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Creado por: Jair Ospino Ardila
Material colaborativo
Con el fin de aportar al conocimiento de todos ustedes he
creado este material muy valioso para aquellos que se
esmeran en avanzar en la vida, espero puedan disfrutar de
este material. Dios les bendiga.
1) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto(2, 3, 4)
y es perpendicular al plano determinado por los puntos (0,0,-6),
(0,3,0) y (2,0,0)
La ecuación de cualquier plano es de la forma Ax+By+Cz+D=0
Como los puntos (0,0,-6), (0,3,0) y (2,0,0) están en el plano,
tenemos que:
-6 + D = 0
3B + D = 0
2A + D = 0
Por eliminación, reducimos este sistema de ecuaciones a:
-6C + D = 0
3B + D = 0
2A + D = 0
Puesto que los números A, B, C y D están determinados salvo por
un multlipo escalar, podemos fijar el valor de uno de ellos,
digamos A=1, y entonces los otros estarán ya determinados de
manera única
Obtenemos:
2A + D = 0 -6C – 2 = 0 3B – 2 = 0 A = 1
2(1)+D = 0 -6C = 2 3B = 2
D = -2 C = - 1/3 B = 2/3
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Así una ecuación del plano que contiene a los puntos dados es:
2 1
2
3 3
x y z  
Luego
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
 
 
 
2
2
3
3
1
4
3
' '
2
3
( 3)
2
3( 4)
x t
y t
z
Despejamos t
x t
y t
z t
 
 
 
 
 
 
Igualamos las ecuaciones
3
2 ( 3) 3( 4)
2
x y z    
3) Encuentre la distancia entre el punto (2, 8,4) y el plano
2x + y + z = 5
Se sabe que n= <2, 1 ,1>, es normal al plano dado
Para hallar un unto P en el plano se hace: y=0, z=0, y se obtiene
un punto P (5/2, 0 ,0).
jairospino@ingenieros.com
El vector que va de P a Q está dado por:
5
2 ,8 0,4 0
2
1
,8,4
2
PQ
PQ
    
  


Usamos la formula para la distancia
2 2 2
| |
|| ||
1
| ,8,4 2,1,1 |
2
2 1 1
| 1 8 4 |
6
PQ n
D
n
D
D


     

 
  


11
6
11 6
6 6
11 6
6
D
D
D

 

4) Encuentre la distancia entre el punto (4,-1,5) y la recta x=3,
y=3+6t, z = -8t
Usando los números de dirección 0, 6, -8 obtenemos un vector de
dirección u = <0, 6, -8>
jairospino@ingenieros.com
Para determinar un punto en la recta se hace t=0 y se obtiene
p= (3, 3, 0)
Luego
4 3, 1 3,5 0
1, 4,5
PQ
PQ
     
  


Se forma el producto vectorial
1 4 5
0 6 8
î j k
PQ U
 
 
   
  

= ( 32 – 30 )î - ( - 8 – 0 )j + ( 6 – 0 )k
2 8 6
2,8,6
PQ U î j k
PQ U
   
  


Por ultimo buscamos la distancia
2 2 2
2 2
|| ||
|| ||
(2) (8) (6)
(6) (8)
PQ U
D
U
D


 



jairospino@ingenieros.com
104
100
2 26
10
26
5
D
D
D



Identifique la superficie, encuentre los intercepto, las trazas, las
secciones transversales y grafique la superficie dada por la
ecuación que se indica.
5)
2 2 2 2
2 2 2
4cos
cos
cos
x y z
x y z
z
z
 


 



  
  


Luego reemplazamos valores
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 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
4
4
4
4
z
x y z
z
x y z
x y z
x y z z
x y z z

  
  
 
  
  
2 2 2
2 2 2
2 2 2
( 4 ) 0
( 4 4) 4
( 2) 4
x y z z
x y z z
x y z
   
    
   
