Analisis historico de la evolucion del concepto de estructuras algebraicas, en particular el concepto de anillo y de ideal en Z

1. Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA HISTORIA Y EVOLUCIÓN DEL CONCEPTO
ESCOBAR
DE ANILLO
Consideraciones
Estructurales
Los Axiomas de
The Lady of The Rings: Emmy Noether
Peano-Dedeking
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
(II)
RUBEN DARIO LARA ESCOBAR1
Consideraciones
(I)
Consideraciones
(II)
Abstracción(I)
MÓDULO DE EPISTEMOLOGÍA DE LAS MATEMÁTICAS
Abstracción(II)
De…nición de
MECEN (II)
Anillo
Estructura de la UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
August 27, 2012
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones 1 Matemático; Universidad Nacional De Colombia
Finales(I)

2. Consideraciones Estructurales
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR
Consideraciones El estructuralismo es una visión de las matemáticas de
Estructurales
Los Axiomas de
acuerdo a la cual, lo fundamental son las relaciones
Peano-Dedeking
Los Axiomas de
estructurales abstraidas de la naturaleza intrinseca de los
Peano-Dedeking
(II) objetos relacionados, es decir explora las posibilidades
Consideraciones
(I) estructurales, mediante la formación de conceptos,
Consideraciones
(II) postulados y la deducción.
Abstracción(I)
Abstracción(II)
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

3. Consideraciones Estructurales
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR
Consideraciones El estructuralismo es una visión de las matemáticas de
Estructurales
Los Axiomas de
acuerdo a la cual, lo fundamental son las relaciones
Peano-Dedeking
Los Axiomas de
estructurales abstraidas de la naturaleza intrinseca de los
Peano-Dedeking
(II) objetos relacionados, es decir explora las posibilidades
Consideraciones
(I) estructurales, mediante la formación de conceptos,
Consideraciones
(II) postulados y la deducción.
Abstracción(I)
Abstracción(II) No hay énfasis en los objetos que forman la estructura
De…nición de
Anillo particular, sino las relaciones que estos satisfacen bajo
Estructura de la
De…nición de ciertas condiciones generales, usualmente de…nidos como
Anillo
Estructura de la axiomas, los cuales describen la estructura en cuestión.
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

4. Consideraciones Estructurales
Los axiomas de Peano-Dedekind
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR Analicemos lo planteado anteriormente mediante un
Consideraciones
ejemplo, que presenta cuales son condiciones para de…nir
Estructurales un sistema in…nito.
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
(II)
Consideraciones
(I)
Consideraciones
(II)
Abstracción(I)
Abstracción(II)
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

5. Consideraciones Estructurales
Los axiomas de Peano-Dedekind
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR Analicemos lo planteado anteriormente mediante un
Consideraciones
ejemplo, que presenta cuales son condiciones para de…nir
Estructurales un sistema in…nito.
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
Los Axiomas de Los axiomas de Peano-Dedekind
Peano-Dedeking
(II)
Consideraciones
(I)
Consideraciones
(II)
Abstracción(I)
Abstracción(II)
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

6. Consideraciones Estructurales
Los axiomas de Peano-Dedekind
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR Analicemos lo planteado anteriormente mediante un
Consideraciones
ejemplo, que presenta cuales son condiciones para de…nir
Estructurales un sistema in…nito.
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
Los Axiomas de Los axiomas de Peano-Dedekind
Peano-Dedeking
(II)
Consideraciones Axioma 0. Hay un conjunto N, no vacío, a cuyos
(I)
Consideraciones
(II)
elementos se les llama números Naturales.
Abstracción(I)
Abstracción(II)
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

7. Consideraciones Estructurales
Los axiomas de Peano-Dedekind
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR Analicemos lo planteado anteriormente mediante un
Consideraciones
ejemplo, que presenta cuales son condiciones para de…nir
Estructurales un sistema in…nito.
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
Los Axiomas de Los axiomas de Peano-Dedekind
Peano-Dedeking
(II)
Consideraciones Axioma 0. Hay un conjunto N, no vacío, a cuyos
(I)
Consideraciones
(II)
elementos se les llama números Naturales.
Abstracción(I) Axioma 1. A uno de los elementos de N lo llamamos el
Abstracción(II)
De…nición de número 1(primer elemento)
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

8. Consideraciones Estructurales
Los axiomas de Peano-Dedekind
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR Analicemos lo planteado anteriormente mediante un
Consideraciones
ejemplo, que presenta cuales son condiciones para de…nir
Estructurales un sistema in…nito.
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
Los Axiomas de Los axiomas de Peano-Dedekind
Peano-Dedeking
(II)
Consideraciones Axioma 0. Hay un conjunto N, no vacío, a cuyos
(I)
Consideraciones
(II)
elementos se les llama números Naturales.
Abstracción(I) Axioma 1. A uno de los elementos de N lo llamamos el
Abstracción(II)
De…nición de número 1(primer elemento)
Anillo
Estructura de la Axioma 2. Hay una representación funcional uniforme δ,
De…nición de
Anillo que asocia, a cada número natural n, otro número natural
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
nδ, que se denomina el inmediato o siguiente de n.
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

9. Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR Los axiomas de Peano-Dedekind (II)
Consideraciones
Estructurales
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
(II)
Consideraciones
(I)
Consideraciones
(II)
Abstracción(I)
Abstracción(II)
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

10. Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR Los axiomas de Peano-Dedekind (II)
Consideraciones
Axioma 3.1 (de in…nitud). Cualquiera que sea n 2 N , nδ
Estructurales 6= 1. Es decir, el número 1 no es el inmediato siguiente de
Los Axiomas de
Peano-Dedeking otro número natural.
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
(II)
Consideraciones
(I)
Consideraciones
(II)
Abstracción(I)
Abstracción(II)
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

11. Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR Los axiomas de Peano-Dedekind (II)
Consideraciones
Axioma 3.1 (de in…nitud). Cualquiera que sea n 2 N , nδ
Estructurales 6= 1. Es decir, el número 1 no es el inmediato siguiente de
Los Axiomas de
Peano-Dedeking otro número natural.
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
(II)
Axioma 3.2 (de in…nitud). Jamás son idénticos los
Consideraciones
(I)
inmediatos siguientes de dos números diferentes.
Consideraciones
(II)
Abstracción(I)
Abstracción(II)
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

12. Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR Los axiomas de Peano-Dedekind (II)
Consideraciones
Axioma 3.1 (de in…nitud). Cualquiera que sea n 2 N , nδ
Estructurales 6= 1. Es decir, el número 1 no es el inmediato siguiente de
Los Axiomas de
Peano-Dedeking otro número natural.
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
(II)
Axioma 3.2 (de in…nitud). Jamás son idénticos los
Consideraciones
(I)
inmediatos siguientes de dos números diferentes.
Consideraciones
(II)
Axioma 4 (de inducción). Que un conjunto numérico M es
Abstracción(I)
Abstracción(II)
inductivo, quiere decir que está cerrado respecto al
De…nición de
Anillo
operador secuencial δ; es decir, que n 2 M implica que
Estructura de la
De…nición de
también nδ 2 M. Se postula ahora que si un conjunto
Anillo
Estructura de la
inductivo contiene al 1, contiene a todos los números
De…nición de
Anillo (II) naturales.
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

13. Consideraciones Estructurales
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR
Consideraciones Todos estos sistemas, así formados, son estructuralmente
Estructurales
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
identicos, y precisamente la estructura compartida por
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
estos es lo que investiga las matemáticas.
(II)
Consideraciones
(I)
Consideraciones
(II)
Abstracción(I)
Abstracción(II)
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

14. Consideraciones Estructurales
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR
Consideraciones Todos estos sistemas, así formados, son estructuralmente
Estructurales
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
identicos, y precisamente la estructura compartida por
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
estos es lo que investiga las matemáticas.
(II)
Consideraciones
(I)
Esta visión estructuralista de la aritmética, por ejemplo
Consideraciones
(II) contrasta con la visión absolutista de Frege y Russell,en la
Abstracción(I)
Abstracción(II) cual los números naturales, son objetos de…nidos, como las
De…nición de
Anillo "clases" u otro tipo de conceptos.
Estructura de la
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

15. Consideraciones Estructurales
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR
Durante el Siglo XX, el estructuralismo es abanderado por
Consideraciones
Estructurales el grupo Bourbaki, quienes establecen una versión del
Los Axiomas de
Peano-Dedeking estructuralismo basada en la teoría de conjuntos.
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
(II)
Consideraciones
(I)
Consideraciones
(II)
Abstracción(I)
Abstracción(II)
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

16. Consideraciones Estructurales
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR
Durante el Siglo XX, el estructuralismo es abanderado por
Consideraciones
Estructurales el grupo Bourbaki, quienes establecen una versión del
Los Axiomas de
Peano-Dedeking estructuralismo basada en la teoría de conjuntos.
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
(II) Casi cualquier estructura matemática, puede modelarse
Consideraciones
(I) como un conjunto de objetos junto con ciertas relaciones
Consideraciones
(II)
Abstracción(I)
y/o operaciones sobre el conjunto, dado que la teoría de
Abstracción(II)
De…nición de
conjuntos posee una amplia riqueza para describir la gran
Anillo
Estructura de la cantidad de interrelaciones entre las estructuras, las cuales
De…nición de
Anillo
Estructura de la
son centrales en esta nueva idea de la matemática..
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

17. Abstracción
Consideraciones
Estructurales
"In these days the angel of topology and the devil of
RUBEN abstract algebra …ght for the soul of each individual
DARIO LARA
ESCOBAR mathematical domain". Hermman Weyl
Consideraciones
Estructurales Todo ente en matemáticas se puede considerar como
Los Axiomas de
Peano-Dedeking abstracto, dando un salto a la imaginación desde los
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
(II)
objetos observados, hasta un objeto mental que puede
Consideraciones
(I) observarse por sí mismo.
Consideraciones
(II)
Abstracción(I)
Abstracción(II)
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

