El documento describe tres formas de calcular la distancia entre dos puntos en geometría analítica. Si los puntos están en la misma línea horizontal o vertical, la distancia es la diferencia de sus coordenadas. Si no, se usa el teorema de Pitágoras con las diferencias como catetos y la distancia como hipotenusa. Se proveen ejemplos para calcular distancias entre puntos dados y resolver problemas relacionados.

1. Geometría AnalíticaTema 2. Distancia entre dos puntos

2. La distancia entre dos punto se puede representar en tres formas, las cuales se explican en detalle a continuación: Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) dos puntos localizados de manera general en un plano y que pertenecen a una misma recta horizontal (paralela al eje x), la distancia dirigida entre los dos puntos es: P1P2 = x2 – x1 P2P1 = x1 – x2 y P1(x1,y1) P2(x2,y2) x

3. Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) dos puntos localizados de manera general en un plano y que pertenecen a una misma recta vertical (paralela al eje y), la distancia dirigida entre los dos puntos es: P1P2 = y2 – y1 P2P1 = y1 – y2 y Recta paralela al eje y P1(x1,y1) x P2(x2,y2)

4. Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) dos puntos que no se hallan sobre una misma recta horizontal o vertical; se traza una recta que pasa por P1 paralela al eje x y otra recta que pasa por el punto P2 paralela al eje y, estas rectas se intersectan en el punto Q(x2,y1) formandoasí un triangulo P2QP1, en el cual se identifica: Hipotenusa Cateto opuesto y Cateto Adyacente y P2(x2,y2) x Q(x2,y1) P1(x1,y1)

5. Se identifica de la figura lo siguiente: La hipotenusa = P1P2…………………… = d (distancia) Cateto opuesto = P2Q …………………. (y2 – y1) Cateto adyacente = P1Q ………………. ( x2 – x1) Al aplicar el teorema de Pitágoras , tenemos: (P1P2)² = (P1Q)² + (P2Q )² P1P2 = √ (P1Q)² + (P2Q )² P1P2 = √(x2 – x1)² + (y2 – y1)² Entonces, la distancia no dirigida entre dos puntos se representa: d = √(x2 – x1)² + (y2 – y1)² y P2(x2,y2) x Q(x2,y1) P1(x1,y1)

6. EJEMPLO 1 Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: 1.- P1(-7,2) y P2(8,2) 2.- P1(-2,4) y P2(-2,-6) Solucion: Al graficar los puntos en el plano del ejemplo 1 tenemos: Los dos puntos pertenecen a una recta horizontal paralela al eje x, por lo que la distancia entre ambos puntos es: d = P1P2 = x2 – x1d = P2P1 = x1 – x2 d = 8 – (-7), d = 15 d = - 7 – 8 = - 15 P1(-7,2) P2(8,2)

7. Al graficar los puntos en el plano del ejemplo 2 tenemos: Los dos puntos pertenecen a una recta vertical paralela al eje y, por lo que la distancia entre ambos puntos es: d = P1P2 = (y2 – y1) = -6 – 4 = - 10 d = P2P1 = (y1 – y2) = 4 – (-6) = 10 y P1(-2,4) P2(-2,-6)

8. ACTIVIDAD Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: 1.- P1(-6,3) y P2(2,-3) 2.- P1(6,1) y P2(-4,-2)

9. EJEMPLO 3 Uno de los extremos de un segmento rectilineo de longitud igual a √13 es el punto P1(-1 , -5); si la abscisa del otro extremo es 2, hallar su ordenada (son dos posibles soluciones): Solucion: Al sustituir los datos dentro de la formula de distancia entre dos puntos, tenemos: d = √(x2 – x1)² + (y2 – y1)² √13 = √(2 + 1)² + (y + 5)² Si se eleva al cuadrado ambos miembros de la ecuacion se tiene: (√13 )²= ( √(3)² + (y + 5)² )² = 13 = 9 + y² + 10y + 25 y² + 10y + 34 – 13 = 0 y² + 10y + 21 = 0 ecuación 2do grado con una incógnita

10. La ecuacion de segundo grado se puede resolver de dos maneras: Factorizando Aplicando la formula general Factorizando: y² + 10y + 21 = 0 (y + 3) (y + 7) = 0 y + 3 = 0 y + 7 = 0 y1 = - 3 y2 = - 7

11. Aplicando la formula general y = - b +/- √b² - 4ac 2a y = - 10 +/- √(10)² - 4(1)(21) 2(1) y = - 10 +/- √100 – 84 2 y1 = - 6/2 = -3 y2 = -14/2 = -7

12. Al graficar los resultados que se obtuvieron, se tiene: Las ordenadas de los dos extremos son – 3 y -7 ya que ambos Valores satisfacen la condicion del problema planteado. √13 P2(2, -3) P1(-1, -5) √13 P3(2, -7)