1.
El cálculo vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis real
multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Consiste en una serie de
fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la
física.
Dentro del cálculo vectorial encontramos las ecuaciones paramétricas.
Unaecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies
en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una
constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable
independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente.
Las funciones paramétricas son aquellas en las que las coordenadas x e y se
definen en funciones separadas de otra variable, llamada habitualmente t.
Un ejemplo simple de esto, es cuando se usa un parámetro de tiempo para
determinar la posición y la velocidad de un móvil.
En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables son
consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la
variable dependiente, con el valor de ésta siendo equivalente al de la imagen
de la función cuando los restantes valores son sus parámetros.
Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función
de X en Y, es decir que todos los valores X tengan un valor y sólo un valor
correspondiente en Y. Para hacer esto, tanto X como Y son considerados
variables dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable conocida
como parámetro.
La representación paramétrica de una curva en un espacio n-dimensional
consiste en n funciones de una variable t que en este caso es la variable
independiente o parámetro de la forma , donde ei
representa la i-ésima coordenada del punto generado al asignar valores del
intervalo [a, b] a t.
Es común resumir las ecuaciones paramétricas de una curva en una sola ecuación
vectorial
Dondeêi representa al vector unitario correspondiente a la coordenada i-ésima.

2.
Como se puede observar en las escenas de representación de las curvas, para la
representación en coordenadas polares, sólo es preciso definir las coordenadas de
cada punto: r (distancia al polo) y t (ángulo con el eje polar), en función de las
coordenadas cartesianas x e y.
Un sistema de coordenadas en el plano nos permite asociar un par de
números con cada punto del plano. Hasta ahora hemos considerado
exclusivamente sistemas de coordenadas cartesianas rectangulares para localizar
un punto en el plano, por medio de un par de puntos. En este sistema, las
coordenadas son números dirigidos desde dos rectas fijas llamados ejes.
Otra forma de representar puntos en el plano es empleando coordenadas polares, en
este sistema se necesitan un ángulo (q) y una distancia (r). Para medir q, en radianes,
necesitamos una semirrecta dirigida llamada eje polar y para medir r, un punto fijo
llamado polo.
Si queremos localizar un punto (r,q) en este sistema de coordenadas, lo primero que
tenemos que hacer es trazar una circunferencia de radio r, después trazar una línea
con un ángulo de inclinación q y, por último, localizamos el punto de intersección entre
la circunferencia y la recta; este punto será el que queríamos localizar.