Tópicos de cálculo volumen II MAXIMO MITACC

n M O L f l f
m i l
VOLUMEN 2'i ¡ i i y
TERCERA EDICIÓNwww.FreeLibros.com

TOPICOS DE CALCULO
VOL. II
- INTEGRAL INDEFINIDA
- INTEGRAL DEFINIDA
•INTEGRALES IMPROPIAS
- APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
- COORDENADAS POLARES
- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
- SUPERFICIES
MAXIMO MITACC MEZA - LUIS TORO MOTA
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TOPICOS DE CALCULO
VOL. II
TERCERA EDICION
MAXIMO MITACC - LUIS TORO MOTA
IMPRESO EN EL PERU PRINTED IN PERU
Prohibida la reproducción total o parcial por todos los medios
gráficos, sin permiso de los autores.
Número de Inscripción en le Registro Nacional
de Derechos de Autor N° 160
Impreso en los Talleres Gráficos de:
Editorial THALES S.R.L.
TERCERA EDICION Mayo del 2009
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PRÓLOGO
En esta segunda edición de T ópicos de Cálculo Vol. II, nos hem os esforzado por
presentar el cálculo integral para funciones reales de una variable real y la
geometría analítica en el espacio, en form a tal que resulte de m áxim o provecho a
los estudiantes cuyo cam po de especialización no sea estrictamente las
matemáticas. L a orientación principal del libro es hacia aplicaciones en diversas
áreas de la ciencia, lo cual am plía la utilidad del texto.
Aunque en esta edición la estructura básica general no se ha cam biado, se ha
realizado una gran cantidad de revisiones. H em os reestructurado casi la totalidad
del capitulo 6 y el capítulo 7, se han hecho una gran cantidad de m odificaciones a
lo largo de todo el libro, los cuales consisten en ejemplos adicionales
desarrollados y redacción de procedimientos. El conjunto de ejercicios propuestos
se ha m odificado, con la adición de nuevos ejercicios.
E l Libro se divide en siete capítulos. E n los prim eros cuatro capítulos se hace una
presentación de la integral indefinida, integral definida, integral impropia, y sus
aplicaciones. H em os visto por conveniencia desarrollar primero la integral
indefinida con la finalidad de fam iliarizar al estudiante con las técnicas y/o
artificios de integración que luego se usan en los capítulos siguientes. El capítulo
cinco trata sobre las coordenadas polares y sus aplicaciones. En los capítulos
siguientes (del sexto al séptimo), se inicia con una introducción breve de vectores
en el espacio tridim ensional y se continua con recta, plano, superficies y se
concluye con las coordenadas cilindricas y esféricas.
Nuestro propósito es que esta edición no lenga errores, pero es casi un axiom a que
todo libro de Matem ática los presente; por tal m otivo consideram os que este texto
no sea la excepción, a pesar del esmero y la dedicación puesta para detectarlos y
corregirlos antes de su impresión. E n tal sentido, los autores com partim os la
responsabilidad de los m ism os, aclarando que dichos errores han sido com etidos
solamente por uno de los autores.
Querem os expresar nuestro agradecimiento a los profesores y alum nos de todo el
país por la acogida brindada a la edición anterior y esperam os que esta nueva
edición tenga la m ism a preferencia.
L o s Autores
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I N D I C E
C A P I T U L O 1: I N T E G R A L I N D E F I N I D A
Antiderivada e integración indefinida.......................................... 1
Propiedades de la integral indefinida..................................... 4
Integrales inm ediatas........................................................... 5
M étodos de integración........................................................ 10
Integración por sustitución o cam bio de variable............. 11
Integración por p arte s.................................... 20
Técnicas de integración........................................................ 29
Integrales de algunas funciones trigonométricas e hiperbólicas 32
integrales de la form a / sen™* cos-x dx y f s , n ^ x cosk’ x dx 32
Integración por sustitución trigonom étrica................................ 45
M étodo de integración por descom posición en fracciones parciales 56
Integración de algunas funciones irracionales......................... 68
C A P I T U L O 2: I N T E G R A L D E F I N I D A
Sum atorias............................................................................ 95
Cálculo del área de una región plana por sum atorias.............. 104
Sum a superior y sum a in fe rio r............................................ 112
Integrales inferiores y su p e rio re s.......................................... 115
Integral de Riem ann .............................................................. 116
Propiedades de la integral definida ....................................... 120
Teorem as fundamentales del cálculo integral........................ 121
C am b ia de variable en una integral d e fin id a ........................ 130
Integración por partes en una integral d e fin id a ...................... 134
Cálculo aproxim ado de las integrales definidas................... 144
C A P I T U L O 3: I N T E G R A L E S I M P R O P I A S
Integrales im propias con límites infinitos.............................. 149
Integrales im propias con límites fin ito s............................... 152
Integrales im propias con integrando no negativo............. . 161
C A P I T U L O 4: A P L I C A C I O N E S D E L A I N T E G R A L D E F I N I D A
Área de regiones p la n a s....................... .................................. 167
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Volum en de un sólido en función de las áreas de las secciones planas...... 181
Volum en de un sólido de revolución..................................... 185
M étodo del disco circular y del anillo circular...................... 185
M étodo de la corteza cilindrica .............................. ............... 191
Longitud de a r c o .................................................................. 201
Área de una superficie de re vo lu c ió n ................................... 208
M om entos y centros de masa (ó centros de grave d a d )........... 214
Aplicaciones de la integral en los n e g o c io s............. ............... 229
C A P I T U L O 5: C O O R D E N A D A S P O L A R E S
Sistem a de coordenadas p o la re s..................................... ........ 237
Relación entre las coordenadas polares y las rectangulares....... 239
Distancia entre dos puntos en coordenadas p o la re s................... 240
Ecuación polar de una re cta .............................. ..................... 241
Ecuación polar de una circunferencia....................................... 243
D iscusión y gráfica de una ecuación p o la r................................ 244
Intersección de curvas en coordenadas p o la re s........................... 248
Derivadas y rectas tangentes en coordenadas p o la re s.............. 251
Á n g u lo entre dos curvas en coordenadas p o la re s...................... 254
Área de regiones en coordenadas p o la re s........................ ....... 262
Longitud de arco en coordenadas p o la re s................................. 266
Volum en de un sólido de revolución en coordenadas polares.... 268
C A P I T U L O 6 : R E C T A S Y P L A N O S E N E L E S P A C I O
T R I D I M E N S I O N A L
Vectores en el espacio tridim ensional....................................... 273
Representación geométrica de un vector en i 3 ....... .................. 274
Vectores paralelos en R 3 .......................................................... 276
M ó d u lo y longitud de un vector en K 3 ...................................... 277
Á n g u lo entre dos ve cto re s......................................................... 278
Vectores ortogonales o perpendiculares..................................... 279 •
Producto ve c to rial............. ....................................................... 283
Aplicaciones del producto ve c to rial............................................ 285
A plicación del triple producto e sc a la r........................................ 287
Recta en el e sp a c io .............................. ..................................... 295
Relación entre los cosenos directores de una recta....................... 296
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Ecuaciones de un plano en el e sp a c io ......................................... 306
Á n g u lo entre dos p la n o s ............................................................. 319
Proyección ortogonal de una recta sobre un p la n o ...................... 320
C A P I T U L O 7: S U P E R F I C I E S
E s fe ra .................................................................................... 342
D iscusió n y gráfica de la ecuación de una su p e rficie ................. 347
C ilin d r o s ................................................................................. 352
Superficie de re v o lu c ió n ......................................................... 356
Superficies cuadráticas............................................................. 361
Coordenadas cilindricas y coordenadas e sfé ricas........................ 369
Coordenadas esféricas............................................................... 371
A p lic a c io n e s.............................................................................. 373
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( r ' ........ ....1............................ ^
INTEGRAL
INDEFINIDA
^ ...... .....— ^
1.1 A N T I D E R I V A D A E I N T E G R A L I N D E F I N I D A
En el libro de T ópicos de Cálculo Volum en 1, se trató principalmente el problem a
básico siguiente: “D ada una función encontrar su derivada”. Sin embargo, existen
m uchas aplicaciones del cálculo que están relacionadas con el problema inverso,
el cual es: “D ada una función /, definida en un intervalo /, encontrar una función
F cuya derivada sea la función /, es decir,
F '( x ) = / (x ), V x G /.
D e fin ición 1. Sea / un intervalo y /: / -> M una función. U na función F: / —» M
tal que F '( x ) = / (x ), V x G /, se denomina prim itiva o antiderivada de / en / y
se escribe
F ( x ) = Ant (/ (x )), V x G /
Eje m p lo 1. S e a / ( x ) = 4 x 3 , x G R y g ( x ) = e x , x G B .
Las funciones F(x) = x 4 y G (x) = e x, x G K, son respectivamente antiderivadas
de / y g en E , es decir,
F'(x) = ( x 4) ' = 4 x 3 , V x E R
G '( x ) = (exy = e * , V x G l
Tam bién son antiderivadas de / ( x ) = 4 x 3 las funciones
1007T
F1(x) = x 4 + 2, F2{x) = x 4 + ln7i y F3( x ) = x 4 + -
pues sus derivadas son iguales a / ( x ) = 4 x 3
Análogam ente, otras antiderivadas de g (x ) = e x son, por ejemplo,
V3
G iC x) = e x - 1, G2(x) = e x - e e, C 3( x ) = e x + — y C4(x ) = e x + k
donde k es cualquier constante real.
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Observación i. Si F{x) = A n t ( f ( x )) en I, entonces F(x) + C, donde C es una
constante real, es también antiderivada de f en l.
lista propiedad es evidente, pues si F(x) = A n t(J{x) ) en I, entonces
F ' ( x ) = f ( x ) , V x e l
Tam bién ( F ( x ) + C ) ' = F'{x) = / ( * ) , V x 6 /. Entonces
F(x) + C = A n t ( f{ x )) en /
U na pregunta natural es: “Si F(x) = A n t ( f ( x )) en el intervalo /, ¿cualquier otra
antiderivada de / en I difiere de F a lo más en una constante?”. D ic h o de otro
modo, si F^x) = A n t ( f ( x )) en /, ¿necesariamente Fr (x) = F(x) + C, V x e l ?
La respuesta es afirm ativa y se deduce de la siguiente proposición.
P rop osició n 1. Sea / :/ -» E una función definida en el intervalo abierto / y
F:I -» E una antiderivada o prim itiva de /. Si :/ -> E es también una
antiderivada de /, entonces
F1(x) = F(x) + C
para alguna constante C.
Demostración
D efinim os la función H por H(x) = F^x) - F (x ). Entonces
H'(x) = Fi(x) - F'{x) = f ( x ) - f ( x ) = 0, V x E l
Luego, H'(x) = 0 , V x e l .
D e aquí se deduce que H( x) = C , V x e l , donde C es una constante (ver
Corolario 1 del T .V .M . T ópicos de Cálculo Vol. 1). Luego, se tiene
H(x) = F iC O - F{x) = C <=> F^x) = F(x) + C , V x e l
Geométricamente, significa que si F(x) = A n t ( f ( x )) en el intervalo /, cualquier
otra antiderivada de / en I es una curva paralela al gráfico de y = F(x) (Fig. 1.1).
TO I% ()S DE CÁ LCU LO - VOLUMEN II
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INTEGRAL INDEFINIDA
D e fin ición 2. Sea F ( x ) una antiderivada de f { x ) definida en el intervalo I. L a
integral in d e fin id a 'd e f ( x ) es e f conjunto de todas las antiderivadas de f ( x )
definidas en dicho intervalo y se representa mediante el sím bolo
J f ( x ) d x = F (x ) . + C
donde C es una constante real que se denom ina constante de integración.
L a función / ( x ) se llam a integrando, f { x ) d x es el elemento de integración, x
variable de la integral- y el sím bolo j se denom ina sím bolo de la integral. La
expresión / / ( x ) d x se lee “integral de f ( x ) con respecto a x ” o “integral
indefinida de / ( x ) diferencial x ”.
Observación 2, De la definición 2 se deduce las siguientes propiedades:
i) ^ ( J / ( x ) d x ) — ( J / ( x ) d x ) = ( F ( x ) + c y = f (x ) , es d e c ir :
“la derivada de la integral indefinida es igual al integrando "
ti) d / ( x ) d x j = / ( x ) d x j d x = f { x ) d x
¡ii) Si f es una función derivable en I, entonces una primitiva de f es f. Luego,
J f ' { x ) d x = f ( x ) + C
iv) Como d { f { x ) ) = / '( x ) d x , de (iii) se deduce:
J d ( / ( x ) ) = f ( x ) + C
D e las propiedades ii) y iv), se concluye que la integral indefinida puede
interpretarse com o una operación inversa de la diferenciación, pues al aplicar la
integral indefinida a la diferencial de la función f { x ), ésta reproduce la función
/ ( x ) m ás la constante de integración.
E je m p lo 2. D e l ejemplo 1 se deduce:
i) J e xdx = e x + C
ii) J 4 x 3d x = x 4 + C
E n la figura 1.2 se muestra la gráfica de las antiderivadas de / ( x ) = e x, es decir,
de F ( x ) = e * + C , donde C es una constante real. S i C > 0, la gráfica de y = e x
se desplaza paralelamente C unidades hacia arriba y si C < 0, se desplaza
paralelamente C unidades hacia abajo.
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Ejemplo 3. Como d (x ln x - x ) = ln x dx, por la obs. 2-iv , se deduce:
J d ( x l n x — x ) = J n x dx = x l n x - x + C
, , í 1 x
Ejem plo 4. J - ^ —j = - arc ta n -+ C , pues
n x ' 1
(-a r c ta n - + C) = -
1
__ 2__
X^
1 +=r4
1
4 + x 2
1.2 P R O P I E D A D E S D E L A I N T E G R A L I N D E F I N I D A
P rop osició n 2. Si / y g son funciones que admiten antiderivadas en el intervalo /
y k es una constante cualquiera, entonces las funciones / ± g y k f admiten
antiderivadas en / y se tiene:
a) [ íf (x ) ± g ( x ) ] d x = J f ( x ) d x ± J g (x )d x
b) I [k f(x )]d x = k j f ( x ) d x
D em o stració n
a) Com o | J [/ (x ) ± 5 (x )]d x j = / (x ) ± ^ (x ) = / (x )d x j ± J g ( x ) dx ,
entonces J [f(x) ± g ( x ) ] d x y J f ( x ) d x ± J g(x)dx son las antiderivadas
de / ( x ) ± g ( x ) . Por tanto,
j [ / ( * ) ± 9 (x)]dx = J f ( x ) d x ± j g ( x )d x
b) L a dem ostración queda com o ejercicio para el lector.
D e la parte (a) se deduce que la integral indefinida de una sum a algebraica de
varias funciones es igual a la sum a algebraica de sus integrales.
E je m p lo 5. Calcule j (e x - 4 x 3 + ln x )d x .
Solución. E n virtud de la proposición 2 y de los ejemplos 1, 2 y 3 se obtiene:
J (e x - 4 x 3 + ln x ) d x = J e xdx - J 4 x 3dx + J l n x d x
= ( ex + Ct ) - ( x 4 + C2) + ( x l n x - x + C3)
= e x - x 4 + x In x - x + C, d on d e C = Cx + C2 + C3
En lo que sigue solamente usarem os una constante única de integración para la
sum a de 2 o m ás funciones.
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S i conocem os f ' ( x ) , por la observación 2-iii se deduce que
j f ' ( x ) d x = f ( x ) + C ó J d ( f ( x ) ) = f { x ) + C
Esta integral se denom ina integral inmediata. Por ejemplo, una integral inmediata
es / dx = x + C. Enseguida, presentaremos una tabla de integrales inmediatas,
que contiene, además de las integrales de funciones elementales, otras que serán
de m ucha utilidad. Por comodidad, en lugar de la variable x usarem os la letra u.
M á s adelante, verem os que u puede ser una función, es decir, u = u (% ).
F Ó R M U L A S E L E M E N T A L E S D E I N T E G R A C I Ó N
1. J du = u + C 2. j — = ln|u| + C
f un+1 f
3. undu = ---------------- + C ,n — 1 4. e udu = e + C
J n + 1 J
f ciu f
5. a udu = --------b C 6. | sen u du = - c o su + C
J ln a J
7. J eos u d u = sen u + C 8 .j tan u d u = ln[sec u| + C
9. J c o tu d u = ¡njsen u¡ + C 10. J secu du —ln|secu + tan u| + C
” ■ / ese u du = ln|csci¿ — coti¿| + C 12. Jsec2u du = tan u + C
13. J csc2u du = —cot u + C 14. J secu tan u du = secu 4- C
15. J ese u cot u du = — ese u + C 16. J senh u du = cosh u + C
17. j cosh u du = senh u + C 18. j tanh u du = ln|cosh u| + C
19. J sech2u du = tanh u + C 2 0 . J cschJu du = -c o th u + C
21. J se c h u tpnh u d u = — se ch u + C
22 . J c sc h u coth u d u = — c o sh u + C
INTEGRAL INDEFINIDA
1.3 IN T E G R A L E S INM ED IA TA S
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■h
■ h
du
+ u- a
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
1 U
arctan —+ C , (a > 0)
1 u —a
= — ln
2a u + a
1 u + a
= — ln
2a u - a
+ C , (a > 0)
+ C , (a > 0)
26
f du u
—= = = arcsen - + C , (a > 0)
-a rc se c ------1- C , (a > 0)
a
29
30
a rc se n - + C , (a > 0)
a j
f du i ,-----------1
27. I - p = = In u + V u 2 ± a 2 + C
v u 2 ± a 2
r du 1
28. — ;..= -
J u v u 2 — a 2 a
. J yja2 — u 2du = —juVa 2 - u2 + a
j yj'u2 + a 2du = - |u%/u2 + a 2 4- a 2 ln (u + J u 2 + a 2)j 4- C
31. J yju2 - a 2du = - [u v u 2 - a 2 - a 2 ln |u + V u 2 - a 2j] + C
Cada una de éstas fórm ulas se pueden verificar mediante la derivación (respecto a
la variable u).
Por ejemplo, en el caso de la fórm ula 24 se tiene:
dd / 1 iu —ai 1
du 2 a n lu + aU 2a
(ln|u - a - ln|u + a|)
¡L UU
1 1 1 1
2a u - a u + a
P or tanto
f du 1 iu - ai
■ I —^------j = t;—ln --------- + C
J u'- — a 2 2a lu + al
En el caso de la fórm ula 18, se tiene:
d s e n h u
— (In cosh u|) = — —— .?= tanh u
du cosh u
De lo a n te rio r se deduce que J tanh u d u = ln|cosh u| + C.
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Ejem plo 6. Calcule J ( 6x 4 - x 2 + 3)du.
Solución
U sando las fórm ulas de integración, tenemos
J (6x 4- x 2 + 3)du = J 6x 4dx - J x 2dx + J 3dx
= 6 J x 4dx - J x zdx + 3 J dx
6 x 3
= - x 5 - — + 3x + C
Ejem plo 7. Calcule J (v 2 —[x)2dx.
Solución
C om o (V 2 — V * ) 2 = (2 — 2 V 2 V x + x ), entonces se obtiene
j (V2 - yfx)2dx =2 J dx - 2V 2 J x 1/2dx + J xdx
r 3/2 y 2
= 2 „ _ 2 V 2 _ + y + C
= 2 x - ^ 4 2 x 3/z 4 - ^ x 2 + C
f 3 x 5 — 6x 2 + yfx
Ejem plo 8. Halle I ------------------- ---- dx.
J x 6
Solución
D ividiendo término a término el integrando y aplicando las propiedades de la
integral, se tiene
f 3 x s - 6 x 2 + tJ x f f dx f
I ---------- --------------dx = 3 I x dx - 6 I ------ ¡- x s/2dx
2
- x 3 - 6 nx ~ - x 3l2 + C
En los ejemplos anteriores, el método para hallar las integrales consistió en tratar
de descom poner el integrando como la sum a algebraica de varias funciones y
luego aplicar las propiedades enunciadas en la proposición 2. Este método es
llamado "método de integración por descomposición”. E n ciertas funciones,
descom poner la función en sum as parciales no es tarea fácil, pues depende de la
experiencia, habilidad y práctica del que calcula.
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/
dx
Ejemplo 9. Calcule ,
J se nh 2x cosh-x
Solución
1 cosh2x - senh2x
Como -----—----—— = -----------—---------—— = csch^x - sech2x, entonces
se n rrx cosh -x senh2x cosh^x
/ se n h 2x c o sh 2x = / CSCh2* dx ~ / Sech2* dx = ~ COth X “ tanh x + C
r x 2 + 2
Ejem plo 10. Encuentre ■ --------dx.
J x 2(x2 + 4)
Solución
Expresando el num erador del integrando en términos de los factores del
denominador, resulta
2 1
+ 2 = x z + - (x z + 4 - x 2) = - [(x 2 + 4) + x z]
Ahora, escribim os la integral como la sum a de dos integrales (haciendo las
sim plificaciones en cada integrando) y obtenemos
í * ¿ + 2 l f i ! + ( i 2 + 4 ) i r dx 1 r dx
J x 2( x 2 + 4 ) X ~ 2 j x 2( x 2 + 4 ) 2 J x 2"+~4 + 2 J x 2^
1 rl 1
~ 2 l2 í
i ri x
: arctan -
+ 2
1 X 1
-a r c ta n - - — + C
4 2 2x
í x 2 —5
Ejem plo 11. Halle / = — —— — dx
J x 2(x 2 - 9)
Solución
Procediendo del m ism o m odo que en el ejemplo anterior, resulta
x 2 — 5 = x 2 + | ( x 2 - 9 - x 2) = | ( x 2 - 9) i- -”X 2
9 9 9
_ f í * 2 + | ( * 2 - 9 ) 4 r dx 5 r dx
J x 2( x z - 9) d x - 9 j x 2 - 9 + 9 j I 2
4 1
= 9 ' ¿ ln
x + 3
x —3
5 2 ix + 3| 5
~ 9 x + ° ~ 2 7 lnL —31 ~ 9 x + C
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INTEGRAL INDEFINIDA
3 dx
J x 2(x2 + 5)
So lu ción
Usando el m ism o procedimiento de los ejemplos anteriores, se obtiene
3 3 3
3 = - (x2 + 5 — x 2) = — (x2 + 5) - - x 2 . Luego,
3 , 7 . , . , , 3 2 j
Ejemplo 12. Halle
_ r ^ ( x 2 + S ) - ^ x 2 dx ^ 3 r d x 3 r
J x 2(x 2 + 5 ) 5 J x 2 5 J x 2 + 5
3 x
arctan — + C
5x 5 V 5 V 5
Ejemplo 13. Sea /: R -> K una función continua en E tal que
m =2 y = * e
e x, x > 1
Determine f (x ) .
Solución
( - 1, oo < x < 0 f - x + Cu x < 0
/ '( x ) = | 1 . 0 < x < l =>f ( x ) = I x + C2 , 0 < x < 1
l e * , x > l l e * + C3 , x > l
D e la continuidad de / en E, se tiene
0 / (O ) - l*m / ( x ) = ü m / ( x ) <=* 2 = C, = C2 (1 )
x-»0_
ii) / ( l ) = lim _ / (x ) = lim + / ( x ) «=> 1 + C2 = e + C3 ( 2)
Resolviendolas ecuaciones (1) y(2), se obtiene: = 2, C2 = 2 y C3 = e - 3.
í - x + 2 , x < 0
P o r tanto, / ( x ) = | x + 2 , 0 < x < 1
le* +e - 3 , x > 1
Observación 3. Una identidad útil en el proceso de integración es
1 1
a2- u2 2a a —u a -r u
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f dx
Ejem plo 14. Calcule I — —
Solución
U sando la identidad de la observación 3, se tiene
(■ dx _ 1 f r 1 1
J x 4 —9 ~ ~ 6 J ix 2 + 3 + 3~—~}
111 * 1
- — a rc ta n — + — — ln
6 LV3 V3 2V3
x 2 + 13
dx
+ V 3
- V 3
+ C
f x + 13
Ejem plo 15. Encuentre - -- dx.
J V F T 9
Solución
Trabajando de manera adecuada en el numerador del integrando, se obtiene
f x 2 + 13 , f ( x 2 + 9 ) + 4 f r—------ f dx
. dx = — — dx = yjx2 + 9 dx + 4 1
J V x 2 + 9 J V x 2 + 9 J J V * 2 + 9
= - j * V * 2 + 9 + 9 ln (x + yjx2 + 9 )] + 4 ln (x + j x 2 + 9) + C
= 2 [ W * 2 + 9 + 17 ln (x + J x 2 + 9)] + C
1.4 M ÉTO DOS DE INTEGRACIÓN
Antes de presentar los métodos de integración “por sustitución o cam bio de
variable” y “por partes”, es necesario hacer notar una diferencia esencial entre las
operaciones de derivación y de integración. Dada una función elemental (función
que se obtiene mediante un número finito de operaciones de suma, resta,
multiplicación, división y com posición de funciones de las funciones: constante,
potencia (y - x a ), exponencial (y = a x), logarítm ica (y = lo g a x),
trigonométricas y trigonom étricas inversas), su derivada mantiene la m ism a
estructura, es decir, también se expresa com o una función elemental, mientras que
en la integral indefinida, esto solamente sucede en condiciones m uy especiales.
Por ejemplo, las integrales sim ples com o
l ^ i x . f e * d x .
J V i + x 3 dx , J ser¡(x2) d x , j c o s( x 2) dx
no pueden ser expresadas en términos de “com binaciones finitas” de funciones
elementales.
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INTEGRAL INDEFINIDA
Del punto de vista práctico, la integración se presenta como una operación más
com plicada que la derivación, pues ésta tiene reglas generales de derivación;
mientras que para la integración es posible hacer artificios que son válidos para
clases particulares de funciones. Cada caso particular requiere un ensayo, una
tentativa, por lo que se recomienda práctica, más práctica y más práctica.
1.4.1 I N T E G R A C I Ó N P O R S U S T IT U C IÓ N O C A M B I O D E V A R I A B L E
Para hallar la integral indefinida por este método, dividim os nuestro análisis en
dos partes: reconocim iento del m odelo y cam bio de variable.
En el reconocim iento del m odelo realizamos la sustitución mentalmente, mientras
que en cam bio de variable escribim os los pasos de la sustitución.
El procedimiento de sustitución en la integración es comparable con la regla de la
cadena en la derivación. Recuerde que para funciones derivables y = f { u ) y
u = g (x ), la regla de la cadena establece
Si hacem os la sustitución u = g(x), entonces a partir de la definición de la
integral definida tenemos
A sí, hem os probado la siguiente proposición:
]
P ro p o sició n 3. Si y = f ( u ) es una función derivable de u, u = g ( x ) es una i
función derivable de x y F es una antiderivada de /, entonces |
J f ( g ( x))g'(x)dx = F(g(x)) + C (Reconocim iento del m odelo)
Si hacemos el cam bio de variable u = g(x), entonces du = g '( x )d x . Luego,
d
J f ' { g ( x ) ) g ' ( x ) d x = f { g ( x ) ) + C = f ( u ) + C
J f ( g ( x ) ) g ' ( x ) d x = J f ( u ) d u = F ( u ) + C
Ejem plo 16. Calcule J (x 3 + l ) 4 3x2 dx.
Solución
Sea t = x A + 1 . entonces d t = 3 x 2 dx . Luego,
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TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
í X 4
Ejemplo 17. Halle la integral I -dx.
J Vx5 + 1
Solución
Si t = x 5 + 1 , setiene d t = 5x 4d x . Entonces
f x 4 , 1 f 5x 4dx i r ,,, 1 7 £í„
T 'f •- dx = r Tr , = c f “ d t = - - - t 6/7 + C
J Vx5 + 1 5 J Vx5 + 1 5 J 5 6
= ¿ 7 ( * 5 + i ) 6 + c
r Sexdx
Ejem plo 18. Calcule la integral J - ^ = = = = .
Solución
Si u = e x , se tienedu = e * d x . Luego, se obtiene
f S exdx f du
...... = 5 --- = 5 arcsen u + C = 5 arcsenfe*) + C
J Vi - e2* J V l^ ü 2
f s e n h x c o s h x
Ejem plo 19. Calcule I = — ----------— - — dx.
J (1 + senh 2x ) 5
Solución
S i consideram os u = 1 + se n h 2x , se tiene d u = 2 senh x cosh x d x . Luego,
f ? du 1 í 1 u“4 1
/ - J - ¡ ^ - 2 j U d U ~ 2 ( ^ ) + C - - 8(1 + s e n V x y + C
f arcsenV x dx
Ejem plo 20. Halle I — ■ = = — .
■/ V x — X 2
Solución
r- . ' 1 d x d x
Si se hace u = a rc se n V x , se tiene du = ------- — = = — ■— ..... . Por tanto,
V T ^ x 2V x 2V x - x 2
r arcsenVx dx f 2
J — — = J 2u d u = u + C = [arcsenVx] + C
= arcsen2Vx + C
Observación 4. En ciertos casos, es necesario realizar algunas operaciones en el
integrando para que el cambio de variable sea másfácil de realizar.

