Capitulo i

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NUMEROS REALES

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Capitulo i

  1. 1. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 1 CAPITULO I: Números reales. 1.1 La recta numérica. La recta numérica es un dibujo unidimensional de una línea en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente. Aunque la imagen de abajo muestra solamente los números enteros a entre -9 y 9, la recta incluye todos los números reales, continuando "ilimitadamente" en cada sentido. Frecuente es usada como ayuda para enseñar la adición y la sustracción simples, implicando especialmente números negativos. Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en morado. La recta numérica real o recta de coordenadas es una representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real. Se construye como sigue: se elige de manera arbitraria un punto de una línea recta para que represente el cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que represente al número 1. Esto establece la escala de la recta numérica. 1.2 Los números reales. En la matemática elemental se encuentran ya conjuntos importantes, que son conjuntos de números, de particular interés es el conjunto de los números reales que se denota por “” Una de las propiedades más importantes de los números reales es el poderlos representar por medio de puntos en una línea recta llamada recta numérica.
  2. 2. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 2 Elegimos un punto llamado origen para representar el cero, y otros puntos a la derecha para representar los números 1,2, etc. Los números a la derecha del cero son los llamados números positivos y los números a la izquierda de cero son los llamados números negativos. Resulta así de manera natural una correspondencia entre los puntos de la recta y los números reales, es decir cada punto representa un número real único, y cada número real está representado por un punto único. Números enteros “Z” Los números enteros son los números reales ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... Los números reales enteros son un subconjunto del conjunto de los números reales generalmente los denotamos por “Z”. Z R = “Z” Subconjunto de “R” Una propiedad importante de los enteros es que son cerrados respecto a las operaciones de adición, multiplicación y sustracción; es decir que la suma, el producto o la diferencia de dos enteros es a su vez un número entero, sin embargo el cociente de dos números no es necesariamente un número entero; de esta manera los enteros no son cerrados con respecto a la división. Números Racionales “Q” Los números racionales son los reales que se pueden expresar como la razón o el cociente de dos enteros. Se denota el conjunto de los núm. racionales por “Q” o sea que Q = {x|x = p/q donde pZ y qZ}. Observemos que todo número entero es un número racional, ya que por ejemplo: 8 = 8/1 Los números racionales son cerrados no solamente con respecto a las operaciones de adicción, multiplicación y sustracción, sino también con respecto a la división (excepto la división por cero). Es decir que la suma, el producto, la diferencia y el cociente de dos números racionales es un número racional. Números Naturales “N” Los números naturales son los enteros positivos cuyo conjunto se denota por N = {1,2,3,4,...}. Los números naturales fueron el primer conjunto que se formo y se usaba principalmente para contar.
  3. 3. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 3 Los números naturales son cerrados respecto a la adición y la multiplicación solamente, ya que la diferencia y el cociente de dos números naturales no son necesarios un número natural. 3-7 = -4; 3/8 = 0.375 No son números Naturales. Dentro de los números naturales existe un subconjunto de los llamados números primos cuya particularidad es que solamente pueden ser divisibles entre la unidad y ellos mismos. Números Irracionales “Q’ “ Los números irracionales son los números reales que no son racionales, esto es, el conjunto de los números irracionales es el complemento del conjunto de los números racionales “Q” en los números reales “R”, por eso los denotamos por “Q’ “. Ejemplos de números irracionales serian 3, , 2, etc. DIAGRAM LINEAL DE LOS NÚMEROS Números Complejos Números Reales Racionales Irracionales Enteros negativos Naturales Enteros positivos Cero Primos
