Reseña histórica de la geometría Proyectiva durante los siglos XIX y XX

1. Geometría Proyectiva
Jesús Monterrosa
Bilma Monterrosa

2. Historia
• Gérard Desargues es el iniciador de la geometría proyectiva,
pues fundamentó matemáticamente los métodos de la
perspectiva que habían desarrollado los artistas del
Renacimiento, y aunque su trabajo fue publicado en 1639,
pasó desapercibido durante dos siglos (excepto dos teoremas),
ensombrecido por la influyente obra de Descartes.
• En el siglo XIX, la geometría proyectiva y la geometría
hiperbólica, se establecieron dentro de las matemáticas, pero
lo que acabó de enraizarlas, posiblemente, fue hallar un
modelo analítico. Dentro del contexto de la geometría
euclidiana-cartesiana se puede construir la geometría
proyectiva y, si se acepta la primera, hay que admitir la
segunda.
• Este proceso finalizó definitivamente a principios del siglo XX,
pues Einstein, apoyándose en los exhaustivos desarrollos
geométricos de los matemáticos del siglo XIX, consiguió
demostrar que, a gran escala, el universo se puede interpretar
mejor con estas nuevas geometrías que con el rígido espacio
euclidiano.

3. Desde el punto de vista sintético, la geometría proyectiva es una
geometría que parte de los siguientes principios:
-Dos puntos definen una recta.
-Todo par de rectas se cortan en un punto (cuando dos rectas son
paralelas decimos que se cortan en un punto del infinito conocido como
punto impropio).
El quinto postulado de Euclides, de las paralelas, está implícito en estos
dos principios ya que, dada una recta y un punto exterior, existirá una
única paralela (el punto dado y el del infinito definen la paralela por el
primer axioma. Nótese que en la geometría proyectiva, dos rectas
paralelas por definición comparten un punto y esto no excluye que sean
isomorfas con las paralelas euclídeas).
Como los axiomas de los que se parte son simétricos, si en cualquier
teorema proyectivo se intercambian las palabras recta y punto se obtiene
otro teorema igualmente válido. A estos teoremas se les llama duales.
El principio antes expuesto se conoce como Principio de Dualidad y fue
enunciado por Poncelet en el siglo XIX. Muchos teoremas anteriores,
como los de Pascal y Brianchon, son duales, aunque ningún matemático lo
había notado hasta entonces.

4. • Los teoremas de Pascal y Brianchon, aunque
completamente válidos, se demostraron inicialmente en
geometría euclidiana, basándose en los teoremas de Pappus
y Menelao, que utilizan una métrica y por tanto no son
válidos en geometrías de incidencia, como la proyectiva.
• En principio se intentó buscar demostraciones alternativas
de estos teoremas sin usar congruencia de segmentos.
Hilbert demostró en 1899 que tal cosa es imposible y desde
entonces suele incluirse el teorema del hexágono de Pappus
como un axioma de la geometría proyectiva. Ello permite
demostrar en proyectiva todo lo demostrable en euclídea
sin tener que recurrir a una métrica.
• Por no usar métricas en sus enunciados, se dice que la
geometría proyectiva es una Geometría de incidencia.
• Finalmente, hay que destacar que desde el punto de vista
sintético, un espacio proyectivo consiste en un espacio afín
al que hemos añadido un conjunto de puntos infinitos, de
modo que cada par de rectas paralelas se cortan en uno de
estos puntos

5. Aplicaciones
• Cuando hacemos isomorfas nuestras paralelas euclídeas con las
rectas proyectivas que se cortan “en el infinito”, podemos extrapolar
todo lo que demostremos en proyectiva a geometría euclidiana. La
geometría proyectiva, más flexible que la euclidiana, se convierte
con esto en una herramienta útil para enunciar muchos teoremas
clásicos más sencillamente, e incluso simplificar las demostraciones,
aunque no permite demostrar nada que no pueda demostrarse en
euclidiana.
• La geometría proyectiva puede entenderse, informalmente, como la
geometría que se obtiene cuando nos colocamos en un punto,
mirando desde ese punto. Esto es, cualquier línea que incide en
nuestro "ojo" nos parece ser sólo un punto, en el Plano proyectivo,
ya que el ojo no puede "ver" los puntos que hay detrás.
• De esta forma, la geometría proyectiva también equivale a la
proyección sobre un plano de un subconjunto del espacio en la
geometría euclidiana tridimensional. Las rectas que salen del ojo del
observador se proyectan sobre puntos. Los planos definidos por cada
par de ellas se proyectan sobre rectas.
• Esto es útil porque a veces los teoremas de geometría proyectiva no
pueden demostrarse sólo con los axiomas de incidencia antes
expuestos (Hilbert, 1899) y es necesario demostrarlos en geometría
euclidiana y luego proyectar, como el Teorema de Desargues (o bien
admitir el teorema de Pappus).

6. Bibliografía
• Recuperado de:
https://www.google.com.co/search?q=geometria+proyectiva&es_sm
=122&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ved=0CCwQsARqFQoTC
L_a-
NbulckCFYPkJgodCoMC3A&biw=1366&bih=643#imgrc=3ujDyN6BXm6
czM%3A
• Recuperado de:
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_proyectiva