-2
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
eje x
x2
+y2
+(z-2)2
=4
eje y
ejez
Esfera fuera del origen centro (0, 0,2) y radio 2
Intercepto con los ejes
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Eje x ; y=z=0
X2=4 entonces x=2
Eje y; x=z=0
Y 2=4 entonces y =2
Eje z; x=y=0
(z-2) 2=4
Z 2 - 4z + 4 = 4
Z 2- 4z + 4 -4 = 0
Z 2 – 4z = 0
Z 2 = 4z
Z = 4
--- Método de las trazas ---
Plano xy ; z =0
2 2
2 2
2 2
2 2
4 4
4 4
0
x y
x y
x y
x y
x y
  
  
 
 
 
no hay trazas
Plano yz ; x=0
2 2
y ( 2) 4z  
Circunferencia de radio 2
Plano xz ; y=0
jairospino@ingenieros.com
2 2
( 2) 4x z  
Circunferencia de radio 2 centro (0 ,2)
--- Secciones transversales ---
Plano xy, z=k
2 2 2
2 2 2
( 2) 4
4 ( 2)
x y k
x y k
circunferencia
   
   
Plano xz; y=k
2 2 2
2 2 2
( 2) 4
( 2) 4
x k z
x z k
circunferencia
   
   
Plano yz ; x=k
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2 2 2
2 2 2
( 2) 4
( 2) 4
k y z
y z k
circunferencia
   
   
6)
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
4 25 100
4 25 100
100 100 100 100
1
25 4 100
1
(5) (2) (10)
x y z
x y z
x y z
x y z
  
  
  
  
jairospino@ingenieros.com
-50
0
50
-15
-10
-5
0
5
10
15
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
eje x
4x2
+25y2
-z2
=100
eje y
valoresdez
La superficie es un hiperboloide de una hoja
--- Interceptos ---
Eje x ; y=z=0
2
1
25
25 5
x
x x

  
Eje y ; x=z=0
2
1
4
4 2
y
y x

  
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Eje z ; x=y=0
2
2
2
1
100
100;( 1)
100
z
z
z
 
  
 
no hay intercepto
--- Método de las Trazas ---
Plano xy ; z=0
2 2
1
25 4
x y
elipse
 
Plano xz ; y=0
2 2
1
25 100
x z
hiperbola
 
Plano yz ; x=0
2 2
1
4 100
y z
hiperbola
 
jairospino@ingenieros.com
--- Secciones transversales ---
Plano xy ; z=k
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
1
25 4 100
1
25 4 100
1
(5) (2) (10 )
0 100 10 10
x y k
x y k
x y k
k k k
  
  
  
       
Familias de elipses
Plano xz ; y=k
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
1
25 4 100
1
25 100 4
1
(5) (10) (2)
0 4 2 2
x k z
x z k
x z k
k k k
  
  
  
       
familia de hipérbolas
jairospino@ingenieros.com
Plano yz ; x=k
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
1
25 4 100
1
4 100 25
1
(2) (10) (5)
0 25 5 5
k y z
y z k
y z k
k k k
  
  
  
       
Familia de hipérbolas
7)
2
2 2
2 2
2 2
2 2
4
4 (* )
4
4
4 0
( 4 4) 4
( 2) 4
r sen
r sen r
r rsen
x y y
x y y
x y y
x y






 
  
   
  
Circulo de radio 2 centro (0, 2)
jairospino@ingenieros.com
--- Interceptos ---
Eje x ; y=0
X 2 +4=4
X 2=4-4
X=0
Eje y ; x=0
( y - 2) 2 =4
(y2 – 2y+4)=4
y2—2y=0
y2=2y
y=2
-8 -6 -4 -2 0 2 4
-2
0
2
4
6
8
valores de x
valoresdey
x2
+(y-2)2
=4
jairospino@ingenieros.com
8) hallar la derivada de primer orden y evalúela en el punto que se
indica ( , ) arctan , ,X Y
y
f x y f f
x
 en el punto (2, -2)
2 2
2
2 2
2
2
1
( )
1
f y
yx x
x
f y
x x y
x
x

 


 

  
 
 
2 2
2 2
( 2)
(2, 2)
(2) ( 2)
2
(2, 2)
4 4
2
(2, 2)
8
1
(2, 2)
4
f y
x x y
f
f
f
f
 

 
 
 
 
 

 
 