18. Abstracción
Consideraciones
Estructurales
"In these days the angel of topology and the devil of
RUBEN abstract algebra …ght for the soul of each individual
DARIO LARA
ESCOBAR mathematical domain". Hermman Weyl
Consideraciones
Estructurales Todo ente en matemáticas se puede considerar como
Los Axiomas de
Peano-Dedeking abstracto, dando un salto a la imaginación desde los
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
(II)
objetos observados, hasta un objeto mental que puede
Consideraciones
(I) observarse por sí mismo.
Consideraciones
(II) Un segundo acto puede considerarse el uso del simbolismo
Abstracción(I)
Abstracción(II) literal, es decir el uso de letras para representar números
De…nición de
Anillo
Estructura de la
arbitrarios o desconocidos.
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

19. Abstracción
Consideraciones
Estructurales
"In these days the angel of topology and the devil of
RUBEN abstract algebra …ght for the soul of each individual
DARIO LARA
ESCOBAR mathematical domain". Hermman Weyl
Consideraciones
Estructurales Todo ente en matemáticas se puede considerar como
Los Axiomas de
Peano-Dedeking abstracto, dando un salto a la imaginación desde los
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
(II)
objetos observados, hasta un objeto mental que puede
Consideraciones
(I) observarse por sí mismo.
Consideraciones
(II) Un segundo acto puede considerarse el uso del simbolismo
Abstracción(I)
Abstracción(II) literal, es decir el uso de letras para representar números
De…nición de
Anillo
Estructura de la
arbitrarios o desconocidos.
De…nición de
Anillo Para las primeras decadas del siglo XX, se cuenta ya con
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
dos teorías sobre anillos se habían establecido, anillos
Lady of the
Rings: Emmy conmutativos y no-conmutativos, (esta última trata sobre
Noether
Emil Artin las álgebras) y su correspondiente teoría de Ideales.
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

20. Abstracción
Consideraciones
Estructurales La primera de…nición abstracta de anillo fue dada por
RUBEN
DARIO LARA
Fraenkel2 , la de…nición intentaba abarcar tanto anillos
ESCOBAR Conmutativos como No-Conmutativos, como ejemplos
Consideraciones presenta los enteros módulo n (Z [n]), los enteros
Estructurales
Los Axiomas de
p-ádicos, matrices el ssitema de números hipercomplejos.
Peano-Dedeking
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
(II)
Consideraciones
(I)
Consideraciones
(II)
Abstracción(I)
Abstracción(II)
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
2 Enel marco de la teoría de conjuntos, en un articulo de 1914 llamado
Consideraciones
Finales(I) “On zero divisors and the decomposition of rings”

21. Abstracción
Consideraciones
Estructurales La primera de…nición abstracta de anillo fue dada por
RUBEN
DARIO LARA
Fraenkel2 , la de…nición intentaba abarcar tanto anillos
ESCOBAR Conmutativos como No-Conmutativos, como ejemplos
Consideraciones presenta los enteros módulo n (Z [n]), los enteros
Estructurales
Los Axiomas de
p-ádicos, matrices el ssitema de números hipercomplejos.
Peano-Dedeking
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
Grupo: Es un conjunto no vacio G con las siguientes
(II)
Consideraciones
propiedades: Dos elementos a y b se pueden combinar de
(I)
Consideraciones
acuerdo a la operación
(II)
Abstracción(I)
Abstracción(II)
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
2 Enel marco de la teoría de conjuntos, en un articulo de 1914 llamado
Consideraciones
Finales(I) “On zero divisors and the decomposition of rings”

22. Abstracción
Consideraciones
Estructurales La primera de…nición abstracta de anillo fue dada por
RUBEN
DARIO LARA
Fraenkel2 , la de…nición intentaba abarcar tanto anillos
ESCOBAR Conmutativos como No-Conmutativos, como ejemplos
Consideraciones presenta los enteros módulo n (Z [n]), los enteros
Estructurales
Los Axiomas de
p-ádicos, matrices el ssitema de números hipercomplejos.
Peano-Dedeking
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
Grupo: Es un conjunto no vacio G con las siguientes
(II)
Consideraciones
propiedades: Dos elementos a y b se pueden combinar de
(I)
Consideraciones
acuerdo a la operación
(II)
Abstracción(I) (1) a (b c ) = (a b ) c para todo a, b, c 2 G
Abstracción(II)
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
2 Enel marco de la teoría de conjuntos, en un articulo de 1914 llamado
Consideraciones
Finales(I) “On zero divisors and the decomposition of rings”

