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Derivadas de funciones logaritmicas
El documento presenta la resolución de varios ejercicios que implican derivar funciones logarítmicas. Explica los pasos para derivar funciones como f(x) = ln((1+x)/(1-x)), f(x) = ln(1+x^2)-ln(1-x^2) y f(x) = xln(x) utilizando propiedades de los logaritmos y reglas de derivación.
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- 1. Cálculo Diferencial Derivada defunciones Logarítmicas G.III En esta guía veremos Ejercicios resueltos que implican funciones Logarítmicas. Innovación y Futuro Jair Ospino Ardila
- 2. Resolver 𝑓 𝑥= ln 𝑓 𝑥 = ln 1+𝑥 1+ 𝑥 1− 𝑥 1−𝑥 Para resolver este ejercicio debemos utilizar una de las propiedades de los logaritmos. 𝑗 Dónde: ln 𝑚 = ln 𝑗 – ln 𝑚 Si reemplazamos seria: 𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥 − ln 1 − 𝑥 Derivamos Como derivada de ln 𝑢 = 𝑢′ 𝑢 𝑓′ 𝑥 = 1 (−1) − 1+ 𝑥 1− 𝑥 𝑓′ 𝑥 = 1 1 + 1+ 𝑥 1− 𝑥 𝑓′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥 − ln 1 − 𝑥 1− 𝑥+1+ 𝑥 (1 + 𝑥)(1 − 𝑥) Simplificamos y efectuamos multiplicación en el denominador 1+1 𝑓′ 𝑥 = 1 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥2 𝑓′ 𝑥 = Solución𝑓 ′ 𝑥 2 1 − 𝑥2 Todas unidas http://innovacionyfuturo.wordpress.com jairospino@ingenieros.com
- 3. Resolver 𝑓 𝑥= ln 1+𝑥 2 𝑓 𝑥 = ln 1−𝑥 2 1 + 𝑥2 1 − 𝑥2 Para resolver este ejercicio debemos utilizar una de las propiedades de los logaritmos. 𝑗 Dónde: ln 𝑚 = ln 𝑗 – ln 𝑚 Si reemplazamos seria: 𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥 2 − ln 1 − 𝑥 2 Derivamos 𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥 2 − ln 1 − 𝑥 2 𝑢′ Como derivada de ln 𝑢 = 𝑢 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 (−2𝑥) − 2 1+ 𝑥 1 − 𝑥2 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 2𝑥 + 1 + 𝑥2 1 − 𝑥2 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 1 − 𝑥 2 + 2𝑥(1 + 𝑥 2 ) (1 + 𝑥 2 )(1 − 𝑥 2 ) efectuamos multiplicaciones 𝑓 ′ 2𝑥 − 2𝑥 3 + 2𝑥 + 2𝑥 3 𝑥 = (1 − 𝑥 2 + 𝑥 2 − 𝑥 4 ) Solución 𝑓 ′ 𝑥 simplificamos 𝑓′ 𝑥 = 4𝑥 1 − 𝑥4 Todas unidas http://innovacionyfuturo.wordpress.com jairospino@ingenieros.com
- 4. Resolver 𝑓 𝑥 =𝑥 ln 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 Para resolver este ejercicio debemos utilizar la derivada de un producto junto con la derivada de un logaritmo. Ver ( JM4 ) y ( JM6 ) de la Guía I. 𝑓 𝑥 = 𝑚∗ 𝑢 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑚′ ∗ 𝑢 + 𝑚 ∗ 𝑢′ Derivando tendríamos 1 𝑓′(𝑥) = 1 ln 𝑥 + 𝑥 𝑥 Solución 𝑓 ′ 𝑥 𝑓′(𝑥) = ln 𝑥 + 1 Todas unidas http://innovacionyfuturo.wordpress.com jairospino@ingenieros.com