  4. 4. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 4 1.3 Propiedades de los números reales. Si a, b y c son números reales entonces: Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo Conmutativa Suma Multiplicación a+b = b+a ab = ba El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado. 2+8 = 8+2 5(-3) = ( -3)5 Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo Asociativa Suma Multiplicación a+(b+c)=(a+b)+c a(bc) = (ab)c Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado. 7+(6+1)=(7+6)+1 -2(4x7)= (-2x4)7 Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo Identidad Suma Multiplicación a + 0 = a a x 1= a Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva. Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa. -11 + 0 = -11 17 x 1 = 17 Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo Inversos Suma Multiplicación a + ( -a) = 0 La suma de opuestos es cero. El producto de 15+ (-15) = 0
  5. 5. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 5 recíprocos es 1. Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo Distributiva Suma respecto a Multiplicación a(b+c) = ab + ac El factor se distribuye a cada sumando. 2(x+8) = 2(x) + 2(8) Ejercicios Identifica la propiedad: 5 (4 x 1.2) = (5 x 4) 1.2 14 + (-14) = 0 3 (8 + 11) = 3 (8) + 3 (11) (5 + 7) 9 = 9 (7 + 5) Aplica la propiedad indicada: 5(x + 8) (conmutativa de suma) (3 x 6) 2 (asociativa de multiplicación) (9 + 11) + 0 (identidad aditiva) 12(x + y) (distributiva) 9(6 + 4) (conmutativa de multiplicación) (x + y) + z (asociativa de suma) Otras propiedades Propiedad de los opuestos Que dice Ejemplo
  6. 6. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 6 -( -a ) = a El opuesto del opuesto es el mismo número. - ( - 9 ) = 9 (-a)( b)= a (-b)= -(ab) El producto de reales con signos diferentes es negativo. ( -15) (2) = 15( - 2) = - (15 x 2) = - 30 ( - a)( -b) = ab El producto de reales con signos iguales es positivo. ( -34) ( - 8) = 34 x 8 -1 ( a ) = - a El producto entre un real y -1 es el opuesto del número real. -1 ( 7.6 ) = - 7.6 Propiedades del cero Propiedad del cero Que dice Ejemplo a x 0 = 0 Todo real multiplicado por 0 es 0. 16 x 0 = 0 a x b = 0 entonces a = 0 ó b = 0 Si un producto es 0 entonces al menos uno de sus factores es igual a 0. (a+b)(a-b) = 0 entonces a + b = 0 ó a – b = 0 Recuerda Operación Definición Que dice Ejemplo Resta a – b = a + ( - b) La resta es la suma del opuesto del sustraendo. 2 – 8 = 2 + (-8) = - 6
  7. 7. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 7 División La división es la multiplicación por el recíproco del divisor.
  8. 8. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 8 1.3.1 Tricotomía. La propiedad de tricotomía de números reales indica que, para cualquier dos números reales a y b, uno del siguiente es exactamente verdad: a<b, a=b, a>b. Para cualquier relación de equivalencia R encendido conjunto A, la relación es tricótoma si para todo el x y y en A exactamente una de xRy, x=y, yRx asimientos. Una relación tricótoma no es simétrica, no es reflexivo, sino es transitiva. Propiedades de relaciones tricótomas Propiedad Ecuación Descripción Propiedad simétrica xRx es siempre falso. Una relación tricótoma no es simétrica. Por ejemplo, la declaración 3<3 es siempre falso. Propiedad reflexiva Si xRy entonces no yRx Una relación tricótoma no es reflexiva. Por ejemplo, 3<4 ⇒ 4≮3. Propiedad transitiva Si xRy y xRz entonces xRz Una relación tricótoma es típicamente transitiva. Por ejemplo, 3<4, 4<5 ⇒ 3<5. 1.3.2 Transitividad. Si imagináramos que es una recta, donde a la izquierda están los números negativos, al medio el cero y a la derecha los positivos, entonces, una interpretación geométrica de la afirmación 𝑥 < 𝑦, es que está a la izquierda de . Esta manera de visualizar es muy conveniente, ya que permite entender con mayor claridad, algunas de las propiedades que cumplen los números reales. Por ejemplo Si 𝑥 < 𝑦 𝑦 𝑦 < 𝑧 , entonces 𝑥 < 𝑧 La interpretación geométrica de esta propiedad llamada Transitividad, dice que si es un número real que está a la izquierda de , y está a su vez a la izquierda de , entonces está a la izquierda de . Se dijo al principio que "en particular" esta propiedad se cumplía en los reales. Esto es porque en general puede representar la cardinalidad de conjuntos (con números), siendo uno de menor o igual cardinalidad que otro.