23. Abstracción
Consideraciones
Estructurales La primera de…nición abstracta de anillo fue dada por
RUBEN
DARIO LARA
Fraenkel2 , la de…nición intentaba abarcar tanto anillos
ESCOBAR Conmutativos como No-Conmutativos, como ejemplos
Consideraciones presenta los enteros módulo n (Z [n]), los enteros
Estructurales
Los Axiomas de
p-ádicos, matrices el ssitema de números hipercomplejos.
Peano-Dedeking
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
Grupo: Es un conjunto no vacio G con las siguientes
(II)
Consideraciones
propiedades: Dos elementos a y b se pueden combinar de
(I)
Consideraciones
acuerdo a la operación
(II)
Abstracción(I) (1) a (b c ) = (a b ) c para todo a, b, c 2 G
Abstracción(II)
De…nición de (2) G contiene un elemento e (identidad) tal que
Anillo
Estructura de la e a = a e = a para todo a 2 G ;
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
2 Enel marco de la teoría de conjuntos, en un articulo de 1914 llamado
Consideraciones
Finales(I) “On zero divisors and the decomposition of rings”

24. Abstracción
Consideraciones
Estructurales La primera de…nición abstracta de anillo fue dada por
RUBEN
DARIO LARA
Fraenkel2 , la de…nición intentaba abarcar tanto anillos
ESCOBAR Conmutativos como No-Conmutativos, como ejemplos
Consideraciones presenta los enteros módulo n (Z [n]), los enteros
Estructurales
Los Axiomas de
p-ádicos, matrices el ssitema de números hipercomplejos.
Peano-Dedeking
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
Grupo: Es un conjunto no vacio G con las siguientes
(II)
Consideraciones
propiedades: Dos elementos a y b se pueden combinar de
(I)
Consideraciones
acuerdo a la operación
(II)
Abstracción(I) (1) a (b c ) = (a b ) c para todo a, b, c 2 G
Abstracción(II)
De…nición de (2) G contiene un elemento e (identidad) tal que
Anillo
Estructura de la e a = a e = a para todo a 2 G ;
De…nición de
Anillo (3) para todo a 2 G existe un elemento a 1 tal que
Estructura de la
De…nición de a a 1 = a 1 a = e (inverso)
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
2 Enel marco de la teoría de conjuntos, en un articulo de 1914 llamado
Consideraciones
Finales(I) “On zero divisors and the decomposition of rings”

25. Abstracción
Consideraciones
Estructurales La primera de…nición abstracta de anillo fue dada por
RUBEN
DARIO LARA
Fraenkel2 , la de…nición intentaba abarcar tanto anillos
ESCOBAR Conmutativos como No-Conmutativos, como ejemplos
Consideraciones presenta los enteros módulo n (Z [n]), los enteros
Estructurales
Los Axiomas de
p-ádicos, matrices el ssitema de números hipercomplejos.
Peano-Dedeking
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
Grupo: Es un conjunto no vacio G con las siguientes
(II)
Consideraciones
propiedades: Dos elementos a y b se pueden combinar de
(I)
Consideraciones
acuerdo a la operación
(II)
Abstracción(I) (1) a (b c ) = (a b ) c para todo a, b, c 2 G
Abstracción(II)
De…nición de (2) G contiene un elemento e (identidad) tal que
Anillo
Estructura de la e a = a e = a para todo a 2 G ;
De…nición de
Anillo (3) para todo a 2 G existe un elemento a 1 tal que
Estructura de la
De…nición de a a 1 = a 1 a = e (inverso)
Anillo (II)
Lady of the (4) Si la operación es conmutativa, a b = b a el
Rings: Emmy
Noether grupo es Abeliano
Emil Artin
Emil Artin (II)
2 Enel marco de la teoría de conjuntos, en un articulo de 1914 llamado
Consideraciones
Finales(I) “On zero divisors and the decomposition of rings”

26. De…nición De Anillo
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR
Un anillo es un triple (R, +, ) donde R es un conjunto no
Consideraciones
Estructurales
vacío y +, : R R ! R son dos operaciones binarias
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
sobre R, llamadas suma y multiplicación repectivamente,
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
tales que : ;
(II)
Consideraciones
(I)
Consideraciones
(II)
Abstracción(I)
Abstracción(II)
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

27. De…nición De Anillo
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR
Un anillo es un triple (R, +, ) donde R es un conjunto no
Consideraciones
Estructurales
vacío y +, : R R ! R son dos operaciones binarias
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
sobre R, llamadas suma y multiplicación repectivamente,
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
tales que : ;
(II)
Consideraciones
(I)
(1) (R, +) es un grupo abeliano
Consideraciones
(II)
Abstracción(I)
Abstracción(II)
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

28. De…nición De Anillo
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR
Un anillo es un triple (R, +, ) donde R es un conjunto no
Consideraciones
Estructurales
vacío y +, : R R ! R son dos operaciones binarias
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
sobre R, llamadas suma y multiplicación repectivamente,
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
tales que : ;
(II)
Consideraciones
(I)
(1) (R, +) es un grupo abeliano
Consideraciones
(II) (2) Vale la propiedad asociativa para la operación de
Abstracción(I)
Abstracción(II)
multiplicación, es decir, para r , s, t 2 R se tiene
De…nición de
Anillo
r (s t ) = (r s ) t
Estructura de la
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