INTEGRAL INDEFINIDA
Ejemplo 21. Calcule I
I 2 + J2 + J 2 + 2cos (5/x + 4) •x 1/2dx.
Solución
En el integrando, aplicam os la identidad trigonométrica
9 1 + eos 9
eos — = ------ —
2 2
Q
ó 1 + eos 0 = 2 e os2 —
- í
1 = 2 + 2 + |2 [ l + eos (5V3c + 4)] •x i/2dx
-i.
!2 + 12 + 2 cos 5-^ + 4 ■x~1/ 2dx = J 2 + 2 eos
5 V * 4- 4
1/2dx
5 V x + 4 5 _ . 16
Si u = ----- — -, entonces du = —~x ,¿dx <=> — du = x ' ‘ d x . Luego,
8 16 5
32 f 32 32 / 5 V x + 4
/ = — I eos u du = — sen u + C = — sen I ----- g— | + C
Ejem plo 22. Halle / = J
x dx
e3* ( l - x)4
Solución
Luego de expresar el denom inador en una sola potencia, tenemos
x e x dx C x e x dxf xe dx r xe
= J e 4x( l —x ) 4 = J (ex —.e 4x( l —x ) 4 J (ex - x e x)4
Lucho, hacemos u = e x —x e x . Entonces du = —x e xdx ■*=> —du = x e xdx
l)c esiii manera, se obtiene:
/
f du _ 1
J u4 3u 3
+ C =
3 e 3* (l - x ) 3
+ C
13
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Ejemplo 23. Calcule / = J
(x 2 - 1)dx
(.x 2 + l)V x 4 + 1
Solución
D ividiendo el numerador y el denominador entre x 2 , se tiene
, = f f t 1 ~ x 1) dx
Si u = x + - , entonces du = ( l -----t ) dx
x x 2)
V u2 = x 2 + — + 2 ^ u 2 — 2 = x 2 + — . Por tanto, se obtiene
x 2 x-
r du 1 |u| 1 ( x 2 + 1
I = — ...... = — aresee — + C = — aresee ■
J x W u 2 — 2 V 2 V 2 V 2 V 2 |x|
f x + 2
Ejemplo 24. Calcule / = I -------- ^ “.x.
J (X — i-J
Solución
Si hacemos u = x—2 , se tiene du = dx . Luego,
/ = J (U +J )dU =| (u~3 + 4u-4)du
u “2 4 , 3 x + 2
= - — " 3 “ +C = - ^ 2 F +C
r xíix
Ejem plo 25. Calcule / = | f = .
Ii + x 2 + 7 ( i + x 2) 3
Solución
La integral puede escribirse com o
x d x f x d x
/
1 + x z + V ( l + x 2) 3 V l + W l + V l + x 2
,--------- x dx
Si consideram os i¿ = 1 + V x 2 + 1< entonces d u = . Luego,
V x 2 + 1
/ = J — = J u í/2du = 2 Vü + C = 2J 1 + V 1 + x 2 + C

Ejem plo 26. Calcule I = J x V x + 4 dx.
So lu ción
Si se hace u = V * + 4 , entonces u 2 = i + 4 y d x
/ = [ (u2 - 4 )u. 2u du = j (2 u4 - 8u 2)du
INTEGRAL INDEFINIDA
2u du . Por consiguiente,
(x + 4 ) 3/2
15
( 6 x - 1 6) + C
E J E R C I C I O S
J 4 x(x + 1)dx
4 d x
Vó — x ^
d x
/?. - x 3/2 + 3 x + C
R. ^ x 5/z + 3 x3/2 + C
/?. 4 arcsen — + C
V6
x ( x 2 — 8 )
7 x 2 + 16
x 4 + 4 x 2
18 d x
9 x z - x 4
3 d x
x 2 + 4 x - 5
4 dx
V — 4 x 2 — 2 0 x — 9
J V ~ 4 x 2 - 12x - 5 d x
1
* ~ 16ln x 2 - 8
+ C
3 x 4
/?. - a r c t a n ---------- 1- C
2 2 x
/?.
2 1
in
x 3
n
x - 1
x + 5
x + 3
+ C
+ C
2 x + 5
R. 2 a rc se n ------------ i- C
R. (2 x + 3 ) V ~ 4 x 2 - 1 2 x - 5 + 4 arcsen
2 x + 3
+ C
10.
II.
2X3X
-dx
(D'ÍE^s)-3 /6' *
25
scn h x d x
(1 + cosh x ) 3
dx
c o s 2( l - 4 x )
R. -■ ■+C
2(1 + c o s h x ) :
R. - - t a n ( l — 4 x ) + C
4
15
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TONICOS Dii C Á LC U LO - V O LU M LN II
13. J cos(7x + 4 ) d x
14. J c l'2x~r,) dx
15. J (lnX+ l ) e xlnxdx
16.
dx
x ln2x
f dx
17. ---------
J x lnx
18. J 4 xe x dx
dx
19.
20./
sen2x V c o tx - 1
tan2x
sen x e
c o sJx
ev*3e
2'. I
‘I
dx
23.
(1 4- x 2) ln(x 4- Vi + x 2)
arctan* + x l n ( x 2 + 1 ) 4 - 1
1 -f X 2
1
R. - s e n ( 7 x 4- 4) 4- C
R. - e i2x- ^ 4- C
R. x x + C
R. —--------b C
In x
R. ln IIn x I 4- C
(4 e )x
R. ------ ~ + C
1 4- In 4
3
R. - - ( c o t x - 1 )2/3 4- C
R. - e ta,>2* 4- C
2 ( 3 eÆ )
R. t~ T ~ + cIn 3
R- 2 J l n ( x 4- -J1 4- x 2) 4- C
dx
R■ e arctanx 4- — ln(x2 4- 1) 4- arctan x 4- C
4
24,
25
26
J i
I
■ /
sen x
dx
■dx R. sen x 4- ■ •*+■ C
1 4- cos lO x
dx
R. — tan 5 x 4- C
V 2 x 4- 1 - yjx
R. 2 ( V 2x 4- 1 4- V x ) — 2 [a rc ta n V 2 x 4- 1 4- a rcta n V x ] 4- C
^ f ( X 2 - 2 x + l ) 1/5 j
27. -------- ---------------- dx
J 1 - x
R. - - ( x - 1 ) 2/5 4-C