  9. 9. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 9 1.3.3 Densidad. Dados dos números racionales distintos ∝< 𝛽, siempre existe otro número racional 𝛾 tal que 𝛼 < 𝛾 < 𝛽. Para ello, si 𝛼 = 𝑎 𝑏 y 𝛽 = 𝑐 𝑑 , con b y d positivos, basta con tomar Ejercicio: probar que efectivamente 𝛼 < 𝛾 < 𝛽 (por ejemplo, entre 3/5 y 2/3 se encuentra 5/8). Ahora bien, reiterando el proceso de introducir un racional entre cada dos racionales distintos es claro que entre dos racionales distintos existen infinitos racionales distintos. Por ejemplo, ahora entre 3/5 y 5/8 se encuentra 8/13, entre 3/5 y 8/13 se encuentra 11/18, etc., tenemos así 3/5 < ...... < 11/18 < 8/13 < 5/8 < 2/3. Por eso se dice que el conjunto de los racionales es un conjunto denso. No tiene sentido hablar del racional siguiente o anterior a uno dado. Esto es algo que no ocurría ni en el conjunto de los naturales ni en el de los enteros. 1.3.4 Axioma del supremo. Sea S un conjunto no vacío de números reales acotado superiormente, existe entonces un número real y solo uno que es el supremo S. Comentaremos ahora acerca de otra forma de construir el campo de los números reales, las cortaduras. La teoría de los números reales en la forma de Dedekind está basada en la idea de cortar el dominio de los números racionales, es decir dividimos el conjunto de todos los números racionales en dos conjuntos no vacíos A y A’ y asumimos que: i) todo número racional se encuentra en uno y solo uno de los conjuntos A y A’. ii) todo número del conjunto A es menor que cualquiera del conjunto A’. El conjunto A es llamado clase baja y el conjunto A’ clase alta. El corte puede ser denotado por A/A’. La definición implica que todo número racional más pequeño que el número a de la clase baja se encuentra en esta clase. Ejemplos: Definamos A como el conjunto de los números racionales a que
  10. 10. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 10 1.) Satisfacen a < 1, mientras que el conjunto A’ contendrá todos los números a’ tales que a’ ≥ 1. Fácilmente se observa que en efecto hemos obtenido una cortadura el número 1 se encuentra en la clase A’ y obviamente es el más pequeño del conjunto, por otro lado 1 no es el número mayor de la clase A puesto que para cada a  A existe un número racional a1, localizado entre A y la unidad, consecuentemente mayor que a y además perteneciente a la clase A. 2.) La clase baja contendrá todos los números racionales a tales que a ≤1 mientras que la clase alta contendrá todos los racionales a’ con a’ < 1. Este ejemplo también es una cortadura, y ahora la clase alta no tiene un elemento mínimo sin embargo la clase baja si tiene un elemento máximo. 3.) La clase A contiene a todo número racional tal que a2 < 2, mientras que la clase A contiene a todo número racional que cumple a’2 > 2. Es fácil ver que este ejemplo también es una cortadura. Ahora la clase A no tiene un número máximo y la clase A’ no tiene un número mínimo. Probaremos por ejemplo la primera afirmación (La segunda se podrá probar de forma análoga). Sea a un número positivo de la clase A de aquí que a2 < 2. Probaremos que seleccionando un entero positivo n tal que (a + 1 𝑛 )2 < 2 de modo que a + 1 𝑛 también se encuentra en la clase A. Esta desigualdad es equivalente a: 𝑎2 + 2𝑎 𝑛 + 1 𝑛2 < 2 2𝑎 𝑛 + 1 𝑛2 < 2 − 𝑎2 y esta última desigualdad se satisface también si n es tal que: 2𝑎 + 1 𝑛 < 2 − 𝑎2 para el cual es suficiente tomar 𝑛 > 2𝑎 + 1 2 − 𝑎2 Por otra parte es importante notar que no existirá una cortadura que tenga simultáneamente un número máximo a0 en la clase baja y un número mínimo a’0 en la clase alta. En efecto, supongamos que existe tal número y llamémosle c, entonces c está entre a0 y a’0 de aquí que no pertenece a la clase baja, pues es mayor que a0 y tampoco a la clase alta ya que es menor que a’0 lo cual contradice la definición de corte dada. De esta manera las cortaduras pueden ser de tres tipos, ilustrados en los ejemplos 1, 2, 3. En los dos primeros ejemplos las
