El documento presenta un ejercicio resuelto de álgebra superior sobre ecuaciones. Se analizan varias ecuaciones derivadas de la ecuación 4x4 - 4x3 - 25x2 + x + 6 = 0, incluyendo ecuaciones con raíces múltiples, opuestas, aumentadas o disminuidas. Se determinan las raíces reales usando el teorema de Bolzano y se expresan los factores de la ecuación original. Finalmente, se construyen ejemplos de ecuaciones de grado cuatro con diferentes tipos de raíces.

1. 1
Universidad Autónoma de Santo Domingo
Facultad De Ciencias
Escuela De Matemáticas
Santo Domingo, D. N.
Abril , 2014
ALGEBRA SUPERIOR
Ejercicio Resuelto UNIDAD 3. Ecuaciones
Ejemplo Análisis Completo de Ecuación
Preparado por:
Rosa Cristina De Peña Olivares

2. 2
¿Qué Vamos a realizar con la ecuación?
4x4
– 4x3
-25x2
+ x + 6 = 0
1. Formar una ecuación cuyas raíces sean múltiplos de 2
A partir de : 4x4
– 4x3
-25x2
+ x + 6 = 0
( ) 4( ) x4
– 4( ) x3
-25( ) x2
+( ) x + ( ) 6 = 0
( ) 4(1)x4
– 4(2)x3
-25(4)x2
+8 x + 16(6) = 0
La ecuación pedida es: ( ) 4x4
– 8x3
- 100x2
+8 x + 96 = 0
2. Construir la ecuación de raíces opuestas a las raíces de la
ecuación conocida: 4x4
– 4x3
-25x2
+ x + 6 = 0
( ) 4( ) x4
– 4( ) x3
-25( ) x2
+( ) x + ( ) 6 = 0
( ) 4(1)x4
– 4(-1)x3
-25(1)x2
+(-1)x + (1)6 = 0
( ) 4x4
+ 4 x3
-25 x2
- x + 6 = 0
La ecuación pedida es: ( ) 4x4
+ 4 x3
-25 x2
- x + 6 = 0
3. Determinar la ecuación cuyas raíces estén aumentadas en
dos unidades respecto a la conocida:
4x4
– 4x3
-25x2
+ x + 6 = 0
4 -4 -25 1 6
-8 24 2 -6 -2
4 -12 -1 3 0
-8 40 -78
4 -20 39 -75
-8 56
4 -28 95
-8
4 -36
4
La ecuación a encontrar es ( ) = 0
Reemplazando cada coeficiente tenemos:
( ) = 0
La ecuación pedida es: ( ) = 0

3. 3
4. Encontrar la ecuación cuyas raíces estén disminuidas en
una unidad respecto a la conocida: 4x4
– 4x3
-25x2
+ x + 6 = 0
4 -4 -25 1 6
4 0 -25 -24 1
4 0 -25 -24 -18
4 4 -21
4 4 -21 -45
4 8
4 8 -13
4
4 12
4
La ecuación a encontrar es ( ) = 0
Reemplazando cada coeficiente tenemos:
( ) = 0
La ecuación pedida es: ( ) =0
5. Hallar la ecuación de raíces recíprocas respecto a la
conocida: 4x4
– 4x3
-25x2
+ x + 6 = 0
( ) = 0
( ) = 0
( ) = 0
La ecuación pedida es: ( ) = 0