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9) hallar la derivada de primer orden y evalúela en el
punto que se indica
2 2 2
( , , ) 3 2f x y z x y z   ,fx,fy,,fz
en el punto(1,-2,1)
Con respecto a X
 
 
1/ 22 2 2
1/ 22 2 2
2 2 2
2 2 2
1
3 2 (6 )
2
3 3 2
3
3 2
3(1)
(1, 2,1)
3(1) ( 2) 2(1)
f
x y z x
x
f
x x y z
x
f x
x x y z
f



  


  



  
 
  
3
(1, 2,1)
3 4 2
3
(1, 2,1)
5
3 5
(1, 2,1)
5 5
3 5
(1, 2,1)
5
f
f
f
f
 
 
 
  
 
jairospino@ingenieros.com
Con respecto a Y
 
 
1/ 22 2 2
1/ 22 2 2
2 2 2
2 2 2
1
3 2 (2 )
2
2
3 2
2
3 2
2
(1, 2,1)
3(1) ( 2) 2(1)
2
(1, 2,1)
5
f
x y z y
y
f y
x y z
y
f y
y x y z
f
f



  


  



  

 
  

 
2 5
5 5
2 5
5

 


Con respecto a Z
 
 
1/ 22 2 2
1/ 22 2 2
2 2 2
2 2 2
1
3 2 (4 )
2
4
3 2
2
2
3 2
2(1)
(1, 2,1)
3(1) ( 2) 2(1)
2
(1, 2,1)
5
f
x y z z
z
f z
x y z
z
f z
z x y z
f
f



  


  



  
 
  
 
jairospino@ingenieros.com
2 5
5 5
2 5
5
 

10) una media de la percepción del calor ambiental por unas
personas promedio es el índice de temperatura aparente. Un
modelo para este índice es:
A (h, t)= 0.885t - 22.4h + 1.20ht - 0.544
Donde A es la temperatura aparente en grados Celsius, t es la
temperatura del aire y h es la humedad relativa dada en forma
decimal.
a. hallar A A
y
t h
 
 
si t=30º y h=0.80
b. ¿Qué influye mas sobre A, la temperatura del aire o la
humedad? Explicar
a).
Derivada de A con respecto a t
0.885 1.20
0.885 1.20(0.80)
1.845
A
h
t
A
t
A
t

 


 




jairospino@ingenieros.com
Derivada de A con respecto a h
22,4 1.20
22.4 1.20(30º)
13,6
A
t
h
A
h
A
h

  


  




b) la humedad influye más sobre A, pues su porcentaje es más
representativo que la temperatura.

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Ejercicios de Calculo Multivariable