  11. 11. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 11 cortaduras forman el número racional r (que es la frontera entre las clases A y A’). En el tercer caso el número frontera no existe y la cortadura define a un nuevo elemento, un número irracional. De este modo toda cortadura de la forma 3) define un número irracional α. Este α reemplaza el faltante número frontera, el está entre todo número a de la clase A y todo numero a’ de la clase A’. En el ejemplo 3) el nuevo elemento creado es √2. Entonces para todo número r existirán dos cortaduras que lo definen, los elementos a < r estarán contenidos en la clase baja y los a’ > r en la clase alta. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. Intervalos. Tipos de intervalos Abiertos.- Un intervalo abierto entre los números A y B esta compuesto entre todos los números comprendidos en A y B sin incluir los extremos. Int. Sol. : (a, b) Conj. Sol.  bxax  Cerrados.- Un intervalo cerrado entre los números A y B es el conjunto de todos los números comprendidos en A y B incluyendo los extremos. Int. Sol. : [a,b] Conj. Sol.  bxax  Semiabiertos.- Intervalo solución: (a,b] intervalo solución: [a,b) X A B ( ) X A B X A B [ ] X A B X a b A BBbB B X a b
  12. 12. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 12 Conj. Sol  bxax  Conj. Solución  bxax  Intervalos Infinitos.- El que abarca todos los numero reales. Desigualdad Una desigualdad es una relación matemática en la que se tiene en cuenta el orden de los números. Podemos decir que: abbababa  ,,, Lo anterior muestra los símbolos utilizados para denotar una desigualdad. Por ejemplo, la desigualdad 3 < 10 indica que el número 3 es menor que el 10; la desigualdad 2 x ≥ 0 expresa el hecho de que el cuadrado de cualquier número real es siempre mayor o igual que cero. Si una desigualdad contiene incógnitas, se denomina inecuación. Las soluciones de una inecuación como -2x + 6 > 0 son aquellos valores de la x para los que la expresión -2x + 6 es mayor que cero. Las reglas de resolución de ecuaciones del álgebra se pueden utilizar para resolver inecuaciones, con la condición de que el sentido de la desigualdad ha de invertirse si se multiplica o divide por números negativos. Por tanto, para resolver la inecuación -2x + 6 > 0, primero se resta 6 de ambos lados de la desigualdad, con lo que se obtiene -2x > - 6. A continuación se dividen ambos lados de -2x > -6 por -2, sin olvidarse de invertir el sentido de la desigualdad pues -2 es negativo. Esto da x < 3, lo que significa que cualquier valor de x menor que 3 es una solución de -2x + 6 > 0.. A continuación se dividen ambos miembros de -2x > -6 por -2 sin olvidar el invertir el sentido de la desigualdad, pues -2 es negativo. Esto a ∞ Int. Sol [a ∞) Conj. Sol. { X | A ≤ x < ∞ } -∞ a Int. Sol (-∞, a) Conj. Sol. { X | X > A } -∞ ∞ Int Sol.(-∞, ∞) Conj. Sol. { X | -∞ < x < ∞ } { X | X  R }
  13. 13. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 13 nos da x< 3, lo que significa que cualquier valor de x menor que 3 es una solución de -2x +6>0 Propiedades o leyes de las desigualdades. 1.- Si a los dos miembros de una desigualdad le sumamos o le restamos una misma cantidad, el sentido de la desigualdad no cambia. 2.- Si a los dos miembros de una desigualdad los multiplicamos o los dividimos por una misma cantidad positiva el sentido de la desigualdad no cambia, pero habrá cambios de sentido si los multiplicamos o los dividimos por una misma cantidad negativa. 3.- Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y los elevamos a un potencia de grado impar el sentido de la desigualdad no cambia, pero habrá cambios de sentido si los elevamos a una potencia de grado par. 4.- Si se cambian los dos miembros de una desigualdad, ésta cambiara de signo. De esta manara si a> b, es evidente que b<a. 5.- Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia pero negativa el sentido de la desigualdad cambia.
  14. 14. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 14 1.5 Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y de desigualdades cuadráticas con una incógnita. Igualdad Absoluta: Es aquella que se verifica para cualquier valor de una variable, también se les llama identidades. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Sen2 x + Cos2 x = 1 Igualdad Condicional: Es aquella que se verifica solamente por un valor o determinados valores de la variable. (Son las ecuaciones) 3x + 8=23 3x + 8 - 8 = 23 - 8 . 3 15 3 3  X x = 5 Desigualdades Absolutas y Condicionales: Así como se tienen igualdades absolutas e igualdades condicionales, también tenemos desigualdades absolutas y desigualdades condicionales. Una desigualdad absoluta es una desigualdad válida para todos los valores reales de la variable. Desigualdad Absoluta: 32 x >0 Una desigualdad condicional es válida solo para determinados valores reales de la variable. Desigualdad Condicional: 3x – 5 > 0 Las desigualdades condicionales también se les llaman Inecuaciones.