- 5. Resolver 𝑓 𝑥= ln 𝑒 𝑥 +1 𝑒 𝑥 −1 𝑒𝑥 +1 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 𝑒 −1 Para resolver este ejercicio debemos utilizar una de las propiedades de los logaritmos. Dónde: ln 𝑗 𝑚 = ln 𝑗 – ln 𝑚 Si reemplazamos seria: 𝑓 𝑥 = ln 𝑒 𝑥 + 1 − ln 𝑒 𝑥 − 1 Derivamos Como derivada de ln 𝑢 = 𝑢′ 𝑢 𝑓 𝑥 = ln 𝑒 𝑥 + 1 − ln 𝑒 𝑥 − 1 𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 𝑒 +1 𝑒 −1 ′ 𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 − 1 − 𝑒 𝑥 (𝑒 𝑥 + 1) 𝑓 𝑥 = 𝑥 (𝑒 + 1)(𝑒 𝑥 − 1) ′ 𝑓′ 𝑥 = 𝑒2𝑥 − 𝑒 𝑥 − 𝑒2𝑥 − 𝑒 𝑥 𝑒2𝑥 − 𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 − 1 𝑓′ 𝑥 = −𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 𝑒2𝑥 − 1 −2𝑒 𝑥 𝑓 𝑥 = 2𝑥 𝑒 −1 ′ Solución 𝑓 ′ 𝑥 Todas unidas http://innovacionyfuturo.wordpress.com jairospino@ingenieros.com
- 6. Resolver 𝑓 𝑥= ln(𝑥 + 1 + 𝑥 2 ) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 + 1 + 𝑥 2 Para resolver este ejercicio debemos utilizar una de las propiedades de los logaritmos. Derivamos Como derivada de ln 𝑢 = 1 𝑓′ 𝑥 = 1 + 2 1 + 𝑥2 𝑢′ 𝑢 1 1−2 ∗ (2𝑥) 𝑥 + 1 + 𝑥2 Solución 𝑓′ 𝑥 = 1+ 𝑥 1+ 1 2 −2 𝑥 𝑥 + 1 + 𝑥2 1+ 𝑓′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 𝑥 1+𝑥2 𝑥 + 1 + 𝑥2 1+𝑥2 +𝑥 𝑓′ 𝑥 = 1+𝑥2 𝑥 + 1 + 𝑥2 Transponemos términos 𝑓′ 𝑥 = 1 + 𝑥2 + 𝑥 1 + 𝑥2 Todas unidas 𝑥 + 1 + 𝑥2 Reducimos términos semejantes 𝑓′ 𝑥 = 1 1 + 𝑥2 http://innovacionyfuturo.wordpress.com jairospino@ingenieros.com
- 7. Resolver 𝑓 𝑥 =𝑙𝑛3 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛3 𝑥 Para resolver este ejercicio debemos tener en cuenta que también podemos reescribir esta función. 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 3 Derivando tendríamos 𝑓 ′ 𝑥 = 3 ln 𝑥 3−1 𝑓 ′ 𝑥 = 3 ln 𝑥 2 ∗ ∗ 1 𝑥 1 𝑥 Si volvemos a reescribirla de tal forma que nos quede como la estructura principal. 𝑓 ′ Todas unidas 3𝑙𝑛2 𝑥 𝑥 = 𝑥 Solución 𝑓 ′ 𝑥 http://innovacionyfuturo.wordpress.com jairospino@ingenieros.com
- 8. Resolver 1+𝑥 𝑓 𝑥 =ln 𝑓 𝑥 = ln 1−𝑥 1+ 𝑥 1− 𝑥 Para apreciarlo mejor lo podemos reescribir. 𝑓 𝑥 = ln 1+ 𝑥 1− 𝑥 Para resolver este ejercicio debemos utilizar una de las propiedades de los logaritmos. 𝑗 Dónde: ln = ln 𝑗 – ln 𝑚 𝑚 Si reemplazamos seria: Solución 𝑓′ 𝑥 𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥 − ln 1 − 𝑥 Derivamos 𝑢′ Como derivada de ln 𝑢 = 1 2 𝑓′(𝑥) = 1+ 𝑥 1 −1 2 1+ 𝑥 1 𝑓′ 𝑥 = 2 1+ 𝑥 1 ∗ 1 −2 1 2 1 − 1+ 𝑥 + 1− 𝑥 2 1 −1 2 ∗ −1 1− 𝑥 1− 𝑥 1 2 − 1− 𝑥 Todas Unidas 1 1 𝑓′ 𝑥 = 𝑢 2 1+𝑥 1+ 𝑥 2 + 1−𝑥 1− 𝑥 Transponemos términos 𝑓′ 𝑥 = 1 2 𝑓′ 𝑥 = 1+ 𝑥 1+ 𝑥 + 1 2 1− 𝑥 1− 𝑥 1 1 + 2(1 + 𝑥) 2(1 − 𝑥) http://innovacionyfuturo.wordpress.com jairospino@ingenieros.com
- 9. 𝑓′ 𝑥 = 11 1 + 2 1+ 𝑥 1− 𝑥 𝑓′ 𝑥 = 1 1− 𝑥+1+ 𝑥 2 1+ 𝑥 1− 𝑥 𝑓′ 𝑥 = 1 1+1 2 1 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥2 𝑓′ 𝑥 = 1 2 2 (1 − 𝑥 2 ) 𝑓′ 𝑥 = 1 1 − 𝑥2 http://innovacionyfuturo.wordpress.com jairospino@ingenieros.com