28. J x 2x(nx + 1)dx
' V2 + x 2 —V2 —x 2
x 2x
R . — + C
INTEGRAL INDEFINIDA
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
f
/ V ^ T
h
V4 — x 4
dx
-dx
+ sen x
x - arctan 2x
+ 4 x 2
ln ( ln x )
■dx
f ln (ln x j
J x l n x
I
dx
2X 4- 3
dx
V e * - 1
x c o s x
/
f sen x
J
/
V2 - se n 4x
dx
4 + 5 c o s2x
dx
4 + 5 se n 2x
dx
-.dx
ex + 4
In 3x
x In 5 x
d x
ln (x + V x 2 + 1)
/
i
/
/ v r
43. j Vl + c o s x dx
«. J.
1 + x2
+ se n x d x
d x
*• arcsenf t ) - senl’" ' © + c
/?. - [(x + l ) 3/2 — (x - l ) 3/2] + C
R. tan x - s e c x + C
1 1
/?. - l n ( l + 4 x 2) - - a r c t a n 2(2 x ) + C
o Z
1
R. - l n 2( ln x ) + C
R. - x - ^ K 2^ 3) + c
R. 2 arctanVfc^ - 1 + C
R. - a r c s e n _
2 V2
+ C
1 (2 tan x
R. - a r c t a n ) — -— ) + C
R.
1
(L tan x
A 3 J
(2 cot x
V 3 )■
arctan ( — =— |+ C
1
R. - - l n ( l + 4e x) + C
R. In — ln|ln5x| + ln x + C
R. - [ln (x + V x 2 + 1)] + C
R. — 2 V l — sen x + C
e x + e x
R. 2 V l - c o s x + C
R. a rc ta n (e *) + C

y f W -
d x 4f dx 4
45' ~ r = = /?• ~(Vx + 1) 3/2 - 4(Vx + 1)1/2 + C
J vvx + 1 á
4 8 . I j;Z sen l 'fsenx + x ros r In r id r ß , ì x 2 senx + ^
2 '
f arctanVx
• J v ï + æ + x * d x R • tarctan^ r+ C
*n í ( x - 2 ) , _ _ f y f x 2 - X + l
' j *• 2 arcse" (-----Ï----- ) + c
3. j x2senx~i(senx +xcosx Inx)dx
'■ í ~ i------ —------ R. J l n x + V l n x + ... + C
e lr,(2x)4 in x + V ln x + ... + o o — x
f eos 6x + 6 eos 4x + 15 eos 2x + 10
J eos 5x + 5 eos 3x + 10 c o s x dX R - 2 s e n x + C
f sen 8 x d x 1/'sen24x
5L I 9+ senHx R' J^arctan(— 3— j + C
f c o s2x (t a n 2x + 1) 1
52. —---------- ----------- —— dx R --------------------- 1- r
J (sen x + c o s x ) 2 1 + tan x
49.
f Ise c x - tan x
b3‘ J Jse c x + t a n x d* R' >n|secx + tanx| - ln(secx) + C
54. J c s c 3x d x R. - - [ e s c x c o tx 4- ln|csc x - cotx|J + C
55. J s e c 3x d x R. - [ln lse c x + tan x| + s e c x tan x] + C
f e 2x 2
5 6 ' J 4 t+~é*dX fi- - ( e í - l ) 3/2 - 2 (e I + l ) 1',2 i - C
r V ^ T e arctan * + ln f ( l + x 2)'íx2eX- x2] + V é ^ = T
57. I ---------------- *-------------dx
J l1 4- y ^-!p x 4- y2pX — v2 — 1
R. earctan* + ^ ln 2 ( l + x 2) + arctanx + C
4
q s f x d x n 1
J ( x - l ) 5e4x R■ ~ 4 (x —l ) 4e4Ar + C

2ex + e x
59- 1 3^ - ^ dx
In x dx
x 3( ln x — l ) 3
4 dx
60
61
/
/
f ---------- =
J cos x v l -
INTEGRAL INDEFINIDA
fi. l n |V 3 e 2* - 4 V 3 - e " 2*| + C
1
R. -
2 x 2( ln x - l ) 2
+ C
se n 2x + 2 c o s2x _____________________
R. 4 ln [(tan x — 1) + V ta n 2x - 2 tan x + 3] + C
62. J (4 — 3 l n x ) 4 d ( ln x )
f e * V e * + 2
J ex + 6
x 5 dx
63 •dx
■ /
■ J
x 3 - 8
. 1 + tan x
65. | -------- — d x
sen 2x
/?. - — ( 4 - 3 1 n x ) s + C
Ve* + 2
fi. 2 V e * + 2 - 4 a rc ta n ----- -------- h C
x3 8
fí. Y + - ln | x 3 - 8 | + C
/?. -ln | c sc 2 x - cot 2x + tan x + C
6 6 . U n a función /: R -
«o ) = - f y / ' W = l2 + 1
es continua en E y satisface:
x + |1 - x|
Halle f(x ).
x < 1
R. /W = arctan* - 2 '
(. ln ( x 2 + 1) - arctan x - In 2 , x > 1
67. H alle la ecuación de la curva para el cual y" = y que es tangente a la
x
2
recta 2 x + y = 5 en el punto (1; 3) R. y = —+ 1
68. Halle la ecuación de la curva cuya tangente en el punto (0; 2) es horizontal y
/ 10
tiene punto de inflexión en ( — 1; "g- ) y y " ; = 4.
2 vR. y = - x 3 + 2 x 2 + 2
x 2 + V i + x
69. E n cuentre la an tid eriva d a de / ( x ) = — j---— — , de m od o que dicha
antiderivada pase p o r P ^0;
VTTx
7 0 9
2 80/
, „ r3 , 6 3 6 _______
R. (1 + x ) / - (1 + x ) - - (1 + x ) + - + - V l T x
L8 5 L 1
+ 1

Sean u y v dos funciones definidas y derivables en el intervalo /. Por la regla de
la diferencial del producto, se tiene
d ( u v ) = u d v + vdu
Podem os reescribir la expresión como
u dv = d ( u v ) - vdu
Integrando am bos lados de la igualdad se obtiene la fórm ula
J u d v = u v —j vdu
Esta fórm ula es conocida com o fórmula de integración por partes.
Observación 5. La idea básica de la integración por partes consiste en calcular
la integral original mediante el cálculo de otra integral, la cual se espera que sea
más simple de resolver que la integral original dada.
Para descomponer el elemento de integración en dos factores u y dv,
normalmente se elige como la función u aquella parte del integrando que se
simplifica con la derivación y d v será el factor restante del elemento de
integración. Esta no es una regla general, pues en la práctica la habilidad y la
experiencia del que calcula son las mejores herramientas.
Observación 6. Cuando se determina la función v a partir de su diferencial dv,
no es necesario considerar la constante de integración, pues si en lugar de v se
considera v + C, C constante, entonces
j u d v = u ( v + C) - j (v + C)du = uv - J v du
Esto significa que la constante C considerada nofigura en el resultado final.
Ejem plo 2 7 . Calcule j ln x dx.
Solución
De acuerdo con la sugerencia dada en la observación .2, elegim os
1
u = ln x = > du = - dx
x
dv = dx = s v = J dx = x (no se considera la constante de integración)
Por la fórm ula de integración por partes, se obtiene
í , f x dx
J ln x dx = x ln x - I - x n x - x + C
1.4.2 M ÉTO D O DE INTEG RA CIÓ N POR PARTES

Ejem plo 28. Calcule I = J (x2 + 3x - 1) e Zxdx.
Solución
Escogem os
u = x 2 + 3x — 1 = > du = (2 x + 3)d x
d v _ g 2x^x ^ v — J e 2xdx = — e 2x
Luego, obtenemos
/ = - ( x 2 + 3x - l ) e 2x - J ( * + 2 )
En la última integral (m ás sim ple que la original) aplicam os nuevamente la
integración por partes con
( 3
¡u = x + - = $ d u = dx
d v = e 2xdx = * v = - e 2x
2
INTEGRAL INDEFINIDA
Por lo tanto,
/ = - ( x 2 + 3x - l ) e 2x
02x
= ( x 2 + 2x - 2) — •+ C
Ejem plo 29. Calcule / = J e ax cosbx dx.
Solución
Escogem os
<u = e ax => du = a e ax dx
1
d v = eos bx dx = > v = 7- sen 6x
b
Entonces,
1
/ = - e a* sen 6 x
b ~í¡ e axsen bx dx = - — sen bx
b ¡íe axsen bx dx
Integrando nuevam ente p o r partes en | e ax sen bx d x , escogem os
Cu = e ax = > d u = a e ax dx
/'
|d y = sen bx dx =* v = — —cosbx

^ = ~be<XX' S6n ~ ~b [ ~ b G<ÍXC° S + b í eaXQ0S^x d x ó
1 a a 2
1 = - e ax sen bx 4- — e a* c o s b x - ~ I
o b z b 2
Ahora, se despeja / dela última ecuación y al resultado final se sum a la constante
de integración
1 . a2 , a x í s e n b x a c o s b x
e ax
1 = — — (b sen bx 4-a eos bx) + C
a 2 + b 2 '
Ejem plo 30. Calcule / = j sec5x dx.
Solución
En primer lugar, escribim os la integral dada como
De esta manera, se obtiene
/ = J se c 5x d x = J sec3x. sec2x d x
jltima integral,
f u = se c3x =
'■dv = se c 2x i
En la última integral, utilizam os integración por partes eligiendo
(u = se c3* = * du = 3 se c3x tan x dx
• dx =$ v = ta n x
Entonces,
/ = tan X se c 3x - J 3 sec3x ta n 2x dx
l = tan x se c 3x - J 3 se c3x (s e c 2x - 1)dx
I = tan x se c3x - 3 j se c 5 x dx 4- 3 J sec3 x dx
I = tan x sec x - 3 / 4 - 3 J V I + tan2x se c 2x dx
3
41 = tan x se c Jx 4- - (s e c x tan x 4- ln|secx 4- ta n x| )
1 3
/ = - tan x se c 3x 4- - (sec x tan x 4- ln|secx 4- ta n x | ) 4- C
22
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INTEGRAL INDEFINIDA
Ejempia 31- Calcule J x arctan x dx.
So lu ció n
Escogem os
dx
u = arctan x => du — ■
1 f x 2 dx
/ = x arctan x dx = — arctan x
2 2 J 1 + x 2
x 2 d x 'f x dx
Para calcu lar la integral ------- r , se efectúa la d ivisió n y se tiene:
J 1 + r
, = T araan)I‘ l / ( i - r í ^ ) * r
X 2 1 ( x 2 + 1) 1
= — arctan x - - ( x - arctan x) + C = ----- ------ arctan x - - x + C
¿ L> £* Lt
f c o sx + x sen x — 1
E je m p lo 32. Calcule / = J ----- ^ x— ^ 2—
c o sx + x sen x —í
32. Calcule / = j
So lu ción
Utilizando la identidad se n 2* + c o s2x = 1, escribim os la integral com o
f c o s x + x sen x - se n 2x - c o s2x
Í = J (se n x - x ) 2
f - c o s x ( c o s x - 1) - sen x (se n x - x)
1 I ---------------^ ^
/
(se n x - x ) 2
■c o s x ( c o s x — 1) f sen x dxf - c o s x ( c o s x - 1) f
J (sen x - x ) 2 J (sen x - x)
I
Para la integral J, aplicam os la integración por partes con
Í u = —eos x => du = sen x dx
( c o s x - 1 )dx ^ _ 1
dV ~ (se n x - x ) 2 ^ v ~ (Sen x - x)
Luego,
c o s x " f s e n x d x f s e n x d x
/ = --------- +
f sen x d x f
J (se n x - x ) Jsen x - x J (se n x - x ) J (se n x - x )
Por lo tanto,
cosx
/ = -------------- + C
sen x - x
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Ejem plo 33. Calcule / = J dx.
Solución
Separando la integral en la sum a de dos integrales, se tiene
I = J ~ d x + J e x n x d x
¡
Para la integral / , hacemos j u ~ ^ n x = > d u = —
vdi? = e x d x =$ v — e x
A sí,
1= j ~xdx+eX]nx~I ~^dx=e * l n * +c
r ^.garctan*
Ejem plo 34. Calcule / = í -----------------dx.
J (1 + x2)3/2 ux
Solución
g arctan x
Como la integral de — ^ 2 es inmediata, elegimos
garctan x
d v = - ..2 dx
1 + x 2
Luego, tenemos
x e ar<
V T + x 2 J ( 14*2)372
1 ~ ’'n- ■ --- ~ j — ---~dx
J
E n la integral J consideram os
1 , x dx
u = ■■■•. = * du = - -
V í T ? ( i + * 2) 3/2
g arctan x
dv = — ------—dx => v = e arctanjc
1 + x 2
Luego, se tiene
~ ”—^an x r
i =
V i + x 2 v r + i ^ j ( i + * 2) 3/2
dx
-i «arcían x ( v _ <
Portante, l = i - -■_ !? i i + c
2 V i + x 2
24
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INTEGRAL INDEFINIDA
Otra form a de calcular la integral del ejemplo anterior es hacer el cam bio de
variable t = arctan x y la integral se transform a en J e csert t dt.
E je m p lo 35. Calcule / = [ ■
J
senh2x dx
(x cosh x — senh x ) 2
S o lu c ió n ,
M ultiplicando y dividiendo entre x, se tiene
/
f senh x x senh x dx
J x (x cosh x - senh x ) 2
A hora escogem os
s e n h x x cosh x - s e n h x
u = ----------=¡> du = ----------■— ---------------dx
x x l
x se nh x 1
d v = -------- -------------- -— — dx = > v
(x co sh x - senh x ) 2 x cosh x - s e n h x
Entonces
senh x r dx
x (se n h x - x c o s h x ) J x 2
se nh x 1
1 = — ----- :---------------- r - r - - - + C
x (se n h x - x c o s h x ) x
f e enx(x co sJx — sen x)
E je m p lo 36. Calcule / = I ----------------- --------------- dx.
J CQS¿X
So lu ción
T enem os l = J x e sen x eos x dx - J
sen x
sen* ---------- d x
C O S2X
( u = x = > d u = d x ...
h n h a c i e n d o < , ,en _ , _ se obtiene
t d f = e eos x d x = > v = e
" J
'i
Kn /2, haciendo
U = x e senx
(u = e sen * = > d u = e sen * eos x d x
, sen * . 1 resulta
d v = — — a * = * v = -------
co s^ x c o s x
l2 = ----------- [ e senx dx = e senx sec x - [ e senx dx
co s x J J

v3
E JE R C IC IO S
Calcule las siguientes integrales indefinidas.
1. J x 2 ln x dx
2. J (7 + x — 3 x z)e~x dx
3. J x se c2x dx
4. J a rc se n (2 x)dx
_ f ln x
* J ^
6 . J ln (x + V i + x 2) dx
7. j eos ( ln x ) dx
8 . J s e n ( ln x ) d x
9. J x a rcta n 2x dx
R. — (3 ln x — 1) + C
ñ. ( 3 x 2 + 5 x - 2 ) e _* + C
fí. a :ta n x + ln|eosx| + C
V i - 4 x 2
/?. x aresen 2x h------------------ 1- c
1 + 2 ln x
-— --------1- C
4 x 2
R. x ln (x + V 1 + x 2) - V 1 + x 2 + C
X
R. - [ s e n ( ln x ) + eos (ln x ) ] + i'
/?. - [ s e n ( ln x ) — eos (ln x ) ] + C
R- 2 [(*2 + l)a rc ta n 2x - 2x arctan x + ln ( x 2 + 1)] + C
10 / a rc se n 2x dx
ii.
fx,n(hr)
Lí,J i r r n c v — c o n v V
f —
J (x + i y
R. x aresen2* + 2VI - x 2 aresen x - 2x + C
R. lnx |ln(lnx) - 1| + C
x 2 + 1 ( X — 1
x 2 dx
( x c o s x - sen x ) 2
( x 2 + l ) e x
R.
R.
R.
-ln (— )
Vx + 1/
sen x ( e o s x - sen x )
2x e x
x + C
eot x + C
x + 1
e x + C