  15. 15. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 15 Principios en los que se fundamenta la resolución de las inecuaciones. La resolución de las inecuaciones se fundamenta en las propiedades expuestas anteriormente, y en las consecuencias que de ella se derivan. Prácticamente se emplean las mismas propiedades que se usan en la resolución de ecuaciones. Desigualdad Condicional (Inecuación) Ejemplo 1 3X +8 > 23 3X + 8 - 8 > 23 – 8 3 15 3 3  X Ejemplo 2 1X 3 2 2X 4 3  3 32X 4 83X    3 (3X + 8) > 4(2X+3) ; 9X + 24 > 8X + 3 9X – 8X > 12 – 24 Ejemplo 3 8 (2X + 3) ≤ 5 (3X + 4) 16X + 24 ≤ 15X + 20 0 5 ∞ Int. Sol. (5, ∞) Conj. Sol. { X | X > 5 } Conj. Sol. { X | 5 < X < ∞ } -12 0 ∞ Int. Sol (-12, ∞) Conj. Sol. { X | X > -12 } -∞ -4 0 Int. Sol (-∞, -4] Conj. Sol. { X | X ≤ -4 } X > 5 X > -12
  16. 16. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 16 16X – 15X ≤ 20 – 24 Ejemplo 4 13 82 13 52      X X X X ; (2X + 5) (3X -1) ≥ (2X + 8)(3X + 1) 6X2 + 15X - 2X – 5 ≥ 6X2 + 24X + 2X +8 6X2 + 15X – 6X2 -24X ≥ 8 + 5 13 13 13 13     X Ejemplo 5 2 43 52 56      X X X X (6X + 5)(X + 2) < (3X + 4) (2X + 5) 6X2 + 5X +12X + 10 < 6X2 + 15X +8X + 20 6X2 + 5X + 12X - 6X2 – 15X - 8X < 20 -10 5X + 12X -15X -8X < 10 6 10 6 6     X Ejemplo 6 (X - 3)2 + (X + 2)2 < 2X2 - 7X + 22 X2 – 6X + 9 + X2 + 4X + 4 < 2X2 + 7X + 22 2X2 – 6X + 4X – 2X2 – 7X < 9 -∞ -1 0 Int. Sol (-∞, -1] Conj. Sol. { X | -∞ x ≤ -1 } Int. Sol.:        , 3 5 Conj. Sol.        3 5 xx -∞ - 3 5 0 Int. Sol (-1, ∞) Conj. Sol. { x | x >-1 } 3 5 X x>-1 X ≥ -1 X ≤ -4
  17. 17. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 17 -9x<9; Ejemplo 7 (2X + 5)2 + (X – 1)2 < 5X2 – 3X + 47 4X2 + 20X + 25 + X2 + 1 < 5X2 – 3X + 47 4X2 + 20X + X2 – 2X – 5X2 + 3X < 47 – 21 – 1 21X < 21 21 21 21 X21  Ejemplo 8 7 5 32 3    X 15 ≤ 2X – 3 < 35 15 ≤ 2X – 3 2X – 3 < 35 15 + 3 ≤ 2X 2X < 35 + 3 18 ≤ 2X 2X < 38 2 X2 2 18  2 38 2 X2  -∞ 0 1 Int. Sol (-∞, 1) Conj. Sol. { X | X < 1 } Int. Sol (9, 19) Conj. Sol. { X | 9 ≤ X < 19 } 0 9 19 X < 1 9 ≤ X X < 19
  18. 18. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 18 -1 0 1 I II III Inecuaciones de 2° Grado. Ejemplo 9 Resuelva la desigualdad 𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 ≤ 𝟎 Solución: Primero factorizamos el lado izquierdo ( 𝑥 − 2)( 𝑥 − 3) ≤ 0 Sabemos que la ecuación correspondiente ( 𝑥 − 2)( 𝑥 − 3) = 0 tiene las soluciones 2 y 3. Los números 2 y 3 dividen el eje real en tres intervalos: (−∞,2) (2,3) (3,∞) Valores de prueba: Para Intervalo Sustituir en 𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 ≤ 𝟎 se tiene x=1 (−∞, 2) (1)2 − 5(1) + 6 = 2 > 0 𝑛𝑜 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 x=5/2 (2,3) (5/2)2 − 5(5/2)+ 6 = −1/4 < 0 𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 x=4 (3, ∞) (4)2 − 5(4) + 6 = 2 > 0 𝑛𝑜 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 Luego leemos en la tabla que 𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 ≤ 𝟎 es negativo cuando 2 < 𝑥 < 3. Así, la solución de la desigualdad 𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 ≤ 𝟎 es { 𝒙| 𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑} = [ 𝟐, 𝟑] Note que hemos incluido los puntos extremos 2 y 3 porque buscamos valores de x tales que el producto sea negativo o cero. Solución ilustrada: + - + 0 2 3 x Ejemplo 10 Resuelva la desigualdad 𝑥2 − 1 > 0 𝑥2 − 1 > 0 𝑥2 − 1 = 0 𝑥2 √1 Int. Sol [ 𝟐, 𝟑] Conj. Sol. { 𝒙| 𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑} Analizando Int. I X < - 1; Sea X = -2 (-2)2 – 1 > 0 4 – 1 > 0 3 > 0 Si satisface Analizando Int. II X > 1; Sea X = 2 -1 > 0 No satisface Int.Sol.: ).1()1,(  Analizando Int III Para x>1; sea x= 2 (2)2 -1>0 4-1>0 3>0 Si satisface Conj. Sol.:  11  xxx Int. Sol: (-∞, -1) U (1, ∞) Conj. Sol.: { X | X < -1 U X > 1 }
