Cap 3 w y e 68-84

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Cap 3 w y e 68-84

  1. 1. Cuaderno de Trabajo: Física I 3)Trabajo y Energía 68 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  2. 2. Cuaderno de Trabajo: Física I 3) Trabajo y Energía r 3,1) Trabajo de una fuerza, w F A r F τ B r m ∆rAB r dr rr r r rB W ≡ ∫r F ⋅ dr F A→ B { rA 1 24 4 3 τ τ El trabajo de una fuerza wF es una integral de línea a través de la τ. r r El w F dependerá del conocimiento de F ≡ F(r) en cada punto de la τ, el r vector dr es un desplazamiento elemental. Como toda integral de línea se deberá parametrizar τ. El w F se puede “entender” como la evaluación total del efecto de la fuerza F en el desplazamiento del cuerpo. r uur CASO PARTICULAR: F ≡ cte r r r W F A→B ≡ F .∆rAB τ F⊥ F θ F// 69 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo A B ∆rAB
  3. 3. Cuaderno de Trabajo: Física I r W → + ,Si F // ∆ rAB r W → 0 ,Si F ⊥ ∆ rAB r W → - ,Si F//  ∆ rAB µ[W] ≡ Nm ≡ Joule ≡ J 3,2) Energía, E Es la capacidad que posee un cuerpo o sistema para realizar trabajo. Tipos de Energía: i) Energía Cinética, Ek Energía vinculada a la velocidad que poseen los cuerpos. r v 1 2 Ek = mv m 2 0 ii) Energía Potencial, Ep Energía asociada a la configuración del sistema para la cual se define. Es una energía que corresponde al sistema. Depende de cómo están distribuidos los elementos del sistema. 70 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  4. 4. Cuaderno de Trabajo: Física I i) Ep Gravitacional: Epg m2 r m1 − G m1 m2 E pg = r Caso Particular de Epg: m → E pg = mgh h NIVEL ∆Ep: √; El nivel es irrelevante! ii) Ep Elástica, Epe → Sistema Elásticos → Sistema m – k ideal PE: Posición de equilibrio k m F 0 x m x x Configuración del sistema: x{x deformación del resorte) 1 E pe ≡ kx 2 2 71 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  5. 5. Cuaderno de Trabajo: Física I ∆Epe: Nuevamente la cantidad importante son los cambios de esta energía, con lo cual la referencia no es importante. Es posible lograr una ecuación similar de Epe para todo sistema elástico. iii) Energía Mecánica, EM Es la energía constituida por la energía cinética y la energía potencial de una partícula. Observar que no es una energía que describa alguna propiedad de la partícula. Resulta una definición conveniente, como veremos. EM ≡ E K + E P ≡ EKT + EKR + E pg + E pe 3.3) Relaciones entre W y E, R ≡ R (W,E) El trabajo y la energía están íntimamente conectados, reflejándose dicha conexión en sendas relaciones comparables a la Segunda Ley de Newton por un lado, y a Leyes de Conservación, por otro. ( ) r i) R ≡ R W , EK FR Esta relación es una forma elegante de la Segunda ley de Newton. r2 r r r W1→2 ≡ ∫ FR .dr FR r1 r r  dv  r dv r r ≡ ∫ m  .dr ≡ m ∫ .dr FR W12  dt  dt 124 4 3 * r ˆ v = v x i + v y ˆ + vz k ˆ j r ˆ ˆ ˆ dr = dxi + dyj + dzk 72 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  6. 6. Cuaderno de Trabajo: Física I  dvx ˆ dv y ˆ dvz ˆ (*) = ∫  dt i + dt j + dt  { ˆ ˆ ˆ k  . dxi + dyj + dzk  }    dx = vx dt  dvx dv y dvz   = ∫ dx + dy + dz  ←  dy = v y dt 1 dt 3 dt 2 dt   dz = v dt  α   z  dv  d 1 2  1 2 α → ∫  x vx  dt = ∫  vx  dt = vx  dt  dt  2  2 Y por simetría operacional, 1 2 1 ≡ 2 { 2 2 2 } vx + v y + v z ≡ v 2 2 W12 r FR r  dv  r 1 2  ≡ ∫ m  .dr ≡ m  v   dt  2  1 2 = Ek 1 = ∆Ek r →W FR = ∆Ek r r r W FK = ∆Ek ↔ FR = ma ii) R = R (WFNC, ∆EM) Esta relación muestra como las Fnc son capaces de cambiar la EM mostrando claramente su carácter no conservativo. Sin embargo, esto proporcionara las condiciones para que dicha energía se conserve. Fnc = Fuerza no conservativa: Esta fuerza no conserva la EM. 73 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  7. 