4. 4
6. Por medio de la Regla de los Signos de Descartes, hallar
toda la información posible acerca de la naturaleza de las
raíces de la ecuación .
Sea la ecuación dada F(x) = 4x4
– 4x3
-25x2
+ x + 6 = 0
El número máximo de raíces positivas se determina en F(x).
F(x) presenta dos variaciones de signos entre sus términos
Sea la ecuación dada F(-x) = 4x4
+ 4x3
-25x2
- x + 6 = 0
El número máximo de raíces negativas se determina en la ecuación de raíces
opuestas F(-x).
F(-x) presenta dos variaciones de signos entre sus términos
En el cuadro reunimos todas las variaciones posibles de raíces positivas ( + )
De raíces negativas ( - ) y de raíces Complejas ( C )
7. Acotar las raíces reales de la ecuación:
F(x) = 4x4
– 4x3
-25x2
+ x + 6 = 0 Hallar I= ( L’, L )
La Cota Superior ( L) de la ecuación se determina mediante la ecuación dada
F(x) = 4x4
– 4x3
-25x2
+ x + 6 = 0
Como todos los coeficientes que resultan de dividir entre 4 son positivos la cota
Superior L es : L = 4
La Cota Inferior ( L’ ) de la ecuación se determina mediante la ecuación de raíces
opuestas F(-x) = 4x4
+ 4x3
-25x2
- x + 6 = 0
Como todos los coeficientes que resultan de dividir entre 3 son positivos la cota
inferior L’ es : L’ = -3
El intervalo de acotación es: I = ( L’ , L) = ( -3, 4)
Grado Nulas + - C
4 0 2 2 0
4 0 0 2 2
4 0 2 0 2
4 0 0 0 4
4 -4 -25 1 6
16 48 92 372 4
4 12 23 93 378
4 4 -25 -1 6
12 48 69 204 3
4 16 23 68 210

5. 5
8. Haga la separación de las raíces reales en cada ecuación dada.
Use el Teorema de Bolzano.
Según el Teorema de Bolzano tenemos que los cambios de signos ocurren en:
A) x = -3 F(x) = F(-3) = 210
x = -1 F(x) = F(-1) = -12
( )
B) x = -1 F(x) = F(-1) = -12
x = 0 F(x) = F(0) = 6
( )
C) x = 0 F(x) = F(0) = 6
x = 1 F(x) = F(1) = -12
( )
D) x = 2 F(x) = F(2) = -60
x = 4 F(x) = F(4) = 378
( )
Los cuatro intervalos forman parte del intervalo de acotación de las raíces reales
de la ecuación dada y contiene cada intervalo una raíz racional.
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
F(x) 210 0 -12 6 -12 -60 0 378

6. 6
9. Resuelva la ecuación. Usar Teorema raíces racionales.
F(x) = 4x4
– 4x3
-25x2
+ x + 6 = 0
Como tenemos identificadas dos raíces
Podemos degradar la ecuación mediante estas dos raíces
La ecuación degradada de grado dos es:
√
Las cuatro raíces racionales de la ecuación dada son:
10. Exprese en factores e indique las raíces simples y
múltiples de la ecuación F(x) = 4x4
– 4x3
-25x2
+ x + 6 = 0
De las raíces encontradas:
Los factores son:
( )( ) ( ) ( )
Las raíces son todas simples. No tenemos raíces múltiples.
4 -4 -25 1 6
-8 24 2 -6 -2
4 -12 -1 3 0
12 0 -3 3
4 0 -1 0

7. 7
I. Construya una ecuación de grado cuatro que posea:
a) Dos raíces irracionales y dos reales.
Las raíces irracionales a considerar son: √ √
Las raíces reales a utilizar son:
Efectuando el producto de los factores que podemos formar con las raíces
tenemos:
( √ )( √ ) = 0
( )( ) = 0
( √ )( √ )( )( )
Efectuando el producto tenemos:
( )( )
La ecuación de grado cuatro es:
La ecuación pedida es:
b) Dos raíces complejas y dos reales.
Las raíces complejas a considerar son:
Las raíces reales a utilizar son:
Efectuando el producto de los factores que podemos formar con las raíces
tenemos:
( )( )( )( )
( )( )
=
= 0
( )( ) = 0
( )( )
Desarrollando el producto indicado obtenemos la ecuación pedida.
La ecuación de grado cuatro es:
La ecuación pedida es: