente estaba dado (ver
Capitulo 1.2) por
x(t)
1 2
x(t) = aa t (22)
2
Δ1
La rotación signiﬁca que el Angulo
esta ligado a x ya que

Δ1 (1 − cos x = Δ1 (1 − cos 1) (23)
1)

donde Δ1 es la Distancia entre
Talón y Metatarso.


Levantamiento del Talón III
Si reemplazamos (22) en (23) y
despejamos en el tiempo t
obtenemos el tiempo en que se
eleva el Talón:

′ 2Δ1 (1 − cos 1)
1 = (24)
aa

Si medimos que en la fase
portante media el Angulo alcanza
70∘ y la distancia Talón a
Metatarso tiene un largo de 19 cm
obtendríamos un tiempo

Desplazamiento Talon ′ 2 ⋅ 0,19(1 − cos 70∘ )
1 = = 0,22 s
5,02 m/s2

Levantamiento del Metatarso I

En la segunda fase, hasta el
termino de la fase portante, el pie
gira en torno a su punta
levantando el Metatarso. Este
proceso se inicia en nuestro
Ejemplo en el tiempo 2,83 s y
culmina en el tiempo 3,04 s, tiempo
en que el Pie como un todo inicia
el frenado. El punto de giro es
Angulo Metatarso-Punta ahora la Punta del Pie.
de Pie-Suelo


Levantamiento del Metatarso II
Ahora el camino recorrido es

x = (Δ1 + Δ2 )(1 − cos 2) (25)

donde Δ2 es el largo de los dedos
x(t)
Δ1 + Δ2 y 2 el angulo que forman estos
con el Suelo.
Si se observan los datos del
Δ1 movimiento del Talón veremos que
el Angulo se va reduciendo. El
Talón no continua girando en torno
1 2
al Metatarso si no solo en función
(Δ1 + Δ2 )(1 − cos 2) del giro de la Punta del Pie. De
esta forma se esta volviendo a una
situación en que el Pie esta plano.


Levantamiento del Metatarso III

En la Curva de Posición del Eje se
ve como el Metatarso se eleva dos
veces. La primera vez cuando el
Talón se ha alzado y el Metatarso
comienza a elevarse para pasar a
la fase Oscilante. Al termino de
esta el Metatarso se encuentra
cercano al suelo hasta que el Pie
se detiene apoyado en el Talón. En
esta ultima fase el Metatarso vuele
a subir hasta quedar en contacto
Desplazamiento con el Suelo al reponer la Carga.
Metatarso


Levantamiento del Metatarso IV

En el momento que el Giro en
torno de la Punta del Pie
termina, el Pie se desprende
del Suelo y el Proceso de
Frenado se inicia. Esto se debe
a que ya no podemos hacer
Fuerza contra el Suelo para
Impulsarnos.

Desplazamiento
Punta del Pie


Movimiento Oscilante I
Si se analiza el Movimiento hasta
este Punto, se ve que el Pie no
solo tiene la Componente de
z0 t Velocidad calculada en el Capitulo
anterior max , también tiene una
Componente vertical que de
2 max hecho puede llegar a levantar el
Pie. Esta componente se calcula
2 directo del Angulo que forma el Pie
y de la Velocidad ya determinada:

z0 = max cot 2 = 2¯ cot 2 (26)


Movimiento Oscilante II
Al perder la Pierna contacto con el
Suelo cesa el Movimiento que
origino la Aceleración Centrifuga y
el Pie inicia una caída libre hasta
que toque suelo nuevamente. Este
esta acompañado con una
t Velocidad horizontal que ya
max
calculamos en el Capitulo anterior
2 ( max ) y que va reduciéndose para
permitir que el Talón se pose
sobre el Suelo.


Movimiento Oscilante III

El Movimiento depende tanto de la
Altura que Alcanzo el Pie como de
la Velocidad vertical z0 que
alcanzo. Si el largo (talón-dedos)
es de d la altura sera

h = d sin 2 (27)

Con ambas condiciones iniciales
el Movimiento en la altura sera
1
z(t) = h + z0 t − gt2 (28)
Desplazamiento del 2
Tobillo


Movimiento Oscilante IV

Como el tiempo de Frenado es 2 ′

y este periodo termina cuando el
Talón toca el Suelo (z = 0)
tendremos que

′ 1 ′2
h+ z0 2 − g 2 =0
2
lo que nos lleva al Tiempo

+ 2 − 2gh
z0 z0
′
2 = (29)
g
Desplazamiento del
Tobillo


Limite Caminar y Correr I

Si observamos el Tobillo de un Corredor notaremos que al ﬁnal
de la fase portante, al iniciar la fase Oscilante, el Pie se
desprende del suelo. Esto es lo que ya estudiamos en la
lamina anterior.


