El documento presenta información sobre el momento de torsión. Define el momento de torsión como la tendencia a producir un cambio en el movimiento rotacional y explica que depende de la magnitud y dirección de la fuerza aplicada y de su ubicación. Explica cómo calcular el momento de torsión resultante de varias fuerzas aplicadas a un objeto y provee ejemplos numéricos para ilustrar los cálculos.

1. Momento de torsiónMomento de torsión
Presentación PowerPoint dePresentación PowerPoint de
Paul E. Tippens, Profesor de FísicaPaul E. Tippens, Profesor de Física
Southern Polytechnic State UniversitySouthern Polytechnic State University

2. El momento deEl momento de
torsión es un giro otorsión es un giro o
vuelta que tiende avuelta que tiende a
producir rotación. * * *producir rotación. * * *
Las aplicaciones seLas aplicaciones se
encuentran enencuentran en
muchas herramientasmuchas herramientas
comunes en el hogarcomunes en el hogar
o la industria dondeo la industria donde
es necesario girar,es necesario girar,
apretar o aflojarapretar o aflojar
dispositivos.dispositivos.

3. Objetivos: Después de completarObjetivos: Después de completar
este módulo, deberá:este módulo, deberá:
• Definir y dar ejemplos de los términosDefinir y dar ejemplos de los términos momento demomento de
torsión, brazo de momento, ejetorsión, brazo de momento, eje yy línea de acciónlínea de acción dede
una fuerza.una fuerza.
• Dibujar, etiquetar y calcular losDibujar, etiquetar y calcular los brazos de momentobrazos de momento
para una variedad de fuerzas aplicadas dado un ejepara una variedad de fuerzas aplicadas dado un eje
de rotación.de rotación.
• Calcular elCalcular el momento de torsión resultantemomento de torsión resultante en tornoen torno
a cualquier eje dadas la magnitud y ubicaciones dea cualquier eje dadas la magnitud y ubicaciones de
las fuerzas sobre un objeto extendido.las fuerzas sobre un objeto extendido.
• Opcional:Opcional: Definir y aplicar elDefinir y aplicar el producto cruz vectorialproducto cruz vectorial
para calcular momento de torsión.para calcular momento de torsión.

4. Definición de momentoDefinición de momento
de torsiónde torsión
El momento de torsión se define como
la tendencia a producir un cambio en el
movimiento rotacional.
El momento de torsión se define como
la tendencia a producir un cambio en el
movimiento rotacional.
Ejemplos:

5. El momento de torsión se determina porEl momento de torsión se determina por
tres factores:tres factores:
• LaLa magnitudmagnitud de la fuerza aplicada.de la fuerza aplicada.
• LaLa direccióndirección de la fuerza aplicada.de la fuerza aplicada.
• LaLa ubicaciónubicación de la fuerza aplicada.de la fuerza aplicada.
• LaLa magnitudmagnitud de la fuerza aplicada.de la fuerza aplicada.
• LaLa direccióndirección de la fuerza aplicada.de la fuerza aplicada.
• LaLa ubicaciónubicación de la fuerza aplicada.de la fuerza aplicada.
20 N
Magnitude of force
40 N
The 40-N force
produces twice the
torque as does the
20-N force.
Each of the 20-N
forces has a different
torque due to the
direction of force. 20 N
Direction of Force
20 N
θ
θ
20 N20 N
Ubicación de fuerzaLas fuerzas más
cercanas al extremo de
la llave tienen mayores
momentos de torsión. 20 N
20 N

6. Unidades para el momento de torsiónUnidades para el momento de torsión
El momento de torsión es proporcional a la
magnitud de F y a la distancia r desde el eje.
Por tanto, una fórmula tentativa puede ser:
El momento de torsión es proporcional a la
magnitud de F y a la distancia r desde el eje.
Por tanto, una fórmula tentativa puede ser:
τ = Frτ = Fr Unidades:
N⋅m o lb⋅ft
6 cm
40 N
τ = (40 N)(0.60 m)
= 24.0 N⋅m, cw
τ = 24.0 N⋅m, cwτ = 24.0 N⋅m, cw

7. Dirección del momento deDirección del momento de
torsióntorsión
El momento de torsión es una cantidad
vectorial que tiene tanto dirección como
magnitud.
El momento de torsión es una cantidad
vectorial que tiene tanto dirección como
magnitud.
Girar el mango de un
destornillador en sentido de las
manecillas del reloj y luego en
sentido contrario avanzará el
tornillo primero hacia adentro y
luego hacia afuera.