INTEGRAL INDEFINIDA
15.
16.
17.
18.
19.
2 0.
2 1 .
22.
23.
24.
25.
27.
2H.
x e*
(1 + x ) 2
dx R. ----------+ e x + C
1 + x
x e
_ 1 ^
x arctan yjx2 — l d x R. - x 2 a rc ta n V * 2 - 1 - 1 + C
(1 - x 2) 3/2
arctan *
d x
arcsen x 1
/?. +—ln
-dx R.
V i - x 2 2
arctan x
1 - x
+ C
1 + x
+ In|x| — l n i / l + x 2 + C
esc5x d x R.
X (X + 1
V i — X 2
e 2*c o s ( e * ) d x
e a*se n ¿ x d x
- c s c 3x c o tx - - ( e s e x c o tx + ln|cscx + cotx|)j + C
R. Vi - x 2 ln f------ + 2 arcse n x + C
Vx + 1 /
/?. e*sen(e*) + cos(e*) + C
■[a sen bx —b cos bx J + C
a rc ta n (V x + 1) d x
ln (V x + V i + x ) dx
se n 2( In x ) dx
a 2 + b 2
R. (x + 2 )a rc ta n V x + 1 - V x + 1 + C
R. {x + ln (V x + V x + 1) — ~ V x 2 + x + C
R. x se n 2(ln x ) - - [x se n (2 ln x ) - 2 x eos (2 In x )] + C
^gS en x C 0 S 4 X _ ^
C O SJX
d x
R. e sen x - - [see x tan x + ln |secx + tan x |] + C
( x 2 - se n 2x )
-dx R. x ( c s c x - c o t x ) + C
x - sen x eos x + x eos x - sen x
(arccos x - ln x) dx R. x árceos x - V 1 - x 2 — x ( In x - 1) + C

29. Si / (x ) = —a / ( x ) y g"(x) = b g(x), donde a y b son constantes, hallar
la integral:
j f M g " ( x ) dx
’• /
30. I 4 x 3 arcsen —dx
x arctan x
31. I ~~7Z-----T^rdx
í
’-P
I
35. I
(1 + x 2) 4
x 4 — x arctan x
32. | — — -------— — dx
(1 + x2)2
, a rc se n V x
33. | ------ —— dx
V x
, 1/ x
■dx
.. r x 2se c 2x
37. I — -------------------^~z^dx
J (tan x - x sei
> /
^ 2cai.2,
(tan x - x se c 2x ) 2 '
1
dx
arcsen
39 1 ---------- *
x3
41. j arctan^jVx - 1 dx
43.
/ senh" ‘J r
-d x
(e 2* - x 2) ( x - 1)
45. J -------- d x
x 2ex
se n x + 1
(x + c o s x ) 2
a ln (x + a + V x 2 + 2 a x )
(x + a ) 2
a + b
lf(x)g'(x) - f'(x)g(x)} + C
-yx 2 - 1 + c
/
34. eos x ex dx
36.
38.
:eos x d xJ x e x i
J x arctan V x 2 - 1 d x
• /
’■ /
c o sh 2x d x
(x senh x - c o s h x ) 2
ln (2 + Vx)
42. | — ' ' ' dx
Vx
44.
I
(x sen x + eos x ) ( x 2 - c o s2x )
d x
f x c o s x
J (x -
■ /
f
• J - = = [ l n ( l + X )* - ln (l - x )*]
46. J cosh 3 x eos 2 x dx
í * 5 /l+*48. I :In ( --------Jd x
J VI - x 2 Vi - x /
d x

1.5.1 Integrales de algunas funciones que contienen un trinomio cuadrado
de la form a: /
dx f dx
I
INTEGRAL INDEFINIDA
1.5 TÉC N IC A S DE IN T E G R A C IÓ N
I. í — 5— --------- II. í —
J p x 2 + qx + r J j rp x 2 + qx + r J j p x 2 + qx + r
n ] [ (ax + b)dx f ( ax 4- b)dx
J p x 2 + qx + r J J p x 2 + qx +r
En los casos (I) y (II), es suficiente completar cuadrados en el trinom io y aplicar
las fórm ulas que correspondan: (23), (24), (25) ó (26).
En los casos (III) y (IV ) se usa el siguiente artificio:
a aq
ax + b = — (2 px + q) — — + b
2p 2p
La expresión 2px + q es la derivada del trinom io cuadrado. Entonces
(ax + b)dx a f (2px 4- q)dx ( a q f dxr (ax 4- b)dx a C (2px + q)dx / aq f
J p x 2 + qx + r 2p j px2 + qx + r V 2 p) ) ;p x 2 + qx + r
a / a q
= —— ln [p x ¿ + qx + r| + I b - — 1A
2 p V 2 p)
Por otro lado,
(ax + b)d x a f (2px + q)dx / aq f dxI' (ax + b)dx __ a f (2px + q)dx ^ ^ aq^ f
J yjpx2 + qx + r J J p x 2 + qx + r '2p/ J J p x 2 + qx + :
a /—^--------- ( acl
= - V p x 2 4- qx + r 4- b - — j B
p 2p)
I ,as integrales (¿4) y (B) son de los casos I y II, respectivamente.
Ejem plo 37. Calcule las siguientes integrales:
3 dx f dxf 3 dx f
J 4 x z 4- 4x - 3 J x 2 - 2x 4- 10
f 2 dx í 5 dx
J lx 2 4- 6x 4- 18 ^ i V — x 2 —8x — 12
Solución
Com pletando el cuadrado en cada trinom io y aplicando las fórm ulas de
m ig ra ción , tenemos

f 3 dx 3 r
J 4x2 + 4 x - 3 ~ 2 J
2 x - l ¡3 dx 3 f 2 dx 3
=^ln(2x + l ) 2 - 4 2x + 3
+ C
f dx f dx 1 ( x - l
■) J x 2 - 2x + 10 J ( x - l ) 2 + 9 “ 3 arCtan( _ 3~ J + C
( 2 dx r dx , ,--------------------,
c) 7 f ■ ¿ . T i = 2 1 t =~ = 2 ln * + 3 + V x 2 + 6x + 18 + C
J V x 2 + 6x + 18 J J ( x + 3 )2 + 9 L J
„ f 5 d x r d x /x + 4
d) I 7 ' 0 ~ „ „ = 5 — — ■ = = 5 arcsen ( — -— ) + C
i V - x 2 - 8x — 12 J ^ 4 - (x + 4 )2 v 2 )
Eje m p lo 38. Calcule las siguientes integrales:
f (3 x - 5 )d x r (1 - 4 x )d x
J x2+ 6x + 18 J V9x2+ 6 x ^ 1
c) í 2 ~ ‘ i x d) ( - ( i i i í W í
J V x 2 + lO x + 21 J x (x + 3)
Solución
Com pletando cuadrado en cada trinom io y usando el artificio indicado, se tiene
3 3
a) 3x — 5 = — (2 x + 6) — 9 — 5 = — (2 x + 6 ) — 14. Entonces
f (3 x — 5 )dx _ 3 r (2x+ 6)d x f dx
J x 2 + 6x + 18 2 J x 2 + 6x + 18 1 4 J ( x + 3 )2 + 9
3, / , 14 /x + 3
= 2 (x + 6x + 18) — — arctan — -— J + C
4 4 2 7
b) 1 — 4 x = — — (1 8 x + 6 ) + l + — = — - (1 8 x + 6 ) + — . Luego,
f Cl ~ 4 x )d x _ _ 2 [ (1 8 x + 6)d x ^ 7 1 f 3 dx
J V 9 x 2 + 6x - 3 9 J V 9 x 2 + 6x - 3 + 3 3 J y/ ( 3x + l ) 2 - 4
4 : 7 ----------------------------------------------------
= — - V 9 x 2 + 6x - 3 + - l n 3 x + 1 + V 9 x 2 + 6x - 3 + C
y y i i
1 1
c) 2 — x = — — (2 x + 10) + 2 + 5 = — - (2 x + 10) + 7. Entonces
(2 - x )d x 1 f (2x + 10)d x f dxf __ ( 2 —x)dx _ i r (2x + 10)dx f
J Vx2 + lO x + 21 ~ 2 j Vx2 + lO x + 21 + 7 i 'V x 2 + lO x + 21 J V ( x + 5 )2 - 4
= - V x 2 + 10x + 21 + 7 ln Ix + 5 + V x 2 + 10x + 2 l| + C
30
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d)
INTEGRAL INDEFINIDA
(4 4- 5x) 5 f 2x 4- 3 7 f dxf (4 4- 5x) 5 f 2x 4- 3 7 f
J x (x + 3 ) dX 2 j x 2 + 3 x dX 2 J í 3V 9
x + 2) 4
5 7 i x
= - ln | x 2 + 3x — - l n
2 6 I* 4- 3 '
Eje m plo 39. Calcule las siguientes integrales:
^ f (3e2x - 4 ex) ^ ^ ^ (senh x + 3 coshx) ^
J V 4 e* — ex — 3 J coshx(6 senh2x 4- senh 2x + 5)
Solución
a) I
(3e2x - 4 e x) f (3ex - 4 )e *d x
v'4 e * - e * - 3 J V 4 e * - e 2* - 3
Si se hace t = e x , entonces d t = e x dx . Luego,
f ( 3 1 - 4 ) d t 3 f (4 - 2 t ) d t f d t
l =
j- ( 3 1 - 4 ) d t _ 3 I" (4 — 2 t ) d t + ^ [ d t
J V 4 t - t 2 - 3 2 j V 4t - t 2 - 3 J yjl - (t - 2 ) 2
= - 3 V 4 í - t 2 — 3 + 2 arcsen(t — 2) + C
= —3yj4ex — e 2* — 3 4- 2 arcsen(e* — 2) 4- C
r (senh x + 3 cosh x ) dx
^ ^ J c o s h x (6 se nh 2x 4 -senh 2x 4 -5)
= /:
(senh x + 3 c o sh x ) dx
cosh x (6 se n h 2x 4- 2 senh x cosh x 4- 5)
D ividiendo num erador y denom inador entre c o sh 3x , se tiene
J
= J
(tanh x 4- 3) sech2x dx
6 tanh2x 4- 2 tanh x 4- 5 sech2x
(tanh x 4- 3) sech2x dx
J 6 tanh2x 4- 2 tanh x 4- 5(1 — tanh2x )
A h o ra bien, si t = tanh x , entonces d t = se ch 2x dx. Por consiguiente.
r (t 4- 3)d t _ 1 f (2t + 2)d t n f dt
1 ~ J t 2 + 2 t+ 5 ~ 2J t 2 + 2t + 5 + 2 J (t 4- l )2 4- 4
1 , , /tanh x + 1
-ln | ta n h 2x 4- 2 ta n h x 4- 5| 4- arctan ^------ --------J 4- C

Recordem os las siguientes identidades:
1. sen2u + cos2u= 1 2. sec2u _ tan2u = 1
3. csc2u- cot2u = 1 4 sen2u _ 1 ~ cos 2u
2
r , 1 + cos 2u
5. cos2u =-------------------- 6 cosh2u _ senh2u = 1
7. sech2u + tanh2u = 1 8. coth2u _ csch2u = 1
9. senh2u = ~ 1 10 cosh2u = cosh2u + l
¿ 2
Estas identidades son m uy importantes en los artificios para resolver ciertos tipos
de integrales de funciones trigonométricas e hiperbólicas.
TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
! '5‘2 rH IPE R B Ó U C A ESALGUNAS FUNCI° NES TRIG ONOM ÉTRICAS
I. IN T E G R A L E S D E L A F O R M A : J se nmx cosnx dx y j se n h mx e o sh n* dx.
Se consideran 2 casos:
CASO 1: Uno de los exponentes m ó n e s un entero im par positivo.
0 Si m es impar positivo, se factoriza sen x dx (o se n h * dj) y se expresa los
senos o senos hiperbólicos) restantes en función de cosenos (o cosenos
hiperbólicos) usando la identidad
se n 2* = 1 — e o s2* (ó se n h 2* = c o sh 2* - 1)
ii) S. n es impar positivo, se procede de manera similar, es decir, se factoriza
eos * dx (o cosh x dx) y se expresa los cosenos (ó cosenos hiperbólicos)
restantes en función de senos (o senos hiperbólicos) usando la identidad.
e o s2* = 1 - se n 2* (o c o sh 2* = 1 + se n h 2* )
Ejemplo 40. Calcule las integrales
a) I se n 3* eos4* dx b) J senh5* V ^ i h 7 dx
Solución
a) / = J se n 3* eos4* dx = J sen2* eos4* (sen * dx)
= - cos2*)cos4* (sen * dx)
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INTEGRAL INDEFINIDA
E n la últim a integral, hacem os u = eos x =* du = - s e n x dx . A sí, se tiene
/ = J (1 - ii2) u 4 ( - d u ) = - f Cu4 - u6)du = - y + y + C
•(5 eos2* - 7) + C
co s5x
35
b) f se n h 5x V ^ i h l d x = J (cosh2x - l ) 2(cosh x ? ' 2 (senh x dx)
= J (cosh9/2x - 2 cosh 5/2x + cosh 1/zx )(se n h x dx)
= J L c o s h 11/2x - ~ cosh7/2x + cosh3/2x + C
11 7 3
CASO 2: Ambos exponentes m y n son pares y mayores o iguales a cero.
En este caso, se usan las identidades:
1 - eos 2x , 1 + eos 2 x
se n 2x = -------^------- y C° = -------2-------
/ eosh 2 x - 1 . , cosh 2 x +
í ó se n h 2x ------------- y cosh x = ----- - J
A l efectuar las operaciones, se obtienen términos que contienen potencias pares e
impares de eos 2 x (ó cosh 2 x). L o s términos que tienen las potencias impares se
integran teniendo en cuenta el caso 1. L o s términos que tienen las potencias pares
se reducen de nuevo usando sucesivamente las identidades indicadas.
Ejemplo 41. Calcule las integrales:
a) J se n h 43 x dx b) f se n 2x c o s4x d x
Solución
a, f senh-3, ¿ r = / ( E S Í J p i ) 2 dx = i J(c o Sh>6* - 2 cosh 6 * + 1) dx
= 1 f ( £ £ í < y í l í l _ 2 c0 sh 6 , + l ) d ,
= ^ | (cosh 1 2 x - 4 cosh 6x 4- 3) dx
= i f — senh 1 2 x - ^ s e n h 6x + 3 x ) + C
8 12 3 >
33
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. 2
u f 4 , f / I - c o s2 x /I 4-cos2x
b) J sen-x cos4x dx = J (------- ------- j ( -------------- J dx
= - J (1 + eos 2x - cos22x - cos32 x) dx
1 f / 14- cos4x 1 [
- g J ^1 4- eos 2 x ----------------- j dx - - I (1 - sen22 x)(cos 2x dx)
= ¿ J (j +C0S2X~ C0S 4X) d X ~ l 6j <'1 ~ sen22x)(2 cos 2x dx)
1/x 1 ^ 1 1 / 1
= 8 (2 + 2 SGn 2* ~ 8 Sen 4X) ~ T 6 [ Sen 2X ~ 3 sen32x) + C
1 ( sen 4x sen32 x
= 16{ X — 4- +— ) + C
II. IN T E G R A L E S D E L A F O R M A : J tanmx secnx d x , j cotmx c sc nx dx ,
J tan h mx sechnx dx y J cothmx cschnx dx.
Se consideran 2 casos: m entero positivo impar y n entero positivo par.
C A S O 1. S i m es un entero im p a r positivo, se factoriza t a n x s e c x d x
(ó c o t x c s c x d x ó tanh x sech x dx ó coth x csch x dx) y se expresa las
tangentes (ó cotangentes ó tangentes hiperbólicas ó cotangentes hiperbólicas)
restantes en términos de s e c x (ó e se x ó se c h x ó c s c h x ) mediante la
identidad: ta n 2u = se c 2u - 1 (ó cot2u = c sc 2u - 1 ó ta n h 2u = 1 - se ch 2u
ó coth2u = 1 4- c sch 2u).
Eje m p lo 42. Calcule las siguientes integrales:
f tan3x r
3) J : dx b) J cotSxdx
c) J tanh3x V se c h x dx d) j cothsx csch3x dx
So lu ción
f tan3x f tan2x r sec2x - 1
3) J ^ c dx= J i ^ (tan* Sec* dx)= J - ^ i^ ( t a n x s e c x d x )
= j (sec~3x - sec~5x ) (tan x sec x dx)
(si u = s e c x , du = se c x tan x dx)
1 -9 1 1 ,= - - s e c x 4- - s e c 4x 4-C = - c o s 2x (c o s2x - 2) 4-C
2 4 4

f f C0t4X ,
b) cot5x d x = -------- ( c o t x c s c x d x )
J J CSC X
INTEGRAL INDEFINIDA
f (csc2x — l ) 2
= -------------------(cot x csc x dx)
J cscx
= - í (csc3x - 2 cscx 4-------- ) ( - c o t x e scx dx)
J cscx
c4x
--------csc2x + ln|cscx| I + k
f , ,--------- f tanh2x
c) tanh3x v s e c h x d x = ,........: (tanh x sech x x a x )
J J V se c h x
1— sech2xf 1 - se c rrx
= — ^ = = _ (tanh x sech x dx)
J V se c h x
= - J (sech~1/2x — sech3/,2x ) (— tanh x sech x dx)
= —^2V se c h x — - s e c h 5/2x j + C
d) j coth5x csch3x d x = J coth4x csch2x(coth x c sc h x ) dx
= J (1 + csch2x ) 2 csch x (coth x csch x d x)
= - J (csch x + 2 csch3x + csch5x )(-c o t h x c sc h x d x)
n i i
= — I - cschzx + - csch4x + - csch6x 1+ C
2 2 6 /
CASO 2. Si n es un entero par positivo, se factoriza se c2x d x (ó c sc 2x d x ó
sech2x d x ó c sch 2x d x ) y el resto de las secantes (ó cosecantes ó secantes
hiperbólicas ó cosecantes hiperbólicas) se transforman en térm inos de
tan x (ó c o tx ó tanh x ó coth x) usando la identidad se c 2x = 1 + ta n 2x
(ó c sc 2x = 1 + cot2x ó se ch 2x = 1 - tan h 2x ó csch 2x = co th 2x - 1).
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c) J tanh2x sech4x dx d) j csch6xdx
Solución
a) j tan3/2x s ec4x d x = J tan3/2x s ec2x(sec2x dx)
= j tan3/2x ( l + tan2x )(se c 2x dx)
- J (tan3/<2x + tan7/2x )(se c 2x dx)
(si t = tan x , dt = se c 2x dx)
2 2
= - t a n 3/2x + - t a n 5/2x + C
O 7
b) J csc4x dx = J csc2x (c sc 2x dx) = - J (1-f cot2x ) ( - c s c 2x dx)
(si t = cot x , dt = — csc2x dx)
= - ^cot x + ^ cot3x j + C
c) j tanh2x sech4x d x = / tanh2x ( l - tanh2x )(se c h 2x dx)
= J ( tanh2x - tanh4x )(se c h 2x dx)
1 , 1
= - t a n h 3x - - t a n h 5x + C
d) J csch6x dx - J (coth2x - l ) 2(csch2x dx)
= - J (coth4x - 2 coth2x + l ) ( - c s c h 2x dx)
Ejemplo 43. Calcule las siguientes integrales:
a) J tan3/2x sec4x dx b) j csc4x dx
= - ^ -c o th 5x - - coth3 x + coth xj + C