Limite Caminar y Correr II
De hecho se observa como
toda la Pierna continua
subiendo y recién avanzado el
movimiento logra bajar para
posicionar el Tobillo. De la
ecuación se el tiempo que
tarda la pierna para llegar al
punto mas alto:
z0
c = (30)
g

y la Altura desde el Suelo
2
z0
zmax = h + (31)
Desplazamiento del Tobillo 2g

Limite Caminar y Correr III

La Persona comenzaría a
Correr al momento que el
Tiempo hasta aterrizar del Pie
′
2 comienza a ser mayor que el
tiempo de Frenado que
calculamos en el Capitulo
anterior
′
2 > 2 (32)

Movimiento (x,y) del Tobillo


Respuesta a la Carga
Finalmente el Talón se apoya en el
¯ 3
suelo (contacto inicial), el pie ya
no se desplaza horizontalmente y
solo gira para dejar la planta
paralela al Suelo. Al ser la
Velocidad de Traslación constante
(¯) la Velocidad angular también lo
sera. Si 3 es el Angulo que se
forma entre Planta de Pie y Suelo
la Velocidad Angular sera

3
3 = (33)
3
3
donde 3 es el Tiempo de Reposo.


Anexos

▶ Unidades
▶ Conversiones
▶ Bibliograﬁa
▶ Contacto


Unidades

Simbolo Tipo Ejemplos
L Largo m, cm, mm, m
T Tiempo s, min, hrs
M Masa kg
% Porcentaje −

Simbolo Tipo Ejemplos
L2 Área, Superﬁcie m2 , cm2
L3 Volumen m3 , cm3
M/L3 Densidad kg/m3 , g/cm3


Conversiones I

1 m = 10−6 m 1 nm = 10−9 m 1 nm3 = 10−9 m3
1 mm = 10−3 m 1 nm2 = 10−18 m2 1 m3 = 10−18 m
1 cm = 10−2 m 1 m = 10−12 m 1 mm3 = 10−9 m3
1m = 10+2 cm 1 mm2 = 10−6 m2 1 cm3 = 10−6 m3
1m = 10+3 mm 1 cm2 = 10−4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10−3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt
1m2 = 10−4 ha


Conversiones II

1 g/cm3 = 10+3 kg/m3 1s = 1,67 × 10−2 min
1 kg/m3 = 10−3 g/cm3 1s = 2,78 × 10−4 hr
1s = 1,16 × 10−5 dias
1 m/s = 3,6 km/hr 1s = 3,17 × 10−8 aos
1 km/hr = 0,278 m/s 1 ao = 3,15 × 10+7 s
1 dia = 8,64 × 10+4 s
1 hr = 3600 s
1 min = 60 s


Bibliograﬁa I

Textos recomendados. En caso de links a Google Books se
trata de un acceso gratuito a una versión incompleta del libro.
Introduction to Kinesiology: Studying Physical Activity, S.J.
Hoffman (Editor), Human Kinetics Publishers, 2008,
ISBN-13: 9780736076135
→ Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology, K. Clippenger, K.S.
Clippinger, Human Kinetics Publishers, 2006, ISBN-13:
9780880115315


Bibliograﬁa II

Kinesiology: Movement in the Context of Activity, D.P.
Greene, S.L. Roberts, Elsevier Science, 2004, ISBN-13:
9780323028226
Kineseology for Occupational Therapy, M. Rybski, SLACK,
Inc., 2004, ISBN-13: 9781556424915
ACSM’s Resources for the Personal Trainer: Techniques,
Complications, and Management, American College of
Sports Medicine, K.E. Baldwin, N.I. Pire (Editors),
Lippincott Williams Wilkins, 2006, ISBN-13:
9780781790536


Bibliograﬁa III

Biomechanics: Principles and Applications, D.R. Peterson,
J.D. Bronzino (Editors), Taylor Francis, Inc., 2007,
ISBN-13: 9780849385346
Principles of Biomechanics Motion Analysis, I.W. Grifﬁths,
Lippincott Williams Wilkins, 2005, ISBN-13:
9780781752312
Comparative Biomechanics: Life’s Physical World, S. Vogel,
A. Defarrari, Princeton University Press, 2003, ISBN-13:
9780691112978


Bibliograﬁa IV

Human-Like Biomechanics: A Uniﬁed Mathematical
Approach to Human Biomechanics and Humanoid
Robotics, V.G. Ivancevic, T.T. Ivancevic, Springer-Verlag
New York, LLC, 2006, ISBN-13: 9781402041167


Contacto

Dr. Willy H. Gerber
wgerber@gphysics.net

Instituto de Física
Universidad Austral de Chile
Campus Isla Teja
Valdivia, Chile
+(56) 63 221125

Set del Curso:
http://www.gphysics.net/physics-in-kinesiology-uach


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