  19. 19. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 19
  20. 20. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 20 Ejemplo 11 Resuelva la desigualdad 1072  xx 01072  xx (x – 5) (x – 2) = 0 2 y 5 Son Límites Inecuaciones Racionales. Ejemplo12 Resolver la desigualdad 0 23 4  x 3x + 2 = 0 x = 3 2  Analizando Int. I Analizando Int. II X < 3 2  ; Sea X = - 1 X > 3 2  ; Sea X = 0 0 21)3( 4   0 23(0) 4   0 1 4   0 2 4  Int. Sol : (-∞, 2) U (5, ∞) Conj. Sol. : { X | X < 2 U X > 5 } I II III -∞ 0 2 5 ∞ Analizando Int. I X < 2; Sea X = 0 (0)2 – 7(0)+10 > 0 10 > 0 Si satisface Analizando Int. II 2 < X < 5; Sea X = 3 (3)2 – 7(3) + 10 > 0 9 – 21 + 10 > 0 -2 > 0 No Satisface Analizando Int. III x > 5; Sea x = 6 (6)2 – 7(6) + 10 > 0 34 – 42 + 10 > 0 4 > 0 Si Satisface.
  21. 21. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 21 Elaboro: M.C. Alejandra Espinosa Guzmán 3 2  0 I II Int. Sol: ( 3 2  , ∞) Conj. Sol.: { X | X > 3 2  } Int. Sol: (-∞, 2 5  ) Conj. Sol.: { X | X < 2 5  } No Satisface. Si satisface Ejemplo13 Resolver la desigualdad 0 52 3  x 2X + 5 < 0 X < 2 5  Analizando Int. I Analizando Int. II X < 2 5  ; Sea X = -3 X > 2 5  ; Sea X = 0 0 53)2( 3   0 52(0) 3   0 1 3   0 5 3  -1 ≤ 0 Si Satisface. No Satisface. -∞ 2 5  0 I II
  22. 22. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 22 Elaboro: M.C. Alejandra Espinosa Guzmán Int. Sol : (-∞, -3) U (1, ∞) Conj. Sol. : { X | X < -3 U X > 1 } Ejemplo 14 Resolver la desigualdad 0 1 3    X X x = -3 x = 1 Analizando Int. I Analizando Int. II Analizando Int. III x < -3; Sea x = -4 -3 < x < 1; Sea x = 0 X > 1; Sea X = 3 0 14 34    0 10 30    0 13 33    0 5 1    -3 > 0 3 > 0 0 5 1  No satisface. Si satisface. Si satisface. Ejemplo15 Resolver la desigualdad 0 1 652    X XX x2 – 5x + 6 = 0 (x - 2) (x – 3) = 0 Analizando Int. I Analizando Int. II x < -1; Sea x = -2 -1 < x < 2; Sea x = 0 0 12 62)5(2)( 2    0 10 6)05()0( 2    0 1 6104    0 1 6  No Satisface. Si Satisface. -3 0 1 I II III 1 3 2    x x x
  23. 23. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 23 Elaboro: M.C. Alejandra Espinosa Guzmán Int. Sol : (-1, 2) U (3, ∞) Conj. Sol. : { X | -1 < X ≤ 2 U X ≥ 3 } Int. Sol: (-3, -1) U (2, 5) Conj. Sol.: { x | -3 < x < -1 U 2 < x < 5 } Analizando III Analizando Int. IV 2 < x < 3; Sea x = 2 5 x > 3; Sea x = 4 0 27 4242)55(425   0 14 65(4)(4) 2    No Satisface. 0 5 2  Si Satisface. Ejemplo16 Resolver la desigualdad 0 2 152 2 2    XX XX 0 2)1)(( 3)5)((    xx xx     Ó Para Int. I Para Int. II Para Int. III Para Int. IV Para Int. V 0 ))(( ))((    0 ))(( ))((    0 ))(( ))((    0 ))(( ))((    0 ))(( ))((    No Satisface Si Satisface No Satisface Si Satisface No Satisface I II III IV -1 0 2 3 I II III IV V -3 -1 0 2 5
  24. 24. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 24 Elaboro: M.C. Alejandra Espinosa Guzmán 1.6 Valor absoluto y sus propiedades. Si x es un número real, el valor absoluto de x denotado por |x| se define por | 𝑥| = { 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0 −𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0 De la definición anterior, es claro que el valor absoluto de un número siempre es un número real no negativo. A continuación se dan sin demostrar algunas de las propiedades importantes del valor absoluto: axoaxax axaax ysi y x y x yxxy yxyx triangularddesigualdayxyx xx        .7 .6 0.5 .4 .3 .2 .1 2 Se puede considerar que el valor absoluto de x es la “Medida” del tamaño de x sin tener en cuenta que x sea positivo o negativo. Por ejemplo. 4 2 8 352 532 532      X X X X X 1 2 2 2 2 352 532      X X X X De acuerdo con lo anterior existen dos valores de x, x = 4, x = -1, que satisfacen la ecuación dada. -5 0 5