INTEGRAL INDEFINIDA
III. I N T E G R A L E S D E L A F O R M A :
J se n (mx) cos(nx) d x , J sen(mx)sen(nx)dx, J eos(mx) cos(nx) d x ,
J senh(mx) co sh (n x ) d x , J senh(mx)senh(nx)dx y
j co sh (m x) co sh (n x ) dx.
Para calcular estas integrales se usan las fórmulas:
1
a) sen (mx) eos (nx) = - [sen(m - n)x + sen (m + n)x]
b) se n (m x )se n (n x ) = - [cos(m - n ) x - eos(m + n) x]
c) eos (mx) eos (nx) = - [cos(m - n) x 4- eos (m + n) x]
1
d) se n h (m x) co sh (n x ) = - [senh(m + n)x + senh(m - n)x]
1
e) se n h (m x) se n h (n x ) = - [cosh(m + n)x —eosh(m — n)x]
1
f) co sh (m x) co sh (n x ) = — [cósh(m + n) x + eosh(m — n)x]
E jem plo 44. Calcule las siguientes integrales:
a) J sen 2x eos 3x dx b) j eos 3x eos 4x dx
c) j senh d) J cosh 4x senh x dx
Solución
a) J sen 2 x c o s 3 x dx = - J [sen(2 — 3 )x + se n (2 4- 3 )x ]d x
= 2 / ^S6n ~ S8n X^ X ~ 2 ( ------ 5-*" C°S * ) +
b) J c o s 3 x c o s 4 x d x = - J [ c o s ( —x ) 4-eos 7 x]d x = - ^ s e n x 4-- s e n 7 x )
c) J senh 3x senh 4 x d x = - J [ c o s h 7x — c o sh x jd x
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d) J cosh 4 x se nh x d x = —j [senh 5 * - senh 3 x ] d x
1/1 1
= 2 5 C° S ~ 3 C0S 3x) + ^
E n este ejemplo, se han usado las identidades:
s e n h ( - u ) = - s e n h u , s e n ( - u ) = - s e n u
c o sh (— u ) = c o s h u , c o s ( - u ) = c o su
E je m p lo 45. Calcule las integrales:
y í i ~ . í sen4* + eos4*
a) I se n 3( 3 * ) t a n 3 * d * b) ------ ------------T-dx
J J sen2* — eos2*
f e o s * r
c) ■ ■dx d) I eos3* sen 3* dx
J V'sen7 (2 *)eos* J
So lu ción
f f sen43x
a) / = se n 3(3 * ) tan 3 * dx = ------— dx
J J eos 3 *
_ J (1 - cos23 * ) 2
eos 3 *
-dx
b)
= J(sec3x - 2 eos 3* + cos33*)d*
1 2 1 f
= -ln |sec3 x + tan 3*| - - sen 3* + - I (1 - sen23*)(3 eos 3* dx)
1 2 1/ 1
= -ln |sec3 * + tan 3*| - - sen 3* + - (sen 3* - -s e n 33* + C
j 3 3 V 3 /
1 , 1 1
= -ln |sec3 * 4- tan 3*| - -se n 3* - - s e n 33* + C
■J J 7
f sen4* + eos4* r 4 (2 + 2 cos22*)
-----i -----------J~ d x = ------------- ñ--------d x
J sen2* - eos2* J - e o s 2*
-lí (se c 2* + eos 2x )d x
1 , 1
= --rh i(s e e 2 * + tan 2*| - -s e n 2* + C
4 4

c) /
INTEGRAL INDEFINIDA
cos * I f cos x dx
- f C0SX H - 1 f
J Ysen^(2xT co sx V 2 7 J V s e n 7x c o s8*
Se observa que esta integral no se adapta a ninguno de los tipos estudiados en
(I). Cuando se presentan estos casos, a veces, es conveniente transform ar a los
otros casos, es decir, a productos de tangentes y secantes ó cotangentes y
cosecantes. E n este ejemplo, transform ando a tangentes y secantes (dividiendo
entre e o s5*, numerador y denominador) se obtiene:
1 f se c4* 1 f 1 + tan2*
' = V l 2 8 J ta n 7/3* = Í V f J ta n 7/3* O 0" * d * )
1
, . .tan 7/3x + tan 1/3* ) s e c 2* d *
4V2J v J
= —rrz ( —- cot4/3* + - t a n 2/3* ) + C
4V2V 4 2 )
f 7 f (1 + eos 4*
d) } = I cosJ2* sen 3* dx = J ^-------------J eos 2* sen 3* dx
4 / ( c „ s 2 x Sen 3 ^ + Í J eos 4*(cos 2* sen 3x)dx
= - J [sen * + sen 5*]dx + - J [eos 4* sen *+ eos 4* sen 5x]dx
1 1 1 ir
= — —eos * - - eos 5* + - I [-sen 3* + sen 5* + sen * + sen 9x]dx
( 1 1/1 1 1
= - —eos * - - eos 5 * I + - - eos 3* —- eos 5 * - eos * -----eos * + C
4 V 5 / 8 3 5 9 /
3 1 3 1
= - - eos * + — eos 3*- — eos 5 * - — eos 9* + C
8 24 40 72
E je m plo 46. Calcule las siguientes integrales:
f f f sen^x
a) j tanh42 * d x b) I seeh3x d x e) I —— dx
, ^
d)
e o s“*
f s e n 43 * f
----- T¿—dx e) ta n ¿ x s e c * d *
J e o s33 * J
Solución
Se observa que ninguna de las integrales se adaptan a los casos estudiados, por lo
que será necesario efectuar algunas transformaciones. E n efecto, •
39
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a) I tanh4 2 x dx = J (1 - sech2x )2dx = J ( 1 - 2 sechz2 x + sech4 2 x) dx
= x —tanh 2x + J (1 —tanh22 x) sech2x dx
1 / 1
= x - tanh 2x + -(ta n h 2x - -ta n h 3 2x) + C
1 1
= x - - t a n h 2x - - t a n h 32 x + C
¿ O
b) J sech3x dx = J - J l - tanh2* (sech2* dx)
(Si u = tanh x , du = sech2x dx)
= —[tanh x Vl - tanh2x + arcsen(tanh x)j + C
l r
= - [tanh x sech x + arcsen(tanh x)] + C
f sen2x f r
^ J cös^xdx = J tan2x Sec4* dx = I tan2x^1 + tan2x)(sec2x dx)
= I (tan2* + tan4x)(sec2x dx) = ^tan3x + ^tansx + C
J 3 5
(sen43x r (1 - cos23x)2 r
3 J cos33x “ J ^ 3 *dx = J(sec 3* ~ 2sec 3* + cos 3* )
= J Vl + tan23x sec23x dx - ^In|sec3x + tan 3x| + ^sen3x
A
1 r
= ~ |tan 3x sec 3x + In|sec 3x + tan 3x|] - A
1 1 1
= gtan 3x sec 3x - -In|sec 3x + tan 3x| + ^ sen 3x + c
e) I tan2* secx d x = J y/sec^x^l(tan x s e c x d x )
1 ,
= - | s e c x t a n x - ln|secx + tanx|] + C
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INTEGRAL INDEFINIDA
dxf dx
l:)riii|)lo 47. Halle la integral J + usando la su stitu ció n x = 2 tan i
Sol ut-ion
( .uno x = 2 tan 0 , dx — 2 sc c 29 d9. Entonces
dx l f sec29 dB 1
i
f dx I f see 0 dB 1 f
1 f (1 + cos 2 9 )d 9 1
'i
)
- i J
1
( arctan - 4- , ,
16 V 2 4 + x 2
2 16
x 2 x
sen 20
+ C = — [0 + sen 0 cos 0] + C
16
4 -C
l’.tra regresar a la variable original x, en vista de que tan # = - , se construye
d triángulo
A partir de este triángulo, se obtiene que
sen 0 =
V x 2 + 4
y eos ti = —
V x 2 4- 4
E J E R C I C I O S
Calcule las siguientes integrales indefinidas:
1.
/
+ 2x — 8 dx
R.
9 dx
3.
V 9 x z - 12x + 13
3 dx
4 x 2 — 16x 4-17
4 — Ix
-[(x 4- l)Vx2- « x - 8 - 9 ln |x 4- 1 4- J x 2 4- 2x - 8|J 4- C
fl. 3 ln [3x - 2 4- V 6 * 2 - 1 2 x T l 3 ] 4- C
fi. -a rc t a n (2 x - 4) 4- C
V x 2 4- 2x —8
:dx
ß. - 7a/x2 4- 2x - 8 4- 11 ln x 4- 1 4- v x 2 4- 2x - 8| 4- C
41
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3 + 5*
12* + 13
i u n c u s U t CALCULO - VOLUMHN II
dx
1.
8.
5. f — !
J 9* 2 -
R- — In(9* 2 - 12* + 13) + y arctan ( ^ y ~ ) + C
j f (2 — x)dx _______________ ^ ^
J V —* 2 — 10* — 21 ^ ~ xZ~ 10* — 21 + 7arcsen + C
J sen 2 * + 3 c o s *
dx
16 12 tanh * + 5
n * sen 2*
*• 2 ---- i ~ +C
D X 1
R- 2 + ^ se n ( ! 0 * } + C
3 * sen 2 * sen 4 *
*• T — 4~ +— +c
n 2 1
sen * - - s e n 3* + - s e n 5* + C
V 9 + 4 s e n * - cos2*
*■ 2 V s e n 2* T T s e n * T 8 - In | se n * + 2 + x » 7 T 4 l i I 7 T T 8 | + c
[ (5 senh * + 4 cosh x)dx
J cosh * ( 9 senh2* + 6 senh 2* + 5)
R- rln | 4 tanh2* + 12 tanh *| - — In l- ta n h * + 1 l
16 12 tanh I
9. J se n 2* dx
10. J cosh 25 * dx
n . / se n 4* dx
12. / c o s5* dx
, 3 . / co s7* se n 3* d *
„ „ f se n 3*
14. I -----r - d *
J co s4*
cos8*
40
1
3 cos3*
(4 co s2* - 5) + C
- s e c * + C
15. J se n h 3* dx
16. j se n 2(3 *)c o s 43 * dx
17. J se n h 8* cosh 5* dx
18. j tan6* dx
1
R■ - c o s h * ( c o s h 2* — 3) + C
* sen 12* se n 36*
' 16 192 + ~ 1 4 4 ~ + C
1 2 i
R. - se n h 9* + - s e n h 3* + - s e n h 5* + C
1 1
g tan * - - t a n 3* - tan * + * + c
42
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INTEGRAL INDEFINIDA
19. J cot5* dx
20. J tanh4* dx
21. J sec4* V cot3* dx
22. J tan5* V e o s 3x dx
23. J tanh6* sech4* dx
V2 dx
24.
co s3*V s e n 2*
25. J sen 3 * sen 5 * dx
26. I eos 2* eos 7x d x
í
J
I
27. J se n 52* co sB2* dx
28. j se n 3* eos3* dx
29. J (1 4- eos 4* ) 3/2 dx
30. J cot4(3x)dx
i ax ->x ,
31. | sen4- cos'1- dx
32. J tan3* dx
33. J tan3(3 *)s e c 3(3 *)c ¿*
1 A 1 ,
R. —- c o t 4* + - c o t z* + ln|sen*| + C
R. x —t a n h * - - t a n h 3* + C
R. —2Vcot* + - Vtan3* + C
2 2
R. -sec5/2* —4 sec1/2* —-cos3/2x + C
R. - t a n h 7* — - t a n h 9* + C
7 9
R. - V t a n * ( 5 + tan2* ) + C
sen 2* sen 8*
R■ — ------77— + C
4 16
1 1
R. — sen 5 * + — sen 9 * + C
10 18
1 1
R. - s e n 6( 2 * ) - - s e n 8( 2 * ) + C
R. - eos( 2 * ) + - i-e o s 3( 2 * ) + C
16 48
V 2 V 2 , '
R. — sen 2 * — — sen32 * + C
2 3
1 , 1
R. —- c o t 33 * + - c o t 3 * + * -I- C
9 3
* 1 1
R■ TZ ~ To sen 2 * — — sen * + C
16 32 24
tan2*
R. — ------h ln|cos*| + C
1 1 ,
R. — sec53 * - - s e c 33 * + C
15 9
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1
f s c n 3x _____ ,3
' i V ^ dX R' 3V i¿ n ( - c o s 2x + 3) + C
dx
se n 2x co s4x 2 ta n x + ^ t a n 3x — c o tx + C
36. /
37. f dx 1 3 1
J sen5x c o s 5x ? tan * ^ ^n l^an x ~ ~cot2x — — cot4* 4* C9 ~ 1 ^“«i«»ai — ——(
^ ¿ 4
3 8 ’ / v s e n x c o s 3x R-2Vtáñx + C
oq í Sec4*H 1
■ J tan4x R-- cotx - 3 c° t3x + C
40. I S o t x c o s ^ x dx R. 2-sfséñx - ^ s e n 5' 2x + ^ s e n 9' 2x + C
í se n 2(nx) i ^ ^
J co s6(jrx) dx R •“ [3 tan3C^x)+ - t a n s (7rx)J + C
42. J sen x sen 2x sen 3x dx R. ¿ c o s 6x - A Co s 4x ^ cos2x + C
.43. f sen 4x eos 5x dxr cos9x cosx
J 18 2
44. í sen 8x sen 3x dx r sen x _ sen , r
J 22 10
45. J cosh 3x cosh x dx r .i senh 4x + ^senh 2x + C
o 4
46. j senh 4x senh x dx R. _ COsh 5x + ^ cosh 3x + C
47. J sen3x eos 3x dx R. l c o s 2 x - ¿ c o s 4 * + ¿ c 0S6x + C
48. f cos2x sen24x d x R x ^en i sen 2x sen 6x sen lOx
J ' 4 32 -8 ~ 48 8 Ó ~ + C
49. f senh2x cosh 5x dx r sen^ ^x j_ senh 3x senh 5x
J 90 n tt:—
5 0 . /
dx
28 ' 12 10 +C
2
V se n 3x c o s ^ x R‘ ~ 2 ^ x + 3 t a n x V t l F * + C
44
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INTEGRAL INDEFINIDA
1.5.3 IN T E G R A C IÓ N P O R SUSTITU CIÓ N T R IG O N O M É T R IC A
Las integrales de la form a f R(x , J p x 2 + qx + r )d x , donde R es una función
racional de las variables x y J p x 2 + qx + r , se puede sim plificar por m edio de
una sustitución trigonom étrica adecuada.
Com pletando el cuadrado en el trinom io p x 2 + qx + r se obtiene una expresión
de la form a u2 + a 2 ó u2 —a2 ó a2 —u2, donde a es una constante.
I) S i el trinom io tiene la form a a2 —u2, mediante la sustitución
u - a se n 9 , a > 0
se elim ina el radical, pues V a 2 - u 2 = a eos 9 . Tam bién se tiene que
d.u = a eos 9 dO
Para regresar a la variable original u, se emplea el triángulo form ado con la
u
sustitución sen 6 = — (Fig. 1.3 a).
(a)
Fig. 1.3
II) Si el trinom io tiene la form a a 2 + u 2, mediante la sustitución
u - a tan Q , a > 0
se elim ina el radical, pues Va2+ u 2 = a sec 9 . Tam bién se tiene que
du = se c 29 d 8
Para regresar a la variable original u, se utiliza el triángulo form ado con la
u
sustitución tan 9 = - (Fig. 1.3 b).
a
III) S i él trinom io tiene la form a u2 t - a 2 ,mediante la sustitución
u = a sec 6 , a > 0
se elim ina el radical, pues Vu2- a 2 = a tan 6 . Tam bién se tiene
du = a sec 9 tan 9 d9
Para expresar la integral original en términos de su variable u, se emplea el
u
triá n g u lo e la b o ra d o con se cfi = - (Fig. 1.3 c).