  • 1. jairospino@ingenieros.com Creado por: Jair Ospino Ardila Material colaborativo Con el fin de aportar al conocimiento de todos ustedes he creado este material muy valioso para aquellos que se esmeran en avanzar en la vida, espero puedan disfrutar de este material. Dios les bendiga. 1) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto(2, 3, 4) y es perpendicular al plano determinado por los puntos (0,0,-6), (0,3,0) y (2,0,0) La ecuación de cualquier plano es de la forma Ax+By+Cz+D=0 Como los puntos (0,0,-6), (0,3,0) y (2,0,0) están en el plano, tenemos que: -6 + D = 0 3B + D = 0 2A + D = 0 Por eliminación, reducimos este sistema de ecuaciones a: -6C + D = 0 3B + D = 0 2A + D = 0 Puesto que los números A, B, C y D están determinados salvo por un multlipo escalar, podemos fijar el valor de uno de ellos, digamos A=1, y entonces los otros estarán ya determinados de manera única Obtenemos: 2A + D = 0 -6C – 2 = 0 3B – 2 = 0 A = 1 2(1)+D = 0 -6C = 2 3B = 2 D = -2 C = - 1/3 B = 2/3
  • 2. jairospino@ingenieros.com Así una ecuación del plano que contiene a los puntos dados es: 2 1 2 3 3 x y z   Luego 0 0 0 x x at y y bt z z ct       2 2 3 3 1 4 3 ' ' 2 3 ( 3) 2 3( 4) x t y t z Despejamos t x t y t z t             Igualamos las ecuaciones 3 2 ( 3) 3( 4) 2 x y z     3) Encuentre la distancia entre el punto (2, 8,4) y el plano 2x + y + z = 5 Se sabe que n= <2, 1 ,1>, es normal al plano dado Para hallar un unto P en el plano se hace: y=0, z=0, y se obtiene un punto P (5/2, 0 ,0).
  • 3. jairospino@ingenieros.com El vector que va de P a Q está dado por: 5 2 ,8 0,4 0 2 1 ,8,4 2 PQ PQ           Usamos la formula para la distancia 2 2 2 | | || || 1 | ,8,4 2,1,1 | 2 2 1 1 | 1 8 4 | 6 PQ n D n D D                 11 6 11 6 6 6 11 6 6 D D D     4) Encuentre la distancia entre el punto (4,-1,5) y la recta x=3, y=3+6t, z = -8t Usando los números de dirección 0, 6, -8 obtenemos un vector de dirección u = <0, 6, -8>
  • 4. jairospino@ingenieros.com Para determinar un punto en la recta se hace t=0 y se obtiene p= (3, 3, 0) Luego 4 3, 1 3,5 0 1, 4,5 PQ PQ            Se forma el producto vectorial 1 4 5 0 6 8 î j k PQ U             = ( 32 – 30 )î - ( - 8 – 0 )j + ( 6 – 0 )k 2 8 6 2,8,6 PQ U î j k PQ U          Por ultimo buscamos la distancia 2 2 2 2 2 || || || || (2) (8) (6) (6) (8) PQ U D U D       
  • 5. jairospino@ingenieros.com 104 100 2 26 10 26 5 D D D    Identifique la superficie, encuentre los intercepto, las trazas, las secciones transversales y grafique la superficie dada por la ecuación que se indica. 5) 2 2 2 2 2 2 2 4cos cos cos x y z x y z z z                  Luego reemplazamos valores
  • 6. jairospino@ingenieros.com   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 z x y z z x y z x y z x y z z x y z z                2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 4 ) 0 ( 4 4) 4 ( 2) 4 x y z z x y z z x y z              -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 eje x x2 +y2 +(z-2)2 =4 eje y ejez Esfera fuera del origen centro (0, 0,2) y radio 2 Intercepto con los ejes
  • 7. jairospino@ingenieros.com Eje x ; y=z=0 X2=4 entonces x=2 Eje y; x=z=0 Y 2=4 entonces y =2 Eje z; x=y=0 (z-2) 2=4 Z 2 - 4z + 4 = 4 Z 2- 4z + 4 -4 = 0 Z 2 – 4z = 0 Z 2 = 4z Z = 4 --- Método de las trazas --- Plano xy ; z =0 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 0 x y x y x y x y x y             no hay trazas Plano yz ; x=0 2 2 y ( 2) 4z   Circunferencia de radio 2 Plano xz ; y=0
  • 8. jairospino@ingenieros.com 2 2 ( 2) 4x z   Circunferencia de radio 2 centro (0 ,2) --- Secciones transversales --- Plano xy, z=k 2 2 2 2 2 2 ( 2) 4 4 ( 2) x y k x y k circunferencia         Plano xz; y=k 2 2 2 2 2 2 ( 2) 4 ( 2) 4 x k z x z k circunferencia         Plano yz ; x=k