7. Cuaderno de Trabajo: Física I r FNC = Trabajo de la Fnc W ∆Q; ∆EM 50 J de Ek a 50J de Q (forma de energía no mecánica) Conoceremos mejor a estas fuerzas mediante las Fc: Fuerzas conservativas. Fc = Son fuerzas que conservan la EM. Están definidas por Fc = - ∇U ∇: Operador Nabla U: Función potencial escalar U = Ep (Energía Potencial) Toda Fc tendrá asociada una energía potencial: Fc ↔ Ep r Fc Ep Fg ≡ W Epg Felásticas Epe Esto debe ser así debido a que el rotor del gradiente siempre es nulo, lo cual significa que el trabajo de estas fuerzas, en cualquier trayectoria cerrada, siempre es cero, r r r ∇ × F = ∇ × (−∇U ) ≡ −∇ × (∇U ) = 0 → ∇ × (∇U ) = 0 El operador nabla se define así,  d ˆ d ˆ d ˆ ∇≡ i + j + k  dx dy dz  r r Ahora, si una fuerza es conservativa, F = Fc , entonces, deberá satisfacer de la condición de rotor nulo, 74 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  8. 8. Cuaderno de Trabajo: Física I ∂Fx ∂Fy ∂Fx ∂Fz ∂Fy ∂Fz ≡ ∧ ≡ ∧ ≡ ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂y r r r r Esto es, la fuerza j ˆ F = Fxi + Fy ˆ + Fz k ˆ deberá de cumplir simultáneamente las tres ecuaciones en derivadas parciales cruzadas. r Otra forma equivalente de identificar a las fuerzas conservativas ( ) Fc es mediante la independencia de su W según cualquier trayectoria τ. 1 Fc r r r r τ1 r2 F ≡ cte τ2 2 ∫r r1 Fc .dr ≡ W1→ 2 τ3 ∀τ Finalmente, podríamos decir según la definición de estas fuerzas, que el r W FC ≡ −∆E p , ecuación que será muy útil para efecto de determinar relaciones importantes. Regresando a la FNC: → No están definidas por la ecuación Fnc = - ∇U → ∃ U = E p asociada → W FNC depende de la τ r →W FNC no es evaluable por la ecuación W FNC ≡ −∆E p De todo lo anterior, 75 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  9. 9. Cuaderno de Trabajo: Física I W FNC ≡ ∆ M E ¿? Probar esta relación partiendo de la primera relación donde la r r r FR = Fc + Fnc . Conservación de la EM: Para que la energía mecánica se conserve, ∆EM ≡ 0 → W FNC ≡ 0 r r FNC → ∃ FNC ∨ ∆r → EMi ≡ EMf En general, Como W FNC ≡ ∆EM ≡ EMf − EMi , entonces, EMf ≡ EMi +W FNC 3,4) Potencia, P Es la cantidad física escalar que informa la rapidez de realizar trabajo o energía. i) Potencia media, PM: 76 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  10. 10. Cuaderno de Trabajo: Física I W Pm = ∆t ii) Potencial Instantánea, P: W  dW P ( t ) ≡ lim   = ∆t →0  ∆t  dt r v ( t) r F ( t) rr P ( t ) ≡ F .v J u [ P] = = watt ≡ W s S3P18) Una pequeña piedra de 0,10 kg se deja en libertad desde su posición de reposo en el punto A, en el borde de un tazón hemisférico A R de radio R = 0,60 m. Suponga que la piedra es pequeña en comparación con R, así que V puede tratarse como una partícula. El trabajo efectuado por la fricción sobre la piedra al bajar de A y B en el fondo del tazón es –0,22 J,¿Qué rapidez tiene la piedra al llegar a B?, B 77 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  11. 11. Cuaderno de Trabajo: Física I SOLUCION: A R R w = 0,1 R = 0,6 VB =? nivel m r B vB r N f r w: fuerza conservativa f, N : fuerzas no conservativas. r w WFnc = ∆EM, FNC ≡ f r W f A→ B = EMB − EMA EM = Ek + Epg r 1 2 W f A→ B = EkB − E pgA = mvB − mgR 2 2 ( ) r vB = WA→B + mgR ≡ ¿? f m r ¿? Se podrá resolver usando W FR ≡ ∆Ek 2 FRr vB = WA→B m r r r r W FR =W + W w N +W f ↓ 78 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  12. 12. Cuaderno de Trabajo: Física I r r r ww ≡ w.