29. De…nición De Anillo
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR
Un anillo es un triple (R, +, ) donde R es un conjunto no
Consideraciones
Estructurales
vacío y +, : R R ! R son dos operaciones binarias
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
sobre R, llamadas suma y multiplicación repectivamente,
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
tales que : ;
(II)
Consideraciones
(I)
(1) (R, +) es un grupo abeliano
Consideraciones
(II) (2) Vale la propiedad asociativa para la operación de
Abstracción(I)
Abstracción(II)
multiplicación, es decir, para r , s, t 2 R se tiene
De…nición de
Anillo
r (s t ) = (r s ) t
Estructura de la
De…nición de
(3) Para r , s, t 2 R vale la propiedad distributiva :
Anillo
Estructura de la
r (s + t ) = r s + r t (r + s ) t = r t + s t
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

30. Estructura de la de…nición de Anillo
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR Esta deni…ción, consiste de un sistema con dos
Consideraciones operaciones abstractas, a las cuales les dio el nombre de
Estructurales
Los Axiomas de
adición y multiplicación, bajo una de estas operaciones el
Peano-Dedeking
Los Axiomas de sistema forma un grupo.
Peano-Dedeking
(II)
Consideraciones
(I)
Consideraciones
(II)
Abstracción(I)
Abstracción(II)
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

31. Estructura de la de…nición de Anillo
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR Esta deni…ción, consiste de un sistema con dos
Consideraciones operaciones abstractas, a las cuales les dio el nombre de
Estructurales
Los Axiomas de
adición y multiplicación, bajo una de estas operaciones el
Peano-Dedeking
Los Axiomas de sistema forma un grupo.
Peano-Dedeking
(II)
Consideraciones La segunda operación es distributiva y asociativa con
(I)
Consideraciones
(II)
respecto a la primera, dos axiomas que garantizan que el
Abstracción(I)
Abstracción(II)
sistema es cerrado con las operacines de…nidas.
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

32. Estructura de la de…nición de Anillo
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR Esta deni…ción, consiste de un sistema con dos
Consideraciones operaciones abstractas, a las cuales les dio el nombre de
Estructurales
Los Axiomas de
adición y multiplicación, bajo una de estas operaciones el
Peano-Dedeking
Los Axiomas de sistema forma un grupo.
Peano-Dedeking
(II)
Consideraciones La segunda operación es distributiva y asociativa con
(I)
Consideraciones
(II)
respecto a la primera, dos axiomas que garantizan que el
Abstracción(I)
Abstracción(II)
sistema es cerrado con las operacines de…nidas.
De…nición de
Anillo Además no se requiere la existencia de la identidad para la
Estructura de la
De…nición de
Anillo
segunda operación en la de…nición de anillo. (Si tiene
Estructura de la
De…nición de identidad se llama anillo unitario)
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

33. Estructura de la de…nición de Anillo
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR
Anillo conmutativo: aquel en el que el producto es
Consideraciones
Estructurales
conmutativo, esto es, a b = b a para todos a y b. De lo
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
contrario el anillo es no-conmutativo.
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
(II)
Consideraciones
(I)
Consideraciones
(II)
Abstracción(I)
Abstracción(II)
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

34. Estructura de la de…nición de Anillo
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR
Anillo conmutativo: aquel en el que el producto es
Consideraciones
Estructurales
conmutativo, esto es, a b = b a para todos a y b. De lo
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
contrario el anillo es no-conmutativo.
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
(II)
Anillo de división: es el anillo en el cual todo elemento, a
Consideraciones
(I) excepción del 0, tiene inverso.
Consideraciones
(II)
Abstracción(I)
Abstracción(II)
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

35. Estructura de la de…nición de Anillo
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR
Anillo conmutativo: aquel en el que el producto es
Consideraciones
Estructurales
conmutativo, esto es, a b = b a para todos a y b. De lo
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
contrario el anillo es no-conmutativo.
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
(II)
Anillo de división: es el anillo en el cual todo elemento, a
Consideraciones
(I) excepción del 0, tiene inverso.
Consideraciones
(II)
Abstracción(I)
Dominio de integridad: si un anillo no posee divisores del
Abstracción(II)
De…nición de
cero, es un dominio de integridad (a menudo se suele exigir
Anillo
Estructura de la que además se trate de anillos conmutativos y unitarios,
De…nición de
Anillo
Estructura de la
pero esta exigencia no es aceptada por todos los autores).
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

36. The Lady of The Rings: Emmy Noether
Consideraciones
Estructurales De la mano de Noether y Emil Artin, el estudio de estas
RUBEN estructuras se transformaría en una teoría abstracta muy
DARIO LARA
ESCOBAR poderosa durante los años 20 del siglo XX.
Consideraciones
Noether muestra en 1921, en un articulo llamado “Ideal
Estructurales theory in rings,” que los resultados obtenidos
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
Los Axiomas de
anteriormente por Hilbert, Lasker y otros, sobre la
Peano-Dedeking
(II) descomposición de primaria en anillos de polinomios se
Consideraciones
(I)
Consideraciones
cumplen para cualquier anillo con la condición de cadena
(II)
Abstracción(I)
ascendente.
Abstracción(II)
De…nición de
Estos resultados están conectados con las propiedades de
Anillo
Estructura de la los anillos de polinomios, donde a continuación en otro
De…nición de
Anillo
Estructura de la
articulo de 1927 “Abstract development of ideal theory in
De…nición de
Anillo (II) algebraic number …elds and function …elds,” muestra,
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
siguiendo un sólo axioma, que la descomposición de de
Emil Artin
Emil Artin (II)
Ideales en un anillo se puede ver como producto único de
Consideraciones
Finales(I) ideales primos.