8. Convención de signos paraConvención de signos para
el momento de torsiónel momento de torsión
Por convención, los momentos de torsión en sentido contrario
al de las manecillas del reloj son positivos y los momentos de
torsión en sentido de las manecillas del reloj son negativos.
Momento de torsión
positivo: contra
manecillas del reloj,
fuera de la página
mr
cmr
Momento de torsión negativo:
sentido manecillas del reloj,
hacia la página

9. Línea de acción de unaLínea de acción de una
fuerzafuerza
La línea de acción de una fuerza es una línea
imaginaria de longitud indefinida dibujada a lo
largo de la dirección de la fuerza.
La línea de acción de una fuerza es una línea
imaginaria de longitud indefinida dibujada a lo
largo de la dirección de la fuerza.
F1
F2
F3
Línea
de
acción

10. El brazo de momentoEl brazo de momento
El brazo de momento de una fuerza es la
distancia perpendicular desde la línea de acción
de una fuerza al eje de rotación.
El brazo de momento de una fuerza es la
distancia perpendicular desde la línea de acción
de una fuerza al eje de rotación.
F2
F1
F3
r
r
r

11. Cálculo de momento de torsiónCálculo de momento de torsión
• Lea el problema y dibuje una figura burda.Lea el problema y dibuje una figura burda.
• Extienda la línea de acción de la fuerza.Extienda la línea de acción de la fuerza.
• Dibuje y etiquete el brazo de momento.Dibuje y etiquete el brazo de momento.
• Calcule el brazo de momento si es necesario.Calcule el brazo de momento si es necesario.
• Aplique definición de momento de torsión:Aplique definición de momento de torsión:
• Lea el problema y dibuje una figura burda.Lea el problema y dibuje una figura burda.
• Extienda la línea de acción de la fuerza.Extienda la línea de acción de la fuerza.
• Dibuje y etiquete el brazo de momento.Dibuje y etiquete el brazo de momento.
• Calcule el brazo de momento si es necesario.Calcule el brazo de momento si es necesario.
• Aplique definición de momento de torsión:Aplique definición de momento de torsión:
τ = Frτ = Fr
Momento de torsión = fuerza x
brazo de momento

12. Ejemplo 1:Ejemplo 1: Una fuerza deUna fuerza de 80 N80 N actúa en elactúa en el
extremo de una llave deextremo de una llave de 12 cm12 cm como secomo se
muestra. Encuentre el momento de torsión.muestra. Encuentre el momento de torsión.
• Extienda línea de acción, dibuje, calcule r.
τ = (80 N)(0.104 m)
= 8.31 N m
τ = (80 N)(0.104 m)
= 8.31 N m
r = 12 cm sen 600
= 10.4 cm
r = 12 cm sen 600
= 10.4 cm

13. Alternativo:Alternativo: Una fuerza deUna fuerza de 80 N80 N actúa enactúa en
el extremo de una llave deel extremo de una llave de 12 cm12 cm como secomo se
muestra. Encuentre el momento de torsión.muestra. Encuentre el momento de torsión.
Descomponga la fuerza de 80-N en
componentes como se muestra.
Note de la figura: rx = 0 y ry = 12 cm
τ = (69.3 N)(0.12 m) τ = 8.31 N m como antesτ = 8.31 N m como antes
positivo
12 cm