∆r = wR 2 FRr vB = WA→B ≡ ¿? m S3P1) Sobre una partícula actúa la fuerza r ( ) F ( x, y , z ) ≡ 3 x y 2 z i +  3 x 2 yz + zy  ˆ N: ˆ   j  r a) ¿Es F una fuerza conservativa? b) Si a) es afirmativo, halle la función potencial escalar, U (x,y,z). c) Halle la energía potencial si para un problema particular U (1,0,1) ≡ 1. d) ¿El movimiento es en el plano? Discuta. SOLUCION: r r 124 { ˆ 4 3 14243 } { F ( r ) = F ( x, y , z ) = 3xy 2 z i + 3x 2 yz + zy ˆ j } Fx Fy r r a) F → Fc ? r r ∇× F = 0 derivadas parciales cruzadas ∂Fx ∂Fy ∂Fx ∂Fz ∂Fy ∂Fz = ∧ = ∧ = ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂y 6xyz = 6xyz ∧ 3xy2 ≠ 0…La ultima ecuación no es correcta…la fuerza es no conservativa! ¿? Como modifica el problema para que F sea conservativa y terminar el problema. S3P2) Dado el siguiente campo de fuerzas, r ( ) ( ) F ( x, y, z ) ≡ x + x iˆ + ( 2 y + 1) ˆ + z + z k , 2 j 3 ˆ a) Demuestre que el campo de fuerzas es conservativo. b) Halle la energía potencial asociada para U (1,1,1) ≡ 0. c) De una curva de energía potencial que represente un caso físico concreto. 79 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  13. 13. Cuaderno de Trabajo: Física I SOLUCION: ( 4 3 124 124 ˆ ) 4 3 j 124 4 3 ( F ( x, y , z ) ≡ x 2 + x i + ( 2 y + 1) ˆ + z 3 + z k ˆ ) ∂Fx ∂Fy ∂Fx ∂Fz ∂Fy ∂Fz a) ≡ → 0 ≡ 0, ≡ → 0 ≡ 0, ≡ →0≡0 ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂y r F → Fc ∴∃U { ≡ E p } / F ≡ −∇U b) U ≡ U(x,y,z) F ≡ Fc ≡ - ∇U r r F .dr ≡ −∇U .dr 123 ∂U ˆ ∂U ˆ ∂U ˆ r ∇U ≡ i+ j+ k ∧ ˆ ˆ ˆ dr = dxi + dyj + dzk ∂x ∂y ∂z r ∂U ∂U ∂U ∇U .dr ≡ dx + dy + dz ≡ dU ∂x ∂y ∂z r r F .dr ≡ −dU r r ∫ : U ≡ − ∫ F .dr r Para determinar U se puede integrar F tal como lo indica la Ec anterior, U ≡ − ∫ { Fx dx + Fy dy + Fz dz} Analizando la ∫ por cada componente e introduciendo una “cte” funcional en cada caso: x : U ≡ − ∫ Fxdx 80 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  14. 14. Cuaderno de Trabajo: Física I  x3 x 2  U ≡ −∫ { } x + x dx ≡ −  +  + cx ( y, z ) 2 3 2 y : U ≡ − ∫ Fy dy { } U ≡ − ∫ { 2 y + 1} dy ≡ − y 2 + y + c y ( x, z ) z : U ≡ − ∫ Fz dz  z4 z2  U ≡ −∫ { } z + z dz ≡ −  +  + cz ( x, y ) 3 4 2 Ahora, comparando los resultados parciales, se obtiene,  x3 x 2   z4 z2  { } U ( x, y , z ) ≡ −  +  − y + y −  +  + c ≡ E p ( x, y , z ) 2 3 2 4 2 r → Fc ≡ −∇U ≡ Fx i + Fy ˆ + Fz k ˆ j ˆ Donde la constante c se determina por la condición que caracteriza al problema físico, Ep (1,1,1) ≡ 0 1 1  1 1  c ≡  +  + { 1 + 1} +  +  3 2  4 2 Ep ≡ (x,y,z) / c ≡ 43/12 c) c1) Ep de un núcleo atómico Ep 0 R r 81 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  15. 15. Cuaderno de Trabajo: Física I c2) Ep de sistema m - k Ep -A A x c3) Ep de sistema planetario o sistema atómico Ep r ¿? Podría proponer dos curvas más de Ep. S3P34) El cuerpo A que pesa 4 kg se suelta A desde el reposo sobe una superficie circular lisa AB para después moverse sobre la superficie horizontal BC, cuyo k 8m C D 12 m B 82 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  16. 16. Cuaderno de Trabajo: Física I coeficiente de rozamiento es µ = 0,2. En el punto C está colocado un resorte de constante k = 103 N/m: a) Halle la normal sobre el cuerpo al pasar por B. b) ¿Cuánto se comprime el resorte? SOLUCION: m=4 AB = liso k = 103 VA = 0 BC = rugoso µ = 0,2 a) NB=? 0 A k 0 B DCL (m) al pasar por B, 0 2 mvB Fcp ≡ N B − w = Fcp R w 2 B vB N B = w + m , w = mg NB R vB = ? Analizando de A → B: WFnc ≡ 0, Fnc = N →EmA ≡ EmB 1 2 EMA ≡ Epg A ≡ mgR ≡ EMB ≡ mvB → vB ≡ 2 gR 2 2 2 gR N B ≡ mg + mx = 3mg R b) Sea la compresión dada por DE, DE=∆x? 83 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo C E D
  17. 17. Cuaderno de Trabajo: Física I r r r D − E : ∃ FNC ≡ f ;W FNC = f ≡ ∆EM → -f (12 + ∆X) ≡ EME - EMB 1 1 ≡ k { ∆x} − m ( 2 gR ) 2 2 2 → a (∆x) 2 + b∆x + c ≡ 0 / f ≡ µ k mg → ∆x ≡ ? 84 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

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