37. The Lady of The Rings: Emmy Noether
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR Un resultado particular de esto es que Noether caracteriza
Consideraciones los anillos conmutativos, en los cuales todo ideal distinto
Estructurales
Los Axiomas de
de cero es producto único de ideales primos, este tipo de
Peano-Dedeking
Los Axiomas de anillos se llaman dominios de Dedekind.
Peano-Dedeking
(II)
Consideraciones El uso sistematico de los ideales como una herramienta
(I)
Consideraciones
(II)
abstracta le permitio uni…car el análisis de factorización in
Abstracción(I)
Abstracción(II)
campos númericos y en sistemas de polinomios, este paso
De…nición de
Anillo crucial, para la uni…cación de las dos ramas de la teoría de
Estructura de la
De…nición de
Anillo
anillos, sería el trabajo más importante de Emmy Noether
Estructura de la
De…nición de
algunos años más tarde.
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

38. Emil Artin (II)
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR
Consideraciones Con Fraenkel y otros vimos como nace el concepto de
Estructurales
Los Axiomas de
anillo, Noether y Artin dan origen a la teoría abstracta de
Peano-Dedeking
Los Axiomas de anillos, ubicando en un marco abstracto los teoremas
Peano-Dedeking
(II)
Consideraciones
fundamentales mediante el uso de nociones fundamentales
(I)
Consideraciones
como ideal, módulo y condiciones de cadena, formando
(II)
Abstracción(I) …nalmente una teoría abstracta de anillos bien establecida,
Abstracción(II)
De…nición de que junto a la teoría de grupos y campos constituye uno
Anillo
Estructura de la
De…nición de
de los pilares del álgebra abstracta moderna.
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

39. Emil Artin
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR
Otro de los aportes importantes inspirado por el trabajo de
Consideraciones Noether, sobre la condición de cadena ascendente, es
Estructurales
Los Axiomas de debido a Emil Artin, generaliza los teoremas de estructura
Peano-Dedeking
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
de Wedderburns, sobre algebras, en un articulo de 1927
(II)
Consideraciones
“On the theory of hypercomplex numbers,” a los anillos
(I)
Consideraciones No-Conmutativos con condición de cadena descendente,
(II)
Abstracción(I) en particular muestra que los anilllos con Radical Cero
Abstracción(II)
De…nición de
Anillo
(anillos Artinianos) se pueden descomponer en suma
Estructura de la
De…nición de directa de anillos simples (anillos de matrices sobre un
Anillo
Estructura de la
De…nición de
anillo de división).
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

40. Consideraciones Finales
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR
Un anillo es una estructura algebraica un poco mas
Consideraciones
Estructurales complicada que la de un grupo, pero a la vez es menos
Los Axiomas de
Peano-Dedeking complicada que la de un campo, esto hace que su
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
(II)
interesante estructura interna le permita un amplia
Consideraciones
(I)
variedad de aplicaciones.
Consideraciones
(II)
Abstracción(I)
El concepto clave en un anillo es el de Ideal, el cual se
Abstracción(II)
De…nición de
halla en centro de la moderna teoría de la geometría
Anillo
Estructura de la
algebraica, la cual es una de las fuentes de las ideas más
De…nición de
Anillo desa…antes y profundas en álgebra moderna.
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

41. El anillo
Consideraciones
Estructurales
Z
RUBEN
DARIO LARA
Sabemos que el conjunto de los números enteros Z,
ESCOBAR consta de todos los números negativos y positivos y cero:
Consideraciones . . . , 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, .... Sabemos
Estructurales
Los Axiomas de
que puede sumar, restar y multiplicar libremente en este
Peano-Dedeking
Los Axiomas de conjunto.
Peano-Dedeking
(II)
Consideraciones
sin embargo, la división no simpre funciona, si dividimos
(I)
Consideraciones -16 por 4, la respuesta será otro número entero. Si
(II)
Abstracción(I)
Abstracción(II)
dividimos -16 por 7 la respeuesta no es un entero. No
De…nición de
Anillo
obstante, aunque no podamos trabajar con la división,
Estructura de la
De…nición de podemos hacer cosas interesantes con las demás
Anillo
Estructura de la
De…nición de
operaciones, se pueden explorar temas como la
Anillo (II)
Lady of the
factorización, primalidad o la propiedad de estructuras que
Rings: Emmy
Noether se comportan igual a los números primos.
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Z es un dominio de fatorización única (DFU)
Finales(I)