Ejemplo 48. Calcule / = J ^9 - x 2 dx.
Solución
Haciendo ia sustitución * = 3 sen 8, dx - 3 eos 8 dd y calculando la integral
trigonométrica que resulta, se tiene
/ = j V 3 2 — x 2 dx — J ^p^-^^señ2d 3 eos 9 dd
= J 9 eos26 dd = - J (1 + eos 29) dd
cos20 .3 eos 6 dd
9 9 ( x xV9 - x2
= - ( 0 4-sen 0 eos 9) + C = - I arcsen-4------- -------
-( Xy¡9 - x 2 + 9 aresen - ) + C
E je m p lo 4 9. Calcule / = /
dx
x 2-J16+ 9X 2
Solución
Sea 3x = 4 ta n 0 , dx = - s e c 28 dd. Luego,
í dx _ 4 f
J x 2V l 6 4- 9x2 ~ 3 J
sec2d dd
x 2V l 6 4- 9x2 3 J ^ t a n 20 V 1 6 4- 16tan20
3 f secd 3 f c o sí
= — -----T - d d = — -----— d 0
16 J tan2d 16 Jsen2d 16
-C S C 0 4- C
3 V 1 6 4 -9 x 2 V 1 6 4-9X 2 „
. + c = ----------—-------- + c
16 3x 16x
:dx.E je m p lo 50. Calcule / ,
J V x 2 — 9
Solución
Haciendo x = 3 sec 9, dx = 3 sec 9 tan 9 d9 , se obtiene
27 sec30 .3 sec d tan d dd
V 9 sec20 — 9
( x J f :
= d x =
J V x 2 — 9 J
= 27 J ( 1 4- tan20 )se c 20 d d = 27 (tan d 4- - t a n 3flj 4-
= 9 v 'x 2 — 9 4- - ( x 2 — 9 )2 4- C
O

I'li'iiiplo 51. Halle I = J
INTEGRAL INDEFINIDA
X 3 dx
V x 2 + 2x 4- 5
Solución
i ompletando el cuadrado en el trinom io y
Imi icndo la sustitución
v I 1 = 2 tan 9 , dx = 2 secz 9 dd
M' obtiene
x 3 dx f x 3 dx
/ V x 2 + 2x + 5 J J ( x + l ) 2 + 4
I (2 tan 0 — l ) 3 2 see20 dd
2 se c 0
= J (2 tan 0 - l ) 3 see 8 dd
(8 tan30 see 6 - 1 2 tan20 see 0 4- 6 tan 6 see 0 - see 0) dd
H
see30 - 6 see 8 tan 8 + 5 ln|see0 + tan 8 - 2 see 8 + C
1 3 t____________________
(xz + 2x + 5 ) 3/2 - - (x + 1)V* 2 + 2x + 5 + 5 In x + 1 + *Jx2+ 2x + s| - J x ^ T Y T s + C
( 2 x 2 - 5 x - 5 ^
lije m p lo 52. Halle /
Solución
/
4- 5 ln ¡x + 1 + V * 2 + 2 x + 5| + C
dx
(1 + X 4)a//T + X 4 - X 2"
se c20
Si se hace x ¿ = tan 0 => dx = — ;— . dft.
líntonces
/
dx
-/■
see20 d 0
(1 +x4)VVl + x 4 - x 2 ■> see20 Vsee 0 — tan 0
e o s0 d 0
V sen 0 — se n 20 1 / l T
eos 0 d8
z 2
-a rc se n + C
1 1 / 2x 2
= -a re se n (2 sen 0 - 1 ) 4- C = - arcsen - ^ =
2 2 V v i + x 4
1 4-C

12 dx
/;
Ejemplo 53. Calcule / - , __________________
(2x - l ) / ( 4 x 2 - 4x - 8 )3
Solución
Com pletando el cuadrado en el trinom io y haciendo la sustit jción
2x - 1 = 3 sec 9, dx = - sec 9 tan 9 d.9
Resulta
/
= /
- /
■ /
12 dx
(2x - 1 ) V (4x2 —4x —8)3
12 dx
{2.x —l) [ ( 2 x — l ) 2 — 9 ]3/2
18 sec 8 tan 9 dd 2
3 s e c 0 2 7 t a n 30 9
J cot26 d9 = — j (esc29 —1)d 6
2 , 2 /
= — [—cot 6 — 0] + C = — (■
Ejem plo 54. Calcule J
Solución
Si se sustituye
/
9 V V 4 x 2 - 4x - 8
e _:>f dx
2x - 1
+ aresen— -— J + C
(9e~2x + 1)3/2'
3e * = tanfl, e = - - s e c 29 d9 , se tiene
= J
e x dx
[(3 e ~x) 2 + I ]3/2
r ~ 3 sec29 d9 r
J sec39 3 J eos 9 d9
--se n 9 + C
Vi + 9e~2*
+ C
48
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R|cinplo 55. Calcule / = I XV * X-d*
J V 2 —x
Solución
Racionalizando el integrando, obtenemos
f x [ i - x f x ( l ~ x ) r x ( l - x) dx
J V 2 - x X ~ J V l ^ / 2 ^ X ~ V x 2 - 3 x + 2
INTEGRAL INDEFINIDA
Aliora bien, completando el cuadrado en el trinom io y haciendo la sustitución
3 1 1
- = - sec 8, dx = - sec 8 tan 8 d8
2 2 2
Sust. 2x - 3 = se c 9
c obtiene
2x-3/
ly / x 1 - 3 x + 2
f x ( l - x ) d x
( y 1
/ Q
1
2
r ^ sec 8 + ( l - ^ - i sec ^ sec 6 tan 0 dd
^ tan 8
= - - J (se c 38 + 4 se c28 4- 3 sec 8) dd
3 1 r ------------------
= - tan 8 - - ln | s e c 0 + tan 8 - - y/l + tan 20 sec2d dd
4 4 J
3 1
= - t a n 8 - - ln | s e c 0 4- tan 8 |- - ( s e c 8 tan 8 + ln|sec0 4- tan 0 4- C
4 o
1 7
= - - t a n 0 (8 4- s e c 0 ) - -ln | s e c 0 4- tan 8 4- C
O O
2sJx 2 —3x 4- 2 7 i ____________
= -----------------------(8 + 2x - 3) - - l n 2x - 3 4- 2 j x 2 - 3x 4- 2 4- C
O O ' '
y j — 3x “h 2 7 i ____ i
= ------------ -----------(5 4- 2 x ) - - n 2 x - 3 4- 2 V * 2 - 3x 4- 2| 4- C

Observación 7. Si el integrando contiene una expresión de la forma V a 2 —u
ó Va2 + u2 ó Vu2 - a2, a veces una sustitución hiperbólica es más efectiva.
Para V a 2 - u 2 , la sustitución es u = a tanh t.
Para Va2 + u 2 , la sustitución es u = a senh t.
Para Vu2 —a2 , la sustitución es u = acoshí.
En el primer caso, Va2 - u2 = a sech t.
En el segundo caso, 'Ja2 + u 1 = a cosh t.
En el tercer caso, V u 2 - a 2 = a senh t.
E je m p lo 56. Calcule / = J x 2J x 2 + 4 dx.
So lu ción
Usando la sustitución
x = 2 se nh í , d x = 2 co sh í dt
tenemos
/ - J x 2y¡x2 + 4 d x = J 4 senh2t 2 cosh t 2 cosh t dt
- 16 J senh2t cosh2t d t = 4 J senh22 í d t = 2 J (cosh 4 t - l)d £
1
- -s e n h 4 í - 2 t + C = 2 senh tco sh t(senh 2t + cosh2t) - 2 1 + C
xV 4 + x 2 / x 2 4 + x 2 x
j _ 2 Se n h -1 - + í:
xV 4 + x 2
4 2
x 2 dx
Ejem plo 57. Calcule / ~ f ■
J <V x2 + 4x - 5
Solución
Completando el cuadrado en el trinomio y haciendo la sustitución
x + 2 = 3 cosh t , d x = 3 senh i d t
resulta
I rn { __*2dx f * 2 d x f (3 cosh t ~ 2 ) 2 3 senh t dt
J + 4* - 5 ~ J / (* + 2)z - 9 i 3 senh t

INTEGRAL INDEFINIDA
(3 cosh t - 2 )2 dt = J (9 cosh2í - 12 cosh t + 4)dt
í
/cosh 2t + 1
9 ^-----------------) - 12 cosh t + 4) dt
9 17
- c o s h 2t - 12 c o sh t + —
2 2
dt
9 17
= - s e n h 2t - 12 se nh t + — t + C
4 2
9 17
= - senh tc o s h t — 12 senh t + — -t + C
2 2
V x 2 + 4 x - 5 17 (x 4- 2
--------- - --------- (x — 6) + — c o sh - ( - J + ^
Obs er vaci ón 8 . Si la integral tiene la f o r m a I R [ xn ; J a 2 ± x 2) dx ó
I R ( x n ; J x 2 —a2) d x , donde n es entero impar positivo, es preferible
usar ia sustitución z 2 = a 2 ± x 2 ó z 2 = x 2 - a 2.
I.jem plo 58. Calcule las siguientes integrales:
J)
<0
x3 dx f ( x s - x)
b) —
J V.V x 2 - 9
x 3 dx
« J
Vx2 + 3
x 3 d x
(3 — x 2) 4
d x
( x 2 + 9 ) 3/2
Solución
a) Utilizando z 2 = x 2 - 9, 2 z d z = 2 x d x <=> z d z = x dx se tiene
x 3 dx x 4( x d x ) f ( z 2 + 9 ) 2z d zr x (x dx) f
J Vx2 - 9 JV x 2 — 9 J Vx2 — 9
= J (z 4 + 1 8 z 2 + 9 )d z = ^ z 3 + 6 z 3 + 9z + C
= - ( z 4 + 3 0 z 2 + 4 5 ) + C
V x 2 - 9
(x 4 + 12x - 144) + C
51 /
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f ( x 5 - x ) _ r (x * - l ) ( x dx) f [(z 2 - 3) 2 - ] z dz
J V ^ T 3 JV F T 3 " J z
f z **
= J ( z 4 - 6 z 2 + 8 ) d z = Y - 2 z 3 + 8z + C
b) Haciendo z 2 = x 2 + 3, z dz = x dx se obtiene
z
= - [ z 4 - 1 0 z 2 + 4 0 ] + C
Vx2 + 3 ,
= ----- ------( x 4 - 4 x 2 + 19) + C
c) Si se sustituye z 2 = x 2 + 9, z dz = x dx resulta
r x 3 dx _ r x 2(x dx) f ( z 2 - 9) ( z dz)
J (X2 + 9)3/2 - J ( x2 + 9)3/2 - J
dz
9 1 ,
= z H ------h C = - (z + 9) + C
z z
1
( x 2 + 1 8) + C
V x 2 + 9
d) Haciendo z — 3 — x 2, x dx = - - d x se obtiene
f x 5 dx í x 4(x dx) f (3 - z ) 2( - í dz)
J (3 - x 2)4 ~ J ( 3 - x 2)4 = J i?
1 f / 9 6 1
2 J +
1 / 3 3 1
“ 2 ^ ~ I * + z ) + C
x 4 - 3 x 2 + 3
~ 2 (3 - x 2) 3 + C
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f x~ dx
J v f ^ F
J * + x 2 dx
j x z¡4 - x z dx
f dx
J x 2v l + x 2
dx
J ( X 2 -r 1 ) V 1 - X 2
' x 3 dx
v 2 x 2 + 7
dx
x 4V x 2 + 3
r (4 x + 5 )d x
J ( x 2 — 2x + 2 ) 3/2
f - 4I ( X 2
( 2x - 3 )d x
J ( x 2 4- 2 x - 3 ) 3/2
f V x 2 — 4 x
d x
x 4 d x
I 1
(4- x 2y /z
( x 2 - 2 5 ) 3/2 d x
x 6
d x
INTEGRAL INDEFINIDA
E JE R C IC IO S
(x ■+■l)3Vx2 + 2x
r sen x dx
J Vcos2x + 4cosx 4- 1
1 x /-------- -
R. - - a r c s e n x - - v l - x 2 4 -C
R. - jx V 4 + x2 + ln(x + J 4 + x2)j 4- C
x V 4 - x 2
R. 2 arcsen ----------- -— |x - 2xj + C
V l + x i
R . --------------- 4- C
I y[2x ,
R. — a rc ta n l - = = ) + C
1
v f V 1 - X 2
V 2 x 2 4- 7 ,
R. — — ------- ( x 2 + 7) + C
V x 2 4- 3 ( x 2 + 3 ) 3/2
R. ---- r--------- -- ---- + C
R.
9x 2 7 x 3
9x - 13
^ _______ :4~ C
V x 2 - 2x 4- 2
5 x - 3
4 V x 2 + 2 x - 3
( x 2 - 4 x ) 3/2
:+ C
6 x 3
v s
R.
2 0 (4 - x 2) 5/2
( x 2 - 2 5 ) s/2
4- C
+ c
1 2 5 x 5
1 V x2 4- 2x
if. - a r s e n ( * + l ) + i 5 r n 5 j + C
/?. - l n jc o s x + 2 + V c o s 2x + 4 c o s x + l j + £
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5 /
e x¡e2x - 4 - 2 e 2x( e x + 2)
15. | — ------------- — "■■■■■ ■■ —— —dx
2{ex + 2 ) 4 e 2x~ - 4
R. —nex + 2| - V e 2* - 4 + c
_ f 2 x 2 - 4 x 4- 4
16. j - — dx
J 4 3 + 2x —x 2
R. aresen - (x - 1 )V 3 + 2 x - x 2 + C
17
18.
dx
( x2 - 2 x + 5 ) 3/2
( x 2 + 3 x )d x
R.
x - 1
4 V x 2 - 2x + 5
í ( x2 + 3x
J (x - l W x 2 -(X - l ) V x 2 - 2x + 10
R . V * 2 - 2a: + 10 + 5 In |V*2 - 2x + 10 + x + l| + - ln
V x 2 - 2x + 1 0 - 3
x - 1
+ C
m Í 4 ^ L
J V 4 — x 2
(3 + x 2) 2 x 3
2 0 '
V4 - x2
/? .------ -----(8 + x2) + C
21
22
23
/
f V y 2 ~ 4
i y 4
‘ J
■/
R. - -
. 2
( *2 + l ) 2 , 7 , 4
-------------+ (x 2 + 1) + -f* €
d y
(x2 —l)Vx2 - 2
2x2 4- 1
( x 2 + 4 ) 2
dx
dx
161
r — ( y 2 - 4 ) 3/2
■ Í 2 y 3 + C
_ Vx2 - 2
k. arctan--------- + C
x
x 1 4 x
2 x 2 4- 4J
( 2x 2 4- l ) V x 2 + 1
f 3 x a r c s e n x
25. I — . dx
R- r r la r c t a n r ----— — - 14- C
fi. arctan * ) + C
W 1 4- r 2/
J V ( i - * 2) 5
J V i - x 2 v i - x /
aresen x 1 [ x
(1 — x 2)3/7
i r x
2 l ~
-4-in
■Vi 4- x 2
AT+ 1
V T
4- C
dx
R ] n f 1 + X ) ( 2 7 3 1 s , 89 /25 + 6x 2
*■ ln l T ^ I A 3 z ~ 5 - zJ + g ó arcsen* “ * 2 ( — e T ' j + c-
donde z = J l - x 2

i t
x ¿ - 3
A v/x4 - 4
:d x
INTEGRAL INDEFINIDA
1
In |x 2 + V * 2 _ 4| - -a r c s e n —
x dx
¿'t
(x 2 - 2 ) V x 4 - 4 x 2 + 5
x 2 d x
1
/?. -In
V x 4 — 4 x 2 4- 5 — 1
x 2 - 2
+ C
4- C
l 4 x 2 — 1 2 x — 5
(2x 4- 3 i------------------------
11 arcsen^— -— j 4- -J—4-x2 - 12x — 5(3 — 2x)
411
I I
1,’
4 I
x z dx
( x 2 4- 4 ) 3
2x :i dx
1
R ‘ 64
x 2 x ( 4 - x 2) 1
arctan - -
'2 (4 + x 2) 2
4- C
4- C
( v ’ - l ) 4
dx
1 - 3 x 2
R ■ ^------T“TT 4- C
(() _ x 2)3
( 4 x 2 4- l ) d x
R.
3
■4- - In
6 ( x 2 — l ) 3
(3 + x f
3 6 ( 9 - x 2) 2 1 6 ( 9 - x 2) 4 9 — x 2
4- C
It
( v - 3 )V 6 x — x 2 — 8
/Í. 24 a rc se n (x — 3) 4- 37 In
e 2x dx
1 - V ó x - x 2 - 8
x — 3
J ( c ¿x - 2 e x 4- 5) ) 3
se nh 2x dx
R.
4y¡6x — x 2 — 8 4- C
e * - 5
4 V e 2* - 2 e * 4- 5
4- C
(2 c o sh 2x — 3 se n h 2x — 2 cosh x ) 3/2
R
3 — cosh 2 x
2V 2 c o sh 2x - 3 se n h 2x - 2 c o s h x
:4- C
ill
I ,
!sen 2x sen x d x
( - 4 sen 2 x - 19 se n 2x ) 5/2
4 tan x — 16 / 5 ( t a n x - 4 ) 2
</
W t.m 2* - 8 tan x + 20 ta n 2x - 8 tan x 4 20
dx
+ 12 +
128
3 (tan 2x - 8 tan x + 20 )3/
" t C
(* 1)(x 2 - 2x + 5 )2
R- 32
(x - l ) 2
x 2 — 2x + 5
4-
1
8 (x 2 - 2x + 5)
+ C