  • 9. jairospino@ingenieros.com 2 2 2 2 2 2 ( 2) 4 ( 2) 4 k y z y z k circunferencia         6) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 25 100 4 25 100 100 100 100 100 1 25 4 100 1 (5) (2) (10) x y z x y z x y z x y z            
  • 10. jairospino@ingenieros.com -50 0 50 -15 -10 -5 0 5 10 15 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 eje x 4x2 +25y2 -z2 =100 eje y valoresdez La superficie es un hiperboloide de una hoja --- Interceptos --- Eje x ; y=z=0 2 1 25 25 5 x x x     Eje y ; x=z=0 2 1 4 4 2 y y x    
  • 11. jairospino@ingenieros.com Eje z ; x=y=0 2 2 2 1 100 100;( 1) 100 z z z        no hay intercepto --- Método de las Trazas --- Plano xy ; z=0 2 2 1 25 4 x y elipse   Plano xz ; y=0 2 2 1 25 100 x z hiperbola   Plano yz ; x=0 2 2 1 4 100 y z hiperbola  
  • 12. jairospino@ingenieros.com --- Secciones transversales --- Plano xy ; z=k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 25 4 100 1 25 4 100 1 (5) (2) (10 ) 0 100 10 10 x y k x y k x y k k k k                  Familias de elipses Plano xz ; y=k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 25 4 100 1 25 100 4 1 (5) (10) (2) 0 4 2 2 x k z x z k x z k k k k                  familia de hipérbolas
  • 13. jairospino@ingenieros.com Plano yz ; x=k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 25 4 100 1 4 100 25 1 (2) (10) (5) 0 25 5 5 k y z y z k y z k k k k                  Familia de hipérbolas 7) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 (* ) 4 4 4 0 ( 4 4) 4 ( 2) 4 r sen r sen r r rsen x y y x y y x y y x y                   Circulo de radio 2 centro (0, 2)
  • 14. jairospino@ingenieros.com --- Interceptos --- Eje x ; y=0 X 2 +4=4 X 2=4-4 X=0 Eje y ; x=0 ( y - 2) 2 =4 (y2 – 2y+4)=4 y2—2y=0 y2=2y y=2 -8 -6 -4 -2 0 2 4 -2 0 2 4 6 8 valores de x valoresdey x2 +(y-2)2 =4
  • 15. jairospino@ingenieros.com 8) hallar la derivada de primer orden y evalúela en el punto que se indica ( , ) arctan , ,X Y y f x y f f x  en el punto (2, -2) 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 f y yx x x f y x x y x x                2 2 2 2 ( 2) (2, 2) (2) ( 2) 2 (2, 2) 4 4 2 (2, 2) 8 1 (2, 2) 4 f y x x y f f f f                  
  • 16. jairospino@ingenieros.com 9) hallar la derivada de primer orden y evalúela en el punto que se indica 2 2 2 ( , , ) 3 2f x y z x y z   ,fx,fy,,fz en el punto(1,-2,1) Con respecto a X     1/ 22 2 2 1/ 22 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 (6 ) 2 3 3 2 3 3 2 3(1) (1, 2,1) 3(1) ( 2) 2(1) f x y z x x f x x y z x f x x x y z f                       3 (1, 2,1) 3 4 2 3 (1, 2,1) 5 3 5 (1, 2,1) 5 5 3 5 (1, 2,1) 5 f f f f           
  • 17. jairospino@ingenieros.com Con respecto a Y     1/ 22 2 2 1/ 22 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 (2 ) 2 2 3 2 2 3 2 2 (1, 2,1) 3(1) ( 2) 2(1) 2 (1, 2,1) 5 f x y z y y f y x y z y f y y x y z f f                           2 5 5 5 2 5 5      Con respecto a Z     1/ 22 2 2 1/ 22 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 (4 ) 2 4 3 2 2 2 3 2 2(1) (1, 2,1) 3(1) ( 2) 2(1) 2 (1, 2,1) 5 f x y z z z f z x y z z f z z x y z f f                        
  • 18. jairospino@ingenieros.com 2 5 5 5 2 5 5    10) una media de la percepción del calor ambiental por unas personas promedio es el índice de temperatura aparente. Un modelo para este índice es: A (h, t)= 0.885t - 22.4h + 1.20ht - 0.544 Donde A es la temperatura aparente en grados Celsius, t es la temperatura del aire y h es la humedad relativa dada en forma decimal. a. hallar A A y t h     si t=30º y h=0.80 b. ¿Qué influye mas sobre A, la temperatura del aire o la humedad? Explicar a). Derivada de A con respecto a t 0.885 1.20 0.885 1.20(0.80) 1.845 A h t A t A t           
  • 19. jairospino@ingenieros.com Derivada de A con respecto a h 22,4 1.20 22.4 1.20(30º) 13,6 A t h A h A h              b) la humedad influye más sobre A, pues su porcentaje es más representativo que la temperatura.