14. Cálculo del momento de torsión resultanteCálculo del momento de torsión resultante
• Lea, dibuje y etiquete una figura burda.Lea, dibuje y etiquete una figura burda.
• Dibuje diagrama de cuerpo libre que muestre todasDibuje diagrama de cuerpo libre que muestre todas
las fuerzas, distancias y ejes de rotación.las fuerzas, distancias y ejes de rotación.
• Extienda líneas de acción para cada fuerza.Extienda líneas de acción para cada fuerza.
• Calcule brazos de momento si es necesario.Calcule brazos de momento si es necesario.
• Calcule momentos de torsión debidos a CADA fuerzaCalcule momentos de torsión debidos a CADA fuerza
individual y fije signo apropiado. CMR (+) y MR (-).individual y fije signo apropiado. CMR (+) y MR (-).
• El momento de torsión resultante es la suma de losEl momento de torsión resultante es la suma de los
momentos de torsión individuales.momentos de torsión individuales.
• Lea, dibuje y etiquete una figura burda.Lea, dibuje y etiquete una figura burda.
• Dibuje diagrama de cuerpo libre que muestre todasDibuje diagrama de cuerpo libre que muestre todas
las fuerzas, distancias y ejes de rotación.las fuerzas, distancias y ejes de rotación.
• Extienda líneas de acción para cada fuerza.Extienda líneas de acción para cada fuerza.
• Calcule brazos de momento si es necesario.Calcule brazos de momento si es necesario.
• Calcule momentos de torsión debidos a CADA fuerzaCalcule momentos de torsión debidos a CADA fuerza
individual y fije signo apropiado. CMR (+) y MR (-).individual y fije signo apropiado. CMR (+) y MR (-).
• El momento de torsión resultante es la suma de losEl momento de torsión resultante es la suma de los
momentos de torsión individuales.momentos de torsión individuales.

15. Ejemplo 2:Ejemplo 2: Encuentre el momento deEncuentre el momento de
torsión resultante en torno al ejetorsión resultante en torno al eje AA parapara
el arreglo que se muestra abajo:el arreglo que se muestra abajo:
300300
6 m 2 m
4 m
20 N30 N
40 N
A
Encuentre
τ debido a cada
fuerza. Considere
primero la fuerza
de 20 N:
Encuentre
τ debido a cada
fuerza. Considere
primero la fuerza
de 20 N:
r = (4 m) sen 300
= 2.00 m
τ = Fr = (20 N)(2 m)
= 40 N m, mr
El momento de torsión en torno
a A es en sentido de las
manecillas del reloj y negativo.
τ20 = -40 N mτ20 = -40 N m
r
negativo

16. Ejemplo 2 (cont.):Ejemplo 2 (cont.): A continuación encuentreA continuación encuentre
el momento de torsión debido a la fuerza deel momento de torsión debido a la fuerza de
30 N30 N en torno al mismo ejeen torno al mismo eje AA..
300300
6 m 2 m
4 m
20 N30 N
40 N
A
Encuentre
τ debido a cada
fuerza. Considere
a continuación la
fuerza de 30 N.
Encuentre
τ debido a cada
fuerza. Considere
a continuación la
fuerza de 30 N.
r = (8 m) sen 300
= 4.00 m
τ = Fr = (30 N)(4 m)
= 120 N m, mr
El momento de torsión en torno
a A es en sentido de las
manecillas del reloj y negativo.
τ30 = -120 N mτ30 = -120 N m
r
negativo

17. Ejemplo 2 (cont.):Ejemplo 2 (cont.): Finalmente, considereFinalmente, considere
el momento de torsión debido a la fuerzael momento de torsión debido a la fuerza
dede 40-N40-N..
Encuentre
τ debido a cada
fuerza. Considere
a continuación la
fuerza de 40 N:
Encuentre
τ debido a cada
fuerza. Considere
a continuación la
fuerza de 40 N:
r = (2 m) sen 900
= 2.00 m
τ = Fr = (40 N)(2 m)
= 80 N m, cmr
El momento de torsión
en torno a A es CMR
y positivo.
τ40 = +80 N mτ40 = +80 N m
300300
6 m 2 m
4 m
20 N30 N
40 N
A
r
positivo

18. Ejemplo 2 (conclusión):Ejemplo 2 (conclusión): Encuentre elEncuentre el
momento de torsión resultante en torno almomento de torsión resultante en torno al
ejeeje AA para el arreglo que se muestra abajo:para el arreglo que se muestra abajo:
300300
6 m 2 m
4 m
20 N30 N
40 N
A
El momento de torsión
resultante es la suma
de los momentos de
torsión individuales.
El momento de torsión
resultante es la suma
de los momentos de
torsión individuales.
τR = - 80 N mτR = - 80 N m
Sentido de
las
manecillas
del reloj (MR)
τR = τ20 + τ30 + τ40 = -40 N m -120 N m + 80 N m

19. Parte II: Momento de torsiónParte II: Momento de torsión
y producto cruz o productoy producto cruz o producto
vectorial.vectorial.
Discusión opcional
Esto concluye el tratamiento general
del momento de torsión. La Parte II
detalla el uso del producto vectorial
para calcular el momento de torsión
resultante. Consulte a su instructor
antes de estudiar esta sección.