42. Consideraciones Finales
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR
Un anillo es una estructura algebraica un poco mas
Consideraciones
Estructurales complicada que la de un grupo, pero a la vez es menos
Los Axiomas de
Peano-Dedeking complicada que la de un campo, esto hace que su
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
(II)
interesante estructura interna le permita un amplia
Consideraciones
(I)
variedad de aplicaciones.
Consideraciones
(II)
Abstracción(I)
El concepto clave en un anillo es el de Ideal, el cual se
Abstracción(II)
De…nición de
halla en centro de la moderna teoría de la geometría
Anillo
Estructura de la
algebraica, la cual es una de las fuentes de las ideas más
De…nición de
Anillo desa…antes y profundas en álgebra moderna.
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

43. Anillo de Polinomios
Consideraciones
Estructurales Hay otros objetos matemáticos que permiten la suma,
RUBEN sutracción y multiplicación y tienen problemas para la
DARIO LARA
ESCOBAR división; por ejemplo los polinomios. Dados dos
Consideraciones
polinomios, digamos, x 5 x and 2x 2 + 3x + 1, podemos
Estructurales sumarlos, y tener otro polinomio ( x 5 + 2x 2 + 2x + 1), o
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
Los Axiomas de
restarlos ( x 5 2x 2 4x 1), incluso multiplicarlos (
Peano-Dedeking
(II) 2x 7 + 3x 6 + x 5 2x 3 3x 2 x).
Consideraciones
(I)
Consideraciones
No necesariamente permiten la división, como es el caso,
(II)
Abstracción(I)
aunque en ocasiones si es posible:
Abstracción(II)
De…nición de
(2x 2 + 3x + 1) (x + 1) = (2x + 1). Igual que en los
Anillo
Estructura de la enteros.
De…nición de
Anillo
Estructura de la
Esta clase de objetos matemáticos, que comparten esta
De…nición de
Anillo (II) estructura es lo que consideramos como un anillo, donde
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
claramente la división presenta algunas di…cultades, a
Emil Artin
Emil Artin (II)
diferencia de los campos que poseen toda la capacidad
Consideraciones
Finales(I) para realizar divisiones.

44. Anillo de Enteros Gaussianos
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR
los enteros Gaussianos, formado por números complejos de
Consideraciones
Estructurales la forma 17 + 22i, cuya parte real e imaginaria
Los Axiomas de
Peano-Dedeking pertenecen ambos a Z; este conjunto forma un anillo con
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
(II)
el producto, la suma y la resta de complejos.
Consideraciones
(I) Dado que es fundamental desarrollar una buena teoría
Consideraciones
(II)
Abstracción(I)
sobre factorización y primos, existen algunos anillos que
Abstracción(II)
De…nición de
presentan serias di…cultades para esto, una de estas es
Anillo
Estructura de la cuando la factorización de un número en factores primos
De…nición de
Anillo
Estructura de la
no es única.
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

45. Anillo de Enteros Gaussianos (II)
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR
Consideraciones Los enteros Gaussianos tienen cuatro unidades:
Estructurales
Los Axiomas de
1, 1, i, i. en este anillo, el p
número 6 se puede factorizar
p
Peano-Dedeking
Los Axiomas de de dos formas: 2 3 y (1 + 5i ) (1 5i ), esto se
Peano-Dedeking
(II)
Consideraciones
hace más complicado aún si consideramos que los cuatro
(I)
Consideraciones
factores de 6 en este anillo son primos, una pena para
(II)
Abstracción(I) muchos pero de gran interés para los matemáticos el
Abstracción(II)
De…nición de
Anillo
hecho de que existan tales estrcuturas. No es entonces un
Estructura de la
De…nición de
dominio de fatorización única.
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

46. Ideales
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR En primer lugar un ideal es un subanillo de un anillo, es
decir un anillo dentro de otro anillo. Se considera entonces
Consideraciones
Estructurales que es una "familia de números," (o polinomios, o
Los Axiomas de
Peano-Dedeking cualquier elemento del anillo), cerrado bajo adición,
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
(II) sustracción y multiplicación.
Consideraciones
(I)
Consideraciones
(II)
Abstracción(I)
Abstracción(II)
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

47. Ideales
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR En primer lugar un ideal es un subanillo de un anillo, es
decir un anillo dentro de otro anillo. Se considera entonces
Consideraciones
Estructurales que es una "familia de números," (o polinomios, o
Los Axiomas de
Peano-Dedeking cualquier elemento del anillo), cerrado bajo adición,
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
(II) sustracción y multiplicación.
Consideraciones
(I)
Consideraciones
si tomamos un elemento del Ideal, y multiplicamos este
(II)
Abstracción(I) elemento por otro dentro del anillo, el resultado esta
Abstracción(II)
De…nición de dentro del Ideal; si tomamos el anillo Z, entonces, un ideal
Anillo
Estructura de la
De…nición de
podría ser, todos los multiplos de un número dado.
Anillo
Estructura de la
Tomemos por ejemplo el número 15 un ideal es:
De…nición de
Anillo (II) . . . , 60, 45, 30, 15, 0, 15, 30, 45, 60, 75, . . .
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