I.5.4.1 I N T E G R A C I Ó N D E F R A C C I O N E S S I M P L E S
Se denom inan fracciones sim ples a ias funciones que se presentan bajo una de las
formas siguientes:
0 f W =
TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
1.5.4 M ÉTO D O DE IN TEG RA C IÓ N PO R D E SC O M PO SIC IÓ N EN
FR A CC IO N ES PA RCIA LES
x —r
•*) /O ) = 7— , n > 2 , n e N
(x —r ) n
ax + b
ill) f ( x ) — 2 '------ :— , donde px2 + qx + r no tiene raíces reales, es decir,
JjX “t” CJX T Y
qz —Apr < 0.
^ s CLX+ b
IV) f ( x ) = -— — -----------— ,donde n > 2 , n e N , q 2 - Apr < 0.
(;px2 + qx + r)n ^ p
Las integrales de estas fracciones sim ples son inmediatas, pues
f a
i) dx = a ln¡x - r| + C
J x —r
U) í (x - r ) n dX ~ (1 - n)(x - r ) n_1 + C
f ax + b
iii) — 7 - -------- ;— dx (desarrollado en 1.5.1 caso III)
J p x 2 + q x + r J
f ax + b (2px + q)dx
J (px 2 + qx + r ) n X 2pJ (px2 + qx + r ) n +
2p(n - 1)(px2 + qx + r ) n~
- +
( * - S ) /
f dx
i (px2 + qx + r ) n
f
dx
J (px2 + qx + r)n
;
Para calcular la integral /, al completar el cuadrado en el trinomio, se obtiene
r í du j j r~ R , 4 r P _ <7
J = ~ T i , i n , ' donde u = J p . x + — = y k = ------------
J v J ( u 2 + k 2Y y 4 n( u 2 + k 2r ’ y 4 p
En esta últim a integral, se puede usar la sustitución trigonom étrica u = k tan 0 ó
la siguiente fórm ula de reducción:

INTEGRAL INDEFINIDA
dx
Solución
l n este caso n = 2 y k = 2. Entonces
r dx x 2 (2 ) - 3 f dx
] (x 2 + 4 )2 “ 2.22(2 - l)(x2 + 4 )2-1 + 2.22(2 - 1) J (x2 + 4)
x 1 1 x 1 / x 2x
“ 8 ( ^ 4 ) + 8 ' 2 arCt3n 2 + C = 16 l arCtan 2 + Í ^ T í) + C
l'lem plo 59. Usando la fórmula de reducción, calcule / = J + .
1.5.4.2 I N T E G R A C I Ó N D E F U N C I O N E S R A C I O N A L E S P O R
D E S C O M P O S I C I Ó N E N F R A C C I O N E S S I M P L E S
P (x )
Sim la función racional f ( x ) = — -r, donde P (x ) y Q{x) son polinom ios
Q(x)
i <«primos de grados m y n (m ,n e N), respectivamente.
Si m < n, se dice que la función racional es propia y cuando m > n, se dice que
rs una función racional impropia.
Por ejemplo, las funciones racionales
x 5 - 6x2 + 7
y a t o2 x 4 + 8 J " 2x&+ 3 x 3 + 2
mm propias, pues el grado del polinom io del num erador es menor que el giado del
polinom io del denominador; mientras que las funciones racionales
3 x 4 - 2x2 + 7 _ 5 x 3 - 3 x 2 + 1
F(X) ~ x2 + 2x + 3 y " 2 x 2 - 7 x 3 + 4
son impropias.
P(x)
Si / (x) = es Una función racional impropia, por el algoritm o de la división,
uxisicn polinom ios C(x) y /?(x) únicos tales que
l’t o r r ^
-------= C(x) +
Q(x) Q(x)
ilmule el grado de R(x) es m enor que el grado de Q(x). C(x) y R( x ) son,
ii'speclivamente, el cociente y el resto de la división de P( x ) entre Q(x) .
I tío significa que toda fracción im propia puede ser expresada com o la sum a de un
polinom io y de una fracción propia. A sí, la integral de una fracción im propia
IMifilc ser escrita com o
í p t o , f , ( R t o dx

Enseguida, verem os el método de integración para una fracción propia, el cual se
basa en que “toda fracción racional propia puede ser descompuesta en la sum a de
fracciones sim ples”. Este hecho se sustenta en el conocim iento de dos teoremas
del Á lgebra que adm itirem os sin demostración.
Teorem a 1. Si Q (x ) es un polinom io de grado n (n > 1) , entonces Q( x) se
descompone com o un producto de factores de 1er grado y de factores de 2 do
grado irreductibles en M, de la siguiente forma:
Q(x) = a(x — rj) " 1(x — r2)n2 ... (x - rk)nk(x2 + p^x + q1)m» ...(x2 + psx +qs)m>(*),
donde n = TI-L+ n 2+ ... + nk + 2 m l + ... + 2m s
T eorem a 2. Si el polinom io ( ? ( * ) posee la descom posición '( * ) y P ( x ) es
P (Xj
un polinom io de grado m enor que n, entonces la fracción propia
se descom pone unívocamente en fracciones sim ples como
P(X) _ ^11 A12 ^21 ^22
Q(x) x — + (x — rx) 2 (x - rj)ni + (x - r2) + (x - r2) 2 + ^
+ - Alnt- + . - 4 - A k l - + Ak2 + . . . + Akn*__ +
( x - r 2)"2 (x - rk) (x — rk) 2 (x - r k)nk
^ Bllx + ^11 ^ Bl2x + ^12 ^ J ^lm, + ^
(x 2 + p 1x + q1) (x 2 + p xx + Ch) 2 (x 2 + pjX + Q i)mi
_l_ B S1X + Csí ^ B s2X + CS2 ®smj "t" Q m s
x 2 + psx + qs (x 2 + psx + qs) 2 ( x 2 + psx + qs)ms
En resumen, podem os afirmar que la integración de una función racional (propia ó
impropia) se reduce a integrar a lo más un polinom io y las fracciones simples.
Recuerde que si ei grado del numerador es m ayor o igual que el grado del
denominador, primero se debe dividir (salvo que se emplee otro artificio de
integración).
Cuando se descom pone una función racional en fracciones simples, la ecuación
resultante es una identidad, es decir, es verdadera para todos los valores
significativos de la variable x. E l método para determinar las constantes que se
presentan en los numeradores de las fracciones sim ples se basa en un Teorem a del
A lgebra que establece que los polinom ios de un m ism o grado son idénticos
cuando son iguales los coeficientes que corresponden a potencias iguales. Estas
constantes también se pueden determinar resolviendo la igualdad de polinom ios
para un núm ero suficiente de valores de x.
En el siguiente ejemplo, sin determinar las constantes, mostrarem os com o se
descom pone una fracción propia.
58
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Sea la fracción propia
P(x) 7 x 4 — 2 x 3 + x 2 —%/2x + n
Q(x) = (x + l ) ( x - 4 )3( x 2 + 9 ) ( x 2 + 1) 2
I .1 descom posición de esta fracción en fracciones sim ples se expresa com o
P(x) A B C D Ex + F Gx + H Jx + M
■+ -------r + 7------ :tt + -:------ ;tt + — ---- — H---- ^---- - + -
INTEGRAL INDEFINIDA
Q(x) x + 1 x - 4 (x - 4) 2 (x - 4 ) 3 x 2 + 9 x 2 + 1 ( x 2 + l ) 2
donde A, B, C, D, E, F, G, H, J y M son constantes a determinar.
f x 3 —3x + 3
lile m p lo 60. Calcule / = — :---------- irdx.
H J x 2 + x - 2
Solución
I n primer lugar, se divide, ya que el integrando es una fracción racional impropia.
x 3 — 3x + 3 1 1
= x — 1 + — ---------- - = x - 1 + ■
x 2 + x - 2 x 2 + x - 2 ( x - l ) ( x + 2)
1iit'í’o, J = j (x —l)d x + J •
dx x 2
— —X
(x — l ) ( x + 2) 2
Al descom poner el integrando de I en fracciones simples, se tiene
1 A B
(x — l) ( x + 2) x — 1 x + 2
donde A y B son constantes a determinar. M ultiplicando esta ecuación por el
m ínim o com ún m últiplo del denominador, se obtiene la ecuación p rin cip a l
1 = A(x + 2) + B(x - l ) , V x £ l
Ahora bien, para determinar las constantes A y B se debe escoger valores
npi opiados de x. Estos valores son aquellos que hacen igual a cero el denom inador
de cada fracción simple. A sí, tenemos:
l'm a x = 1 en la ecuación principal, nos queda: 1 = 3A <=> A = 1/3
l'nia x = - 2 en la ecuación principal, resulta: 1 = - 3 B «=> B = - 1 / 3
I ui'^o,
x .
/(:
1/3 1/3 1 , 1 , 1.
dx = -ln|x —1| — -ln|x + 2| + C = -in
1 x + 2) 3 3 3
'ni lauto.
x + 2
+ C
X 2 X 1
/ = y - í + ^ T - x + 3 1" x + 2
+ C
I ti el ejemplo anterior, para calcular la integral I no es necesario descom poner en
li h it iones simples, pues tam bién se puede calcular completando cuadrados. En los
llám enles ejemplos, usarem os el método m ás adecuado.

X2 — 6x + 8f x ¿ —6x + 8
Ejemplo 61. Halle I = I — — ------ - d x
J x2 + 2x + 5
Solución
C om o el integrando es una fracción impropia, primero se divide y luego se aplica
el artificio presentado en 1.5.1. A sí, se obtiene
f x z - 6x + 8 f 3 - 8x i f (8 x - 3)dx
= I 7' , o — r ? d x = I 1 + - ^ — =------ - d x = x -
J x 2 + 2x + 5 J L x 2 + 2x + 51 J
f 2x + 2 f
= x —4 I —-— ------ dx + 11 I ,
J x 2 + 2x + 5 J (x + l ) 2 + 4
x 2 + 2x + 5
2x + 2 r dx
, 11 ¡x + 1
x —4 ln (x 2 + 2x + 5) + — arctan ^— - — J + C
dx
Ejem plo 62. Halle J . ,
. J x3+ 1
Solución
La descom posición que corresponde a la'fracción propia del integrando es
1 1 A Bx + C
x 3 + 1 (x + l ) ( x 2 - x + 1) x + 1 x 2 - x + l
P
Elim inando denominadores, obtenemos la ecuación principal:
1 = A( x2 - x + 1) + (Bx + C)(x + 1) (*)
Para x — — 1 en la ecuación (*), se tiene: l = 3A ==> A = 1/3.
Igualando coeficientes de x 2 en (*), resulta: 0 = i 4 + í ? = > f i = — 1/3.
Igualando coeficientes de x en (*), obtenemos: O = - A + B + C =$ C = 2/3.
En esta integral, el problema m ayor es la integración de la fracción sim ple /?. U n
método que facilita la integración de este tipo de fracciones sim ples (y que se usa
cuando el denom inador presenta factores cuadráticos irreducibles) consiste en
expresar el integrando como
1 1 A D(2x - 1 ) t E
X 3 + 1 (x + l ) ( x 2 — x + l ) x + 1 x 2 — x + 1
donde 2 x - 1 es la derivada del denom inador x 2 - x + 1. Obsérvese que para
integrar la segunda fracción es suficiente separar en dos integrales tal com o
veremos a continuación.
En la igualdad anterior, m ultiplicando por el denom inador se obtiene la nueva
ecuación principal:
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INTEGRAL INDEFINIDA
1 = A(x2 - X + 1) + [D (2X - 1) + E ](x + 1)
Para x = - 1 en (**), se obtiene: 1 = 3A = > A = 1/3.
Igualando coeficientes de x 2 en (* * ) , resulta: Q = A + 2 D = $ D = — 1/6.
Igualando coeficientes de x en (* * ) , se tiene: 0 = —A + D + E = > E = 1/2.
fuego,
líje in p lo 63. Calcule J ■
Solución
C om o x 3 - 1 = (x - l ) ( x 2 + * + 1), aplicam os el método del ejemplo anterior.
1)c este modo, la descom posición en fracciones sim ples es
1 A B (2 x + 1 ) + ^
x 3 - 1 ~ x - l + x 2 + x + 1
Elim inando denom inadores.se obtiene A = 1/3, B = -1 / 6 . C = -1 / 2 . P or tanto.
1 1 1 í 2x ~~
= -ln|x + 1| - gln(x2 - x + 1) + -^arctan + c
dx
dx
E je m p lo 64. Halle / - J <•* _ 2) 2^ - 4 x + 3 ) 'm plo 64. Halle / —
Solución
( orno (x - 2 ) 2( x 2 - 4 x + 3) = (x - 2 ) 2(x - 3 )(x - 1), entonces
(x —2 )2( x 2 — 4 x + 3) x — 2 (x - ¿V x - i x - 1
l lim inando denominadores, obtenemos la ecuación principal:
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l = A ( x - 2)(x - 3 )(x - 1) + B(x - 3)(x - 1) + C(x - l)(x - 2)2 + D(x - 3 )(x - 2) 2
Trabajando con esta ecuación principal, se tiene
Para x = 2 = > 1 = —B = > B - - 1
Para x = 3 => 1 = 2C = > C = 1/2
Para x = 1 => 1 = - 2 D =¡> D = - 1 / 2
Igualando coeficientes de x 3 resulta: 0 = i4 + C + D = > . 4 = 0
Por consiguiente,
dx r dx
I
S o r :( x - 2 ) 2 ( * - 3 ) ( x - l )
x - 3
_ f dx 1 r dx 1 f dx
( x - 2 ) 2+ 2J x —3 ~ 2 J x - 1
1 1
: ------^ + r l n
x - 2 2 x —1
+ C
E je m p lo 65. Halle I- j
Solución
Escribim os la integral com o
' VserTx
Vsen x
c o sx
-dx.
f v s e n x f v se n x c o sx
/ = ----------dx = — ----------- — dx
J cosx J l - s e n 2x
Haciendo u 2 — s e n x => eos x d x = 2u d u y descom poniendo el resultado en
fracciones simples, se tiene
r 2u2 du _ í 2u2 du r r i /2 1/2 1
" J 1 - u4 ~ J (1 - U2)(l + u2) ~ J l l - u + 1 + u " l T ^
2u 2 du
du
1 , |u+li 1 IVsenx + 1
~ ln ------ r - arctan u + C = - l n , ------
2 l u - H 2 V ü ñ x - 1
arctanVsen x + C
E je m p lo 6 6 . Cacule I= j
So lu ción
dx
x ( x 69 + l ) 3 '
dx 1 f 69 x 68 dx
Se tiene que / = I - —^7----------- — ¡ ------------------
J x( x69 + l ) 3 69 J x 69(x 69 + l ) 3
»Si en la últim a integral se hace u = x 69 + 1 => du = 69 x 68 dx, resulta
/ - 1 f du 1 f A B c D 1
69 Ju 3(u - 1) 69 J [u + u 2 + i í 3+ w - lj