20. El producto vectorialEl producto vectorial
El momento de torsión también se puede
encontrar con el producto vectorial de la
fuerza F y el vector de posición r. Por
ejemplo, considere la siguiente figura.
F
θr
F sen θ
El efecto de la fuerza F
a un ángulo θ (momento
de torsión) es avanzar
la tuerca afuera de la
página.
Momento
de
torsión
Magnitud:
(F sen θ)r Dirección = Afuera de la página (+).

21. Definición de un productoDefinición de un producto
vectorialvectorial
La magnitud del producto vectorial (cruz) de
dos vectores A y B se define como:
A x B = l A l l B l sen θ
F x r = l F l l r l sen θ Sólo magnitudSólo magnitud
F
(F sen θ) r o F (r sen θ)
En el ejemplo, el producto cruz de F y r es:
En efecto, esto se convierte
simplemente en:θ
r
F sen θ

22. Ejemplo:Ejemplo: Encuentre laEncuentre la magnitudmagnitud deldel
producto cruz de los vectoresproducto cruz de los vectores rr yy FF
dibujados a continuación:dibujados a continuación:
r x F = l r l l F l sen θ
r x F = (6 in.)(12 lb) sen 600
r x F = l r l l F l sen θ
r x F = (6 in.)(12 lb) sen 1200
ExpliqueExplique la diferenciala diferencia.. Además, ¿qué hay deAdemás, ¿qué hay de F x r??
12 lb
r x F = 62.4 lb in.
Momento
de
torsión
600
6 in.
Momento
de torsión
600
6 in.
12 lb r x F = 62.4 lb in.

23. Dirección del producto vectorial.Dirección del producto vectorial.
LaLa direccióndirección de unde un
producto vectorialproducto vectorial
se determina por lase determina por la
regla de la manoregla de la mano
derecha.derecha. A
C
B
B
-C
A
A x B = C (arriba)A x B = C (arriba)
B x A = -C (abajo)B x A = -C (abajo)
Enrolle los dedos de laEnrolle los dedos de la
mano derecha en direcciónmano derecha en dirección
del producto cruz (del producto cruz (AA aa BB) o) o
((BB aa AA).). El pulgarEl pulgar apuntaráapuntará
en la dirección delen la dirección del
productoproducto CC..
¿Cuál es la¿Cuál es la
dirección de A xdirección de A x
C?C?

24. Ejemplo:Ejemplo: ¿Cuáles son la magnitud y¿Cuáles son la magnitud y
dirección del producto cruz,dirección del producto cruz, rr xx FF??
r x F = l r l l F l sen θ
r x F = (6 in.)(10 lb) sen 500
r x F = 38.3 lb in.
10 lbMomento
de
torsión
500
6 in. Magnitud
Afuera
r
F Dirección por regla de mano
derecha:
Afuera del papel (pulgar) o +k
r x F = (38.3 lb in.) k
¿Cuáles son la magnitud y dirección de F x r?

25. Productos cruz usando (Productos cruz usando (i, j, ki, j, k))
x
z
y
Considere ejes 3D (x, y, z)
Defina vectores unitarios i, j, ki
j
k
Considere producto cruz: i x i
i x i = (1)(1) sen 00
= 0
i
i
j x j = (1)(1) sen 00
= 0
k x k = (1)(1) sen 00
= 0
Las magnitudes son
cero para productos
vectoriales
paralelos.

26. Productos vectoriales usando (Productos vectoriales usando (i, j, ki, j, k))
Considere ejes 3D (x, y, z)
Defina vectores unitarios i, j, kx
z
y
i
j
k Considere producto punto:
i x j
i x j = (1)(1) sen 900
= 1
j x k = (1)(1) sen 900
= 1
k x i = (1)(1) sen 900
= 1
j
i
Las magnitudes son
“1” para productos
vectoriales
perpendiculares.