  25. 25. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 25 Elaboro: M.C. Alejandra Espinosa Guzmán 9 9 2723 7223     X X XX XX 1 55 2723 2723 7223      x x xx xx xx De los ejemplos anteriores se pueden obtener las siguientes reglas generales para resolver ecuaciones en las que aparecen valores absolutos. Si ba  donde b ≥ 0 Entonces a = b ó bien a = -b Si ba  Entonces a = b ó bien a = -b 1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto. Consideremos ahora desigualdades que incluyen valores absolutos por ejemplo: |X| < 5 Implica que la distancia entre x y el origen es menor que 5 unidades, dado que x puede estar a la derecha o a la izquierda del origen. Podemos afirmar que x se encuentra entre -5 y 5 esto es - 5<x<5. Sin embargo otra desigualdad como: |x| > 5 implica que x es menor que 5, y nuevamente implica que x puede estar a la derecha o la izquierda del origen. Este resultado se generaliza mediante el siguiente teorema. AXAXAX AXAAX   Bienó ( ) -5 0 5
  26. 26. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 26 Elaboro: M.C. Alejandra Espinosa Guzmán Int. Sol : [ 3 11  , -1) Conj. Sol. : { X | 3 11  < X < -1 } Int. Sol : [ 2 3 , 2 9 ] Conj. Sol. : { X | 2 3 < X < 2 9 } Int. Sol: (-∞, -1) U (4, ∞) Conj. Sol.: { X | X < -1 U X > 4 } Resolver la siguiente desigualdad 473 X | 1 743 473    x x x x 3 11 3x74 73x4    Resolver la siguiente desigualdad 362 X x   2 3 2x63- 36-2x3- 2 9 x 92x 632x    Resolver la desigualdad 532 X SatisfaceSi 57 57 53-2(-2) -2XSea-1;X ónComprobaci 4X 82X 352X 53-2X         SatisfaceSi 59 59 5310 53-2(5) 5XSea4;X ónComprobaci 1X 22X 352X 532X          -∞ -1 0 4 ∞ 0 2 3 2 9
  27. 27. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 27 Elaboro: M.C. Alejandra Espinosa Guzmán APLICACIONES DE LAS INECUACIONES 1) El fabricante de un cierto articulo puede vender todo lo que produce a un precio de $60 c/articulo. Gasta $40 en materia prima y mano de obra al producir cada artículo y tiene unos costos fijos adicionales de $3,000 a la semana en la operación de la planta. Encuentre el número de unidades que deberá producir y vender para obtener una utilidad de al menos $1,000 a la semana. UTILIDAD = INGRESOS - COSTOS. Sea x el número de artículos producidos y vendidos a la semana. Entonces: Ingresos = 60x Costos: 40x + 3,000 200 20 4000 400020 3000100020 100030004060 1000)300040(60       x x x x xx xx En consecuencia el fabricante deberá producir y vender al menos 200 unidades o más cada semana. 2) Un administrador de una fabrica deberá decidir si produce sus propios empaques, que ha estado adquiriendo de proveedores externos a $11 c/uno. La fabricación de los empaques incrementaría los costos generales de la empresa en $8,000 y el costo de materias u mano de obra serian de $6 por cada empaque. Cuantos empaques deberá usar la empresas al mes para justificar la decisión de fabricar sus propios empaques? Es decir queremos que: Costo de fabricación < Costos de adquisición 6x +8000< 11x 11x –6x >8000 5x >8000 600,1 5 8000   x x En consecuencia la empresa debe usar al menos 1601 empaques al mes para justificar el fabricarlos.
