Calculo Integral

1. Cálculo Integral. Dr. MsI. Alonso Álvarez Olivo

2. Historia del Calculo Los principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del siglo XVIII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez que se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.

3. VIDEO (1)

4. VIDEO (2)

5. Integral Definida La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función y el eje x . Tiene signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos

6. Ejemplo Si f es la función constante f(x)=3, entonces la integral de f entre 0 y 10 es el área del rectángulo limitado por las rectas x=0, x=10, y=0 e y=3. El área corresponde al producto del ancho del rectángulo por su altura, por lo que aquí el valor de la integral es igual a 30.

7. Integral

8. Integral definida Area entre la curva y el eje, desde a hasta b

11. Integración de Riemann Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración.

13. Aproximaciones a la integral de f(x) entre 0 y 1, con ■ 5 muestras por la izquierda (arriba) y ■ 12 muestras por la derecha (abajo)

14. Sumas Superior e Inferior (Riemann)

15. Integrable según Riemann

16. Integración de Riemann

17. Ejemplos La función f(x)=5, es derivable según Riemann en [a,b] a b

19. Ejemplos La función f(x)=x, es derivable según Riemann en [0,b] b

20. Función de Dirichlet La función f no es integrable según Riemann, se puede integrar con Lebesgue

21. Teorema Fundamental del Cálculo El teorema demuestra una conexión entre la integración y la derivación. Esta conexión, combinada con la facilidad, comparativamente hablando, del cálculo de derivadas, se puede usar para calcular integrales. Entonces F ′( x ) = f ( x ).

22. VIDEO

23. Propiedades del Integral

24. Integrales Impropias

25. Ejemplo Calcular el siguiente integral en función del parámetro  Solución :

26. Integral Indefinida Si F(x) es una primitiva (antiderivada) de f(x) (F’(x)=f(x)), se define (El Integral Indefinido de una función es una familia de funciones)

27. Métodos de Integración (Sustitución) Ejemplos:

28. Métodos de Integración (Por partes) Ejemplos:

29. Caso Curioso ¿? Realizando una Integración por partes con f(x)=1/x, y g’(x)=dx, tenemos:

30. Calculo de Áreas Calcular el área de la figura limitada por las curvas: Desde 0 hasta 1

31. Solución:

32. Derivación e Integración Las propiedades (algebra) de las derivadas o de los integrales (Riemann) no se transmiten a las series infinitas ? ?