27. Producto vectorial (Direcciones)Producto vectorial (Direcciones)
x
z
y
i
j
k
i x j = (1)(1) sen 900
= +1 k
j x k = (1)(1) sen 900
= +1 i
k x i = (1)(1) sen 900
= +1 j
Las direcciones están
dadas por la regla de
la mano derecha.
Rote el primer vector
hacia el segundo.
k
j
i

28. Práctica de productos vectorialesPráctica de productos vectoriales
((i, j, ki, j, k))
x
z
y
i
j
k
i x k = ?
k x j = ?
Las direcciones están dadas
por la regla de la mano
derecha. Rote el primer
vector hacia el segundo.
k
j
i 2 i x -3 k = ?
- j (abajo)
- i (izq.)
+ 6 j (arriba)
j x -i = ? + k (afuera)

29. Uso de notación i, j – ProductosUso de notación i, j – Productos
vectorialesvectoriales
Considere: A = 2 i - 4 j y B = 3 i + 5 j
A x B = (2 i - 4 j) x (3 i + 5 j) =
(2)(3) ixi + (2)(5) ixj + (-4)(3) jxi + (-4)(5) jxj
k -k0 0
A x B = (2)(5) k + (-4)(3)(-k) = +22 k
Alternativa: A = 2 i - 4 j
B = 3 i + 5 j
A x B = 10 - (-12) = +22 k
Evalúe el
determinante

30. ResumenResumen
El momento de torsión es el producto de una
fuerza y su brazo de momento definido como:
El momento de torsión es el producto de una
fuerza y su brazo de momento definido como:
El brazo de momento de una fuerza es la distancia
perpendicular desde la línea de acción de una fuerza al eje de
rotación.
El brazo de momento de una fuerza es la distancia
perpendicular desde la línea de acción de una fuerza al eje de
rotación.
La línea de acción de una fuerza es una línea imaginaria de
longitud indefinida dibujada a lo largo de la dirección de la fuerza.
La línea de acción de una fuerza es una línea imaginaria de
longitud indefinida dibujada a lo largo de la dirección de la fuerza.
τ = Frτ = Fr Momento de torsión = fuerza x
brazo de momento
Momento de torsión = fuerza x
brazo de momento

31. Resumen: Momento de torsiónResumen: Momento de torsión
resultanteresultante
• Lea, dibuje y etiquete una figura burda.Lea, dibuje y etiquete una figura burda.
• Dibuje diagrama de cuerpo libre que muestre todasDibuje diagrama de cuerpo libre que muestre todas
las fuerzas, distancias y ejes de rotación.las fuerzas, distancias y ejes de rotación.
• Extienda las líneas de acción para cada fuerza.Extienda las líneas de acción para cada fuerza.
• Calcule los brazos de momento si es necesario.Calcule los brazos de momento si es necesario.
• Calcule los momentos de torsión debidos a CADACalcule los momentos de torsión debidos a CADA
fuerza individual y fije el signo apropiado. CMR (+)fuerza individual y fije el signo apropiado. CMR (+)
y MR (-).y MR (-).
• El momento de torsión resultante es la suma de losEl momento de torsión resultante es la suma de los
momentos de torsión individuales.momentos de torsión individuales.
• Lea, dibuje y etiquete una figura burda.Lea, dibuje y etiquete una figura burda.
• Dibuje diagrama de cuerpo libre que muestre todasDibuje diagrama de cuerpo libre que muestre todas
las fuerzas, distancias y ejes de rotación.las fuerzas, distancias y ejes de rotación.
• Extienda las líneas de acción para cada fuerza.Extienda las líneas de acción para cada fuerza.
• Calcule los brazos de momento si es necesario.Calcule los brazos de momento si es necesario.
• Calcule los momentos de torsión debidos a CADACalcule los momentos de torsión debidos a CADA
fuerza individual y fije el signo apropiado. CMR (+)fuerza individual y fije el signo apropiado. CMR (+)
y MR (-).y MR (-).
• El momento de torsión resultante es la suma de losEl momento de torsión resultante es la suma de los
momentos de torsión individuales.momentos de torsión individuales.

32. Conclusión:Conclusión:
Momento de torsiónMomento de torsión