  28. 28. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 28 Elaboro: M.C. Alejandra Espinosa Guzmán 3) Una empresa automotriz desea saber si le conviene fabricar sus propias bandas para el ventilador, que ha estado adquiriendo de proveedores externos a un precio de $25 cada unidad. La fabricación de las bandas por la propia empresa incrementaría sus costos fijos en $15,000 al mes, pero solo le costaría $17 fabricar cada banda. Cuantas bandas deberá utilizar la empresa cada mes para justificar la fabricación de sus propias bandas? Es decir queremos que: Costo de fabricación < Costos de adquisición bandasx x x xx xx 1875 8 15000 150008 150001725 000,151725      4) Una empresa puede encomendar a un contratista que empaque cada unidad de su producto a un costo de $2.75. Por otra parte, la empresa puede empacar sus productos instalando una maquina empacadora: Su instalación incrementara los costos fijos de la empresa en $2000 al mes, y los costos mismos de empaquetamiento en $1.50 por unidad. Cuantas unidades tendría que producir al mes para que la instalación de la maquina fuera rentable? Es decir queremos que: Costo de fabricación < Costos de adquisición articulosx x x xx xx 1600 25.1 2000 200025.1 20005.175.2 75.25.12000      5) El costo de publicación de cada ejemplar de una revista es de $0.35. Los ingresos por ventas de distribución son de $0.30 por ejemplar .Los ingresos por publicidad son del 20% sobre los ingresos obtenidos por ventas por encima de los 2,000 ejemplares. Cuantos ejemplares deberá publicar y vender cada semana para obtener ingresos semanales de al menos $1,000?
  29. 29. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 29 Elaboro: M.C. Alejandra Espinosa Guzmán    ejemplaresx x x x xxx xxx 112000 01. 1120 112001.0 120100001.0 1000035.012006.030.0 100035.020.030.0200030.0      
  30. 30. Libro: Cálculo Diferencial | Capitulo I: Números Reales 30 Elaboro: M.C. Alejandra Espinosa Guzmán PROBLEMAS PROPUESTOS 1) Un fabricante produce x artículos con un costo en mano de obra de $1.2 dòlares y un costo en materiales de $0.30 por unidad. Los gastos fijos son de $6,000 dólares. Si cada articulo se vende en $3.00 Cuantos articulos deberán venderse para que la compañía obtenga utilidades? Solución: x >4000 2) El Secretario de asuntos estudiantiles de una universidad está haciendo arreglos para que un grupo de música ofrezca un concierto en las instalaciones, el grupo cobrara una cuota total de $2440 dólares, o bien una cuota de $1,000 dólares mas el 40% de lo que se obtenga en taquilla. Es posible que asistan 800 estudiantes. Cuanto debe costar cada boleto para que el segundo plan sea más barato que el primero y si se cobra ese máximo cuánto dinero sobrara para pagar otros gastos de la función? Se deberá cobrar dolaresx 5.4$ Sobran $1160 dólares. 3) El editor de una revista mensual tiene costos de edición de $0.605 por ejemplar. El ingreso por ventas de distribución es de $0.70 por ejemplar y los ingresos por publicidad son el 15% de los ingresos obtenidos por las ventas que exceden los 20,000 ejemplares. Cuantos ejemplares deberá publicar y vender cada semana para asegurar utilidades semanales que sobrepasen los $4,000? X>30500 ejemplares 4) En la actualidad un fabricante tiene 2500 unidades de un producto en su almacén. El producto se vende en estos momentos a $4 por unidad. Para el próximo mes el producto aumentara en $0.05 El fabricante desea que los ingresos totales que se obtengan por la venta de las 2500 unidades no sea inferior a $2,750 Cual es el número máximo de unidades que puede venderse este mes? .1000 unidadesx  5) Una administradora de negocios desea determinar la diferencia entre los costos de ser propietaria y de rentar un automóvil. Puede rentar un auto por $135 dólares al mes (sobre una base anual). Según este plan el costo por milla es de $0.05 dólares Si compra el auto, el gasto fijo anual será de $1,000 dólares y los otros costos sumarian $0.10 dólares por milla. Cuál es el número mínimo de millas que tendría que conducir al año para hacer que la renta no sea más costosa que la compra? .12400 millasx 

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