48. Ideales en
Consideraciones
Estructurales
Z
RUBEN
DARIO LARA
El ideal consta de todos los enteros de la forma 15m,
ESCOBAR donde m es cualquier entero. si multiplicamos cualquier
Consideraciones elemento del ideal, digamos 30 por un entero cualquiera,
Estructurales
Los Axiomas de
digamos 2 el resultado esta en el ideal: 60.
Peano-Dedeking
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
(II)
Consideraciones
(I)
Consideraciones
(II)
Abstracción(I)
Abstracción(II)
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

49. Ideales en
Consideraciones
Estructurales
Z
RUBEN
DARIO LARA
El ideal consta de todos los enteros de la forma 15m,
ESCOBAR donde m es cualquier entero. si multiplicamos cualquier
Consideraciones elemento del ideal, digamos 30 por un entero cualquiera,
Estructurales
Los Axiomas de
digamos 2 el resultado esta en el ideal: 60.
Peano-Dedeking
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
si tomamos ahora enteros y formamos todas las
(II)
Consideraciones combinaciones lineales de estos, digamos 15 y 22, las
(I)
Consideraciones
(II)
combinaciones lineales serían de la forma: 15m + 22n con
Abstracción(I)
Abstracción(II)
m, n 2 Z; estos no forman un ideal, pero es equivalente a
De…nición de
Anillo todo el anillo, dado que m y n toman todos los valores
Estructura de la
De…nición de
Anillo
posibles en Z.
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

50. Ideales en
Consideraciones
Estructurales
Z
RUBEN
DARIO LARA
El ideal consta de todos los enteros de la forma 15m,
ESCOBAR donde m es cualquier entero. si multiplicamos cualquier
Consideraciones elemento del ideal, digamos 30 por un entero cualquiera,
Estructurales
Los Axiomas de
digamos 2 el resultado esta en el ideal: 60.
Peano-Dedeking
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
si tomamos ahora enteros y formamos todas las
(II)
Consideraciones combinaciones lineales de estos, digamos 15 y 22, las
(I)
Consideraciones
(II)
combinaciones lineales serían de la forma: 15m + 22n con
Abstracción(I)
Abstracción(II)
m, n 2 Z; estos no forman un ideal, pero es equivalente a
De…nición de
Anillo todo el anillo, dado que m y n toman todos los valores
Estructura de la
De…nición de
Anillo
posibles en Z.
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Si tomamos enteros con un factor común, sea 15 y 21,
Lady of the
Rings: Emmy
tendríamos el ideal generado por 3. Así que la forma del
Noether
Emil Artin ideal mostrado anteriromente en Z, es la única clase de
Emil Artin (II)
Consideraciones ideal en Z
Finales(I)

51. Conlusión
Consideraciones
Estructurales
RUBEN
DARIO LARA
ESCOBAR
En conclusión, antes del siglo XIX, el álgebra era
Consideraciones
Estructurales esencialmente el estudio de ecuaciones polinomicas,
Los Axiomas de
Peano-Dedeking durante el siglo XX se transformo en el estudio sistemas
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
(II)
abstractos como los grupos, anillos y campos. La
Consideraciones
(I) transición de la llamada álgebra clásica, al álgebra
Consideraciones
(II) moderna surge durante el siglo XIX, en tanto los
Abstracción(I)
Abstracción(II) problemas que surgieron ya no pudieron resolverse a través
De…nición de
Anillo
Estructura de la
del álgebra clásica, al construir conceptos como grupo,
De…nición de
Anillo anillo y campo para poder resolver tales problemas.
Estructura de la
De…nición de
Anillo (II)
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Emil Artin
Emil Artin (II)
Consideraciones
Finales(I)

52. Consideraciones
Estructurales
Kleiner,Israel; " A History of Abstract Algebra "; Ed.
RUBEN
DARIO LARA Birkhäuser, Berlin.
ESCOBAR
Gallian,Joseph A.; "Contemporary Abstract Algebra"; 7a.
Consideraciones
Estructurales Edición; 2006 Brooks/Cole, Cengage Learning Eds.
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
Los Axiomas de
Peano-Dedeking
"The Britannica guide to the history of mathematics";
(II)
Consideraciones
edited by Erik Gregersen.— 1st ed. New York, 2011.
(I)
Consideraciones
(II) Cooke, Roger; "Classical algebra : its nature, origins, and
Abstracción(I)
Abstracción(II) uses"; John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey,
De…nición de
Anillo
Estructura de la
2008.
De…nición de
Anillo
Estructura de la
Hankel, Hermann. Zur Geschichte der Mathematik im
De…nición de
Anillo (II) Alterthum und Mittelalter. Leipzig, 1874. citado en Cajori,
Lady of the
Rings: Emmy
Noether
Florian "A History of Mathematics", The Project
Emil Artin
Emil Artin (II)
Gutenberg EBook.
Consideraciones
Finales(I)