INTEGRAL INDEFINIDA
Determinando las constantes A, B, C y D por el procedimiento usado en los
ejemplos anteriores, se obtiene
1 . Í L Í _ j L _ - L 1
i9 J i u u2 u 3 + u - 169
1 >.69
69 r " k 69 + 1
1 1
du = -ln |u | H------t - r - r + ln|u - 1| + C
u 2u2
+ C
+ 1 2 (x 69 + l ) 5
K|em plo 67. Calcule 1 = J V tan x dx.
.Solución
SI lineemos t 2 = ta n x =» x = a rcta n t2 y d x =
21 dt
1 + t
entonces
f 2 t 2 dt _ f
1 ~ J i + t4 “ J ( T
2 t z dt
+ V 2 t + t z) ( l - V 2 t + t 2)
I ,ii l'actorización de 1 + t 4 se realizó del siguiente modo:
I f t4 = (t 2 + l ) 2 - 2t 2 = (t 2 + l ) 2 - ( V 2 t) 2 = ( t 2 + 1 - V 2t ) ( t 2 + 1 + V 2t)
I ,¡t descom posición del integrando es
A ( 2 t + V 2 ) + B t C(2t - s / 2 ) + D _ 212
t 2 + V 2 t + l t 2 - V 2t + l “ l + t4
Elim inando denominadores, se tiene
212 = [¿(2t + V2) + B][t2 - V2t + 1] + [C(2t - V2) + Z>][t2 + V2t + l]
Igualando los coeficientes de las potencias de t en los dos polinom ios, se obtiene
2A + 2 C ^ = 0 , (B + D ) + V 2 (C —A) = 2 ,
yj2(B - D) = 0 , V2G4 - C) + B + D = 0
Kesolviendo las ecuaciones, resulta
i4 = — V 2 / 4 , C = V 2/4 , B = — 1/2 , D = 1/2
I uego,
V 2
’ 4
r 2t + V2 _ i r _
J t 2 + V 2t + 1 f 2 J t2
dt V 2 f 2t - V 2 1 f
J t2 - V 2t + 1 t + 2 j t2 -t2 + V 2t + 1 4
hiiegrando y sim plificando, se obtiene
t 2 - V 2 t + 1
dt
V2t + 1
V 2 ,
/ = T ln4 t 2 + V 2 t + 1
donde t = Vtan x.
/^ ^2
— — arctan(V 2 t + l ) + — arctan (V 2 t — l ) + C

r
Ejemplo 68. Calcule I = í ------—
J 3 + 4
sec2x dx
tan x + sec2x '
Solución
Escribim os la integral com o
l = [ x sec2* dx - f _____ x se ^ x dx _ f x sec2x dx
J 3 + 4 tan x + sec2x J 3 + 4 tan x + (1 + tan2* ) ~ J (tan x + 2) 2
Aplicando el método de integración por partes, elegim os
( u = x => du = dx
sec2x dx
dv = 71--------V = - -
(tan x + 2)2 tan x + 2
Luego,
dx
l = -----------_ +
r dx
J tan xtan x + 2 J tan x + 2
J
H aciendo t = tan x =* d t = sec2x dx en la integral ], se tiene
dxf sec2x dx r dt, f dx _ r _______ sec2x dx_______ r
J tan x + 2 J (tan x + 2)(1 + tan2x) J '(t + 2) ( 1 + t 2)
Descom poniendo el integrando en fracciones simples, tenemos
1 _ 5 . ~ l ñ ( 2t) + 5
■+ •
( í + 2) ( l + t2) t + 2 1 + t 2
Luego,
l r dt 1 r 2t dt 2 r dt
5 j t + 2 1 0 J 1 + t 2 + 5 J 1 + t 2
1 1 2
J = p ln|t + 2| — —— ln|l + t 21+ - a r c t a n t + C
b 10 5
1 1 2
7 = g In|tan x + 2| - — ln|l + tan2x| + -a rc ta n (ta n x) + C
Finalmente, obtenemos
(tan x + 2) 3* 1
/ — ------------- “ H----- ln
tan x + 2 10 sec2x
2
+ - * + C
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INTEGRAL INDEFINIDA
E J E R C I C I O S
II,illc las siguie ntes integrales indefinidas:
4 x 2 + 6
/
í
I
/
/;
h
r -
x 3 + 3x
dx
-dx
( x 2 4- 4 ) 2
x 4 - 4 x 2 - 14a:
x 2 —2x — 8
dx
( x 2 + 2x + 5 ) 3
X ‘
^ ' 2 x 2 + 4
R. ln [x 2( x 2 + 3)] 4- C
8
4 ln [ x 2 4- 4| + C
-dx
R.
x ■> 68 , , 14 ,
R. — 4-x 4 -8 x 4 -— ln[x — 4 | — — ln|jí + 2| + C
2(x 4 1) 3 (x -t-l) 3 (x + 1
•4- , . „— ~ a rc ta n (— -— j 4- C
(x 2 4- 2x 4- 5)2 4 (x 2 4- 2x + 5) 8
X 2 4- X - 1
:3 - x 2 - x + 1
dx
x 4- 1
2 x 2 4- 3x
dx R.
R. ------------— + -ln | x - 1 | - - ln | x 4 - l| 4- C
2(x - 1) 4 4
ln|x| ln(x2 - 2x 4- 3) 2
•+ - arctan
3 <c t )
+ x
«)
10.
i
X 3 4- X 2
x 2 + x — 2
dx
1 I x 2 I
R. — 4 -ln ------ -
X x 4- 1
4- C
+ c
-dx
4 4- 5 x 2 4- 4
2 x 2 —3 x — 3
l ) ( x 2 - 2 x + 5)
1 ( x 2 + 1
R. - l n —z------
6 x 2 4- 4
arctan x 4- arctan - 4- C
dx
1
R. - l n ( x 2 — 2x 4 -5) - ln|x — 1 | -F -a rc ta n
( ^ )
4-C
r x 2
J 1 - x
■dx6
x 2 dx
x 6 - 10 x 3 4- 9
1
R. - l n
6
B. i l n
X 3 4- 1
4- C
+ C
4x 4- 1
X 2 4 -1
-dx
1 2x + 1
R. - ln (x 2 4- x + 1) — V 3 arctan
I I
2x
X 2 4- 1
-dx
V3 V3
2
4 /2 x
+ — arctan
V V 3 i )
+ C
/2 x 2 4- V
R. — arctan ----- —— 4- C
V3 V V3

f Zx<■
14. --------
J x 4 + x- ■
-dx
• /
/ i
+ 1
Ä-. |m
x 2 dx
x 6 - 10x3 + 9
dx
x 2 - X + 1 1 /2 x + 1 1 /2 x - 1
+ — arctan — =r— + — arctan — = — + C
V V3 ) V3V3
i ( ^ ) V 3 /
fi' 2 4 ln
V 3
X 3 - 9
x 3 — 1
+ C
17.
V 2
/?. — ln
dx
x 8 + x 6
7 .
1 + V 2x + x 2
1 — V 2 x + x 1
+ -^ -a rctan (V 2x + l ) — arctan(V 2x — l ) + C
1 1 1
ñ. - + — — ---------- arctan x + C
b x 3 3 x 4 x
r x + x J
18' J - 2 4 ' + 1 d%
1 9 . /
d x
2 0.
x ( x 7 + l ) 2
f dx
I X ( X 999 + l ) 2
dx
/
■ /
x ( x 9 + l ) 3
d x
X 12(X 11 + 1)
„ . 4 1 , , , 4 , 1 |2x4 + 1 — V5|
R. :rln|x4 - 1 |- - l n [ x 6 + x 4 - 1 -------— l n ----------------- = + C
2 4 2 V 5 |2x4 + 14- v 5 i
R. ¡ n | x | - ^ in | x 7 + 1 | + — — + C
7 7 ( x ■t t j
1 1
R. ln|x|-------- lnjx999 •<- ll + --------- — ------- + C
999 9 9 9 (x 9" + 1)
1 1 1
R. ln|x|— -ln | x + l| + „ 4-------- — ^— ? + C
9 9 (x 9 + 1) I 8(x9 + l ) 2
R •r r l n l x 11 + 1| - 1■/ - ln|x| + L
11 l l x 11
f cot x dx
23 i c i S í
24.
7x + 1)
f tan x dx
J ( c o s " x + 1)
R. ln | sen xj— ln|sen'x + 1| + — -----:--------~
7 7 (se n 'x + l j
R. — ln|cos x + l| - lnjcos x ) -
9 9 ( c o s "x + l)
+ C
+ C
' x 4V s e n x + V s e n x + c o s x
25. I ---------- , , ----------------- dy.
P ( x4 + 1) c o s x
Ä. | m
V se n x + 1 V 2 . x 2 + V 2 x + 1
-------- arctanfVsen x ) + —— ln ----------------------—--------
V se n x - 1 8 x 2 - V 2 x + 1
+ — arctan(V 2x + l ) - arctan(V 2x - l ) + C

IIN1cvjKAL LNUfcMINIUA
lU.
/
dx
X s + 1
V 5
R- ™ ln
20
2x2 - ( l - V5)x + 2
2x2 - (1 + V 5 )x + 2
V lO — 2 V 5 / 4 x - ( l + V 5 )
+ ------ — ------ arctan — +
1 0 V V 10 - 2V 5 /
V IO + 2V 5 ^ ( Ax - (1 - V 5 ) , „
--------— ------ arctan — |+ C
10 V V 10 + 2V 5
,'7.
2').
<0.
1!.
;»2.
u .
j V t a ñ h x d x
c o s x V s e n x + 1
1
Ä. - In
2
tanh X + 1
— — arctan(tanh x) + C
sen x + 2
dx
dx R. 2 V se n x + 1 — 2 a rc ta n V se n x + C
sen 5 x ( l + cos 5 x )
2 dx
1
R. - In
4
cos 5x - 1
•+ C
V c o s x sen x
5
/?. In
1 - V c o s x
1 + V c o s x
c o s 5 x + l 2 ( c o s 5 x + l )
+ 2 a rc ta n (V c o s x ) + C
C X 3
J i 1 3 !
/
/
d x fi. - [ x 3 - ln ( x 3 - 1)] + C
dx
x 3 + x - 1
( x 2 + 2 ) 2
4 x 2 - 8 x
( x - l ) 2( x 2 + l ) 2
Ä.
2 — x
I nJx2 + 2 ------ — arctan — + C
4(x2 + 2) ^ 4V 2 V 2
dx
R.
3 x - 1
(x - l ) ( x 2 + 1)
, ( * ~ 1 )
+ In — ■■ . 1 + arctan x + C
x 2 + 1 )
(■I
/
/
dx
( x 2 — x ) ( x 2 - x + l ) 2
x - 1
Æ. In
10
3 V 3
/2x - 1
arctan — —
V V 3
2 x — 1
3 ( x 2 — x + 1)
3 x + 2
x ( x + l ) 3
dx
4x + 3 x
R. — ------ —w + ln -
2 ( x + l ) 2 (x + l ) 2
+ C
+ C
67
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Hem os visto que las funciones racionales poseen integrales que se expresan com o
com binaciones lineales finitas de funciones elementales. Esto no sucede con las
funciones irracionales salvo en algunos casos particulares.
E n esta sección y en las siguientes, vam os a estudiar algunos tipos de funciones
irracionales cuyas integrales pueden ser expresadas com o una sum a finita de
funciones elementales. Para esto, es necesario un adecuado cam bio de variable de
manera que el integrando de la nueva integral sea una función racional.
1.6 IN TEG R A C IO N DE ALGUNAS FUN CIO N ES IR R A C IO N A L E S
f í /a + bx mi/ni /a + b x mk/nk
1 .6 .1 IN T E G R A L E S D E L T IP O j A ( _ ) ;...; ( — )
En este caso, R es una función racional de variables
/a.+ b x mJni / a + bx mk/nk .
x ■f c r s ) ■ •••y '*>"*»•>...................."• 6 :
a + bx
Por tanto, los exponentes de -------— son núm eros racionales.
c + dx
E n esta situación, se hace el cam bio de variable
a + bx
dx
= t n , dond e n = m. c. m. {ri!, n2, - , nk}
c + dx
Despejando x, se obtiene
t nc —a (be —a d ) n í n_1
y d x = ■í b - d ñ ‘ - i c
Sustituyendo estas expresiones en el integrando, se obtiene que R es una función
racional de variable t.
dx
E je m p lo 69. Calcule J = f xl/2(1 + xl/4)•
So lu ción
E n este caso, los exponentes fraccionarios de x son 1/2 y 1/4. Entonces
m .c. m .{2 ,4 } = 4
Haciendo el cam bio de variable x — ? 4 =* d x = 4 13 d t resulta
f 4 t 3 d t r 4 t f ( 4
^~ jt 2( 1 + t) ~ J 1 + t d t ~ j ~ t +1/
= 4 t - 4 ln |t + 1| + C = 4 x 1/4 - 4 ln |x 1/4 + l | + C
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Solución
I .ds cxponcntes fraccionarios de x - 1 son 1/2 y 1/3 .
Si se hace x ~ 1 = t 6 (6 = m. c. m. {2 ,3 }) => dx = 6 t sdt.
I liego,
f 6 t 5 d t r t 3 r , i .
J t 3 + t 2 ~ 6 ] T T i dt = 6 l ( t 2 ~ t + 1 - ^ ) dt
= 2 t 3 - 3 t 2 + 6 t - 61n|t + 1| + C
- 2¡x - 1 - 3 V x - 1 + ó V x - 1 - 6 1 n | V x — 1 + l l + C
INTEGRAL INDEFINIDA
Kjcinplo 70. Halle I = f dx
J V X - 1 + jx - 1 '
Eje m p lo 71. Calcule / = í í— — 1 —
J y] 1 + x 2 x
Solución
Se escribe
i ~ r 1 ■ —
/ = í I** ~ 1 ^ - 1f ;x2 “ 1 2* dx
J j l + x 2 x 2 J J i + x 2 ' ~ P ~
I luciendo el cambio de variable z = x 2, se obtiene
/ = - [ ,2 ~ 1 dz
2 J 1 + z z
I n ''sta últim a integral, el criterio estudiado nos sugiere reem plazar — = ^
I »namos al lector seguir este camino. Resolvem os la integral usando el siguiente
l = ± r _ j £ Z l ) d z _ _ l r ( z - l ) d z i r dz i r dz
2 J z v 1 + z V z — 1 2 j zVJ T T J 2 ) 4 ^ 1 2 J ¡ V P ^ T
1 , --------- , i
- ln | z + V z 2 - 1¡ -~ a rcse c| z| + C
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E je m p lo 72. Calcule / = J -Jtan2x + 2 dx.
So lu ción
Escribim os la integral como
tan2* + 2 r sec2x + 1 f sec2x dx [ dx
l
r tan2* + 2 [ sec2x + 1 _ f sec x “x + f
J V tan 2* + 2 J V tan 2x + 2 J V tan 2x + 2 JV tan 2x + 2 i V tan 2x + 2
'i '2
Aplicando las fórm ulas de integración correspondiente a cada integral, tenemos
/* = ln jtan x + + C1
[ eos x d x f eos x d x ( s e n x
/, = , = ■— -- aresen I — — + C2
J V s e n 2x + 2 e os2* J V 2 — se n 2* ' v 2 /
Por consiguiente,
i ---------------1 /sen x
I = ln |tan x + V t a n 2* + 2 1+ aresen ^ j + C
1 .6 .2 IN T E G R A L E S D E L A F O R M A
dx
(x - a)n4 p x 2 + qx + r
, n e
Para calcular esta integral, se debe usar la siguiente sustitución recíproca
1 dt
x - a = j = > d x = - j j
E je m p lo 73. Calcule / = I —
J x
dx
2y/4x2 + X + 4
So lu ción
1 1
H aciendo la su stitu ció n x = - = > dx = — - r d t , se obtiene
t t z
dt
t 2
f — = U L = = - Í
J 1 4 , 1 , , J
t dt
1 ¡ A
t2 |t2
-~í8 J
+ 7 + 4
(8 t + l) d t
V 4 t 2 + 1 + 4 ' 8 j
i f
8.1
V 4 t 2 + t + 4
dt
- s
dt
= - - V 4 í 2 + t + 4 + — í = l n | 2 t + 7 + V 4 t 2 + t + 4
4 V 2 V 6 3 I 4_ '
1 V4 + 4x2 + x 1
-----------------------+ — = = ln
4 x 2V63
8 + x V 4 x 2 + x + 4
+ --------------------
4x
+ C
+ C

Ejemplo 74. Calcule /
So lu ción
INTEGRAL INDEFINIDA
dx
= [ _____ i
J (x —2)yfx(x - 2)y/x2 + 3 x - 9
1 1
C om o x —2 = — => dx = —— dt, entonces
- / í T 3
d t
t 2
| J ( i + 2^ + 3(l + 2)-9
dt
= = - ln t + - + V t2 + 7t + 1
45 I 2
+ C
- l n
7x - 12 V x2 + 3x - 9
2 (x - 2) x - 2
E je m p lo 75. Calcule J = f ..+ 3)dx —
J x 2yj3x2 + 2x + 1
So lu ción
1 1
Si se hace x = - = > d x = - ^ -d t. Luego,
= _ f ( í +3) f f
J 1 / 3 + 2 + 1 - J
t 2y J F + t + 1
3 f 2t + 2
dt
t 2 (1 + 3 t)d t
V t2 + 2 í + 3
d t “h 2
2 J Vt2 + 2t + 3 J V(t + l )2 + 2/:
dt
= — 3-y/t2 + 2t + 3 + 2 ln |t + 1 + V i 2 + 2 t + 3¡ + C
x + 1 + V 3 x 2 + 2 x + l l3 V 3x2 + 2 x + 1
+ 2 In + C
1 'i algunos casos, la sustitución recíproca puede facilitar el
integración, com o verem os en los dos ejemplos siguientes.
proceso de

Vx -;r -yx —■X
E je m p lo 76. Calcule / = J — — — dx.
So lu ción
1 1
Si se hace x = - = > d x = — ^dt. Luego,
t t2
* 11 _ J_
= - J - - ^ = - J V t 2 - 1 t d t , (u = t 2 - l , d u = 2 t d t )
E je m p lo 77. Calcule / = J ■
dx
(x + l ) 4 x 2 ‘
So lu ción
1 1
t * ~~ t
dt
Si se hace x + 1 = 7 = > dx = - - ^ d t . Luego,
t4 H
= - f y + t 2 + 3 í + 4 ln ( l - 1) + + c
1 1 3 1 x 1 x + l i „
-------- — H-------------- H-----------f- 4 ln -------r H--------- 1 + C
.3(x + l ) 3 (x + 1) 2 x + l ljc + l l x i
1 .6 .3 IN T E G R A L E S D E L A F O R M A J R [ x-. Jax2 + bx + c ) dx
E n este caso, R es una función racional en las variables x y V a x 2 + bx + c. U n a
integral de esta form a se calcula usando las ‘‘sustituciones de E u le r”. Estas
sustituciones permiten transformar el integrando en una función racional de
variable t. Se presentan 3 casos:
C A S O I. Si c > 0 , el cam bio de variable es V a x 2 + bx + c = tx + Ve.
Elevando al cuadrado, resulta
a x 2 + bx + c = t 2x 2 + 2V e tx + c
<=> (a - t 2) x 2 + (b —2 V c t ) x = 0
«=* x [ ( a - t 2) x + ¿ - 2 V c t] = 0

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